Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART (12-06-2024) Wikipédia

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NB : ALLER VOIR AUSSI L'ESSENTIEL DE CETTE DISCUSSION (voir supra)

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Bonnes contributions ! En passant 9 août 2011 à 16:00 (CEST)

Cardinal quantitatif

Bonjour, Guillaume FOUCART ; je crains d’être parti pour beaucoup vous décevoir. Vous affirmez être titulaire d’un Master (M2) de mathématiques (ou aurais-je mal compris) et à tout le moins vous avez à votre disposition d’excellents articles de Wikipédia, tels que. (pour rester sur vos préoccupations) Mesure de Lebesgue, Dimension de Hausdorff, etc. Eux (plus encore que les ouvrages classiques destinés à l’enseignement ou à la recherche) ont en commun : 1) un exposé succinct des motivations, souvent liées aux insuffisances des notions plus familières (longueur, aire, volume / dimension géométrique classique) 2) des définitions claires, succinctes et sans ambiguïté 3) Surtout, des résultats, de préférence non évidents et d’intérêt majeur (le théorème de convergence dominée est un bon exemple). Je crains bien que votre concept de cardinal quantitatif. (qui, pour ce que j’en vois, voudrait compter les entiers individuels comme des cardinaux finis, les entiers pairs comme aleph_0/2, le segment réel [0,1]par un « nombre » u et donc le segment [a,b] par (b-a)u, etc.) n’ait aucune chance de satisfaire 2) ou 3), et à peine 1). Mais, me direz-vous, c’est un « work in progress ». Je le vois bien, mais la vie est brève, et compte tenu de mes objections, je n’ai ni le temps d’attendre que votre concept ait mûri, ni celui de vous aider à le faire mûrir ; vous m’en voyez désolé. Cordialement, Dfeldmann (discuter) 5 juin 2024 à 00:09 (CEST)

Bonjour,

0) Je ne sais pas si vous avez suffisamment lu et examiné mes travaux.

1) Le cardinal quantitatif d'un plafonnement borné normal du segment [a,b] (avec a < b) en fonction du cardinal quantitatif d'un plafonnement borné normal du segment [0,1] est donné par la formule :

"[card_Q([a,b]) - 1] / [card_Q([0,1]) - 1] = b - a"

et NON : "card_Q([a,b]) = (b - a) card_Q([0,1])".

2) Je ne peux pas donner un exposé plus succinct et plus clair qui {prendrait en compte| tiendrait compte de} toute la complexité de ma notion :

Mon introduction est censée donner une première approche intuitive.

Dans la partie développement, j'ai été, on ne peut plus formel, et ma définition non classique de l'ensemble : "+\infty = \{x | \forall a \in \R, \,\, x > a\}", si elle a peut-être des insuffisances est suffisante pour ce que je veux en faire dans mes travaux.

3) Ces résultats, même dans la partie "connue", ne sont pas si évidents que ça, entre autre, ils nécessitent un théorème de Hadwiger de 1948, dont Cantor ne disposait pas à son époque.

Il faut d'abord commencer par ce qui est simple voire "évident", avant d'aller au plus compliqué et moins évident.

Je suis obligé d'introduire ce qui est "simple", "connu" voire "évident" pour pouvoir parler et introduire le reste.

J'ai fait ce que j'ai pu pour détailler le PDF de Michel COSTE, et il a été avare en démonstrations et en références.

Et puis, il fallait le dire qu'on pouvait généraliser la notion de "cardinal" dans le cas des parties finies, en conservant les idées intuitives que l'on en a déjà, au cas d'une classe de parties bornées (en particulier infinies) de \R^n.

4) Je demande de l'aide, et il est donc normal que mes travaux ne soient pas parfaitement au point et que l'axiomatique et les hypothèses ne soient pas forcément {minimales|optimales}, comme vous l'exigez, apparemment.

Michel Coste a donné l'axiome de la sigma-additivité finie par prudence, peut-être que cela me suffit, avec peut-être d'autres hypothèses, pour démontrer la sigma-additivité infinie concernant les plafonnements bornés ou non bornés ou peut-être me faudra-t-il l'axiome de la sigma-additivité infinie.

Il y a, sûrement encore, un point d'incompatibilité à lever, et pour cela, il faudra sans doute faire des choix.

Guillaume FOUCART (discuter) 9 juin 2024 à 18:03 (CEST)

Je vous en supplie, amusez-vous tant que vous voulez, mais ne venez pas me donner des cours de math. En plus, sur Wikipédia, tout ça n'a aucun intérêt tant que ce n'est pas publié et évalué par des experts. D'autre part, trouvez-vous avec votre formule (dont je me demande d'où vous la sortez, et comment vous conciliez le cardinal (nécessairement infini) d'un segment avec la soustraction de l'entier 1) le résultat card_Q([0,2])=2*card_Q([0,1]) ? Sinon, c'est pas un peu louche ? Et vous ne comprenez pas les exigences non négociables de ce que doit être un système d'axiomes (lisez nos articles) : minimal/optimal, à ce stade, on s'en moque : l'essentiel c'est 1) non contradictoire 2) (autant que possible) compatible avec ce qui est déjà acquis (parce que si, dans votre système, 2u + 2u ne fait pas 4u, l'emploi de cette nouvelle notion va être au mieux fort malaisé). De même, vos notations sont illisibles : vous définissez +infinity à peu près comme Conway définit omega (voir nombre surréel), mais comme vous ne restreignez pas l'ensemble des x, x peut par exemple être un cardinal classique, et alors votre domaine de définition souffre du paradoxe de Burali-Forti. C'est quoi le théorème de Hardwiger ? Quel rapport avec Cantor ? Dfeldmann (discuter) 9 juin 2024 à 18:35 (CEST)

1) Si on choisit 2 ensembles représentants successifs de cardinaux [de Cantor], alors je peux définir, des entités intermédiaires, appelés cardinaux quantitatifs, pour une chaîne exhaustive d'ensembles pour la relation d'inclusion, allant du plus petit de ces 2 représentants successifs de cardinaux [de Cantor] au plus grand de ces 2 représentants successifs de cardinaux [de Cantor]. De plus, il faut considérer la notion de plafonnement borné ou de plafonnement non borné ou à l'infini, dont certains sont dits normaux.

(Attention : La notion de cardinal quantitatif n'est pas un cas particulier de la notion de cardinal [de Cantor], en particulier, elle n'a pas nécessairement de rapport avec la notion de bijection ou la notion de puissance d'un ensemble).

2) Le théorème de Hadwiger de 1948 qui figure dans les liens de mes travaux et qui a été mentionné par Michel Coste est indispensable pour définir et construire la notion de cardinal quantitatif.

3) Je voulais définir des notions absolues de "+\infty" et "-\infty", comme des "demi-droites" prolongeant la droite réelle, sur lesquelles on n'aurait pas à revenir dessus et sur lesquelles on peut définir tous leurs sous-ensembles infinis continus, {emboîtés|inclus} les uns dans les autres, ayant la même "borne inférieure" que celle de "+\infty", lorsque ce sont des sous-ensembles de "+\infty", ou ayant la même "borne supérieure" que celle de "-\infty", lorsque ce sont des sous-ensembles de "-\infty", et prolongeant la droite réelle.

