Leçons de niveau 15

Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par une somme

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Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par une somme
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Dans ce cas, la suite (un)n∈ℕ est définie par :

ou, sous réserve de convergence, par :

.

Nous allons, à titre d’illustration, traiter deux exemples très classiques que l’on rencontre assez souvent. Les autres cas pourront se traiter de la même façon.

Chacun des deux exemples sera traité de façon différente pour mettre en œuvre deux méthodes différentes. Le premier exemple utilisera un encadrement par des intégrales et le deuxième exemple utilisera un encadrement grâce à l’inégalité des accroissements finis. (On peut aussi traiter ces deux exemples — et étendre le premier au cas α > –1 — par le théorème de Stolz-Cesàro.)


Exemple 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit α > 0 et soit (un)n∈ℕ la suite définie par :

.

Nous allons encadrer un par des intégrales.

Considérons pour x ≥ 0, la fonction f(x) = xα. On alors f’(x) = αxα–1 > 0.

La fonction f est donc croissante.

,

ce qui donne :

.

Or et donc dans l'encadrement ci-dessus, la suite majorante est équivalente à la suite minorante. D’après le théorème de l’encadrement, on en déduit :


.



Exemple 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit α > 1. Nous savons qu'alors, la série de Riemann :

converge.

Nous pouvons donc définir la suite (un)n∈ℕ par :

.

Considérons la fonction f définie sur l’ensemble des réels strictement positifs par :

.

Cette fonction est dérivable, de dérivée :

.

En appliquant l’inégalité des accroissements finis sur l’intervalle [k, k+1], on obtient :

donc

et en sommant les trois membres de k = n > 1 jusqu'à k = p :

.

Par télescopage, il nous reste :

et en faisant tendre p vers +∞ :

.

Or

et

.

D’après le théorème de l’encadrement, on en déduit :


.