Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART (12-06-2024) Wikipédia

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NB : ALLER VOIR AUSSI L'ESSENTIEL DE CETTE DISCUSSION (voir supra)

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Bonnes contributions ! En passant 9 août 2011 à 16:00 (CEST)

Cardinal quantitatif

Bonjour, Guillaume FOUCART ; je crains d’être parti pour beaucoup vous décevoir. Vous affirmez être titulaire d’un Master (M2) de mathématiques (ou aurais-je mal compris) et à tout le moins vous avez à votre disposition d’excellents articles de Wikipédia, tels que. (pour rester sur vos préoccupations) Mesure de Lebesgue, Dimension de Hausdorff, etc. Eux (plus encore que les ouvrages classiques destinés à l’enseignement ou à la recherche) ont en commun : 1) un exposé succinct des motivations, souvent liées aux insuffisances des notions plus familières (longueur, aire, volume / dimension géométrique classique) 2) des définitions claires, succinctes et sans ambiguïté 3) Surtout, des résultats, de préférence non évidents et d’intérêt majeur (le théorème de convergence dominée est un bon exemple). Je crains bien que votre concept de cardinal quantitatif. (qui, pour ce que j’en vois, voudrait compter les entiers individuels comme des cardinaux finis, les entiers pairs comme aleph_0/2, le segment réel [0,1]par un « nombre » u et donc le segment [a,b] par (b-a)u, etc.) n’ait aucune chance de satisfaire 2) ou 3), et à peine 1). Mais, me direz-vous, c’est un « work in progress ». Je le vois bien, mais la vie est brève, et compte tenu de mes objections, je n’ai ni le temps d’attendre que votre concept ait mûri, ni celui de vous aider à le faire mûrir ; vous m’en voyez désolé. Cordialement, Dfeldmann (discuter) 5 juin 2024 à 00:09 (CEST)

Bonjour,

0) Je ne sais pas si vous avez suffisamment lu et examiné mes travaux.

1) Le cardinal quantitatif d'un plafonnement borné normal du segment [a,b] (avec a < b) en fonction du cardinal quantitatif d'un plafonnement borné normal du segment [0,1] est donné par la formule :

"[card_Q([a,b]) - 1] / [card_Q([0,1]) - 1] = b - a"

et NON : "card_Q([a,b]) = (b - a) card_Q([0,1])".

2) Je ne peux pas donner un exposé plus succinct et plus clair qui {prendrait en compte| tiendrait compte de} toute la complexité de ma notion :

Mon introduction est censée donner une première approche intuitive.

Dans la partie développement, j'ai été, on ne peut plus formel, et ma définition non classique de l'ensemble : "+\infty = \{x | \forall a \in \R, \,\, x > a\}", si elle a peut-être des insuffisances est suffisante pour ce que je veux en faire dans mes travaux.

3) Ces résultats, même dans la partie "connue", ne sont pas si évidents que ça, entre autre, ils nécessitent un théorème de Hadwiger de 1948, dont Cantor ne disposait pas à son époque.

Il faut d'abord commencer par ce qui est simple voire "évident", avant d'aller au plus compliqué et moins évident.

Je suis obligé d'introduire ce qui est "simple", "connu" voire "évident" pour pouvoir parler et introduire le reste.

J'ai fait ce que j'ai pu pour détailler le PDF de Michel COSTE, et il a été avare en démonstrations et en références.

Et puis, il fallait le dire qu'on pouvait généraliser la notion de "cardinal" dans le cas des parties finies, en conservant les idées intuitives que l'on en a déjà, au cas d'une classe de parties bornées (en particulier infinies) de \R^n.

4) Je demande de l'aide, et il est donc normal que mes travaux ne soient pas parfaitement au point et que l'axiomatique et les hypothèses ne soient pas forcément {minimales|optimales}, comme vous l'exigez, apparemment.

Michel Coste a donné l'axiome de la sigma-additivité finie par prudence, peut-être que cela me suffit, avec peut-être d'autres hypothèses, pour démontrer la sigma-additivité infinie concernant les plafonnements bornés ou non bornés ou peut-être me faudra-t-il l'axiome de la sigma-additivité infinie.

Il y a, sûrement encore, un point d'incompatibilité à lever, et pour cela, il faudra sans doute faire des choix.

Guillaume FOUCART (discuter) 9 juin 2024 à 18:03 (CEST)

Je vous en supplie, amusez-vous tant que vous voulez, mais ne venez pas me donner des cours de math. En plus, sur Wikipédia, tout ça n'a aucun intérêt tant que ce n'est pas publié et évalué par des experts. D'autre part, trouvez-vous avec votre formule (dont je me demande d'où vous la sortez, et comment vous conciliez le cardinal (nécessairement infini) d'un segment avec la soustraction de l'entier 1) le résultat card_Q([0,2])=2*card_Q([0,1]) ? Sinon, c'est pas un peu louche ? Et vous ne comprenez pas les exigences non négociables de ce que doit être un système d'axiomes (lisez nos articles) : minimal/optimal, à ce stade, on s'en moque : l'essentiel c'est 1) non contradictoire 2) (autant que possible) compatible avec ce qui est déjà acquis (parce que si, dans votre système, 2u + 2u ne fait pas 4u, l'emploi de cette nouvelle notion va être au mieux fort malaisé). De même, vos notations sont illisibles : vous définissez +infinity à peu près comme Conway définit omega (voir nombre surréel), mais comme vous ne restreignez pas l'ensemble des x, x peut par exemple être un cardinal classique, et alors votre domaine de définition souffre du paradoxe de Burali-Forti. C'est quoi le théorème de Hardwiger ? Quel rapport avec Cantor ? Dfeldmann (discuter) 9 juin 2024 à 18:35 (CEST)

1) Si on choisit 2 ensembles représentants successifs de cardinaux [de Cantor], alors je peux définir, des entités intermédiaires, appelés cardinaux quantitatifs, pour une chaîne exhaustive d'ensembles pour la relation d'inclusion, allant du plus petit de ces 2 représentants successifs de cardinaux [de Cantor] au plus grand de ces 2 représentants successifs de cardinaux [de Cantor]. De plus, il faut considérer la notion de plafonnement borné ou de plafonnement non borné ou à l'infini, dont certains sont dits normaux.

(Attention : La notion de cardinal quantitatif n'est pas un cas particulier de la notion de cardinal [de Cantor], en particulier, elle n'a pas nécessairement de rapport avec la notion de bijection ou la notion de puissance d'un ensemble).

2) Le théorème de Hadwiger de 1948 qui figure dans les liens de mes travaux et qui a été mentionné par Michel Coste est indispensable pour définir et construire la notion de cardinal quantitatif.

3) Je voulais définir des notions absolues de "+\infty" et "-\infty", comme des "demi-droites" prolongeant la droite réelle, sur lesquelles on n'aurait pas à revenir dessus et sur lesquelles on peut définir tous leurs sous-ensembles infinis continus, {emboîtés|inclus} les uns dans les autres, ayant la même "borne inférieure" que celle de "+\infty", lorsque ce sont des sous-ensembles de "+\infty", ou ayant la même "borne supérieure" que celle de "-\infty", lorsque ce sont des sous-ensembles de "-\infty", et prolongeant la droite réelle.

Et d'après le paradoxe de Burali-Forti que vous avez mentionné, peut-être que cela n'est pas possible.

4) Je crois qu'il n'est pas tant question d'axiomatique que d'hypothèses de définition, mais peut-être que j'aurai besoin d'axiomes supplémentaires.

Guillaume FOUCART (discuter) 9 juin 2024 à 21:30 (CEST)

C'est vraiment désespéré. Seule consolation, vous n'êtes pas le premier à vous engager dans ce genre de recherches vouées à l'échec. Et si vous vous intéressiez plutôt à ce qui existe déjà (la théorie des ordinaux, les nombres surréels, l'analyse non standard...)? Je constate en tout cas que vous avez du mal à dire quelque chose de précis, par exemple à rappeler ce fameux théorème de Hadwiger (je n'en connais qu'un, celui-ci : Théorème de Hadwiger, et je vois mal le rapport). Ou à énoncer quelques-uns des résultats que vous espérez, les axiomes, par exemple, ou des règles de calcul (au hasard : quel sont les cardinaux quantitatifs du disque unité fermé et ouvert ? Où se placent les ordinaux (et leur arithmétique) là dedans ? Si on note w le cardinal quantitatif des entiers, a-t-on w/2 pour les pairs et w/2-1 pour les impairs ? Et alors, comment expliquer que la simple translation n-> n+1 passe de l'un à l'autre ?) J'ignore si vous avez réfléchi à tout cela, mais ça fait maintenant 150 ans que des géants comme Cantor, Lebesgue, Hilbert (pour ne prendre que des mathématiciens reconnus depuis longtemps) ont médité sérieusement sur toutes ces difficultés et ont abouti à des théories satisfaisantes et qui font consensus, au prix (comme souvent en science) de résultats contraire à l'intuition (à la vôtre en tout cas), comme l'équipotence de R et R^n (Cantor écrivait à ce sujet à Dedekind "Je le vois mais je ne le crois pas"), ce qui n'est pas (surtout en mathématiques) un argument suffisant pour chercher autre chose. Comme si cela ne suffisait pas, vous prétendez pouvoir définir une chaîne exhaustive de cardinaux quantitatifs. Vous auriez donc résolu l'hypothèse du continu? C'est une grande nouvelle, mais permettez moi d'être quelque peu sceptique... Dfeldmann (discuter) 9 juin 2024 à 22:21 (CEST)

1) Si on choisit 2 ensembles représentants successifs de cardinaux [de Cantor], alors je peux définir, des entités intermédiaires, appelés cardinaux quantitatifs, pour une chaîne exhaustive d'ensembles pour la relation d'inclusion, allant du plus petit de ces 2 représentants successifs de cardinaux [de Cantor] au plus grand de ces 2 représentants successifs de cardinaux [de Cantor]. De plus, il faut considérer la notion de plafonnement borné ou de plafonnement non borné ou à l'infini, dont certains sont dits normaux.

(Attention : La notion de cardinal quantitatif n'est pas un cas particulier de la notion de cardinal [de Cantor], en particulier, elle n'a pas nécessairement de rapport ou de lien avec la notion de bijection ou la notion de puissance d'un ensemble ou de cardinal [de Cantor] d'un ensemble).

Ce qui est dit entre parenthèses est fondamental, car je sais qu'il n'y a pas de puissance ou de cardinal [de Cantor] intermédiaire entre 2 puissances successives ou 2 cardinaux [de Cantor] successifs, et dit comme ça, c'est une évidence. Mais il y a des cardinaux quantitatifs intermédiaires entre 2 cardinaux [de Cantor] successifs.

Guillaume FOUCART (discuter) 9 juin 2024 à 22:46 (CEST)

Le fait que vous ne compreniez pas la question (sur l’hypothèse du continu), que vous ne répondiez à aucune autre objection, et que vous continuiez à affirmer être capable de choses particulièrement peu plausibles (pouvez-vous montrer même un tout petit bout de votre construction entre aleph_0 et aleph_1) en dit suffisamment long à mon sens. Je le répète, la vie est brève, j’aimerais avant qu’elle se termine comprendre quelque chose à la géométrie algébrique, à l’intégration dans les surréels ou à l’axiome de Martin ; souffrez que vos idées ne me semblent pas assez prometteuses pour que je puisse y consacrer plus de temps. Dfeldmann (discuter) 10 juin 2024 à 02:06 (CEST)

Je sais qu'il n'y a pas de puissance ou de cardinal [de Cantor] intermédiaire entre les 2 puissances successives ou les 2 cardinaux [de Cantor] successifs d'un représentant d' \aleph_0 et d'un représentant d' \aleph_1, de même entre les 2 cardinaux [de Cantor] successifs que sont un cardinal [de Cantor] fini et le cardinal [de Cantor] (infini) dénombrable c'est-à-dire le cardinal [de Cantor] d'un représentant d'\aleph_0.

Mais il y a des cardinaux quantitatifs intermédiaires entre les 2 cardinaux [de Cantor] successifs d'un représentant d'\aleph_0 et d'un représentant d' \aleph_1, qui sont, ici, par définition et par convention, aussi les cardinaux quantitatifs de ces 2 représentants, de même entre 2 cardinaux [de Cantor] successifs que sont un cardinal [de Cantor] fini et le cardinal [de Cantor] (infini) dénombrable c'est-à-dire le cardinal [de Cantor] d'un représentant d' \aleph_0, qui sont aussi, par définition et/ou par convention, un cardinal quantitatif fini, pour le premier, et le cardinal quantitatif du représentant en question, pour le second.

Et il faut tenir compte de ce que j'ai écrit dans la parenthèse de mon message précédent.

Guillaume FOUCART (discuter) 10 juin 2024 à 15:07 (CEST)

Vous affirmez (en tant que mathématicien, j’ai le fâcheux défaut de lire attentivement tous les mots de vos réponses) que vous pouvez définir « une chaîne exhaustive d'ensembles pour la relation d'inclusion, allant du plus petit de ces 2 représentants successifs de cardinaux [de Cantor] au plus grand de ces 2 représentants successifs de cardinaux [de Cantor] ». Jugez de ma surprise. Je vous demande donc, non de le faire, mais de m’en donner les premières étapes (allant de aleph_0 à aleph_1) ou de décrire votre méthode, ne serait-ce que pour me convaincre (au moins en principe, sinon en pratique) que c’est possible et que le résultat est exhaustif (êtes-vous sûr du sens de ce mot?). Inutile de vous préciser que faute d’une réponse claire, cela sera notre dernier échange (au demeurant, vous n’avez répondu à aucune autre question, pas même à celle concernant ce mystérieux théorème de Hadwiger). Dfeldmann (discuter) 10 juin 2024 à 15:21 (CEST)

Je vous renvoie à mes travaux et au PDF "La saga du "cardinal" (version 4)" de Michel Coste dont le lien figure dans ces premiers.