Et d'après le paradoxe de Burali-Forti que vous avez mentionné, peut-être que cela n'est pas possible.

4) Je crois qu'il n'est pas tant question d'axiomatique que d'hypothèses de définition, mais peut-être que j'aurai besoin d'axiomes supplémentaires.

Guillaume FOUCART (discuter) 9 juin 2024 à 21:30 (CEST)

C'est vraiment désespéré. Seule consolation, vous n'êtes pas le premier à vous engager dans ce genre de recherches vouées à l'échec. Et si vous vous intéressiez plutôt à ce qui existe déjà (la théorie des ordinaux, les nombres surréels, l'analyse non standard...)? Je constate en tout cas que vous avez du mal à dire quelque chose de précis, par exemple à rappeler ce fameux théorème de Hadwiger (je n'en connais qu'un, celui-ci : Théorème de Hadwiger, et je vois mal le rapport). Ou à énoncer quelques-uns des résultats que vous espérez, les axiomes, par exemple, ou des règles de calcul (au hasard : quel sont les cardinaux quantitatifs du disque unité fermé et ouvert ? Où se placent les ordinaux (et leur arithmétique) là dedans ? Si on note w le cardinal quantitatif des entiers, a-t-on w/2 pour les pairs et w/2-1 pour les impairs ? Et alors, comment expliquer que la simple translation n-> n+1 passe de l'un à l'autre ?) J'ignore si vous avez réfléchi à tout cela, mais ça fait maintenant 150 ans que des géants comme Cantor, Lebesgue, Hilbert (pour ne prendre que des mathématiciens reconnus depuis longtemps) ont médité sérieusement sur toutes ces difficultés et ont abouti à des théories satisfaisantes et qui font consensus, au prix (comme souvent en science) de résultats contraire à l'intuition (à la vôtre en tout cas), comme l'équipotence de R et R^n (Cantor écrivait à ce sujet à Dedekind "Je le vois mais je ne le crois pas"), ce qui n'est pas (surtout en mathématiques) un argument suffisant pour chercher autre chose. Comme si cela ne suffisait pas, vous prétendez pouvoir définir une chaîne exhaustive de cardinaux quantitatifs. Vous auriez donc résolu l'hypothèse du continu? C'est une grande nouvelle, mais permettez moi d'être quelque peu sceptique... Dfeldmann (discuter) 9 juin 2024 à 22:21 (CEST)

1) Si on choisit 2 ensembles représentants successifs de cardinaux [de Cantor], alors je peux définir, des entités intermédiaires, appelés cardinaux quantitatifs, pour une chaîne exhaustive d'ensembles pour la relation d'inclusion, allant du plus petit de ces 2 représentants successifs de cardinaux [de Cantor] au plus grand de ces 2 représentants successifs de cardinaux [de Cantor]. De plus, il faut considérer la notion de plafonnement borné ou de plafonnement non borné ou à l'infini, dont certains sont dits normaux.

(Attention : La notion de cardinal quantitatif n'est pas un cas particulier de la notion de cardinal [de Cantor], en particulier, elle n'a pas nécessairement de rapport ou de lien avec la notion de bijection ou la notion de puissance d'un ensemble ou de cardinal [de Cantor] d'un ensemble).

Ce qui est dit entre parenthèses est fondamental, car je sais qu'il n'y a pas de puissance ou de cardinal [de Cantor] intermédiaire entre 2 puissances successives ou 2 cardinaux [de Cantor] successifs, et dit comme ça, c'est une évidence. Mais il y a des cardinaux quantitatifs intermédiaires entre 2 cardinaux [de Cantor] successifs.

Guillaume FOUCART (discuter) 9 juin 2024 à 22:46 (CEST)

Le fait que vous ne compreniez pas la question (sur l’hypothèse du continu), que vous ne répondiez à aucune autre objection, et que vous continuiez à affirmer être capable de choses particulièrement peu plausibles (pouvez-vous montrer même un tout petit bout de votre construction entre aleph_0 et aleph_1) en dit suffisamment long à mon sens. Je le répète, la vie est brève, j’aimerais avant qu’elle se termine comprendre quelque chose à la géométrie algébrique, à l’intégration dans les surréels ou à l’axiome de Martin ; souffrez que vos idées ne me semblent pas assez prometteuses pour que je puisse y consacrer plus de temps. Dfeldmann (discuter) 10 juin 2024 à 02:06 (CEST)

Je sais qu'il n'y a pas de puissance ou de cardinal [de Cantor] intermédiaire entre les 2 puissances successives ou les 2 cardinaux [de Cantor] successifs d'un représentant d' \aleph_0 et d'un représentant d' \aleph_1, de même entre les 2 cardinaux [de Cantor] successifs que sont un cardinal [de Cantor] fini et le cardinal [de Cantor] (infini) dénombrable c'est-à-dire le cardinal [de Cantor] d'un représentant d'\aleph_0.

Mais il y a des cardinaux quantitatifs intermédiaires entre les 2 cardinaux [de Cantor] successifs d'un représentant d'\aleph_0 et d'un représentant d' \aleph_1, qui sont, ici, par définition et par convention, aussi les cardinaux quantitatifs de ces 2 représentants, de même entre 2 cardinaux [de Cantor] successifs que sont un cardinal [de Cantor] fini et le cardinal [de Cantor] (infini) dénombrable c'est-à-dire le cardinal [de Cantor] d'un représentant d' \aleph_0, qui sont aussi, par définition et/ou par convention, un cardinal quantitatif fini, pour le premier, et le cardinal quantitatif du représentant en question, pour le second.

Et il faut tenir compte de ce que j'ai écrit dans la parenthèse de mon message précédent.

Guillaume FOUCART (discuter) 10 juin 2024 à 15:07 (CEST)

Vous affirmez (en tant que mathématicien, j’ai le fâcheux défaut de lire attentivement tous les mots de vos réponses) que vous pouvez définir « une chaîne exhaustive d'ensembles pour la relation d'inclusion, allant du plus petit de ces 2 représentants successifs de cardinaux [de Cantor] au plus grand de ces 2 représentants successifs de cardinaux [de Cantor] ». Jugez de ma surprise. Je vous demande donc, non de le faire, mais de m’en donner les premières étapes (allant de aleph_0 à aleph_1) ou de décrire votre méthode, ne serait-ce que pour me convaincre (au moins en principe, sinon en pratique) que c’est possible et que le résultat est exhaustif (êtes-vous sûr du sens de ce mot?). Inutile de vous préciser que faute d’une réponse claire, cela sera notre dernier échange (au demeurant, vous n’avez répondu à aucune autre question, pas même à celle concernant ce mystérieux théorème de Hadwiger). Dfeldmann (discuter) 10 juin 2024 à 15:21 (CEST)

Je vous renvoie à mes travaux et au PDF "La saga du "cardinal" (version 4)" de Michel Coste dont le lien figure dans ces premiers.

Il faut, d'abord, bien les survoler et bien les parcourir.

