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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Variables aléatoires sur les ensembles finis : Loi binomiale Variables aléatoires sur les ensembles finis/Loi binomiale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
Soit
n un entier supérieur ou égal à 1.
Le nombre factorielle de n , noté n !, désigne le produit de tous les entiers de 1 à n :
n
!
=
n
×
(
n
−
1
)
×
(
n
−
2
)
×
⋯
×
2
×
1
{\displaystyle n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \dots \times 2\times 1}
.
Par convention,
0
!
=
1
{\displaystyle 0!=1}
.
Définition
Soient
n et
k des entiers tels que
0
≤
k
≤
n
{\displaystyle 0\leq k\leq n}
et
E un ensemble à
n éléments.
Une
combinaison de
k éléments de
E est une partie de
E à
k éléments.
Début d’un théorème
Théorème
Étant donné un ensemble
E de
n
{\displaystyle n}
objets,
le nombre
(
n
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}}
de manières de choisir
k
{\displaystyle k}
objets parmi ces
n
{\displaystyle n}
, appelé coefficient binomial , est égal au nombre de combinaisons de
k
{\displaystyle k}
éléments de E , et vaut :
(
n
k
)
=
n
×
(
n
−
1
)
×
⋯
×
(
n
−
k
+
1
)
k
!
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n\times (n-1)\times \dots \times (n-k+1)}{k!}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}
.
Fin du théorème
En France, on utilisait la notation
C
n
k
{\displaystyle \mathrm {C} _{n}^{k}}
pour
(
n
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}}
. Nous utiliserons dans cette leçon la notation
(
n
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}}
, qui est internationalement reconnue.
Propriété
* Pour tous entiers
n et
k tels que
0
≤
k
≤
n
{\displaystyle 0\leq k\leq n}
:
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={n \choose n-k}}
.
C'est la propriété de symétrie, qui se démontre par exemple en calculant avec les factorielles.
Pour tous entiers n et k tels que
1
≤
k
≤
n
−
1
{\displaystyle 1\leq k\leq n-1}
:
(
n
k
)
=
(
n
−
1
k
−
1
)
+
(
n
−
1
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}
.
C'est la formule de Pascal .
Début d’un théorème
Théorème
Pour tous nombres réels ou complexes
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
et pour tout entier naturel
n
{\displaystyle n}
:
(
a
+
b
)
n
=
a
n
+
(
n
1
)
a
n
−
1
b
+
(
n
2
)
a
n
−
2
b
2
+
⋯
+
(
n
n
−
1
)
a
b
n
−
1
+
b
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
{\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+{\binom {n}{2}}a^{n-2}b^{2}+\dots +{n \choose n-1}ab^{n-1}+b^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\;a^{n-k}b^{k}}
.
Fin du théorème
On répète n épreuves de Bernoulli (cf. chapitre 4), indépendantes et de même paramètre p ,
c'est-à-dire n expériences aléatoires à deux issues possibles,
la probabilité d'un succès étant p , celle d'un échec étant q = 1 – p .
On note
X
n
{\displaystyle X_{n}}
le nombre de succès obtenus.
Calculons
p
(
k
)
=
P
(
X
n
=
k
)
{\displaystyle p(k)=P(X_{n}=k)}
. La probabilité d'une éventualité avec k succès et n – k échecs a pour valeur pk qn–k .
De plus, il y a autant de telles éventualités que de manières de choisir k nombres parmi n , c'est-à-dire
(
n
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}}
.
Finalement, la variable aléatoire
X
n
{\displaystyle X_{n}}
suit la loi suivante :
Définition
Une variable aléatoire
X
{\displaystyle X}
suit une loi de probabilité
B (
n ,
p ),
appelée loi binomiale de paramètre (n , p ) si :
P
(
X
=
k
)
=
(
n
k
)
p
k
q
n
−
k
{\displaystyle P(X=k)={\binom {n}{k}}\ p^{k}q^{n-k}}
.
Début de l'exemple
Exemple
On lance 20 fois un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 12 fois 6 ?
Solution
Probabilité de réussir 1 lancer :
p
=
1
6
{\displaystyle p={\frac {1}{6}}}
.
Probabilité de rater 1 lancer :
1
−
p
=
5
6
{\displaystyle 1-p={\frac {5}{6}}}
.
Nombre de succès :
k
=
12
{\displaystyle k=12}
.
P
(
X
=
12
)
=
(
20
12
)
×
(
1
6
)
12
×
(
5
6
)
8
{\displaystyle P(X=12)={20 \choose 12}\times \left({\frac {1}{6}}\right)^{12}\times \left({\frac {5}{6}}\right)^{8}}
.
Fin de l'exemple
Début d’un théorème
Théorème
Si
X
{\displaystyle X}
suit une loi de probabilité
B (
n ,
p ), alors son espérance vaut :
E
(
X
)
=
n
p
{\displaystyle \mathbb {E} (X)=np}
.
Fin du théorème
Début de l'exemple
Exemple
On lance 20 fois un dé équilibré à 6 faces.
On gagne 10 euros à chaque fois que l’on obtient soit 1, soit 6.
Quelle est l'espérance du gain ?
Solution
Le gain (en euros) est
G
=
10
X
{\displaystyle G=10X}
où
X
{\displaystyle X}
suit une loi de probabilité B (20, 1/3) donc
E
(
G
)
=
10
E
(
X
)
=
10
×
20
×
1
/
3
=
200
3
≈
66
,
67
{\displaystyle \mathbb {E} (G)=10\,\mathbb {E} (X)=10\times 20\times 1/3={\frac {200}{3}}\approx 66{,}67}
.
Fin de l'exemple
Début d’un théorème
Théorème
Si
X
{\displaystyle X}
suit une loi de probabilité
B (
n ,
p ), alors :
V
(
X
)
=
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle \mathrm {V} (X)=np(1-p)}
;
σ
X
=
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {np(1-p)}}}
.
Fin du théorème
'Démonstration'
X est la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la (même) loi de Bernoulli de paramètre p , prenant la valeur 1 en cas de succès (probabilité p ) et 0 en cas d'échec (probabilité 1 – p ) ; ces variables aléatoires ont pour espérance p et pour variance p (1 – p ).
Début de l'exemple
Suite de l'exemple précédent
On lance 20 fois un dé équilibré à 6 faces.
On gagne 10 euros à chaque fois que l’on obtient soit 1, soit 6.
Quels sont la variance et l'écart-type du gain ?
Solution
V
(
G
)
=
10
2
V
(
X
)
=
10
2
×
20
×
1
/
3
×
2
/
3
=
4000
9
{\displaystyle \mathrm {V} (G)=10^{2}\,\mathrm {V} (X)=10^{2}\times 20\times 1/3\times 2/3={\frac {4000}{9}}}
donc
σ
G
=
20
3
10
≈
21
{\displaystyle \sigma _{G}={\frac {20}{3}}{\sqrt {10}}\approx 21}
.
Fin de l'exemple