Leçons de niveau 13

Variables aléatoires sur les ensembles finis/Loi binomiale

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Loi binomiale
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Chapitre no 6
Leçon : Variables aléatoires sur les ensembles finis
Chap. préc. :Indépendance de variables aléatoires
Chap. suiv. :Loi uniforme
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Variables aléatoires sur les ensembles finis/Loi binomiale
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Combinaisons[modifier | modifier le wikicode]

Factorielle[modifier | modifier le wikicode]


Combinaisons[modifier | modifier le wikicode]


Notation des combinaisons[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


En France, on utilisait la notation pour . Nous utiliserons dans cette leçon la notation , qui est internationalement reconnue.

Propriétés des combinaisons[modifier | modifier le wikicode]

Formule du binôme[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


Loi binomiale[modifier | modifier le wikicode]

On répète n épreuves de Bernoulli (cf. chapitre 4), indépendantes et de même paramètre p,

c'est-à-dire n expériences aléatoires à deux issues possibles,

la probabilité d'un succès étant p, celle d'un échec étant q = 1 – p.

On note le nombre de succès obtenus.

Calcul des [modifier | modifier le wikicode]

Calculons . La probabilité d'une éventualité avec k succès et n – k échecs a pour valeur pkqn–k.

De plus, il y a autant de telles éventualités que de manières de choisir k nombres parmi n, c'est-à-dire .

Finalement, la variable aléatoire suit la loi suivante :


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Espérance[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Variance et écart-type[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème



Début de l'exemple
Fin de l'exemple