Variables aléatoires sur les ensembles finis/Loi binomiale
Combinaisons
[modifier | modifier le wikicode]Factorielle
[modifier | modifier le wikicode]Soit n un entier supérieur ou égal à 1.
Le nombre factorielle de n, noté n!, désigne le produit de tous les entiers de 1 à n :
.
Par convention, .
Combinaisons
[modifier | modifier le wikicode]Soient n et k des entiers tels que et E un ensemble à n éléments.
Une combinaison de k éléments de E est une partie de E à k éléments.
Notation des combinaisons
[modifier | modifier le wikicode]Étant donné un ensemble E de objets,
le nombre de manières de choisir objets parmi ces , appelé coefficient binomial, est égal au nombre de combinaisons de éléments de E, et vaut :
En France, on utilisait la notation pour . Nous utiliserons dans cette leçon la notation , qui est internationalement reconnue.
Propriétés des combinaisons
[modifier | modifier le wikicode]- Pour tous entiers n et k tels que :
- .
- C'est la propriété de symétrie, qui se démontre par exemple en calculant avec les factorielles.
- Pour tous entiers n et k tels que :
- .
- C'est la formule de Pascal.
Loi binomiale
[modifier | modifier le wikicode]On répète n épreuves de Bernoulli (cf. chapitre 4), indépendantes et de même paramètre p,
c'est-à-dire n expériences aléatoires à deux issues possibles,
la probabilité d'un succès étant p, celle d'un échec étant q = 1 – p.
On note le nombre de succès obtenus.
Calcul des
[modifier | modifier le wikicode]Calculons . La probabilité d'une éventualité avec k succès et n – k échecs a pour valeur pkqn–k.
De plus, il y a autant de telles éventualités que de manières de choisir k nombres parmi n, c'est-à-dire .
Finalement, la variable aléatoire suit la loi suivante :
Une variable aléatoire suit une loi de probabilité B(n, p),
appelée loi binomiale de paramètre (n, p) si :
On lance 20 fois un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 12 fois 6 ?
Probabilité de réussir 1 lancer : .
Probabilité de rater 1 lancer : .
Nombre de succès : .
.
Espérance
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On lance 20 fois un dé équilibré à 6 faces.
On gagne 10 euros à chaque fois que l’on obtient soit 1, soit 6.
Quelle est l'espérance du gain ?
Le gain (en euros) est où suit une loi de probabilité B(20, 1/3) donc .
Variance et écart-type
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X est la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la (même) loi de Bernoulli de paramètre p, prenant la valeur 1 en cas de succès (probabilité p) et 0 en cas d'échec (probabilité 1 – p) ; ces variables aléatoires ont pour espérance p et pour variance p(1 – p).
On lance 20 fois un dé équilibré à 6 faces.
On gagne 10 euros à chaque fois que l’on obtient soit 1, soit 6.
Quels sont la variance et l'écart-type du gain ?
donc .