Il y a une icône pour afficher la table des matières, mais malheureusement dans celle-ci le code LaTeX ne s'affiche plus correctement, depuis plus de 2 ans.

Il faut aller sur la version ayant une table des matières simplifiée.

Pour que le code LaTeX se charge et s'affiche correctement, il faut parfois actualiser la page.

Hors théorème de Hadwiger, je crois que ce que vous voulez, se situe dans la fin de mes travaux.

Guillaume FOUCART (discuter) 10 juin 2024 à 15:47 (CEST)

Si je vous pose une question simple, genre quel est le cardinal quantitatif du disque unité ouvert et du disque unité fermé, ou quel est le cardinal quantitatif suivant immédiatement aleph_0, ou ce fameux théorème de Hardwiger (est-ce celui dont je vous ai donné le lien ou un autre), j’espère une réponse simple et claire, et non un renvoi à une lecture dont je vous ai déjà expliqué que je n’avais pas le temps de m’y plonger. De façon générale, et pour rester poli, je crains que vous ne brassiez beaucoup de vent, mais qu’une réponse claire à l’une des questions précédente ne soit pas près de venir. Dfeldmann (discuter) 10 juin 2024 à 16:34 (CEST)

0) Les résultats auxquels je vous renvoie sont explicites.

1) a) Cf. 2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à $|$ de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$

+ le PDF de Michel Coste : "La saga du "cardinal" (version 4)" qui ne fait que 12 pages.

b) Cf. Définition d'une chaîne exhaustive de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement à l'ensemble $\mathbb {R} ''^{n}$, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

2) Dans mes travaux, il y a des propositions ou des théorèmes qui font appel au théorème de Hadwiger et qui y font référence explicitement, à la fin de leur énoncé (lorsque la proposition ou le théorème a été admis) ou à la fin de leur démonstration. Ces propositions ou ces théorèmes sont situés après et à proximité du théorème de Hadwiger.

J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel Coste n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence

[Ce sont sans doute les démonstrations les plus difficiles qui vous permettrez, sans doute, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner d'avantage corps, à cette théorie].

3) Sur cette page de discussion, je ne crains qu'on puisse utiliser LaTeX [Ajout : Tout compte fait, après coup, LaTeX fonctionne], et de fait mes interventions risquent d'être peu lisibles et me prendre beaucoup de temps, voire beaucoup trop de temps.

Guillaume FOUCART (discuter) 10 juin 2024 à 17:25 (CEST)

Cardinal quantitatif défini sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {PV2}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{PV2}(\mathbb {R} ^{n}),{PV}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Préliminaires

Nouvelle notion de limite de famille de parties (resp. de parties bornées, resp. de parties non bornées) ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, différente de la notion classique de limite de famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, et notion de plafonnement (resp. de plafonnement borné, resp. de plafonnement non borné ou à l'infini) $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$ :

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $I$ est un ensemble totalement ordonné.

Soit $A$ une partie (resp. une partie bornée, resp. une partie non bornée) de $\mathbb {R} ^{n}$.

Soit ${(A_{i})}_{i\in I}$ une famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ telle que $\displaystyle {{\underset {i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i}=A}$.

Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$ dépendante de la famille ${(A_{i})}_{i\in I}$, dont la limite est le plafonnement (resp. le plafonnement borné, resp. le plafonnement non borné ou à l'infini) de la partie $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$ et de la famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, ${\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, notée $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$.

Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, dont la limite est une partie (resp. une partie bornée, resp. une partie non bornée) $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$, sont définies et données par :

$\displaystyle {{\underset {i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i}=A\,\,{\underset {d{\acute {e}}f}{\Leftrightarrow }}\,\,{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}=A\,\,si\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\,\,\nearrow \,\,pour\,\,\subset ,\,\,ou,\,\,\bigcap _{i\in I}A_{i}=A\,\,si\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\,\,\searrow \,\,pour\,\,\subset {\Big )}}$,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, dont la limite est le plafonnement (resp. le plafonnement borné, resp. le plafonnement non borné ou à l'infini) de la partie $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$ et de la famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, ${\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, sont définies et données par :

$\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\,\,{\underset {d{\acute {e}}f}{\Leftrightarrow }}\,\,{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}=A\,\,si\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\,\,\nearrow \,\,pour\,\,\subset ,\,\,ou,\,\,\bigcap _{i\in I}A_{i}=A\,\,si\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\,\,\searrow \,\,pour\,\,\subset {\Big )}}$.

NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.

Définitions de ${{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$, ${{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}})$, ${{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, ${{\mathcal {P}}lafonnements}_{born{\acute {e}}s}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$ et de ${{\mathcal {P}}lafonnements}_{non\,\,born{\acute {e}}s\,\,ou\,\,{\grave {a}}\,\,l'infini}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, avec ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {P}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})$, $I$ un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et $n\in \mathbb {N} ^{*}$ :

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $I$ un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {P}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})$.

On pose ${\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})=\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\,\,dans\,\,\mathbb {R} ^{n}\}$.

On pose ${\mathcal {P}}_{non\,\,born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})=\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|\,\,A\,\,non\,\,born{\acute {e}}e\,\,dans\,\,\mathbb {R} ^{n}\}$.

On pose $\displaystyle {{{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}},{\mathcal {B}}){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{\Big \{}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {A}}\times {\mathcal {F}}(I,{\mathcal {B}})\,\,{\Big |}\,\,\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big \}}}$.

On pose $\displaystyle {{{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}}){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}},{\mathcal {A}}){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{\Big \{}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {A}}\times {\mathcal {F}}(I,{\mathcal {A}})\,\,{\Big |}\,\,\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big \}}}$.

On a donc $\displaystyle {{{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}={{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}={\Big \{}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}\,\,{\Big |}\,\,\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big \}}}$.

On pose : $\displaystyle {{{\mathcal {P}}lafonnements}_{born{\acute {e}}s}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}{\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n}),{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}={{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}\bigcap {\bigg (}{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={\Big \{}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}\,\,{\Big |}\,\,\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big \}}}$

et $\displaystyle {{{\mathcal {P}}lafonnements}_{non\,\,born{\acute {e}}s\,\,ou\,\,{\grave {a}}\,\,l'infini}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}{\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}_{non\,\,born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n}),{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}={{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}\bigcap {\bigg (}{\mathcal {P}}_{non\,\,born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={\Big \{}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {P}}_{non\,\,born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}\,\,{\Big |}\,\,\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big \}}}$.

Les propriétés que doit vérifier le cardinal quantitatif ou que l'on veut voir vérifier par le cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Je viens de faire un certain nombre de mises à jour.

Remarque

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Remarque : Soient ${\mathcal {R}},{\mathcal {R}}'$, deux repères orthonormés de $\mathbb {R} ^{n}$, d'origines respectives $O,O'$

alors, si $O=O'$, on a : $card_{Q,{\mathcal {R}}}=card_{Q,{\mathcal {R}}'}$

et si $O\neq O'$, alors on a : ${{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}'}}_{|{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})}$.

NB : On peut remplacer "${\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})$" par l'ensemble des plafonnements bornés normaux des parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$.