Il faut, d'abord, bien les survoler et bien les parcourir.

Il y a une icône pour afficher la table des matières, mais malheureusement dans celle-ci le code LaTeX ne s'affiche plus correctement, depuis plus de 2 ans.

Il faut aller sur la version ayant une table des matières simplifiée.

Pour que le code LaTeX se charge et s'affiche correctement, il faut parfois actualiser la page.

Hors théorème de Hadwiger, je crois que ce que vous voulez, se situe dans la fin de mes travaux.

Guillaume FOUCART (discuter) 10 juin 2024 à 15:47 (CEST)

Si je vous pose une question simple, genre quel est le cardinal quantitatif du disque unité ouvert et du disque unité fermé, ou quel est le cardinal quantitatif suivant immédiatement aleph_0, ou ce fameux théorème de Hardwiger (est-ce celui dont je vous ai donné le lien ou un autre), j’espère une réponse simple et claire, et non un renvoi à une lecture dont je vous ai déjà expliqué que je n’avais pas le temps de m’y plonger. De façon générale, et pour rester poli, je crains que vous ne brassiez beaucoup de vent, mais qu’une réponse claire à l’une des questions précédente ne soit pas près de venir. Dfeldmann (discuter) 10 juin 2024 à 16:34 (CEST)

0) Les résultats auxquels je vous renvoie sont explicites.

1) a) Cf. 2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à $|$ de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$

+ le PDF de Michel Coste : "La saga du "cardinal" (version 4)" qui ne fait que 12 pages.

b) Cf. Définition d'une chaîne exhaustive de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement à l'ensemble $\mathbb {R} ''^{n}$, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

2) Dans mes travaux, il y a des propositions ou des théorèmes qui font appel au théorème de Hadwiger et qui y font référence explicitement, à la fin de leur énoncé (lorsque la proposition ou le théorème a été admis) ou à la fin de leur démonstration. Ces propositions ou ces théorèmes sont situés après et à proximité du théorème de Hadwiger.

J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel Coste n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence

[Ce sont sans doute les démonstrations les plus difficiles qui vous permettrez, sans doute, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner d'avantage corps, à cette théorie].

3) Sur cette page de discussion, je ne crains qu'on puisse utiliser LaTeX [Ajout : Tout compte fait, après coup, LaTeX fonctionne], et de fait mes interventions risquent d'être peu lisibles et me prendre beaucoup de temps, voire beaucoup trop de temps.

Guillaume FOUCART (discuter) 10 juin 2024 à 17:25 (CEST)

Cardinal quantitatif défini sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {PV2}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{PV2}(\mathbb {R} ^{n}),{PV}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Préliminaires

Nouvelle notion de limite de famille de parties (resp. de parties bornées, resp. de parties non bornées) ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, différente de la notion classique de limite de famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, et notion de plafonnement (resp. de plafonnement borné, resp. de plafonnement non borné ou à l'infini) $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$ :

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $I$ est un ensemble totalement ordonné.

Soit $A$ une partie (resp. une partie bornée, resp. une partie non bornée) de $\mathbb {R} ^{n}$.

Soit ${(A_{i})}_{i\in I}$ une famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ telle que $\displaystyle {{\underset {i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i}=A}$.

Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$ dépendante de la famille ${(A_{i})}_{i\in I}$, dont la limite est le plafonnement (resp. le plafonnement borné, resp. le plafonnement non borné ou à l'infini) de la partie $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$ et de la famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, ${\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, notée $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$.

Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, dont la limite est une partie (resp. une partie bornée, resp. une partie non bornée) $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$, sont définies et données par :

$\displaystyle {{\underset {i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i}=A\,\,{\underset {d{\acute {e}}f}{\Leftrightarrow }}\,\,{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}=A\,\,si\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\,\,\nearrow \,\,pour\,\,\subset ,\,\,ou,\,\,\bigcap _{i\in I}A_{i}=A\,\,si\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\,\,\searrow \,\,pour\,\,\subset {\Big )}}$,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, dont la limite est le plafonnement (resp. le plafonnement borné, resp. le plafonnement non borné ou à l'infini) de la partie $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$ et de la famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, ${\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, sont définies et données par :

$\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\,\,{\underset {d{\acute {e}}f}{\Leftrightarrow }}\,\,{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}=A\,\,si\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\,\,\nearrow \,\,pour\,\,\subset ,\,\,ou,\,\,\bigcap _{i\in I}A_{i}=A\,\,si\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\,\,\searrow \,\,pour\,\,\subset {\Big )}}$.

NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.

Définitions de ${{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$, ${{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}})$, ${{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, ${{\mathcal {P}}lafonnements}_{born{\acute {e}}s}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$ et de ${{\mathcal {P}}lafonnements}_{non\,\,born{\acute {e}}s\,\,ou\,\,{\grave {a}}\,\,l'infini}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, avec ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {P}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})$, $I$ un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et $n\in \mathbb {N} ^{*}$ :

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $I$ un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {P}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})$.

On pose ${\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})=\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\,\,dans\,\,\mathbb {R} ^{n}\}$.

On pose ${\mathcal {P}}_{non\,\,born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})=\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|\,\,A\,\,non\,\,born{\acute {e}}e\,\,dans\,\,\mathbb {R} ^{n}\}$.

On pose $\displaystyle {{{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}},{\mathcal {B}}){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{\Big \{}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {A}}\times {\mathcal {F}}(I,{\mathcal {B}})\,\,{\Big |}\,\,\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big \}}}$.

On pose $\displaystyle {{{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}}){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}},{\mathcal {A}}){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{\Big \{}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {A}}\times {\mathcal {F}}(I,{\mathcal {A}})\,\,{\Big |}\,\,\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big \}}}$.

On a donc $\displaystyle {{{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}={{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}={\Big \{}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}\,\,{\Big |}\,\,\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big \}}}$.

On pose : $\displaystyle {{{\mathcal {P}}lafonnements}_{born{\acute {e}}s}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}{\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n}),{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}={{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}\bigcap {\bigg (}{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={\Big \{}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}\,\,{\Big |}\,\,\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big \}}}$

et $\displaystyle {{{\mathcal {P}}lafonnements}_{non\,\,born{\acute {e}}s\,\,ou\,\,{\grave {a}}\,\,l'infini}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}{\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}_{non\,\,born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n}),{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}={{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}\bigcap {\bigg (}{\mathcal {P}}_{non\,\,born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={\Big \{}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {P}}_{non\,\,born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}\,\,{\Big |}\,\,\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big \}}}$.

Les propriétés que doit vérifier le cardinal quantitatif ou que l'on veut voir vérifier par le cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Je viens de faire un certain nombre de mises à jour.

Remarque

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Remarque : Soient ${\mathcal {R}},{\mathcal {R}}'$, deux repères orthonormés de $\mathbb {R} ^{n}$, d'origines respectives $O,O'$

alors, si $O=O'$, on a : $card_{Q,{\mathcal {R}}}=card_{Q,{\mathcal {R}}'}$

et si $O\neq O'$, alors on a : ${{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}'}}_{|{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})}$.

NB : On peut remplacer "${\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})$" par l'ensemble des plafonnements bornés normaux des parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$.

Soit ${\mathcal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$.

On pose, pour simplifier, $card_{Q}=card_{Q,{\mathcal {R}}}$.

0) Soient $A\,\,{\mbox{et}}\,\,B$, des ensembles finis, alors :

${card}_{Q}(A)={card}_{E}(A)$

$\forall A\subsetneq B,\,\,{card}_{E\,\,{\mbox{ou}}\,\,Q}(A)<{card}_{E\,\,{\mbox{ou}}\,\,Q}(B)$

1) Soient $A\,\,{\mbox{et}}\,\,B$, des ensembles infinis et $[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]$ des plafonnements normaux, c'est-à-dire tels que :

${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$ et ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])$, alors :

$\exists A\subsetneq B\,\,:\,\,{card}_{E}(A)={card}_{E}(B)$

mais $\forall A\subsetneq B,\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(B)$

2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et le "cardinal quantitatif" :

Soient $A\,\,{\mbox{et}}\,\,B$, des ensembles, alors :

${card}_{E}(A)={card}_{E}(B)\,\,\not \Longrightarrow {card}_{Q}(A)={card}_{Q}(B)$

${card}_{E}(A)={card}_{E}(B)\,\,\Longleftarrow {card}_{Q}(A)={card}_{Q}(B)$

${card}_{E}(A)<{card}_{E}(B)\,\,\Longrightarrow {card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(B)$

${card}_{E}(A)<{card}_{E}(B)\,\,\not \Longleftarrow {card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(B)$

Définition d'une chaîne exhaustive de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement à l'ensemble $\mathbb {R} ''^{n}$, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit ${\cal {R}}={\Big (}O,{(e_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}{\Big )}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement de $\mathbb {R} ''^{n}$),

on considère que ${\cal {C}}$ est une chaîne exhaustive de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$), pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$), et contenant $\{O\}$

c'est-à-dire :

${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\Big (}$ respectivement ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ''^{n}){\Big )}$

et $\emptyset ,\,\,\{O\},\,\,\mathbb {R} ^{n}\,\,({\mbox{respectivement}}\,\,\mathbb {R} ''^{n})\in {\cal {C}}\,\,{\mbox{et}}\,\,\forall A,B\in {\mathcal {C}},\,\,A\subsetneq B,\,\,{\Big (}(\exists C\in {\mathcal {C}}\,\,:\,\,A\subsetneq C\subsetneq B)\,\,{\mbox{ou}}\,\,(\exists x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}\setminus A\,\,[{\text{respectivement}}\,\,\mathbb {R} ''^{n}\setminus A]\,\,:\,\,B=A\bigsqcup \{x_{0}\}){\Big )}$

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.

En effet, dans ce cas, moyennant l'hypothèse de définition du cardinal quantitatif :

$A,B\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big (}{\mbox{respectivement}}\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ''^{n}){\Big )}$ et $[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]$ des plafonnements normaux, c'est-à-dire tels que :

${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$ et ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])$, alors :

$A\subsetneq B\,\,\Longrightarrow \,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)$

Comme ${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\Big (}$ respectivement ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$,

on a $A,B\in {\mathcal {C}}\,\,:\,\,A\subsetneq B\,\,\Longrightarrow \,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)$ et comme ${\mathcal {C}}$ est totalement ordonnée pour $\subset$,

on obtient donc que $\{card_{Q,{\mathcal {R}}}(A)|A\in {\mathcal {C}}\}$ est totalement ordonné pour $\leq$.

Par ailleurs, on a ${\bigg \{}card_{Q,{\mathcal {R}}}(A){\bigg |}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big (}{\mbox{respectivement}}\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ''^{n}){\Big )}{\bigg \}}=\{card_{Q,{\mathcal {R}}}(A)|A\in {\mathcal {C}}\}$.

Donc $\forall {\mathcal {C}}_{1},\,\,{\mathcal {C}}_{2}$ chaînes exhaustives de parties de $\mathbb {R} ^{n}\,\,({\mbox{respectivement}}\,\,\mathbb {R} ''^{n})$, pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$), et contenant $\{O\}$,

$\{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A_{1})|A_{1}\in {\mathcal {C}}_{1}\}=\{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A_{2})|A_{2}\in {\mathcal {C}}_{2}\}$

et $\forall A_{1}\in {\mathcal {C}}_{1},\,\,\exists A_{2}\in {\mathcal {C}}_{2},\,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A_{1})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A_{2})$

Guillaume FOUCART (discuter) 10 juin 2024 à 19:56 (CEST)

Hébergement

Bertrand Labévue (discuter) 10 juin 2024 à 21:35 (CEST)

Je sais que les TI n'ont pas leur place sur Wikipedia, mais Dfeldmann a préféré me répondre sur ma page de discussion Wikipedia, plutôt que sur la page de discussion de mes travaux sur (la) Wikiversité. Je crois que pour cela il n'a même pas besoin de créer un nouveau compte, il doit juste se connecter avec le pseudo et le mot de passe de son compte Wikipedia.

