Leçons de niveau 14

Variables aléatoires discrètes/Exercices/Autour de la loi binomiale

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Autour de la loi binomiale
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Exercices no2
Leçon : Variables aléatoires discrètes
Chapitre du cours : Loi binomiale

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Exemple de variable aléatoire suivant une loi de Poisson
Exo suiv. :Calcul d'une espérance autour de la loi binomiale
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Variables aléatoires discrètes/Exercices/Autour de la loi binomiale
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Un patient, qui a 32 dents, rend visite à son dentiste pour son contrôle annuel. Celui-ci lui fait un détartrage et lui soigne toutes les caries dentaires qu’il peut avoir. Dans cet exercice, on supposera que la probabilité de se carier, dans un intervalle de temps donné, est la même pour toutes les dents.

  1. Que peut-on dire de la probabilité qu’il ait exactement une dent cariée lors de son prochain contrôle qu’il effectuera exactement un an après (365 jours) ?
  2. Que devient cette probabilité si, au lieu de faire son contrôle un an après, il le fait deux ans après ?
  3. Est-il vraisemblable qu’à chaque contrôle annuel, il ait exactement une dent cariée pendant une durée de cinq ans ?
  4. Reprendre l'étude de la première question avec un patient auquel on aurait arraché des dents.
  5. Combien faut-il arracher de dents à un patient ayant 32 dents pour que la probabilité qu’il ait exactement une dent cariée pendant cinq ans puisse éventuellement être supérieure à 1%.

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

On a estimé qu'un certain vaccin peut provoquer une légère réaction allergique, à une fréquence d'une allergie sur cent vaccinations.

On note X la variable aléatoire donnant le nombre de réactions allergiques dans des échantillons de 20 personnes vaccinées.

  1. Expliquez pourquoi X suit une loi binomiale B(n, p) dont on précisera les paramètres. Donnez alors la loi de probabilité de X, sa moyenne E(X) ainsi que son écart-type σ(X). Calculez la probabilité p(X > 2).
    On a remarqué que ce vaccin peut également provoquer des accidents graves, à une fréquence d'un accident pour 100 000 vaccinations. On note Y la variable aléatoire représentant le nombre d’accidents graves survenus dans des échantillons de 30 000 personnes vaccinées. Ainsi, Y suit une loi binomiale B(m, π) avec m = 30 000 et π = 0,00001.
  2. Calculez p(Y = 0) et p(Y = 1) (on gardera beaucoup de chiffres après la virgule).
  3. Pourquoi Y suit-il approximativement une loi de Poisson P(λ) dont on déterminera le paramètre λ > 0 ? Vérifiez que cette approximation est plutôt bonne en recalculant p(Y = 0) et p(Y = 1) à partir de la loi de Poisson.
  4. En utilisant la loi de Poisson, calculez p(Y = k) pour k ∈ {2, 3, 4}.