Soit ${\mathcal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$.

On pose, pour simplifier, $card_{Q}=card_{Q,{\mathcal {R}}}$.

0) Soient $A\,\,{\mbox{et}}\,\,B$, des ensembles finis, alors :

${card}_{Q}(A)={card}_{E}(A)$

$\forall A\subsetneq B,\,\,{card}_{E\,\,{\mbox{ou}}\,\,Q}(A)<{card}_{E\,\,{\mbox{ou}}\,\,Q}(B)$

1) Soient $A\,\,{\mbox{et}}\,\,B$, des ensembles infinis et $[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]$ des plafonnements normaux, c'est-à-dire tels que :

${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$ et ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])$, alors :

$\exists A\subsetneq B\,\,:\,\,{card}_{E}(A)={card}_{E}(B)$

mais $\forall A\subsetneq B,\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(B)$

2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et le "cardinal quantitatif" :

Soient $A\,\,{\mbox{et}}\,\,B$, des ensembles, alors :

${card}_{E}(A)={card}_{E}(B)\,\,\not \Longrightarrow {card}_{Q}(A)={card}_{Q}(B)$

${card}_{E}(A)<{card}_{E}(B)\,\,\Longrightarrow {card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(B)$

${card}_{E}(A)<{card}_{E}(B)\,\,\not \Longleftarrow {card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(B)$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement à l'ensemble $\mathbb {R} ''^{n}$, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit ${\cal {R}}={\Big (}O,{(e_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}{\Big )}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement de $\mathbb {R} ''^{n}$),

on considère que ${\cal {C}}$ est une chaîne exhaustive de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$), pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$), et contenant $\{O\}$

c'est-à-dire :

${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\Big (}$ respectivement ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ''^{n}){\Big )}$

et $\emptyset ,\,\,\{O\},\,\,\mathbb {R} ^{n}\,\,({\mbox{respectivement}}\,\,\mathbb {R} ''^{n})\in {\cal {C}}\,\,{\mbox{et}}\,\,\forall A,B\in {\mathcal {C}},\,\,A\subsetneq B,\,\,{\Big (}(\exists C\in {\mathcal {C}}\,\,:\,\,A\subsetneq C\subsetneq B)\,\,{\mbox{ou}}\,\,(\exists x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}\setminus A\,\,[{\text{respectivement}}\,\,\mathbb {R} ''^{n}\setminus A]\,\,:\,\,B=A\bigsqcup \{x_{0}\}){\Big )}$

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.

En effet, dans ce cas, moyennant l'hypothèse de définition du cardinal quantitatif :

$A,B\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big (}{\mbox{respectivement}}\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ''^{n}){\Big )}$ et $[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]$ des plafonnements normaux, c'est-à-dire tels que :

${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$ et ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])$, alors :

$A\subsetneq B\,\,\Longrightarrow \,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)$

Comme ${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\Big (}$ respectivement ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$,

on a $A,B\in {\mathcal {C}}\,\,:\,\,A\subsetneq B\,\,\Longrightarrow \,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)$ et comme ${\mathcal {C}}$ est totalement ordonnée pour $\subset$,

on obtient donc que $\{card_{Q,{\mathcal {R}}}(A)|A\in {\mathcal {C}}\}$ est totalement ordonné pour $\leq$.

Par ailleurs, on a ${\bigg \{}card_{Q,{\mathcal {R}}}(A){\bigg |}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big (}{\mbox{respectivement}}\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ''^{n}){\Big )}{\bigg \}}=\{card_{Q,{\mathcal {R}}}(A)|A\in {\mathcal {C}}\}$.

Donc $\forall {\mathcal {C}}_{1},\,\,{\mathcal {C}}_{2}$ chaînes exhaustives de parties de $\mathbb {R} ^{n}\,\,({\mbox{respectivement}}\,\,\mathbb {R} ''^{n})$, pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$), et contenant $\{O\}$,

$\{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A_{1})|A_{1}\in {\mathcal {C}}_{1}\}=\{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A_{2})|A_{2}\in {\mathcal {C}}_{2}\}$

et $\forall A_{1}\in {\mathcal {C}}_{1},\,\,\exists A_{2}\in {\mathcal {C}}_{2},\,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A_{1})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A_{2})$

Guillaume FOUCART (discuter) 10 juin 2024 à 19:56 (CEST)

Hébergement

Bertrand Labévue (discuter) 10 juin 2024 à 21:35 (CEST)

Je sais que les TI n'ont pas leur place sur Wikipedia, mais Dfeldmann a préféré me répondre sur ma page de discussion Wikipedia, plutôt que sur la page de discussion de mes travaux sur (la) Wikiversité. Je crois que pour cela il n'a même pas besoin de créer un nouveau compte, il doit juste se connecter avec le pseudo et le mot de passe de son compte Wikipedia.

Guillaume FOUCART (discuter) 10 juin 2024 à 21:46 (CEST)

De toute façon, pour moi, c’est terminé Dfeldmann (discuter) 10 juin 2024 à 22:38 (CEST)

J'ai fait un certain nombre de corrections, de corrections de coquilles et de mises à jour (et pour la plupart je l'ai fait avant votre dernière intervention) mais il y avait des traces superflues du mot "théorème" qui traînaient, après que j'ai supprimé des modèles "théorème", pour que les textes passent sur ma page de discussion Wikipedia. Vous avez été assez sévère, dédaigneux, très exigeant et austère, avec moi, vous ne réalisez pas toutes les modifications, tout le travail et tous les efforts que j'ai {faits|fournis} et que j'ai dûs mobiliser pour aboutir aux présents travaux dans leur forme et dans leur fond, en étant le plus exigeant possible et en m'efforçant d'être le plus rigoureux possible. Mes travaux sont longs, mais il suffit de les lire, en entier, de manière linéaire et dans l'ordre, pour en avoir une certaine idée et une certaine compréhension, mais vous ne voulez pas faire cet effort. Vous me demandez des choses peu commodes, difficiles à faire et à réaliser sur le moment et très chronophages, si je ne fais pas de copiés-collés de parties de mes travaux, quitte à les corriger, à les améliorer ou à les mettre à jour, alors que j'ai déjà fait un travail conséquent et relativement satisfaisant à mes yeux. Vous êtes savant et âgé et de fait vous ne pouvez faire abstraction et vous défaire d'une partie de vos connaissances qui vous aveuglent et vous empêchent de comprendre et de bien juger mes travaux. Si vous regardez mes travaux, à peu près tout y est. Je ne vous ai probablement pas fourni les parties que vous souhaitez, mais elles sont dans mes travaux. Dans la partie connue et donnée par Michel Coste, il y a la construction du cardinal quantitatif correspondant aux parties d'une classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ et aux plafonnements bornés normaux de parties de cette classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$. Ce n'est pas facile, lors des modifications, de ne commettre (absolument) aucune erreur ou aucun impair ou d'exprimer pleinement, sans aucune erreur, sans aucun oubli, sans aucune omission, avec précision, exactitude et de manière complète, les notions de mes travaux et qui pourrait m'être fatal aux yeux des lecteurs et des intervenants. De toute façon, quoique je fasse, on n'est jamais content et on ne me donne jamais le moindre message positif, lorsque j'ai progressé, avancé ou amélioré mes travaux. Guillaume FOUCART (discuter) 11 juin 2024 à 01:36 (CEST)