Guillaume FOUCART (discuter) 10 juin 2024 à 21:46 (CEST)

De toute façon, pour moi, c’est terminé Dfeldmann (discuter) 10 juin 2024 à 22:38 (CEST)

J'ai fait un certain nombre de corrections, de corrections de coquilles et de mises à jour (et pour la plupart je l'ai fait avant votre dernière intervention) mais il y avait des traces superflues du mot "théorème" qui traînaient, après que j'ai supprimé des modèles "théorème", pour que les textes passent sur ma page de discussion Wikipedia. Vous avez été assez sévère, dédaigneux, très exigeant et austère, avec moi, vous ne réalisez pas toutes les modifications, tout le travail et tous les efforts que j'ai {faits|fournis} et que j'ai dûs mobiliser pour aboutir aux présents travaux dans leur forme et dans leur fond, en étant le plus exigeant possible et en m'efforçant d'être le plus rigoureux possible. Mes travaux sont longs, mais il suffit de les lire, en entier, de manière linéaire et dans l'ordre, pour en avoir une certaine idée et une certaine compréhension, mais vous ne voulez pas faire cet effort. Vous me demandez des choses peu commodes, difficiles à faire et à réaliser sur le moment et très chronophages, si je ne fais pas de copiés-collés de parties de mes travaux, quitte à les corriger, à les améliorer ou à les mettre à jour, alors que j'ai déjà fait un travail conséquent et relativement satisfaisant à mes yeux. Vous êtes savant et âgé et de fait vous ne pouvez faire abstraction et vous défaire d'une partie de vos connaissances qui vous aveuglent et vous empêchent de comprendre et de bien juger mes travaux. Si vous regardez mes travaux, à peu près tout y est. Je ne vous ai probablement pas fourni les parties que vous souhaitez, mais elles sont dans mes travaux. Dans la partie connue et donnée par Michel Coste, il y a la construction du cardinal quantitatif correspondant aux parties d'une classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ et aux plafonnements bornés normaux de parties de cette classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$. Ce n'est pas facile, lors des modifications, de ne commettre (absolument) aucune erreur ou aucun impair ou d'exprimer pleinement, sans aucune erreur, sans aucun oubli, sans aucune omission, avec précision, exactitude et de manière complète, les notions de mes travaux et qui pourrait m'être fatal aux yeux des lecteurs et des intervenants. De toute façon, quoique je fasse, on n'est jamais content et on ne me donne jamais le moindre message positif, lorsque j'ai progressé, avancé ou amélioré mes travaux. Guillaume FOUCART (discuter) 11 juin 2024 à 01:36 (CEST)

Rien que votre utilisation du mot exhaustif… Ou votre incapacité à construire les premières étapes de votre chaîne d’ensembles. Ou votre utilisation du mot théorème pour une affirmation sans aucune preuve. Ou votre refus de donner la définition ou la valeur du CQ (pour cardinal quantitatif) du carré unité ouvert (ah oui, c’est amusant, ça dépend de l’unité, maintenant ?). Je pourrais écrire des pages, mais quel intérêt ? Même une demande aussi simple que l’énoncé d’un théorème (un lien suffit, ou un couper-coller), vous préférez vous noyer en digressions. Fini pour moi. Dfeldmann (discuter) 11 juin 2024 à 05:47 (CEST)

Rien que votre utilisation du mot exhaustif… Ou votre incapacité à construire les premières étapes de votre chaîne d’ensembles. Ou votre utilisation du mot théorème pour une affirmation sans aucune preuve. Ou votre refus de donner la définition ou la valeur du CQ (pour cardinal quantitatif) du carré unité ouvert (ah oui, c’est amusant, ça dépend de l’unité, maintenant ?). Je pourrais écrire des pages, mais quel intérêt ? Même une demande aussi simple que l’énoncé d’un théorème (un lien suffit, ou un couper-coller), vous préférez vous noyer en digressions. Fini pour moi. Dfeldmann (discuter) 11 juin 2024 à 05:52 (CEST)

1) Michel Coste a donné la démarche et fait le calcul pour le cardinal quantitatif de la boule unité fermée et du rectangle compact, en particulier du carré unité fermé et, plus généralement, des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe (${\mathcal {C}}^{0}$) et (${\mathcal {C}}^{1}$ par morceaux) ou sans bord, dans son PDF : "La saga du "cardinal" version 4" et je vais plus loin avec les plafonnements non bornés (ou à l'infini) de $\mathbb {R} ^{2}$ (Cf. 2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à $|$ de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$). Je redonne le lien de la page de mes travaux : https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) : Vous pouvez aller sur les parties qui vous intéressent, en faisant défiler la page, ou en consultant la table des matières malgré ses insuffisances.

2) Tout ce qui tourne autour des travaux de Cantor (une bonne partie de la théorie des ensembles et de la logique) n'est pas faux en lui-même, mais vous aveugle et vous égare sur la compréhension de mes travaux (qui s'assimilent plus à un prolongement de l'analyse classique réelle, en utilisant quelques notions de topologie générale).

3) Certains grands intervenants Des-mathematiques.net interviennent et perdent leur temps à répondre à des discussions de shtameurs beaucoup moins intéressantes, voire futiles et sans intérêt, et beaucoup moins sérieuses que les miennes.

4) J'admets que je n'ai pas répondu à toutes vos questions et à toutes vos objections et que je ne suis peut-être pas en mesure de le faire (en tout cas pas pour le moment), mais ce que je dis se conçoit "intuitivement". Par exemple : Il n'y a pas qu'une seule chaîne exhaustive d'ensembles, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ : Il y en a une infinité. Plus généralement, ce que vous me demandez exige un travail lourd, poussé, exigeant, conséquent et chronophage, alors que tout est dit dans mes travaux : Je ne vais pas redire ce que j'ai déjà dit dans mes travaux. Guillaume FOUCART (discuter) 11 juin 2024 à 14:54 (CEST)

Ce ne sont pas des objection, c'est des questions simples. Pourquoi vous ne donnez jamais le théorème de Hadwiger ? Vous ne savez pas ce que veut dire "exhaustif" (par exemple, avec votre système, que vaut CQ(Q) (les rationnels) ? Comment diable allez-vous passer de l'ensemble vide à R par une chaîne de sous-ensembles exhaustive, donc telle (je suppose) qu'on ne puisse rajouter aucun sous-ensemble entre deux ensembles de la chaîne sans qu'il soit déjà dedans ? Michel Coste a au moins le mérite de faire des maths (définitions, théorèmes) ce qui permet de contrôler aisément la valeur de son travail, sinon son intérêt. Et ce qui montre le plus à quel point vous refusez un vrai dialogue, c'est qu'alors que j'exprime mon scepticisme sur ce que serait une chaîne exhaustive, et demande un (début d') exemple ou de construction, vous m'expliquer qu'il y en a plein. Désolant. Dfeldmann (discuter) 11 juin 2024 à 15:31 (CEST)

Voici la réponse pour ${card}_{Q}(\mathbb {Q} )$

Remarque :

Ici, $\mathbb {Z} ^{2}={\Big [}\mathbb {Z} ^{2},{{\Big (}\mathbb {Z} ^{2}\bigcap [-p,p]^{2}{\Big )}}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

Remarque et problème : $\mathbb {Q}$ n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement à l'infini, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit $a\in +\infty$ avec $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Soit $\displaystyle {f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )}$

telle que $\displaystyle {{\underset {i\in \mathbb {N} ,i\rightarrow +\infty _{classique}}{{\text{lim}}_{classique}}}f(i)\,\,{\text{existe dans}}\,\,\mathbb {R} }$.

Alors on pose : $\displaystyle {\lim _{i\in \mathbb {N} ,i\rightarrow a}f(i)={\underset {i\in \mathbb {N} ,i\rightarrow +\infty _{classique}}{{\text{lim}}_{classique}}}f(i)}$.

Ici, $\sup(\mathbb {N} )=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$.

$\displaystyle {d_{Q,{\mathcal {R}},\mathbb {Z} ^{2}}(\{(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2}\,\,|\,\,{pgcd}(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{(0,0)\})={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2}\,\,|\,\,{pgcd}(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}}$

$\displaystyle {={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{\displaystyle {\frac {a}{b}}\,\,|\,\,(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2},\,\,{pgcd}(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Q} )}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}=d_{Q,{\mathcal {R}},\mathbb {Z} ^{2}}(\mathbb {Q} )}$

où $d_{Q,{\mathcal {R}},B}(A)$ est la densité quantitative, relative au repère orthonormé ${\mathcal {R}}$ de $\mathbb {R} ^{2}$ (ou de $\mathbb {Z} ^{2}$), de l'ensemble $A$ par rapport à l'ensemble $B$.

Je pense que l'on peut montrer que :

$\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Q} )}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}$

$\displaystyle {={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{\displaystyle {\frac {a}{b}}\,\,|\,\,(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2},\,\,pgcd(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}}$

$\displaystyle {={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2}\,\,|\,\,pgcd(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2}\bigcap {[-n,n]}^{2}\,\,|\,\,pgcd(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2}\bigcap {[-n,n]}^{2})}}}$, si cette limite existe,

$=\cdots \,\,Je\,\,ne\,\,sais\,\,pas\,\,comment\,\,faire\,\,pour\,\,aller\,\,plus\,\,loin.$

D'après Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux, on sait que :

$\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(\mathbb {N} ^{*})}^{2}\,\,|\,\,pgcd(a,b)=1\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{(\mathbb {N} ^{*})}^{2}{\Big )}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {\mathbb {N} }^{2}\bigcap {[1,n]}^{2}\,\,|\,\,pgcd(a,b)=1\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} ^{2}\bigcap {[1,n]}^{2})}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p_{n}}$

$\displaystyle {={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$

Donc

$\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(-\mathbb {N} ^{*})}^{2}\,\,|\,\,pgcd(|a|,|b|)=1\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{(-\mathbb {N} ^{*})}^{2}{\Big )}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(-\mathbb {N} )}^{2}\bigcap {[-n,-1]}^{2}\,\,|\,\,pgcd(|a|,|b|)=1\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}({(-\mathbb {N} )}^{2}\bigcap {[-n,-1]}^{2})}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\bigcap {[1,n]}^{2}\,\,|\,\,pgcd(a,b)=1\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} ^{2}\bigcap {[1,n]}^{2})}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p_{n}}$

$\displaystyle {={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$. Guillaume FOUCART (discuter) 11 juin 2024 à 15:44 (CEST)

J'ai dit "fin pour moi". Vous confirmez. Un truc aussi simple que CQ(Q) devient dans vos mains une accumulation d'idées non ou mal justifiées (pourquoi représenter Q par des couples (a,b) premiers entre eux ? Comment allez-vous faire pour les nombres algébriques ?) mais surtout qui n'aboutit nulle part : en définitive, que vaut CQ(Q)? Et toujours pas de théorème de de Hadwiger Dfeldmann (discuter) 11 juin 2024 à 18:58 (CEST)

1) Voici le lien vers le PDF de 12 pages de Michel Coste : "La saga du "cardinal" version 4", qui fait mention du théorème de Hugo Hadwiger, page 9.

2) Quant à la justification d'une bonne partie des calculs de CQ(Q) et le fait d'être en droit de les faire, j'ai consacréé toute une partie de mes travaux là dessus, dans un cadre plus général.

Si les idées des calculs en sont pour l'instant encore à un stade intuitif et sont mal justifiées, on est obligé de d'abord en passer par là.

Il est sans doute vrai qu'a priori les cardinaux de 2 représentants des plafonnements normaux de chacune des 2 représentations de $\mathbb {Q}$ (l'une étant l'Ensemble des fractions irréductibles d'entiers relatifs non nuls complété du singleton $\{0\}$ [de dimension $1$], l'autre étant l'Ensemble des couples de nombres premiers entre eux dans ${(\mathbb {Z} ^{*})}^{2}$ complété du singleton $\{(0,0)\}$ [de dimension $2$]) ne sont pas forcément les mêmes.

De toute façon, le but n'est pas nécessairement de généraliser cette théorie à toutes les parties de $\mathbb {R}$ ou de $\mathbb {R} ^{n}$, mais d'aller aussi loin que l'on peut.

3) On sait parcontre que $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(Ensemble\,\,des\,\,couples\,\,de\,\,nombres\,\,premiers\,\,entre\,\,eux\,\,dans\,\,{(\mathbb {N} ^{*})}^{2})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}({(\mathbb {N} ^{*})}^{2})}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$.

Guillaume FOUCART (discuter) 11 juin 2024 à 21:30 (CEST)

Bon, ben voilà, on y est enfin arrivé. Vous vous appuyez sur un joli résultat de géométrie convexe pour définir une pseudo-mesure des convexes compacts de R^n que vous rebaptisez cardinal quantitatif, et vous pensez pouvoir oser affirmer que vous avez une telle définition pour une chaîne exhaustive (quoi que ce mot puisse vouloir dire) de sous-ensembles de R^n. Vous avez pas l'impression que ça va se gâter pour N, Z, Q, les algébriques, un plongement quelconque d'un grand ordinal dénombrable (genre epsilon_1) dans R, l'ensemble triadique de Cantor, des ensembles analogues, mais plus épais (de dimension fractale plus grande), des ensembles non mesurables, etc. alors que vous êtes obligé d'inventer une définition ad hoc pour chaque nouveau cas ? Comparez avec le mal qu'a dû se donner Lebesgue pour construire sa mesure (et une fois de plus, admirez le génie de Grothendieck la redécouvrant tout seul). Non, vous, vous avez réussi un truc exhaustif. Bravo, mais je le répète, j'ai mieux à faire (et je vous dirais bien que vous aussi, mais à quoi bon ?) Enfin, au passage, vous ne gagnerez rien à mépriser la communauté mathématique (ou du moins moi ; je vous cite : "Tout ce qui tourne autour des travaux de Cantor (une bonne partie de la théorie des ensembles et de la logique) n'est pas faux en lui-même, mais vous aveugle et vous égare sur la compréhension de mes travaux" ; non, je crois connaître assez de choses pour ne pas rester bloqué là, et tant qu'à faire, pourquoi ne pas plutôt repartir des ordinaux ? Dfeldmann (discuter) 11 juin 2024 à 22:14 (CEST)

1) J'ai traité les cas du type : ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(m\mathbb {Z} +n)$ et ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(a\mathbb {Z} +b)$

où $m\in \mathbb {N} ^{*},n\in \mathbb {N} \bigcap [0,m[$ et $a\in \mathbb {R} _{+}^{*},b\in [0,a[$.

Il a aussi des cas du type : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big \{}{\frac {1}{n}}\,\,{\Big |}\,\,n\in \mathbb {N} ^{*}{\Big \}}{\Big )}}$.

J'ai traité le cas : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}f(\mathbb {N} ){\Big )}}$ où $f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )$, non bornée, strictement monotone et telle que $f(0)=0$ (et donc parallèlement le cas des plafonnements non bornés normaux de $f(\mathbb {N} )$). Mais j'ai généralisé le résultat au cas des plafonnements non bornés quelconques de $f(\mathbb {N} )$, où $f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )$, non bornée, strictement monotone et telle que $f(0)=0$.

