Leçons de niveau 14

Variables aléatoires discrètes/Exercices/Calcul d'une espérance autour de la loi binomiale

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Calcul d'une espérance autour de la loi binomiale
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Exercices no3
Leçon : Variables aléatoires discrètes
Chapitre du cours : Loi binomiale

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Autour de la loi binomiale
Exo suiv. :Autour de la loi uniforme
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Variables aléatoires discrètes/Exercices/Calcul d'une espérance autour de la loi binomiale
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Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

On joue à Pile ou Face avec une pièce de monnaie. Dans une première partie on ne connait pas la probabilité de l'évènement Pile, ni celle de Face. On cherche à évaluer la distance entre le nombre de pile et de face obtenus après N lancers. Bien entendu les lancers sont indépendants les uns des autres.

Le problème peut être reformulé comme ceci :

Si X est le nombre de Pile obtenus et Y le nombre de Face obtenus, quelle est la valeur de  ?

Notations[modifier | modifier le wikicode]

On note :

  • la partie entière de  ;
  • l’ensemble complémentaire de  ;
  • si X suit une loi binomiale de paramètre .

Soit . Pour x un entier naturel compris entre 0 et N, on notera la fonction de répartition et sa fonction complémentaire : .

Questions[modifier | modifier le wikicode]

Quelle est la loi de X ? Rappeler son espérance.

X et Y sont elles indépendantes ? Sinon, quelle loi les lie ?

En remarquant que , trouver une expression de en fonction de , , et , où l'événement est à expliciter et désigne sa fonction indicatrice.

Exprimer en fonction de , et pour un certain entier à expliciter.

Conclusion

En remarquant que , on peut réécrire de façon plus concise l’expression de l'espérance :

.

Application[modifier | modifier le wikicode]

On suppose ici que .

Trouver une expression de en fonction de la parité de N.

Trouver une expression de en fonction de la parité de N.

Conclure en donnant une expression de l'espérance recherchée.