Rien que votre utilisation du mot exhaustif… Ou votre incapacité à construire les premières étapes de votre chaîne d’ensembles. Ou votre utilisation du mot théorème pour une affirmation sans aucune preuve. Ou votre refus de donner la définition ou la valeur du CQ (pour cardinal quantitatif) du carré unité ouvert (ah oui, c’est amusant, ça dépend de l’unité, maintenant ?). Je pourrais écrire des pages, mais quel intérêt ? Même une demande aussi simple que l’énoncé d’un théorème (un lien suffit, ou un couper-coller), vous préférez vous noyer en digressions. Fini pour moi. Dfeldmann (discuter) 11 juin 2024 à 05:47 (CEST)

Rien que votre utilisation du mot exhaustif… Ou votre incapacité à construire les premières étapes de votre chaîne d’ensembles. Ou votre utilisation du mot théorème pour une affirmation sans aucune preuve. Ou votre refus de donner la définition ou la valeur du CQ (pour cardinal quantitatif) du carré unité ouvert (ah oui, c’est amusant, ça dépend de l’unité, maintenant ?). Je pourrais écrire des pages, mais quel intérêt ? Même une demande aussi simple que l’énoncé d’un théorème (un lien suffit, ou un couper-coller), vous préférez vous noyer en digressions. Fini pour moi. Dfeldmann (discuter) 11 juin 2024 à 05:52 (CEST)

1) Michel Coste a donné la démarche et fait le calcul pour le cardinal quantitatif de la boule unité fermée et du rectangle compact, en particulier du carré unité fermé et, plus généralement, des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe (${\mathcal {C}}^{0}$) et (${\mathcal {C}}^{1}$ par morceaux) ou sans bord, dans son PDF : "La saga du "cardinal" version 4" et je vais plus loin avec les plafonnements non bornés (ou à l'infini) de $\mathbb {R} ^{2}$ (Cf. 2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à $|$ de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$). Je redonne le lien de la page de mes travaux : https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) : Vous pouvez aller sur les parties qui vous intéressent, en faisant défiler la page, ou en consultant la table des matières malgré ses insuffisances.

2) Tout ce qui tourne autour des travaux de Cantor (une bonne partie de la théorie des ensembles et de la logique) n'est pas faux en lui-même, mais vous aveugle et vous égare sur la compréhension de mes travaux (qui s'assimilent plus à un prolongement de l'analyse classique réelle, en utilisant quelques notions de topologie générale).

3) Certains grands intervenants Des-mathematiques.net interviennent et perdent leur temps à répondre à des discussions de shtameurs beaucoup moins intéressantes, voire futiles et sans intérêt, et beaucoup moins sérieuses que les miennes.

4) J'admets que je n'ai pas répondu à toutes vos questions et à toutes vos objections et que je ne suis peut-être pas en mesure de le faire (en tout cas pas pour le moment), mais ce que je dis se conçoit "intuitivement". Par exemple : Il n'y a pas qu'une seule chaîne exhaustive d'ensembles, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ : Il y en a une infinité. Plus généralement, ce que vous me demandez exige un travail lourd, poussé, exigeant, conséquent et chronophage, alors que tout est dit dans mes travaux : Je ne vais pas redire ce que j'ai déjà dit dans mes travaux. Guillaume FOUCART (discuter) 11 juin 2024 à 14:54 (CEST)

Ce ne sont pas des objection, c'est des questions simples. Pourquoi vous ne donnez jamais le théorème de Hadwiger ? Vous ne savez pas ce que veut dire "exhaustif" (par exemple, avec votre système, que vaut CQ(Q) (les rationnels) ? Comment diable allez-vous passer de l'ensemble vide à R par une chaîne de sous-ensembles exhaustive, donc telle (je suppose) qu'on ne puisse rajouter aucun sous-ensemble entre deux ensembles de la chaîne sans qu'il soit déjà dedans ? Michel Coste a au moins le mérite de faire des maths (définitions, théorèmes) ce qui permet de contrôler aisément la valeur de son travail, sinon son intérêt. Et ce qui montre le plus à quel point vous refusez un vrai dialogue, c'est qu'alors que j'exprime mon scepticisme sur ce que serait une chaîne exhaustive, et demande un (début d') exemple ou de construction, vous m'expliquer qu'il y en a plein. Désolant. Dfeldmann (discuter) 11 juin 2024 à 15:31 (CEST)

Voici la réponse pour ${card}_{Q}(\mathbb {Q} )$

Remarque :

Ici, $\mathbb {Z} ^{2}={\Big [}\mathbb {Z} ^{2},{{\Big (}\mathbb {Z} ^{2}\bigcap [-p,p]^{2}{\Big )}}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

Remarque et problème : $\mathbb {Q}$ n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement à l'infini, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit $a\in +\infty$ avec $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Soit $\displaystyle {f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )}$

telle que $\displaystyle {{\underset {i\in \mathbb {N} ,i\rightarrow +\infty _{classique}}{{\text{lim}}_{classique}}}f(i)\,\,{\text{existe dans}}\,\,\mathbb {R} }$.

Alors on pose : $\displaystyle {\lim _{i\in \mathbb {N} ,i\rightarrow a}f(i)={\underset {i\in \mathbb {N} ,i\rightarrow +\infty _{classique}}{{\text{lim}}_{classique}}}f(i)}$.

Ici, $\sup(\mathbb {N} )=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$.

$\displaystyle {d_{Q,{\mathcal {R}},\mathbb {Z} ^{2}}(\{(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2}\,\,|\,\,{pgcd}(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{(0,0)\})={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2}\,\,|\,\,{pgcd}(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}}$

$\displaystyle {={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{\displaystyle {\frac {a}{b}}\,\,|\,\,(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2},\,\,{pgcd}(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Q} )}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}=d_{Q,{\mathcal {R}},\mathbb {Z} ^{2}}(\mathbb {Q} )}$

où $d_{Q,{\mathcal {R}},B}(A)$ est la densité quantitative, relative au repère orthonormé ${\mathcal {R}}$ de $\mathbb {R} ^{2}$ (ou de $\mathbb {Z} ^{2}$), de l'ensemble $A$ par rapport à l'ensemble $B$.