2) Il faut souvent d'abord donner des définitions ad hoc ou dans de nombreux cas particuliers et mettre les mains dans le cambouis avant de pouvoir obtenir une belle théorie unifiée, bien propre, élégante et la plus générale.

3) On limitera d'abord et pour le moment, la théorie du cardinal quantitatif au cas des parties d'une chaîne exhaustive de parties de $\mathbb {R} ^{n}$, pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (c'est-à-dire au cas des ensembles finis, et aux cas des ensembles ayant comme puissance $\aleph _{0}$ ou $\aleph _{1}$).

Effectivement, si on veut réitèrer le processus indéfiniment pour des $\aleph$ supérieurs et plus encore, on va rencontrer certaines {limites|limitations}.

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 00:02 (CEST)

Si je peux me permettre

Bonjour,

Je vois vos échanges depuis quelques jours et me permet un avis.

1/ Guillaume, ton travail est très honorable et tu y consacres visiblement une énergie considérable depuis des années. Maintenant l'honnêteté mathématique est de te dire que tu fais fausse route. Tu arpentes en autodidacte, même si tu as une base mathématique tout à fait honorable, un domaine que visiblement tu ne sais pas avoir été étudié depuis un siècle par de nombreux grands esprits. Sur le fond, tout le monde sait bien que card(N) = card(Q) < card(R) et que comme N est inclus dans Q il faudrait inventer une arithmétique différente de celle-ci pour en rendre compte.

Sauf que cette arithmétique cardinale dépend déjà de choix de résolution d'un résultat indécidable, qu'est l'hypothèse du continu, ce que Dfeldmann t'as suggéré en creux ... et que visiblement tu ne sais pas déjà cela.

2/ Denis, je ne comprends pas à quoi tu joues. Tu sais pertinemment que tu es en face de quelqu'un d'honnête intellectuellement mais qui se fourvoie en recherches qui ne peuvent aboutir. Sérieux, cesse de le tourmenter(/sachant qu'il a visiblement des sauts émotionnels après toute réponse d'un mathématicien, comme tu l'es, qu'il juge d'un haut niveau académique) en lui faisant croire que s'il répond à telles ou telles injonctions de ta part, il pourrait sauver sa théorie des cardinaux quantitatifs. Soit honnête, calme, et dis lui gentiment comme je le fais simplement ici que ces recherches ne peuvent aboutir.

3/ Pour avoir assisté il y a pas longtemps à une conf à la Sorbonne, je mentionne l'existence d'un gars, nommé Paolo Mancusu qui prétend tenter de définir une cardinalité intermédiaire entre les entiers et les entiers pairs ... sans donner aucune preuve solide. Un de ses bouquins publié en français se trouve ici. A titre perso je suis attéré par la nullité mathématique de ce livre obstrué par des considérations historiques et philosophiques fumeuses. Mais on est clairement dans la quête d'une cardinalité alternative.

4/ Pour rappel Dehornoy nous a livré quelque mois avant sa mort cet ouvrage exceptionnel ; je vous invite tous les 2 à le lire.

Bien à vous. --Zyrle (discuter) 12 juin 2024 à 00:36 (CEST)

La notion de cardinal quantitatif n'est pas un cas particulier de la notion de cardinal [de Cantor] : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de bijection ou avec la notion de puissance d'un ensemble ou de cardinal [de Cantor] d'un ensemble (LE CARDINAL QUANTITATIF N'EST PAS, CONTRAIREMENT À CE QUE SON NOM SEMBLE INDIQUER, UN CARDINAL [DE CANTOR]).

Considérons une chaîne exhaustive de parties de $\mathbb {R} ^{n}$, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$.

Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de $\mathbb {R} ^{n}$, seul le cardinal quantitatif infini d'un représentant de la puissance du dénombrable sera noté et sera égal à $\aleph _{0}$ et ce nombre n'aura, évidemment plus, dans ce cas, la plupart de ses propriétés habituelles [Pour éviter toute confusion, j'aurais pu choisir une autre notation et le noter $a_{0}$] (resp. seul le cardinal quantitatif infini de $\mathbb {R} ^{n}$ ou d'un des représentants de la puissance du continu sera noté et sera égal à $\aleph _{1}$ et ce nombre n'aura, évidemment plus, dans ce cas, la plupart de ses propriétés habituelles [Pour éviter toute confusion, j'aurais pu choisir une autre notation et le noter $a_{1}$]). Le reste ne fait pas appel à la notion de bijection, ou de puissance ou de cardinal [de Cantor].

"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE CARDINAL [DE CANTOR] EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS".

Mais, par contre, il existe des ensembles dont le cardinal quantitatif (QUI N'EST PAS, CONTRAIREMENT À CE QUE SON NOM SEMBLE INDIQUER, UN CARDINAL [DE CANTOR]) est strictement compris entre le cardinal quantitatif de l'ensemble des entiers naturels et celui de l'ensemble des nombres réels.

Et, par convention, dans ce cas, le cardinal quantitatif de l'ensemble des entiers naturels sera noté et sera égal à $\aleph _{0}$ et ce nombre n'aura, évidemment plus, dans ce cas, la plupart de ses propriétés habituelles (Pour éviter toute confusion, j'aurais pu choisir une autre notation et le noter $a_{0}$) et le cardinal quantitatif de l'ensemble des nombres réels sera noté et sera égal à $\aleph _{1}$ et ce nombre n'aura évidemment plus, dans ce cas, la plupart de ses propriétés habituelles (Pour éviter toute confusion, j'aurais pu choisir une autre notation et le noter $a_{1}$), et ce seront les seuls à l'être.

(Le cardinal quantitatif d'une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$ étant égal au cardinal quantitatif d'un de ses plafonnements normaux [non bornés ou à l'infini], quelconque.) Guillaume FOUCART (discuter) 13 juin 2024 à 17:30 (CEST)

Ok, peux-tu compléter la définition :

* soit E un ensemble, on appelle cardinal alternatif de E, ...

?

Guillaume, je le fais one shot : soit tu finis cette def et on peut recauser, soit, je te réaffirme, comme ci-dessus qu'il faut que tu cesses de te tourmenter en cherchant des soutiens factices auprès de mathématiciens avec des notions sur lesquelles tu n'arriveras jamais à trouver quoique ce soit car tu ne connais même pas le savoir académique minimal sur le sujet. --Zyrle (discuter) 12 juin 2024 à 01:11 (CEST)

Je connaissais déjà l'énoncé de l'hypothèse du continu.

J'ai bien peaufiné mon message précédent, pour que les choses soient bien claires :

Le cardinal quantitatif n'est pas, comme son nom semble l'indiquer, un cardinal [de Cantor].

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 02:26 (CEST)

Tout comme Andrew Wiles et Grigori Perelman ont été extrêmement courageux en prenant des risques énormes : C'est le cas, aussi, mais dans une bien moindre mesure, pour quiconque veut se lancer dans la définition et la construction du "cardinal quantitatif" qui je le rappelle n'est pas un cardinal [de Cantor].

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 02:37 (CEST)

Bien entendu, Andrew Wiles et Grigori Perelman possédaient un gros bagage mathématique et, notamment, dans les disciplines dans lesquelles ils ont exercé et pratiqué et les travaux dans lesquels ils se sont lancés, et que donc, il faut un bagage mathématique minimum pour se lancer dans la théorie du cardinal quantitatif, mais qui est, sans doute, bien moindre, et, qui est, sans doute, moindre qu'un bon ou un très bon bagage ou un bon ou un très bon niveau en théorie des ensembles et en logique, et qui est sans doute moins pointu.

Le cardinal quantitatif nécessite, plutôt, des connaissances et un bagage minimum en analyse (non réelle) et en topologie générale dans $\mathbb {R} ^{n}$ (puis dans ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$, etc.).

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 12:08 (CEST)

J'ai encore peaufiné mon gros message, en gras, plus haut : J'ai ainsi supprimé toute ambiguïté et toute confusion possible.

La recherche en mathématiques, c'est du sport, où l'on ne se met pas toujours dans sa zone de confort.

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 04:11 (CEST)

Même, si je parvenais, un jour, à une théorie valable et satisfaisante du cardinal quantitatif, le plus dur serait, encore , (malgré tout), de convaincre les autres et, en particulier, la communauté scientifique.

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 10:38 (CEST)

Tu te rends bien compte, j'espère que le cardinal quantitatif de N (considéré comme partie de R(^1)), s'il est noté a_0, , cela implique que celui de Z doit être 2a_0 ou 2a_0-1, celui des entiers naturels pairs doit être a_0/2, et celui des rationnels dieu seul sait quoi (a_0^2*6/pi^2 ???) ; et que cela contredit ton affirmation sur aleph_0 ci-dessus ? Et que plus généralement, quand on te demande une définition (tu pourrait comparer avec quelques-unes de celles de nos articles, sauf peut-être celles qui renvoient à de nombreuses autres définitions préalables, genre Topos ou Variété algébrique), la réponse ne saurait être : " Vous n'avez qu'à lire mon manuscrit (inachevé et en permanente évolution), et vous trouverez bien tout seul (si vous êtes de bonne foi) ce qu'elle est (avec comme seule indication que ce n'est pas celle de Cantor ; merci ; on le soupçonnait). Dfeldmann (discuter) 12 juin 2024 à 13:02 (CEST)

Citation de Dfeldmann : "la réponse ne saurait être : " Vous n'avez qu'à lire mon manuscrit (inachevé et en permanente évolution), et vous trouverez bien tout seul (si vous êtes de bonne foi) ce qu'elle est (avec comme seule indication que ce n'est pas celle de Cantor ; merci ; on le soupçonnait)."

Que puis-je bien y faire ?

Je peux, à la rigueur, poster, dans ma page de discussion Wikipedia, des extraits de mes travaux sur lesquels, après une durée de petites corrections, pas trop grande, je ne toucherai plus. Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 14:20 (CEST)

Concernant les modifications et les améliorations que j'apporte, en permanence, à mes textes et à mes travaux, il en va de leur qualité et de la qualité de mes échanges. Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 14:20 (CEST)

NB : Soit je ne modifie plus mes messages après qu'on m'est répondu, soit je le fais dans le respect des réponses qui m'ont été faites. Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 14:31 (CEST)

Voici un bloc de mes travaux censé répondre en partie à vos questions et à vos remarques :

Remarque :

1) Rappel :

Si $I$ est un ensemble totalement ordonné et si $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{N})$ et si ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{N})$ et telles que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$ (Cf. définition).

Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant le cardinal quantitatif : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}})=\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}$.

2) Soient :

${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R}$, d'origine $O(0)$.

$A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, $\{$ réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties $|$ réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

$A\in {\cal {P}}(B),\,\,B\neq \emptyset$.

$I\,\,\in {\cal {P}}(B)$ ou $I\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(I)\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(B)\,\,({\text{par exemple}}\,\,I=\mathbb {N} )$. (On a donc, si $I=\mathbb {N}$, $\sup(I)\in +\infty$ et $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.)

Il faut mieux choisir $I$ dénombrable infini.

Soient :

${(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I}\subset {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ vérifiant :

${\bigg (}H_{1}{\Big [}{(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ :

"$\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}$ $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

telles que $\forall n\in I,\,\,A_{n}\in {\cal {P}}(B_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(A_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(A_{n})}_{n\in I}]$ et ${(B_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(B_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow A_{n}=[A,{(A_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{n}=[B,{(B_{n})}_{n\in I}]}$).

Remarque : On pose $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,u_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}$."

ou ${\bigg (}H_{2}{\Big [}{(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ :

"$\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}$ $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

telles que $\forall n\in I,\,\,A_{n}\in {\cal {P}}(B_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(A_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(A_{n})}_{n\in I}]$ et ${(B_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(B_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow A_{n}=[A,{(A_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{n}=[B,{(B_{n})}_{n\in I}]}$),

et telles que $\displaystyle {\exists x\in {[0,1]}_{standard},\,\,\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}=x}$,

avec $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,u_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}$".

(Remarque : On étend facilement la définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ aux $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes.)

Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}A_{n}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}B_{n}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}}{\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}=\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}}$.

[Si $I=\mathbb {N}$,

soit $\varphi _{\,}\,:\,\,I\longrightarrow I$, strictement croissante,

c'est-à-dire ${{\Big (}u_{\varphi (n)}{\Big )}}_{n\in I}$ sous-suite de ${(u_{n})}_{n\in I}$.

Dans ce cas, on a bien : $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{\varphi (n)}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}}$.]

Soient :

${(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I}\subset {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ vérifiant :

${\bigg (}H_{1}{\Big [}{(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ :

"$\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}$ $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

telles que $\forall n\in I,\,\,C_{n}\in {\cal {P}}(D_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,D_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(C_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(C_{n})}_{n\in I}]$ et ${(D_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(D_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow C_{n}=[A,{(C_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow D_{n}=[B,{(D_{n})}_{n\in I}]}$)"

Remarque : On pose $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,v_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}$."

ou ${\bigg (}H_{2}{\Big [}{(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ :

"$\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}$ $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

telles que $\forall n\in I,\,\,C_{n}\in {\cal {P}}(D_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,D_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(C_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(C_{n})}_{n\in I}]$ et ${(D_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(D_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow C_{n}=[A,{(C_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow D_{n}=[B,{(D_{n})}_{n\in I}]}$)

et telles que $\displaystyle {\exists y\in {[0,1]}_{standard},\,\,\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}v_{n}=y}$,

avec $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,v_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}$".

(Remarque : On étend facilement la définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ aux $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$.)

Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(C_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(D_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}C_{n}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}D_{n}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}}{\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}=\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}v_{n}}$.

A-t-on (*) $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}v_{n}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}}$ ?

