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Exercice : Calcul d'une espérance autour de la loi binomiale
Variables aléatoires discrètes/Exercices/Calcul d'une espérance autour de la loi binomiale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On joue à Pile ou Face avec une pièce de monnaie. Dans une première partie on ne connait pas la probabilité de l'évènement Pile, ni celle de Face. On cherche à évaluer la distance entre le nombre de pile et de face obtenus après N lancers. Bien entendu les lancers sont indépendants les uns des autres.
Le problème peut être reformulé comme ceci :
- Si X est le nombre de Pile obtenus et Y le nombre de Face obtenus, quelle est la valeur de
?
On note :
la partie entière de
;
l’ensemble complémentaire de
;
si X suit une loi binomiale de paramètre
.
Soit
. Pour x un entier naturel compris entre 0 et N, on notera la fonction de répartition
et sa fonction complémentaire :
.
Quelle est la loi de X ? Rappeler son espérance.
Solution
X suit une loi binomiale, de paramètre (N, p).
Pour rappel, la fonction de densité de cette loi est donnée par :

et
.
X et Y sont elles indépendantes ? Sinon, quelle loi les lie ?
Solution
X et Y ne sont pas indépendantes car elles sont liées par la relation : X + Y = N.
En remarquant que
, trouver une expression de
en fonction de
,
,
et
, où l'événement
est à expliciter et
désigne sa fonction indicatrice.
Solution
Comme
,

où
.
Par conséquent,
.
Exprimer
en fonction de
,
et
pour un certain entier
à expliciter.
Conclusion
En remarquant que
, on peut réécrire de façon plus concise l’expression de l'espérance :
.
On suppose ici que
.
Trouver une expression de
en fonction de la parité de N.
Solution
Remarquons que pour
,
, par la propriété des coefficients binomiaux.
Si N est impair, alors le nombre d'états d'arrivée est pair.
Pour mieux le voir, on peut remarquer que de 1 à N on a N états d'arrivée. À ces N états il faut rajouter l'élément 0, donc on a : N + 1 états. Comme N est impair, N + 1 est pair.
De la même façon, si N est pair, on a un nombre impair d'états d'arrivée.
Si N pair, on remarque que
. Donc si l'on retire cet état, on peut utiliser la propriété
.
D'où dans ce cas :
, or
.
On en déduit que
, c'est-à-dire
.
Puisque
et le nombre d'états est pair, et que la distribution est symétrique :

.
Trouver une expression de
en fonction de la parité de N.
Solution
Par un raisonnement analogue :
- Si N est impair,
;
- Si N est pair,
.
Conclure en donnant une expression de l'espérance recherchée.
Solution
Réécrivons la formule de l'espérance avec le paramètre
:

.
- Si N est pair,
.
- Si N est impair,
.
Dans les deux cas,

.