Je pense que l'on peut montrer que :

$\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Q} )}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}$

$\displaystyle {={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{\displaystyle {\frac {a}{b}}\,\,|\,\,(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2},\,\,pgcd(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}}$

$\displaystyle {={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2}\,\,|\,\,pgcd(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2}\bigcap {[-n,n]}^{2}\,\,|\,\,pgcd(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2}\bigcap {[-n,n]}^{2})}}}$, si cette limite existe,

$=\cdots \,\,Je\,\,ne\,\,sais\,\,pas\,\,comment\,\,faire\,\,pour\,\,aller\,\,plus\,\,loin.$

D'après Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux, on sait que :

$\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(\mathbb {N} ^{*})}^{2}\,\,|\,\,pgcd(a,b)=1\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{(\mathbb {N} ^{*})}^{2}{\Big )}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {\mathbb {N} }^{2}\bigcap {[1,n]}^{2}\,\,|\,\,pgcd(a,b)=1\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} ^{2}\bigcap {[1,n]}^{2})}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p_{n}}$

$\displaystyle {={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$

Donc

$\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(-\mathbb {N} ^{*})}^{2}\,\,|\,\,pgcd(|a|,|b|)=1\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{(-\mathbb {N} ^{*})}^{2}{\Big )}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(-\mathbb {N} )}^{2}\bigcap {[-n,-1]}^{2}\,\,|\,\,pgcd(|a|,|b|)=1\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}({(-\mathbb {N} )}^{2}\bigcap {[-n,-1]}^{2})}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\bigcap {[1,n]}^{2}\,\,|\,\,pgcd(a,b)=1\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} ^{2}\bigcap {[1,n]}^{2})}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p_{n}}$

$\displaystyle {={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$. Guillaume FOUCART (discuter) 11 juin 2024 à 15:44 (CEST)

J'ai dit "fin pour moi". Vous confirmez. Un truc aussi simple que CQ(Q) devient dans vos mains une accumulation d'idées non ou mal justifiées (pourquoi représenter Q par des couples (a,b) premiers entre eux ? Comment allez-vous faire pour les nombres algébriques ?) mais surtout qui n'aboutit nulle part : en définitive, que vaut CQ(Q)? Et toujours pas de théorème de de Hadwiger Dfeldmann (discuter) 11 juin 2024 à 18:58 (CEST)

1) Voici le lien vers le PDF de 12 pages de Michel Coste : "La saga du "cardinal" version 4", qui fait mention du théorème de Hugo Hadwiger, page 9.

2) Quant à la justification d'une bonne partie des calculs de CQ(Q) et le fait d'être en droit de les faire, j'ai consacréé toute une partie de mes travaux là dessus, dans un cadre plus général.

Si les idées des calculs en sont pour l'instant encore à un stade intuitif et sont mal justifiées, on est obligé de d'abord en passer par là.

Il est sans doute vrai qu'a priori les cardinaux de 2 représentants des plafonnements normaux de chacune des 2 représentations de $\mathbb {Q}$ (l'une étant l'Ensemble des fractions irréductibles d'entiers relatifs non nuls complété du singleton $\{0\}$ [de dimension $1$], l'autre étant l'Ensemble des couples de nombres premiers entre eux dans ${(\mathbb {Z} ^{*})}^{2}$ complété du singleton $\{(0,0)\}$ [de dimension $2$]) ne sont pas forcément les mêmes.

De toute façon, le but n'est pas nécessairement de généraliser cette théorie à toutes les parties de $\mathbb {R}$ ou de $\mathbb {R} ^{n}$, mais d'aller aussi loin que l'on peut.

3) On sait parcontre que $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(Ensemble\,\,des\,\,couples\,\,de\,\,nombres\,\,premiers\,\,entre\,\,eux\,\,dans\,\,{(\mathbb {N} ^{*})}^{2})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}({(\mathbb {N} ^{*})}^{2})}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$.

Guillaume FOUCART (discuter) 11 juin 2024 à 21:30 (CEST)

Bon, ben voilà, on y est enfin arrivé. Vous vous appuyez sur un joli résultat de géométrie convexe pour définir une pseudo-mesure des convexes compacts de R^n que vous rebaptisez cardinal quantitatif, et vous pensez pouvoir oser affirmer que vous avez une telle définition pour une chaîne exhaustive (quoi que ce mot puisse vouloir dire) de sous-ensembles de R^n. Vous avez pas l'impression que ça va se gâter pour N, Z, Q, les algébriques, un plongement quelconque d'un grand ordinal dénombrable (genre epsilon_1) dans R, l'ensemble triadique de Cantor, des ensembles analogues, mais plus épais (de dimension fractale plus grande), des ensembles non mesurables, etc. alors que vous êtes obligé d'inventer une définition ad hoc pour chaque nouveau cas ? Comparez avec le mal qu'a dû se donner Lebesgue pour construire sa mesure (et une fois de plus, admirez le génie de Grothendieck la redécouvrant tout seul). Non, vous, vous avez réussi un truc exhaustif. Bravo, mais je le répète, j'ai mieux à faire (et je vous dirais bien que vous aussi, mais à quoi bon ?) Enfin, au passage, vous ne gagnerez rien à mépriser la communauté mathématique (ou du moins moi ; je vous cite : "Tout ce qui tourne autour des travaux de Cantor (une bonne partie de la théorie des ensembles et de la logique) n'est pas faux en lui-même, mais vous aveugle et vous égare sur la compréhension de mes travaux" ; non, je crois connaître assez de choses pour ne pas rester bloqué là, et tant qu'à faire, pourquoi ne pas plutôt repartir des ordinaux ? Dfeldmann (discuter) 11 juin 2024 à 22:14 (CEST)

1) J'ai traité les cas du type : ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(m\mathbb {Z} +n)$ et ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(a\mathbb {Z} +b)$

où $m\in \mathbb {N} ^{*},n\in \mathbb {N} \bigcap [0,m[$ et $a\in \mathbb {R} _{+}^{*},b\in [0,a[$.

Il a aussi des cas du type : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big \{}{\frac {1}{n}}\,\,{\Big |}\,\,n\in \mathbb {N} ^{*}{\Big \}}{\Big )}}$.

J'ai traité le cas : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}f(\mathbb {N} ){\Big )}}$ où $f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )$, non bornée, strictement monotone et telle que $f(0)=0$ (et donc parallèlement le cas des plafonnements non bornés normaux de $f(\mathbb {N} )$). Mais j'ai généralisé le résultat au cas des plafonnements non bornés quelconques de $f(\mathbb {N} )$, où $f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )$, non bornée, strictement monotone et telle que $f(0)=0$.

2) Il faut souvent d'abord donner des définitions ad hoc ou dans de nombreux cas particuliers et mettre les mains dans le cambouis avant de pouvoir obtenir une belle théorie unifiée, bien propre, élégante et la plus générale.

3) On limitera d'abord et pour le moment, la théorie du cardinal quantitatif au cas des parties d'une chaîne exhaustive de parties de $\mathbb {R} ^{n}$, pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (c'est-à-dire au cas des ensembles finis, et aux cas des ensembles ayant comme puissance $\aleph _{0}$ ou $\aleph _{1}$).

Effectivement, si on veut réitèrer le processus indéfiniment pour des $\aleph$ supérieurs et plus encore, on va rencontrer certaines {limites|limitations}.

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 00:02 (CEST)

Si je peux me permettre

Bonjour,

Je vois vos échanges depuis quelques jours et me permet un avis.

1/ Guillaume, ton travail est très honorable et tu y consacres visiblement une énergie considérable depuis des années. Maintenant l'honnêteté mathématique est de te dire que tu fais fausse route. Tu arpentes en autodidacte, même si tu as une base mathématique tout à fait honorable, un domaine que visiblement tu ne sais pas avoir été étudié depuis un siècle par de nombreux grands esprits. Sur le fond, tout le monde sait bien que card(N) = card(Q) < card(R) et que comme N est inclus dans Q il faudrait inventer une arithmétique différente de celle-ci pour en rendre compte.