Si pour tous ${(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I},{(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$

tels que ${(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I}$ vérifient : ${\bigg (}H_{2}{\Big [}{(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ ${\Bigg [}$ resp. ${\bigg (}H_{1}{\Big [}{(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$${\Bigg ]}$

et tels que ${(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I}$ vérifient : ${\bigg (}H_{2}{\Big [}{(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ ${\Bigg [}$ resp. ${\bigg (}H_{1}{\Big [}{(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$${\Bigg ]}$,

on a : $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(C_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(D_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}}$

(c-à-d vérifiant (*))

Alors, on pose : $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(C_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(D_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}}$

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 14:59 (CEST)

Remarque :

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R}$, d'origine $O(0)$.

Soient $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, $\{$ réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties $|$ réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes $\}$

${\Big (}$ Option classique : de ${PV}(\mathbb {R} )$ ${\Big )}$,

ou ${\Big (}$ Option spéculative : convexes, (connexes), de $\mathbb {R} {\Big )}$,

$A\in {\cal {P}}(B),\,\,B\neq \emptyset$.

Soit $I\in {\cal {P}}(B)$ ou $I\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(I)\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$.

Si $\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions finies de parties disjointes ${\Big (}$Option classique : de ${PV}(\mathbb {R} )$ ${\Big )}$, ou ${\Big (}$Option spéculative : bornées, convexes, (connexes), de $\mathbb {R}$${\Big )}$,

telles que $\forall i\in I,\,\,A_{i}\in {\cal {P}}(B_{i})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{i}\neq \emptyset$

et telles que ${(A_{i})}_{i\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$ et ${(B_{i})}_{i\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}\uparrow A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{i}=[B,{(B_{i})}_{i\in I}]}$),

alors

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{i})}_{i\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}B_{i}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}}{\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}}}=\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}}}}$.

(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)

Je pense que le cas d'une partie $A$ bornée, convexe, (connexe), de $\mathbb {R}$, peut se ramener au cas de la partie ${\overline {A}}$ compacte, convexe, (connexe) de $\mathbb {R}$,

grâce à la formule ${card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}})={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)+{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}}\setminus A)$ c'est-à-dire ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}}\setminus A)$,

sachant que ${\overline {A}}\setminus A\in {\cal {P}}(\partial A)$, avec $\partial A={\overline {A}}\setminus {\stackrel {\circ }{A}}$.

Donc, comme $2\mathbb {Z} ^{*},\,\,\mathbb {Z} ^{*}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, $\{$ réunions disjointes (dénombrables infinies, non bornées) de parties $|$ réunions (dénombrables infinies, non bornées) de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

et $2\mathbb {Z} ^{*}\in {\cal {P}}(\mathbb {Z} ^{*})$ et $\mathbb {Z} ^{*}\neq \emptyset$,

et $\mathbb {N} ^{*}\in {\cal {P}}(\mathbb {Z} ^{*})$

et $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,A_{n}=\displaystyle {\bigcup _{m\in \mathbb {N} _{n}^{*}}\{-2m,\,\,2m\}}\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}=\displaystyle {\mathbb {Z} \bigcap {\Big (}[-2n,-1]\bigcup [1,2n]{\Big )}}$

et $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,A_{n},B_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

et $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},A_{n}\in {\cal {P}}(B_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}\neq \emptyset$

et ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} ^{*}}\,\,\nearrow \,\,[2\mathbb {Z} ^{*},{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]$ et ${(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} ^{*}}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[\mathbb {Z} ^{*},{(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]$

(c'est-à-dire $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\uparrow A_{n}=[2\mathbb {Z} ^{*},{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{n}=[\mathbb {Z} ^{*},{(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]}$),

on a bien : $\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},\mathbb {Z} ^{*}}(2\mathbb {Z} ^{*})={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} ^{*})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[2\mathbb {Z} ^{*},{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[\mathbb {Z} ^{*},{(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}A_{n}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}B_{n}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}}{\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}=\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\displaystyle {\bigcup _{m\in \mathbb {N} _{n}^{*}}\{-2m,\,\,2m\}}{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}\displaystyle {\mathbb {Z} \bigcap {\Big (}[-2n,-1]\bigcup [1,2n]{\Big )}}{\bigg )}}}=\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {2n}{4n}}=\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}}$

(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul),

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} ^{*})={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}$,

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} )={card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} ^{*})+1={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})+1={\frac {1}{2}}{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-1{\Big )}+1={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )+{\frac {1}{2}}}$

et comme $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )={card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} )+{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} +1)}$,

on a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} +1)={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} )={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-{\Big (}{\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )+{\frac {1}{2}}{\Big )}={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-{\frac {1}{2}}}$

et plus généralement,

$\forall m\in \mathbb {N} ^{*},\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(m\mathbb {Z} ^{*})={\frac {1}{m}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}$ et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )=\sum _{i\in \mathbb {N} _{m-1}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(m\mathbb {Z} +i)}$

et $\forall a\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(a\mathbb {Z} ^{*})={\frac {1}{a}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}$.

L'ensemble $\mathbb {Z} ^{*}$ est non borné, mais est dénombrable.

Soit ${\mathcal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$.

Si $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,A\in {\cal {P}}(B)$ et $B\neq \emptyset$, où chacune des parties $A$ et $B$ peut être une partie bornée de $\mathbb {R}$ ou un plafonnement à l'infini d'une partie non bornée de $\mathbb {R}$ (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors $0\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(A)\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$

et $\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},B}(A)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}\in {[0,1]}_{non\,\,standard}\supsetneq {[0,1]}_{standard}}$

et si de plus, $A\neq B$,

alors $0\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$

et $\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},B}(A)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}\in {[0,1[}_{non\,\,standard}\supsetneq {[0,1[}_{standard}}$.

Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {R} ^{*})=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{*})}$, mais comme $2\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} ^{*}$, on est obligé d'imposer que $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {R} ^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{*})}$,

et plus généralement, si $a\in \mathbb {R} _{+}^{*}$, on devrait, normalement, avoir : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(a\mathbb {R} ^{*})=a\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{*})}$, mais comme $a\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} ^{*}$, on est obligé d'imposer que $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(a\mathbb {R} ^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{*})}$,

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.

L'ensemble $\mathbb {R} ^{*}$ qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même.

Mais, Cantor dirait, sans problème, dans ce cas, que $\displaystyle {{card}_{E}(a\mathbb {R} ^{*})=a\,\,{card}_{E}(\mathbb {R} ^{*})={card}_{E}(\mathbb {R} ^{*})}$.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de $\mathbb {R}$, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose $|$ constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements à l'infini de chaque partie non bornée de $\mathbb {R}$ et, en particulier, de la partie $\mathbb {R} ^{*}$ et de la partie $\mathbb {R}$, elle-même. Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 13:38 (CEST)

Là, c’est vraiment FINI. Je regrette de m’y être laissé prendre. Et je vais suggérer à un administrateur de figer cette page, dont l’utilité pour Wikipédia me semble désormais uniquement de servir de repoussoir. Je vais juste conclure par une analogie : si je vous demande pourquoi vous écrivez votre nom en majuscules, la réponse que j’attends est du type « CN’est une erreur quand j’ai choisi mon pseudo » ou « J’aime bien, on me voit mieux », certainement pas une histoire du bas de casse depuis Gutenberg. Dfeldmann (discuter) 12 juin 2024 à 14:36 (CEST)

1) IMPORTANT : J'ai rajouté la Remarque préliminaire à la Remarque précédente.

Je ne peux pas faire mieux ou guère faire mieux, pour vous les expliquer et vous les présenter.

C'est une façon "intuitive" et "imagée" d'expliquer et de présenter les choses et elle a tout ce qu'il faut pour vous permettre d'en faire un dessin représentatif et explicatif.

2) Pour les NOMS en majuscule, je le fais généralement pour les NOMS de personnes (Là effectivement , je n'ai pas toujours appliqué cette règle, mais c'est souvent par harmonisation avec le reste, mais je l'applique quand j'envoie un courriel ou un message sur un forum d'une université, notamment à un professeur, et ce n'est pas par condescendance ou pour me sentir supérieur) et, aussi, pour les NOMS de pays et NOMS de villes.

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 15:28 (CEST)

Ce n'est pas ma faute si les choses sont lourdes et/ou complexes, de manière irréductible, et ce n'est pas faute de concision ni de rigueur.

Vous ne pouvez, apparemment, pas supporter cette lourdeur et/ou cette complexité, alors que votre carrière semble dire (tout) le contraire : C'est peut-être l'effet de l'âge : D'ailleurs, au jeu de Go, vous étiez, à vos meilleurs jours, 3ème dan et vous êtes, à présent, 1er dan.

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 15:39 (CEST)

Puisque vous vous le permettez, je vais à présent vous dire à mon tour ma façon de penser : vous êtes l’équivalent mathématique du fou littéraire, ce que les anglophones traitent de (mathematical) crank (voir le joli livre de Dudley, Modèle:Lien). Inutile d’aller plus loin, vous en présentez tous les symptômes et, hélas, courez vers le même destin déplorable. Adieu, donc. Dfeldmann (discuter) 12 juin 2024 à 16:37 (CEST)

Vous êtes condescendant et élitiste mais pas dans {le sens positif|le bon sens} du terme (On peut, certes, vouloir s'accomplir et vouloir être ou devenir le meilleur, mais cela ne nous autorise pas à mépriser et à rabaisser, systématiquement, les gens moins savants, moins intelligents ou inférieurs à nous, d'ailleurs vous ne connaissez pas les circonstances qui ont fait de ces personnes, ce qu'elles sont et encore par rapport à la génération Z en FRANCE, je ne suis pas à plaindre de ce côté là, et puis, ce n'est pas parce qu'elles le sont pour l'instant, que tout est joué d'avance. Je plains vos anciens élèves et étudiants de prépa) et vous avez beaucoup d'orgueil et d'amour propre (ceux acquis après la vallée de l'humilité dans la courbe de l'effet Dunning-Kruger, lorsqu'on monte en expertise).

Avouez et reconnaissez que je me suis nettement amélioré depuis notre rencontre en 2012 sur Wikipedia. Je ne suis pas bien certain d'avoir grand chose en commun ou à voir avec un l'équivalent mathématique du "fou littéraire". J'aime tout simplement le travail bien fait et le plus parfaitement possible. Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 17:46 (CEST)

Plaignez mes étudiants tant que vous voudrez, eux, même trente ans après, continuent à m'envoyer des lettres de remerciement. Rien que le coup du Go montre que vous êtes totalement incapable de vous remettre en question, et que vous préférez chercher les failles de l'adversaire (montrant au passage une méconnaissance sérieuse de la question : c'est le niveau général des joueurs qui s'est amélioré ; pas sûr que ce soit le cas du vôtre). Jamais vous ne vous demanderez comment faire, en respectant vos axiomes, pour que CQ (A={0,1,2,...}) soit égal à CQ (B={1,2, 3,...}) (puisque B se déduit de A par translation en tant que partie de R) alors que A-B={0} et donc que (toujours d'après vos axiomes) on doit avoir CQ (A)= CQ (B) + 1. Vous préférez inonder les gens de logorrhées, puis les traiter de victimes de la sénescence (et, plus rare, d'effet Dunning-Kruger inverse, bel exemple de projection). Dudley suggère dans ce cas d'être méprisant, voire insultant, car les trisecteurs et autres fous mathématiques n'aiment pas ça ; ils vous haïront, mais cesseront de vous importuner. Je n'attends pas de réponse (surtout construite et commençant à s'intéresser vraiment à des mathématiques et aux défauts de votre approche) ; surprenez-moi... Dfeldmann (discuter) 12 juin 2024 à 18:32 (CEST)

1) Citation de Dfeldmann : "c'est le niveau général des joueurs [de Go] qui s'est amélioré, [pas mon niveau]" (+1)

C'est peut-être aussi parce qu'il y a plus de joueurs de Go et que la concurrence est plus rude.

2) Citation de Dfeldmann : "Dudley suggère dans ce cas d'être méprisant, voire insultant, car les trisecteurs et autres fous mathématiques n'aiment pas ça ; ils vous haïront, mais cesseront de vous importuner."

Il n'est pas évident que je fasse partie d'un groupe équivalent à celui des trisecteurs, des duplicateurs du cube, des shtameurs, sur Les-mathematiques.net, dans le sous-forum "Shtam", etc. Il n'est pas prouvé que l'existence du cardinal de (Cantor) et ses implications implique l'impossibilité de construire un cardinal quantitatif [qui n'est pas un cardinal (de Cantor)].

3) Le cardinal d'une partie (infinie) non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$ n'est pas invariant pas translation et cela a aussi à voir avec la notion de plafonnement non borné d'une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$.

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 19:23 (CEST)

Citation de Dfeldmann : "Je n'attends pas de réponse (surtout construite et commençant à s'intéresser vraiment à des mathématiques et aux défauts de votre approche) ; surprenez-moi..."

Ça ne va (vraiment) pas être facile.

Parmi {toutes|ajout : tous} les {facettes|ajout : aspects} du cardinal quantitatif et toutes les notions en rapport avec ce dernier que j'ai évoquées, {certaines|ajout : certains} auraient dû vous faire réagir, vous interpeller, vous étonner et vous surprendre.

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 19:52 (CEST)

Bonjour. Ça fait maintenant douze ans que votre seule activité sur WP consiste à nourrir une immense PDDU sans jamais faire le moindre ajout constructif pour l'encyclopédie. WP n'étant pas un hébergement gratuit pour vos théories je vais soumettre votre cas aux autres administrateurs mais, personnellement, je suis d'avis de vous bloquer indéfiniment pour Wikipédia:Venir pour contribuer. Bertrand Labévue (discuter) 12 juin 2024 à 20:07 (CEST)

Je suis juste, principalement, intervenu sur Wikipedia, en tant que "Guillaume De Normandie", il y a 12 ans, et en tant que "Guillaume FOUCART", cette année, depuis quelques jours. Je n'ai quasiment rien posté sur Wikipedia entre 2012 et 2024, hors les périodes d'intervention mentionnées ci-dessus. Je sais que je ne dois pas poster des TI ou des sujets sur les TI, mais c'est Dfeldmann qui a commencé à poster le 1er message de ma page de discussion Wikipedia, qui était vide, jusqu'alors, après que je l'ai contacté sur sa page de discussion. Après tout, créer des articles sur Wikipedia ne m'intéresse pas. Mais je souhaite, par contre, pouvoir continuer mes travaux sur (la) Wikiversité. Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 20:45 (CEST)

Il y a beaucoup de personnes qui n'arrivent pas à être publiées (hors auto-publication), qui sont isolées et qui sont tout à fait normales, qui sont majoritaires et qui ne sont pas des "fou littéraire (s).

En ce qui concerne le cardinal quantitatif, qui consiste à faire péter de la quantité infinie, plus fou, plus fort et plus finement que Cantor, il nécessite beaucoup de travail, d'imagination, d'originalité et de rigueur, pour en venir à bout.

Selon les critères définissant l'équivalent mathématique du "fou littéraire", Grassmann pourrait être catalogué comme tel : Ce n'est qu'après sa mort, que Peano a reconnu la valeur de ses travaux mathématiques, mais par ailleurs, il a été reconnu, de son vivant, dans un autre domaine.

Le critère de "fou littéraire" n'est pas un critère si objectif que ça et sert à pathologiser, à discriminer, à stigmatiser certaines personnes.

Me concernant, il faudrait que je trouve des personnes ou des institutions pour évaluer mes travaux et me signaler les erreurs et les passages problématiques. Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 20:28 (CEST)

Vu le contexte, je ne peux résister au plaisir de poster ce qui suit, dû à ChatGPT

Présentation du Concept de « Cardinal Quantitatif »

L'idée de "cardinal quantitatif" (#A), ou cq, vise à affiner notre compréhension de la taille des ensembles par rapport aux cardinaux traditionnels introduits par Cantor. En utilisant des symboles spéciaux et des notions intuitives, le cardinal quantitatif cherche à offrir une mesure plus précise et nuancée des ensembles infinis et finis. Voici une introduction enthousiaste à ce concept innovant.

Notations et définitions

Le cardinal quantitatif d'un ensemble A est noté #A.

Cette mesure se distingue des cardinaux traditionnels par sa capacité à capturer des nuances dans la taille des ensembles, notamment ceux infinis.

• Pour les ensembles finis, la notion est intuitive et correspond à la taille ordinaire de l'ensemble : # {1 , 3 , 5} = 3
• Pour les ensembles infinis, nous introduisons des quantités comme ω (pour l'ensemble des nombres naturels) et des fractions ou modifications de ω pour exprimer des tailles relatives : # N = ω , # { 0 , 2 , 4 , 6 , … } = ω/2

Exemples illustratifs

1. Ensembles finis :
   • Pour un ensemble de trois éléments, nous écrivons : #{a,b,c} = 3
2. Ensembles infinis :
   • Pour l'ensemble des nombres naturels, nous avons :# N = ω
   • Pour l'ensemble des nombres pairs, la moitié de ω semble appropriée :# { 0 , 2 , 4 , 6 , … } = ω / 2
   • Pour l'intervalle réel fermé [ 0 , 1 ] [0,1], nous utilisons une nouvelle lettre u : #[0,1]=u
   • Pour l'intervalle réel semi-ouvert [0,1[, nous soustrayons 1 à u : #[0,1[=u−1

Motivations et ambitions

L'objectif du cardinal quantitatif est de dépasser les limitations des cardinaux de Cantor en permettant des comparaisons plus fines entre les ensembles. Par exemple, en utilisant les exemples précédents, nous rendons explicite une relation de taille plus précise entre l'ensemble des entiers naturels et celui des entiers pairs.

Perspectives et défis

Bien que cette théorie soit ambitieuse et novatrice, elle soulève de nombreux défis et questions :

• Cohérence : Comment assurer que les opérations sur ces cardinaux quantitatifs restent cohérentes avec les principes mathématiques traditionnels ?
• Extension et limites : Quelles sont les limites d'application de cette théorie ? Peut-elle être étendue aux ensembles plus complexes et aux espaces topologiques ?

En conclusion, le concept de cardinal quantitatif ouvre de nouvelles avenues passionnantes en mathématiques, permettant de repenser la notion de taille d'un ensemble avec une finesse accrue. Cependant, la formalisation rigoureuse et la validation de cette approche nécessitent une exploration approfondie et un débat académique.

Le voyage ne fait que commencer, et chaque pas apporte son lot de découvertes et de défis à relever !

——————————————-

Je trouve ça assez impressionnant, mais je crains malgré tout qu’il faille attendre longtemps la version GPT7 (?) qui produira de même en quelques secondes une théorie riche et complète… Dfeldmann (discuter) 12 juin 2024 à 21:24 (CEST)

Trève de plaisanterie :

1) a) Quand je dis que le cardinal quantitatif relatif à un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$ donné, n'est pas invariant par translation concernant les parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, cela peut être interprété de la manière suivante : Si l'on se place dans ce repère orthonormé, du fait du plafonnement {à l'infini|non borné} de $\mathbb {R} ^{n}$, considéré, le translaté d'une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$ est plus ou moins {rapetissé|tronqué} ou {agrandi|prolongé} à l'infini.

AJOUT : b) Une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$ admet une infinité de plafonnements non bornés ou à l'infini et le cardinal quantitatif, relatif à un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$, de cette partie non bornée correspond au cardinal quantitatif, relatif à un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$, d'un plafonnement normal (non borné ou à l'infini) de cette partie non bornée.

Je sais, il y a sûrement encore du travail à fournir.

2) J'ai une bonne lecture pour vous : Le livre intitulé : "Le talent est une fiction : Déconstruire les mythes de la réussite et du mérite" de Samah KARAKI, aux éditions "Livre de poche"'. Guillaume FOUCART (discuter) 13 juin 2024 à 00:12 (CEST)

Concernant la courbe de l'effet Dunning-Kruger, il y a d'abord la montagne de l'ignorance et de l'estime de soi et de la stupidité [AJOUT : "avec une (sur)estime de soi ne correspondant avec son niveau réel d'expertise"], puis après un certain accroissement de l'expertise, la vallée de l'humilité, puis avec l'accroissement de l'expertise, la colline ou le mont de l'expertise et de l'estime de soi [AJOUT : "avec une (juste) estime de soi correspondant avec son niveau réel d'expertise"].

AJOUT : Remarque : Il {se peut|est possible} que la source que j'ai utilisée, ici, soit fausse, inexacte ou erronnée. Guillaume FOUCART (discuter) 13 juin 2024 à 01:43 (CEST)

1) Je le repète : Il faut souvent d'abord donner des définitions ad hoc ou dans de nombreux cas particuliers et mettre les mains dans le cambouis avant de pouvoir obtenir une belle théorie unifiée, bien propre, élégante et la plus générale. La connaissance et l'assimilation de certaines notions avancées existantes me permettraient, sans doute, de mieux et d'avantage progresser dans ma quête d'une telle théorie.

2) Pour lever et éviter les confusions et afin que vous compreniez les choses, comme il faut, puisque le cardinal quantitatif n'est pas, contrairement à ce que son nom semble indiquer, un cardinal, c'est-à-dire un cardinal de Cantor, il faut, dans un premier temps, lui donner un nom sans le {mot|terme} "cardinal". Guillaume FOUCART (discuter) 13 juin 2024 à 11:53 (CEST)

Tant que vous n'aurez pas lu et médité Mathematical Cranks (en)), inutile de continuer à m'écrire. Dfeldmann (discuter) 13 juin 2024 à 17:12 (CEST)

Et c'est vrai que 12 ans, c'est long, et que j'avais oublié ceci. Du coup, je n'ai plus aucun scrupule à ce que vous soyez banni. Dfeldmann (discuter) 13 juin 2024 à 17:25 (CEST)

Il y a quand même eu de grosses évolutions et progrès depuis 2012.

Peut-être que ma théorie et sa finalisation sont et seront toujours hors de ma portée ou sont inaccessibles humainement ou sont impossibles, mais ce n'est, pour le moment, pas prouvé. Ce qui est sûr, c'est que je suis {face à|devant} un mur pour pouvoir en parler, y compris devant des personnes de bon niveau en théorie des ensembles et en logique, vraisemblablement trop prisonnières de leurs concepts et de leurs conceptions.

Je sais qu'avec cette théorie, on joue et je joue avec le feu.

Contribuer à Wikipédia ne m'intéresse pas, de toute façon, ce qui m'intéresse c'est la recherche en mathématiques.

Je ne suis intervenu sur Wikipedia, qu'à 2 reprises ou périodes, sous 2 identitifiants, et quasiment et presque exclusivement et entièrement sur mes pages utilisateur et pages de discussion associées. Guillaume FOUCART (discuter) 13 juin 2024 à 18:23 (CEST)

CETTE PAGE DE DISCUSSION A ÉTÉ BLOQUÉE OU CACHÉE OU SUPPRIMÉE, SUR WIKIPÉDIA, APRÉS CETTE INTERVENTION, CAR SON CONTENU N'AVAIT RIEN À FAIRE SUR WIKIPÉDIA.

L'ESSENTIEL DE LA DISCUSSION :

Je redonne le lien de la page de mes travaux : Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)

A0) Citation de Guillaume FOUCART :

"La notion de cardinal quantitatif n'est pas un cas particulier de la notion de cardinal [de Cantor] : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de bijection ou avec la notion de puissance d'un ensemble ou de cardinal [de Cantor] d'un ensemble (LE CARDINAL QUANTITATIF N'EST PAS, CONTRAIREMENT À CE QUE SON NOM SEMBLE INDIQUER, UN CARDINAL [DE CANTOR]).

Considérons une chaîne exhaustive de parties de $\mathbb {R} ^{n}$, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$.

Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de $\mathbb {R} ^{n}$, seul le cardinal quantitatif infini d'un représentant de la puissance du dénombrable sera noté et sera égal à $\aleph _{0}$ et ce nombre n'aura, évidemment plus, dans ce cas, la plupart de ses propriétés habituelles [Pour éviter toute confusion, j'aurais pu choisir une autre notation et le noter $a_{0}$] (resp. seul le cardinal quantitatif infini de $\mathbb {R} ^{n}$ ou d'un des représentants de la puissance du continu sera noté et sera égal à $\aleph _{1}$ et ce nombre n'aura, évidemment plus, dans ce cas, la plupart de ses propriétés habituelles [Pour éviter toute confusion, j'aurais pu choisir une autre notation et le noter $a_{1}$]). Le reste ne fait pas appel à la notion de bijection, ou de puissance ou de cardinal [de Cantor].

"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE CARDINAL [DE CANTOR] EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS".

Mais, par contre, il existe des ensembles dont le cardinal quantitatif (QUI N'EST PAS, CONTRAIREMENT À CE QUE SON NOM SEMBLE INDIQUER, UN CARDINAL [DE CANTOR]) est strictement compris entre le cardinal quantitatif de l'ensemble des entiers naturels et celui de l'ensemble des nombres réels.

Et, par convention, dans ce cas, le cardinal quantitatif de l'ensemble des entiers naturels sera noté et sera égal à $\aleph _{0}$ et ce nombre n'aura, évidemment plus, dans ce cas, la plupart de ses propriétés habituelles (Pour éviter toute confusion, j'aurais pu choisir une autre notation et le noter $a_{0}$) et le cardinal quantitatif de l'ensemble des nombres réels sera noté et sera égal à $\aleph _{1}$ et ce nombre n'aura évidemment plus, dans ce cas, la plupart de ses propriétés habituelles (Pour éviter toute confusion, j'aurais pu choisir une autre notation et le noter $a_{1}$), et ce seront les seuls à l'être.

(Le cardinal quantitatif d'une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$ étant égal au cardinal quantitatif d'un de ses plafonnements normaux [non bornés ou à l'infini], quelconque.)"

[Cf. B1)]

VOICI, LES POINTS PRINCIPAUX SUR LESQUELS IL Y A DÉSACCORD ET/OU MALENTENDU ET/OU INCOMPRÉHENSION, SAUF A1) :

A1) Citation de Guillaume FOUCART : "Dans la partie développement, j'ai été, on ne peut plus formel, et ma définition non classique de l'ensemble : "$+\infty =\{x|\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$", si elle a peut-être des insuffisances est suffisante pour ce que je veux en faire dans mes travaux." (NB : J'ai mis et rajouté des balises LaTeX autour de ma formule)

Citation de Dfeldmann (Denis FELDMANN) : "De même, vos notations sont illisibles : vous définissez +infinity à peu près comme Conway définit omega (voir nombre surréel), mais comme vous ne restreignez pas l'ensemble des x, x peut par exemple être un cardinal classique, et alors votre domaine de définition souffre du paradoxe de Burali-Forti. " (+ 1)

Citation de Guillaume FOUCART : "Je voulais définir des notions absolues de "$+\infty$" et "$-\infty$", comme des "demi-droites" prolongeant la droite réelle, sur lesquelles on n'aurait pas à revenir dessus et sur lesquelles on peut définir tous leurs sous-ensembles infinis continus, {emboîtés|inclus} les uns dans les autres, ayant la même "borne inférieure" que celle de "$+\infty$", lorsque ce sont des sous-ensembles de "$+\infty$", ou ayant la même "borne supérieure" que celle de "$-\infty$", lorsque ce sont des sous-ensembles de "$-\infty$", et prolongeant la droite réelle. Et d'après le paradoxe de Burali-Forti que vous avez mentionné, peut-être que cela n'est pas possible." (NB : J'ai mis et rajouté des balises LaTeX autour de ma formule)

Citation de Dfeldmann : "Seule consolation, vous n'êtes pas le premier à vous engager dans ce genre de recherches vouées à l'échec. Et si vous vous intéressiez plutôt à ce qui existe déjà (la théorie des ordinaux, les nombres surréels, l'analyse non standard...)?"