Sauf que cette arithmétique cardinale dépend déjà de choix de résolution d'un résultat indécidable, qu'est l'hypothèse du continu, ce que Dfeldmann t'as suggéré en creux ... et que visiblement tu ne sais pas déjà cela.

2/ Denis, je ne comprends pas à quoi tu joues. Tu sais pertinemment que tu es en face de quelqu'un d'honnête intellectuellement mais qui se fourvoie en recherches qui ne peuvent aboutir. Sérieux, cesse de le tourmenter(/sachant qu'il a visiblement des sauts émotionnels après toute réponse d'un mathématicien, comme tu l'es, qu'il juge d'un haut niveau académique) en lui faisant croire que s'il répond à telles ou telles injonctions de ta part, il pourrait sauver sa théorie des cardinaux quantitatifs. Soit honnête, calme, et dis lui gentiment comme je le fais simplement ici que ces recherches ne peuvent aboutir.

3/ Pour avoir assisté il y a pas longtemps à une conf à la Sorbonne, je mentionne l'existence d'un gars, nommé Paolo Mancusu qui prétend tenter de définir une cardinalité intermédiaire entre les entiers et les entiers pairs ... sans donner aucune preuve solide. Un de ses bouquins publié en français se trouve ici. A titre perso je suis attéré par la nullité mathématique de ce livre obstrué par des considérations historiques et philosophiques fumeuses. Mais on est clairement dans la quête d'une cardinalité alternative.

4/ Pour rappel Dehornoy nous a livré quelque mois avant sa mort cet ouvrage exceptionnel ; je vous invite tous les 2 à le lire.

Bien à vous. --Zyrle (discuter) 12 juin 2024 à 00:36 (CEST)

La notion de cardinal quantitatif n'est pas un cas particulier de la notion de cardinal [de Cantor] : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de bijection ou avec la notion de puissance d'un ensemble ou de cardinal [de Cantor] d'un ensemble (LE CARDINAL QUANTITATIF N'EST PAS, CONTRAIREMENT À CE QUE SON NOM SEMBLE INDIQUER, UN CARDINAL [DE CANTOR]).

Considérons une chaîne exhaustive de parties de $\mathbb {R} ^{n}$, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$.

Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de $\mathbb {R} ^{n}$, seul le cardinal quantitatif infini d'un représentant de la puissance du dénombrable sera noté et sera égal à $\aleph _{0}$ et ce nombre n'aura, évidemment plus, dans ce cas, la plupart de ses propriétés habituelles [Pour éviter toute confusion, j'aurais pu choisir une autre notation et le noter $a_{0}$] (resp. seul le cardinal quantitatif infini de $\mathbb {R} ^{n}$ ou d'un des représentants de la puissance du continu sera noté et sera égal à $\aleph _{1}$ et ce nombre n'aura, évidemment plus, dans ce cas, la plupart de ses propriétés habituelles [Pour éviter toute confusion, j'aurais pu choisir une autre notation et le noter $a_{1}$]). Le reste ne fait pas appel à la notion de bijection, ou de puissance ou de cardinal [de Cantor].

"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE CARDINAL [DE CANTOR] EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS".

Mais, par contre, il existe des ensembles dont le cardinal quantitatif (QUI N'EST PAS, CONTRAIREMENT À CE QUE SON NOM SEMBLE INDIQUER, UN CARDINAL [DE CANTOR]) est strictement compris entre le cardinal quantitatif de l'ensemble des entiers naturels et celui de l'ensemble des nombres réels.

Et, par convention, dans ce cas, le cardinal quantitatif de l'ensemble des entiers naturels sera noté et sera égal à $\aleph _{0}$ et ce nombre n'aura, évidemment plus, dans ce cas, la plupart de ses propriétés habituelles (Pour éviter toute confusion, j'aurais pu choisir une autre notation et le noter $a_{0}$) et le cardinal quantitatif de l'ensemble des nombres réels sera noté et sera égal à $\aleph _{1}$ et ce nombre n'aura évidemment plus, dans ce cas, la plupart de ses propriétés habituelles (Pour éviter toute confusion, j'aurais pu choisir une autre notation et le noter $a_{1}$), et ce seront les seuls à l'être.

(Le cardinal quantitatif d'une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$ étant égal au cardinal quantitatif d'un de ses plafonnements normaux [non bornés ou à l'infini], quelconque.) Guillaume FOUCART (discuter) 13 juin 2024 à 17:30 (CEST)

Ok, peux-tu compléter la définition :

* soit E un ensemble, on appelle cardinal alternatif de E, ...

?

Guillaume, je le fais one shot : soit tu finis cette def et on peut recauser, soit, je te réaffirme, comme ci-dessus qu'il faut que tu cesses de te tourmenter en cherchant des soutiens factices auprès de mathématiciens avec des notions sur lesquelles tu n'arriveras jamais à trouver quoique ce soit car tu ne connais même pas le savoir académique minimal sur le sujet. --Zyrle (discuter) 12 juin 2024 à 01:11 (CEST)

Je connaissais déjà l'énoncé de l'hypothèse du continu.

J'ai bien peaufiné mon message précédent, pour que les choses soient bien claires :

Le cardinal quantitatif n'est pas, comme son nom semble l'indiquer, un cardinal [de Cantor].

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 02:26 (CEST)

Tout comme Andrew Wiles et Grigori Perelman ont été extrêmement courageux en prenant des risques énormes : C'est le cas, aussi, mais dans une bien moindre mesure, pour quiconque veut se lancer dans la définition et la construction du "cardinal quantitatif" qui je le rappelle n'est pas un cardinal [de Cantor].

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 02:37 (CEST)

Bien entendu, Andrew Wiles et Grigori Perelman possédaient un gros bagage mathématique et, notamment, dans les disciplines dans lesquelles ils ont exercé et pratiqué et les travaux dans lesquels ils se sont lancés, et que donc, il faut un bagage mathématique minimum pour se lancer dans la théorie du cardinal quantitatif, mais qui est, sans doute, bien moindre, et, qui est, sans doute, moindre qu'un bon ou un très bon bagage ou un bon ou un très bon niveau en théorie des ensembles et en logique, et qui est sans doute moins pointu.

Le cardinal quantitatif nécessite, plutôt, des connaissances et un bagage minimum en analyse (non réelle) et en topologie générale dans $\mathbb {R} ^{n}$ (puis dans ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$, etc.).

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 12:08 (CEST)

J'ai encore peaufiné mon gros message, en gras, plus haut : J'ai ainsi supprimé toute ambiguïté et toute confusion possible.

La recherche en mathématiques, c'est du sport, où l'on ne se met pas toujours dans sa zone de confort.

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 04:11 (CEST)

Même, si je parvenais, un jour, à une théorie valable et satisfaisante du cardinal quantitatif, le plus dur serait, encore , (malgré tout), de convaincre les autres et, en particulier, la communauté scientifique.