[Cf. B11)]

A2)

a) Citation de Dfeldmann (Denis FELDMANN) : "Vous auriez donc résolu l'hypothèse du continu? C'est une grande nouvelle, mais permettez moi d'être quelque peu sceptique... "

b) Citation de Zyrle : "1/ Guillaume, ton travail est très honorable et tu y consacres visiblement une énergie considérable depuis des années. Maintenant l'honnêteté mathématique est de te dire que tu fais fausse route. Tu arpentes en autodidacte, même si tu as une base mathématique tout à fait honorable, un domaine que visiblement tu ne sais pas avoir été étudié depuis un siècle par de nombreux grands esprits. Sur le fond, tout le monde sait bien que card(N) = card(Q) < card(R) et que comme N est inclus dans Q il faudrait inventer une arithmétique différente de celle-ci pour en rendre compte.

Sauf que cette arithmétique cardinale dépend déjà de choix de résolution d'un résultat indécidable, qu'est l'hypothèse du continu, ce que Dfeldmann t'as suggéré en creux ... et que visiblement tu ne sais pas déjà cela.

2/ Denis, je ne comprends pas à quoi tu joues. Tu sais pertinemment que tu es en face de quelqu'un d'honnête intellectuellement mais qui se fourvoie en recherches qui ne peuvent aboutir. Sérieux, cesse de le tourmenter(/sachant qu'il a visiblement des sauts émotionnels après toute réponse d'un mathématicien, comme tu l'es, qu'il juge d'un haut niveau académique) en lui faisant croire que s'il répond à telles ou telles injonctions de ta part, il pourrait sauver sa théorie des cardinaux quantitatifs. Soit honnête, calme, et dis lui gentiment comme je le fais simplement ici que ces recherches ne peuvent aboutir. "

[Cf. A0), B1), Zyrle, tout comme Dfeldmann, vous n'avez pas encore compris que mon "cardinal quantitatif", contrairement à ce que son nom laisse (à) penser, n'est pas un "cardinal" et que donc il n'est pas concerné, de près ou de loin, par l'hypothèse du continu. D'ailleurs, pour qu'il n'y ait plus de confusion possible, je le renomme "F-quantité". Par ailleurs, je ne suis pas si inculte, en théorie des ensembles, au point d'ignorer les bases minimales de cette théorie, comme vous semblez le dire. Tout ce que vous me dîtes, je le savais déjà ou j'en avais déjà (eu) connaissance. Pas sûr que les nombreux grands esprits dont tu parles, malgré toute leur ténacité, toute leur sagacité, toute leur perspicacité et tout le respect que je leur dois et qu'on leur doit, aient pensé à ma notion de "plafonnements d'une partie de $\mathbb {R} ^{n}$", mais je peux me tromper.]

A3) Citation de Guillaume FOUCART : "Ce n'est pas ma faute si les choses sont lourdes et/ou complexes, de manière irréductible, et ce n'est pas faute de concision ni de rigueur. Vous ne pouvez, apparemment, pas supporter cette lourdeur et/ou cette complexité, alors que votre carrière semble dire (tout) le contraire : C'est peut-être l'effet de l'âge : D'ailleurs, au jeu de Go, vous étiez, à vos meilleurs jours, 3ème dan et vous êtes, à présent, 1er dan."

Citation de Guillaume FOUCART : "Vous êtes condescendant et élitiste mais pas dans {le sens positif|le bon sens} du terme (On peut, certes, vouloir s'accomplir et vouloir être ou devenir le meilleur, mais cela ne nous autorise pas à mépriser et à rabaisser, systématiquement, les gens moins savants, moins intelligents ou inférieurs à nous, d'ailleurs vous ne connaissez pas les circonstances qui ont fait de ces personnes, ce qu'elles sont et [...] ce n'est pas parce qu'elles le sont pour l'instant, que tout est joué d'avance. ...)"

Citation de Dfeldmann (Denis FELDMANN) : "Rien que le coup du Go montre que vous êtes totalement incapable de vous remettre en question, et que vous préférez chercher les failles de l'adversaire (montrant au passage une méconnaissance sérieuse de la question : c'est le niveau général des joueurs qui s'est amélioré ; pas sûr que ce soit le cas du vôtre). Jamais vous ne vous demanderez comment faire, en respectant vos axiomes, pour que CQ (A={0,1,2,...}) soit égal à CQ (B={1,2, 3,...}) (puisque B se déduit de A par translation en tant que partie de R) alors que A-B={0} et donc que (toujours d'après vos axiomes) on doit avoir CQ (A)= CQ (B) + 1. Vous préférez inonder les gens de logorrhées, puis les traiter de victimes de la sénescence (...). Dudley suggère dans ce cas d'être méprisant, voire insultant, car les trisecteurs et autres fous mathématiques n'aiment pas ça ; ils vous haïront, mais cesseront de vous importuner."

[Cf. A6)[Dudley, Mathematical Cranks], B1)[Dudley, Mathematical Cranks], B2), B7)[Dudley, Mathematical Cranks], Je suis capable de me remettre en question, c'est juste qu'il faut que je sois, parfaitement et absolument, sûr et certain, avant d'abandonner la partie et avant de peut-être jeter le bébé avec l'eau du bain, que la situation, lorsque tel semble être le cas ou tel peut sembler être le cas, à moi-même ou à une autre personne, est vraiment pourrie, caduque et irrécupérable. Et avec du recul et après mûre réflexion (le 25-06-2024 : Cf. tous mes autres commentaires) tel n'est pas le cas ou tel ne semble pas être le cas, et mes travaux et moi sommes, toujours, {dans le coup|dans la partie}.]

Dudley (en anglais)

Mathematical Cranks (en anglais)

Citation de Guillaume FOUCART : Il n'est pas évident que je fasse partie d'un groupe équivalent à celui des trisecteurs, des duplicateurs du cube, des shtameurs, sur Les-mathematiques.net, dans le sous-forum "Shtam", etc. Il n'est pas prouvé que l'existence du cardinal de (Cantor) et ses implications implique l'impossibilité de construire un cardinal quantitatif [qui n'est pas un cardinal (de Cantor)].

A4) Citation de Dfeldmann : "Vous vous appuyez sur un joli résultat de géométrie convexe pour définir une pseudo-mesure des convexes compacts de R^n que vous rebaptisez cardinal quantitatif, et vous pensez pouvoir oser affirmer que vous avez une telle définition pour une chaîne exhaustive (quoi que ce mot puisse vouloir dire) de sous-ensembles de R^n. Vous avez pas l'impression que ça va se gâter pour N, Z, Q, les algébriques, un plongement quelconque d'un grand ordinal dénombrable (genre epsilon_1) dans R, l'ensemble triadique de Cantor, des ensembles analogues, mais plus épais (de dimension fractale plus grande), des ensembles non mesurables, etc. alors que vous êtes obligé d'inventer une définition ad hoc pour chaque nouveau cas ?"

"La saga du "cardinal" version 4"

Citation de Guillaume FOUCART : "On limitera d'abord et pour le moment, la théorie du cardinal quantitatif au cas des parties d'une chaîne exhaustive de parties de $\mathbb {R} ^{n}$, pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (c'est-à-dire au cas des ensembles finis, et aux cas des ensembles ayant comme puissance $\aleph _{0}$ ou $\aleph _{1}$). Effectivement, si on veut réitèrer le processus indéfiniment pour des $\aleph$ supérieurs et plus encore, on va rencontrer certaines {limites|limitations}."

[Cf. B1), B12)]

A5) Citation de Guillaume FOUCART : "Tout ce qui tourne autour des travaux de Cantor (une bonne partie de la théorie des ensembles et de la logique) n'est pas faux en lui-même, mais vous aveugle et vous égare sur la compréhension de mes travaux (qui s'assimilent plus à un prolongement de l'analyse classique réelle, en utilisant quelques notions de topologie générale)." [rajout à la fin de la parenthèse : et de théorie de la mesure ou plutôt de la quasi mesure, d'après vos dires, même si la 1ère est un cas particulier de la 2nde et que les 2 dernières font partie de la 1ère] [Remarque : (encore que je ne suis pas certain que le terme "quasi-mesure" est le terme le plus approprié pour qualifier ma notion sur les convexes compacts de $\mathbb {R} ^{n}$ : Ma notion est plutôt une mesure sur les convexes compacts de $\mathbb {R} ^{n}$)]

A6) Citation de Guillaume FOUCART : "Il y a quand même eu de grosses évolutions et progrès depuis 2012. Peut-être que ma théorie et sa finalisation sont et seront toujours hors de ma portée ou sont inaccessibles humainement ou sont impossibles, mais ce n'est, pour le moment, pas prouvé. Ce qui est sûr, c'est que je suis {face à|devant} un mur pour pouvoir en parler, y compris devant des personnes de bon niveau en théorie des ensembles et en logique, vraisemblablement trop prisonnières de leurs concepts et de leurs conceptions. Je sais qu'avec cette théorie, on joue et je joue avec le feu."

COMPLÉMENTS ET CRITIQUES :

B1) Certains grands intervenants Des-mathematiques.net interviennent et perdent leur temps à répondre à des discussions de shtameurs beaucoup moins intéressantes, voire futiles et sans intérêt, et beaucoup moins sérieuses que les miennes.

D'une, mes travaux ne sont pas des logorrhées (la majeure partie de ce que j'ai écrit n'est pas du grand n'importe quoi, a du sens et est définie et formalisée et est compréhensible, voire a {un|de l'} intérêt), certes, ils sont une théorie insuffisamment aboutie et finalisée, insuffisamment {générale|généralisée} et englobante, traitant du cardinal quantitatif dans un certain nombre de cas particuliers [dont le cas particulier "connu", d'une certaine classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$].

Jusqu'à preuve du contraire, ma théorie n'est pas, nécessairement, une idée maniaque et obsessionnelle, malsaine et impossible, sortie tout droit de la tête d'un fou, et puis, ce n’est pas parce qu'on échoue ou qu'on échouerait à un stade avancé voire très avancé ou après un investissement conséquent voire très conséquent, dans la construction d'une telle théorie, qu'on est fou et ce n’est pas, nécessairement, un signe de persévérance dans l'erreur :

L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE CARDINAL [DE CANTOR] EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS".

L'hypothèse du continu n'invalide pas ma théorie sur le "cardinal quantitatif", puisque le "cardinal quantitatif", contrairement à ce que son nom semble indiquer, n'est pas un "cardinal [de Cantor]".

De plus, ma théorie est (déjà) vérifiée pour certaines classes de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ et pour les plafonnements de parties de certaines classes de parties de $\mathbb {R} ^{n}$.

B2)

a) Quand je dis que le cardinal quantitatif, relatif à un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$, donné, n'est pas invariant par translation concernant les parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, cela peut être interprété de la manière suivante :

Si l'on se place à la fois dans ce repère orthonormé et dans un plafonnement {à l'infini|non borné} de $\mathbb {R} ^{n}$, donné, le translaté d'une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$ est plus ou moins tronqué ou complété à l'infini, à la "frontière" de ce plafonnement.

b) Une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$ admet une infinité de plafonnements non bornés ou à l'infini et la F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif), relative (relatif) à un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$, de cette partie non bornée correspond à la F-quantité (anciennement, au cardinal quantitatif), relative (relatif) à un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$, d'un de ses plafonnements normaux (non bornés ou à l'infini), quelconque.

Cette conception légitime de la notion d'infini et incompatible avec une autre tout aussi légitime est délicate et difficile à concevoir et je comprends qu'elle suscite des réactions et qu'il y a encore du travail à faire et à fournir pour tenter de la faire accepter.

Plus précisément, sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome : "Si on enlève un élément à un ensemble infini, alors son cardinal quantitatif devient strictement plus petit de 1", que d'abandonner l'axiome ou la proposition : "Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" :

Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime.

Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

B3)

Je comprends pourquoi j'ai des malentendus avec Dfelmann, vu que je ne m'exprime pas, toujours, au mieux et comme il le {faudrait|devrait}, certaines de mes idées (parfois fondamentales).

Lorsque j'essaie de me justifier sur certains points, en renvoyant à un ou plusieurs points ou à une ou plusieurs parties ou à un ou plusieurs extraits de mes travaux volumineux et conséquents ou à une ou plusieurs copies de cet ou de ces extraits, sur la présente page, cela décourage et n'incite pas Dfeldmann à aller à ces renvois, alors que c'est important et crucial.

Je crois bien avoir montré que Dfeldmann et Zyrle ne me comprennent pas, très bien, sur certains points, sur lesquels je les ai pourtant prévenu et sur lesquels j'ai bien insisté, et ce n'est pas faute d'avoir essayé, et continuent à ignorer et à ne pas tenir compte d'une partie de ce que {je leur ai dit|j'ai exprimé}, parce qu'ils sont prisonniers de et est aveuglés par leurs conceptions, même s'ils le nient (surtout Dfeldmann).

C'est peut-être aussi qu'étant données la densité et la longueur (du texte) de cette discussion, il a du mal à tout lire et à bien s'y retrouver.

B4)

À DFELDMANN SUR WIKIPÉDIA :

Les définitions (mathématiques) données sur Wikipédia sont claires et sans ambiguïté (encore que), c'est oublié qu'il s'agit de théories achevées, contrairement aux miennes qui nécessitent une grande phase de brouillon informel, de tatonnement et d'intuition.

Vous croyez, sincèrement, qu'Andrew Wiles a pondu, directement, la démonstration de son théorème :

Non c'est après un travail acharné et, durant toute cette période, Andrew Wiles a été assisté par un certain nombre de personnes.

De plus, les textes mathématiques d'autrefois, d'il y a 2 à 4 siècles, vous sembleraient dégueulasses, aujourd'hui.

Les capacités et les compétences nécessaires pour être un grand mathématicien aujourd'hui ne sont plus les mêmes que celles d'autrefois.

B5)

À DFELDMANN ET À TOUS :

Je vous prie de lire le livre intitulé : "Le talent est une fiction : Déconstruire les mythes de la réussite et du mérite" de Samah KARAKI, aux éditions "Livre de poche"' :

Vous aurez une autre opinion et une autre idée du génie, des dons et du talent innés :

Entre autre, l'influence de notre environnement et de notre milieu socio-culturel, nos interactions, nos efforts et notre persévérance, la qualité de nos efforts et de notre persévérance et, même, la chance, les circonstances et les opportunités conditionnent façonnent et modèlent, bien plus qu'on ne le croit, notre corps, notre cerveau et notre QI, et déterminent, bien plus qu'on ne le croit, notre sort et notre éventuelle réussite sociale.

B6)

Les modérateurs de Wikipédia (ou du moins une partie) ont parfois des jugements et des comportements à l'emporte pièce, ne sont pas (toujours) très objectifs et très compréhensifs, sont expéditifs et peu tolérants.

Finalement, certains avis m'ont été, relativement, favorables.

Mon compte Wikipédia a été bloqué indéfiniment, mais je n'ai pas été banni, mais c'est ma dernière chance :

Il ne faut pas que je recommence sous un autre compte Wikipédia :

Plus précisément, il ne faut pas que je mette de contenus sans rapport avec Wikipédia, dans mes pages utilisateur Wikipédia et dans les pages de discussions Wikipédia associées, en particulier, je ne dois pas y mettre de TI (travaux inédits), ou tout texte y faisant référence.

Après tout, ce que j'ai fait ne constitue pas un "désordre" très important sur Wikipédia.

Mais, j'ai, par contre, toujours, ma place, sur (la) Wikiversité.

B7)

Il se peut, parfois et de manière indépendante, qu'on retrouve des résultats connus.

Entre avoir ou parvenir à avoir ou réussir à avoir des idées géniales ou, du moins, les prémisses d'idées géniales, (même) sans être un génie, et se perdre ou finir par se perdre et être ou devenir une manivelle ("a (mathematical) crank") :

Dans certains cas, la {limite|différence} est {très ténue|tient à peu de choses}.

On est sous tension et on fait un pari risqué énorme, surtout en mathématiques.

Denis FELDMANN a ignoré ou a oublié de prendre en compte ma notion (parfaitement définie) de "plafonnement d'une partie de $\mathbb {R} ^{n}$", associée à une Hypothèse de définition ou une Conjecture sur le "cardinal quantitatif d'un plafonnement d'une partie de $\mathbb {R} ^{n}$".

De toute façon, depuis Cantor et avec le temps qui passe, la plupart des mathématiciens et, en particulier, ceux de théorie des ensembles et de logique sont absolument {persuadés|convaincus} qu'il est impossible de construire une notion qui s'apparente de près ou de loin à ma notion de "cardinal quantitatif d'un ensemble" que je devrais, d'ailleurs, plutôt renommer "F-quantité d'un ensemble", pour éviter toute confusion possible, puisqu'elle n'est pas un "cardinal (de Cantor)", contrairement à ce que son nom laisse à penser. Et, de fait, ces mathématiciens semblent avoir des idées reçues et/ou des préjugés et/ou des malentendus tenaces pour lesquels il est (très) difficile de les en défaire et de les en dépêtrer.

Dans ces circonstances, il est et il est sera très difficile de les convaincre, quand, bien même, sera venu le moment où on aura établi son existence (dans le cas général ou dans un cas suffisamment général), déjà, établie dans {certains|un certain nombre de} cas particuliers.

Peut-être oublient-ils que, pour l'essentiel, ma notion ne fait pas appel à la théorie des ensembles et à la logique.

Elle nécessite de l'analyse non réelle ayant des points communs avec l'analyse non standard "classique" mais {sans s'y assimiler|sans en être|en diffère}.

Il est tout à fait possible d'avoir raison à propos de nos travaux et que ces derniers ne soient (malgré tout) pas reconnus à leur juste valeur, voire même, soient ignorés, passent totalement inaperçus, et disparaissent, dans l'indifférence et la discrétion la plus totale, à cause de personnes comme vous (Dfeldmann, Zyrle, Ben314, bolza) :

Ce cas est rare, mais il existe.

Le fait de poster des travaux sur (la) Wikiversité [et pour Dfeldmann de poster des articles sur Wikipédia], même {dans le cas où|s'} ils en valent la peine, ne garantie pas leur pérennité, de même, le fait d'héberger des documents sur un hébergeur de documents gratuit ou payant, même lorsque ces documents sont rendus publics, ne garantie pas leur pérennité, à cela s'ajoutera les évolutions de la langue qui rendra leur traduction de plus en plus difficile, dans le futur.

Dans cette situation, la grande majorité d'entre nous a peu de chances de laisser des traces derrière elle :

Même si le stockage de données, de fichiers et de documents numériques a un coût, il faudrait, même si ces données ou ces fichiers ou ces documents ont peu d'importance et/ou peu de chances d'être lus ou visités et même si on ne disposera peut-être plus des lecteurs numériques pour pouvoir les lire, tous les conserver, l'IA étant un outil adapté au traitement massif de données, elle pourra faire des miracles et les traiter, tout en sachant que la loi de Moore n'est plus vérifiée, pour le moment (légère baisse de régime), la miniaturisation des composants approchant un seuil critique où les lois de la mécanique classique ne sont plus vérifiées et laissent le pas à celles de la mécanique quantique.

Et puis sinon, en faisant abstraction de tout ça, il faut rendre l'être humain immortel biologiquement (en conservant sa bonne santé et sa jeunesse, ou en les restituant ou en permettant de les retrouver ou en les donnant, le cas échéant), mais cela ne le mettra pas à l'abri d'une éventuelle mort accidentelle.

B8)

À DFELDMANN SUR WIKIPÉDIA :

Il serait intéressant de disposer de la requête que vous avez soumise à chat GPT4.

Après coup, je crois que vous lui avez, simplement, soumis la requête "cardinal quantitatif".

B9)

Peut-être que le message de Dfeldmann est que si je veux faire progresser ma théorie, dans l'espoir de la faire aboutir, un jour, il me faut maîtriser et il me faut utiliser des outils (mathématiques) plus puissants.

Mais si ce sont des outils de théorie des ensembles et de logique : Ils sont inutiles pour l'essentiel et la majeure partie de ma théorie.

B10)

Dfeldmann (sur Wikipédia) (Denis FELDMANN) est certes normalien de rang médiocre (comme il le dit), mais normalien, tout de même, et agrégé en mathématiques de rang médiocre (comme il le dit), mais agrégé, tout de même [Étrange, car, plus tard, il est devenu prof. de prépa], mais aussi un chercheur raté et peu chanceux [en informatique théorique et en IA, après avoir obtenu un DEA de Logique, en Analyse non standard, sous la direction de Jean-Louis KRIVINE] qui a fini par trouver sa {voie|vocation} en devenant prof. de prépa.

B11)

À DFELDMANN SUR WIKIPÉDIA :

Je suis au courant des notions dont vous me parlez (la théorie des ordinaux, les nombres surréels, l'analyse non standard...), depuis longtemps, mais je pense qu'elles n'interviennent pas essentiellement dans ma théorie du "cardinal quantitatif" et n'ont essentiellement aucun rapport avec ces notions : J'ai, en fait, besoin d'une "alternative" à l'analyse non standard, qui n'est pas de l'analyse non standard "classique" ou "dans sa forme classique actuelle" , même si elle a des points communs avec : J'ai besoin d'une certaine forme d'analyse (non réelle) qui n'est pas de l'analyse non standard "classique" ou "dans sa forme classique actuelle".

B12)

À DFELDMANN SUR WIKIPÉDIA :

J'ai eu des doutes sur votre terme "pseudo-mesure" pour qualifier ma notion de "cardinal quantitatif", dans le cas des convexes compacts de $\mathbb {R} ^{n}$ ou plutôt d'une classe de convexes compacts de $\mathbb {R} ^{n}$ :

En fait, ce que vous dîtes est vrai, mais il s'agit plutôt d'un cas particulier de "pseudo-mesure" sur les convexes compacts ou plutôt sur une classe de convexes compacts de $\mathbb {R} ^{n}$, et plus précisément, il s'agit d'une et il faut plutôt parler d'une "mesure" sur les convexes compacts ou plutôt sur une classe de convexes compacts de $\mathbb {R} ^{n}$.

Après si on veut la généraliser, elle ne sera plus une "mesure", sans être une "pseudo-mesure" (au "sens usuel") pour autant.

NB : J'ai fait des recherches sur Google (y compris sur Google scholar) et il n'y a pas beaucoup d'allusions faites à la notion de "pseudo-mesure".

B13)

On devrait plutôt, pour éviter toute confusion, appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble", la "F-quantité d'un ensemble".

Je sais que ce n'est pas à moi, de donner mon nom ou son initiale à une de mes définitions ou de mes propositions ou de mes théorèmes, mais l'Histoire prouve qu'il y a eu énormément d'erreurs d'attribution, et que la plupart des ou du moins de nombreux théorèmes attribués à untel souvent très connu ou très en vue, ne sont pas de lui.

B14)

Voici le noeud gordien ou le point névralgique de ma théorie :

Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture principale :

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$.

Soit ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une famille de parties de ${PV}({\mathbb {R} }^{n})$, telle que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$.

Soit ${(B_{i})}_{i\in I}$, une famille de parties de ${PV}({\mathbb {R} }^{n})$,

telle que ${(B_{i})}_{i\in I}\neq {(A_{i})}_{i\in I}$

et telle que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}B_{i}={\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$,

c'est-à-dire telle que : ${\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\neq {\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}$.

Si l'on suppose, de plus, que : $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}$,

alors, on a : ${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(B_{i})_{i\in I}]{\Big )}$,

ou bien, si l'on suppose, de plus, que : $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}$,

alors, on a : ${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(B_{i})_{i\in I}]{\Big )}$,

et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,

alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : $\displaystyle {{\underset {i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i}={\underset {i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}B_{i}=A}$,

et en supposant, de plus, que : $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}$,

on aurait : ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}({\underset {i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\underset {i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$,

c'est-à-dire une contradiction.

@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "$\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}$" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\underset {i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i})}$", ou bien à l'expression "$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})}$", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit au cardinal quantitatif, relatif à un repère orthonormé, d'une partie de $\mathbb {R} ^{n}$, soit au cardinal quantitatif, relatif à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de $\mathbb {R} ^{n}$.

Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.

Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.

On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de $\mathbb {R} ^{n}$, le cardinal quantitatif, relatif à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir le cardinal quantitatif, relatif à ce repère orthonormé, d'une partie de $\mathbb {R} ^{n}$, comme étant le cardinal quantitatif, relatif à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de $\mathbb {R} ^{n}$.

Le problème est que l'on définit le cardinal quantitatif, relatif à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de $\mathbb {R} ^{n}$, "${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})$", grâce à l'expression "$\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}$" qui fait appel aux cardinaux quantitatifs, relatifs à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$.@

Justement, on a choisi $A\in {PV2}({\mathbb {R} }^{n})$ et ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}({\mathbb {R} }^{n})$ tels que $[A,(A_{i})_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n}){\Big )}$,

avec ${PV2}({\mathbb {R} }^{n}),{PV}({\mathbb {R} }^{n})\in {\mathcal {P}}^{2}({\mathbb {R} }^{n})$ et $\displaystyle {{PV2}({\mathbb {R} }^{n})\bigcap {PV}({\mathbb {R} }^{n})=\emptyset }$ et ${\overline {{PV}({\mathbb {R} }^{n})}}^{{PV2}({\mathbb {R} }^{n})}={PV2}({\mathbb {R} }^{n})$.

Plus généralement, on peut choisir $A\in {\mathcal {A}}$ et ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {\mathcal {B}}$ tels que $[A,(A_{i})_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n}){\Big )}$,

avec ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {P}}^{2}({\mathbb {R} }^{n})$ et $\displaystyle {{\mathcal {A}}\bigcap {\mathcal {B}}=\emptyset }$ et ${\overline {\mathcal {B}}}^{\mathcal {A}}={\mathcal {A}}$.

Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$,

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$, $[A,(A_{i})_{i\in I}]$,

alors on peut définir la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) de la partie $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$, de la manière suivante :

${card}_{Q,{\cal {R}}}(A){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}$

B15)

Pour avoir et comprendre ma conception des nombres infinis, il faut avoir beaucoup d'imagination, certes cadrée et rigoureuse, mais beaucoup d'imagination quand même, que Dfeldmann et d'autres s'empêchent et s'interdisent d'avoir.

B16)

À Dfeldmann et à Zyrle :

Pour une bonne partie, vous critiquez mes travaux, là où ça n'a pas lieu d'être.

B17)

Il y a des moments où il ne faut pas se laisser abattre et où il faut continuer à croire en ses idées, malgré les avis contraires des autres.

Je sais que, dans bien des cas, cela est dangereux et risqué.

Mais, ici, après examen, le problème ne se pose pas et mes idées sont, toujours, légitimes.