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 10:38 (CEST)

Tu te rends bien compte, j'espère que le cardinal quantitatif de N (considéré comme partie de R(^1)), s'il est noté a_0, , cela implique que celui de Z doit être 2a_0 ou 2a_0-1, celui des entiers naturels pairs doit être a_0/2, et celui des rationnels dieu seul sait quoi (a_0^2*6/pi^2 ???) ; et que cela contredit ton affirmation sur aleph_0 ci-dessus ? Et que plus généralement, quand on te demande une définition (tu pourrait comparer avec quelques-unes de celles de nos articles, sauf peut-être celles qui renvoient à de nombreuses autres définitions préalables, genre Topos ou Variété algébrique), la réponse ne saurait être : " Vous n'avez qu'à lire mon manuscrit (inachevé et en permanente évolution), et vous trouverez bien tout seul (si vous êtes de bonne foi) ce qu'elle est (avec comme seule indication que ce n'est pas celle de Cantor ; merci ; on le soupçonnait). Dfeldmann (discuter) 12 juin 2024 à 13:02 (CEST)

Citation de Dfeldmann : "la réponse ne saurait être : " Vous n'avez qu'à lire mon manuscrit (inachevé et en permanente évolution), et vous trouverez bien tout seul (si vous êtes de bonne foi) ce qu'elle est (avec comme seule indication que ce n'est pas celle de Cantor ; merci ; on le soupçonnait)."

Que puis-je bien y faire ?

Je peux, à la rigueur, poster, dans ma page de discussion Wikipedia, des extraits de mes travaux sur lesquels, après une durée de petites corrections, pas trop grande, je ne toucherai plus. Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 14:20 (CEST)

Concernant les modifications et les améliorations que j'apporte, en permanence, à mes textes et à mes travaux, il en va de leur qualité et de la qualité de mes échanges. Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 14:20 (CEST)

NB : Soit je ne modifie plus mes messages après qu'on m'est répondu, soit je le fais dans le respect des réponses qui m'ont été faites. Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 14:31 (CEST)

Voici un bloc de mes travaux censé répondre en partie à vos questions et à vos remarques :

Remarque :

1) Rappel :

Si $I$ est un ensemble totalement ordonné et si $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{N})$ et si ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{N})$ et telles que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$ (Cf. définition).

Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant le cardinal quantitatif : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}})=\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}$.

2) Soient :

${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R}$, d'origine $O(0)$.

$A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, $\{$ réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties $|$ réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

$A\in {\cal {P}}(B),\,\,B\neq \emptyset$.

$I\,\,\in {\cal {P}}(B)$ ou $I\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(I)\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(B)\,\,({\text{par exemple}}\,\,I=\mathbb {N} )$. (On a donc, si $I=\mathbb {N}$, $\sup(I)\in +\infty$ et $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.)

Il faut mieux choisir $I$ dénombrable infini.

Soient :

${(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I}\subset {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ vérifiant :

${\bigg (}H_{1}{\Big [}{(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ :

"$\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}$ $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

telles que $\forall n\in I,\,\,A_{n}\in {\cal {P}}(B_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(A_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(A_{n})}_{n\in I}]$ et ${(B_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(B_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow A_{n}=[A,{(A_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{n}=[B,{(B_{n})}_{n\in I}]}$).

Remarque : On pose $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,u_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}$."

ou ${\bigg (}H_{2}{\Big [}{(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ :

"$\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}$ $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

telles que $\forall n\in I,\,\,A_{n}\in {\cal {P}}(B_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(A_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(A_{n})}_{n\in I}]$ et ${(B_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(B_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow A_{n}=[A,{(A_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{n}=[B,{(B_{n})}_{n\in I}]}$),

et telles que $\displaystyle {\exists x\in {[0,1]}_{standard},\,\,\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}=x}$,

avec $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,u_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}$".

(Remarque : On étend facilement la définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ aux $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes.)

Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}A_{n}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}B_{n}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}}{\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}=\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}}$.

[Si $I=\mathbb {N}$,

soit $\varphi _{\,}\,:\,\,I\longrightarrow I$, strictement croissante,

c'est-à-dire ${{\Big (}u_{\varphi (n)}{\Big )}}_{n\in I}$ sous-suite de ${(u_{n})}_{n\in I}$.

Dans ce cas, on a bien : $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{\varphi (n)}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}}$.]

Soient :

${(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I}\subset {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ vérifiant :

${\bigg (}H_{1}{\Big [}{(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ :

"$\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}$ $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

telles que $\forall n\in I,\,\,C_{n}\in {\cal {P}}(D_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,D_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(C_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(C_{n})}_{n\in I}]$ et ${(D_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(D_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow C_{n}=[A,{(C_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow D_{n}=[B,{(D_{n})}_{n\in I}]}$)"

Remarque : On pose $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,v_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}$."

ou ${\bigg (}H_{2}{\Big [}{(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ :

"$\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}$ $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

telles que $\forall n\in I,\,\,C_{n}\in {\cal {P}}(D_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,D_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(C_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(C_{n})}_{n\in I}]$ et ${(D_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(D_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow C_{n}=[A,{(C_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow D_{n}=[B,{(D_{n})}_{n\in I}]}$)

et telles que $\displaystyle {\exists y\in {[0,1]}_{standard},\,\,\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}v_{n}=y}$,

avec $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,v_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}$".

(Remarque : On étend facilement la définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ aux $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$.)

Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(C_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(D_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}C_{n}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}D_{n}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}}{\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}=\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}v_{n}}$.

A-t-on (*) $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}v_{n}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}}$ ?

Si pour tous ${(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I},{(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$

tels que ${(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I}$ vérifient : ${\bigg (}H_{2}{\Big [}{(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ ${\Bigg [}$ resp. ${\bigg (}H_{1}{\Big [}{(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$${\Bigg ]}$

et tels que ${(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I}$ vérifient : ${\bigg (}H_{2}{\Big [}{(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ ${\Bigg [}$ resp. ${\bigg (}H_{1}{\Big [}{(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$${\Bigg ]}$,

on a : $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(C_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(D_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}}$

(c'est-à-dire vérifiant (*))

Alors, on pose : $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(C_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(D_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}}$

Guillaume FOUCART (discuter) 12 juin 2024 à 14:59 (CEST)

Remarque :

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R}$, d'origine $O(0)$.

Soient $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, $\{$ réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties $|$ réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes $\}$

${\Big (}$ Option classique : de ${PV}(\mathbb {R} )$ ${\Big )}$,

ou ${\Big (}$ Option spéculative : convexes, (connexes), de $\mathbb {R} {\Big )}$,

$A\in {\cal {P}}(B),\,\,B\neq \emptyset$.

Soit $I\in {\cal {P}}(B)$ ou $I\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(I)\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$.

Si $\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions finies de parties disjointes ${\Big (}$Option classique : de ${PV}(\mathbb {R} )$ ${\Big )}$, ou ${\Big (}$Option spéculative : bornées, convexes, (connexes), de $\mathbb {R}$${\Big )}$,

telles que $\forall i\in I,\,\,A_{i}\in {\cal {P}}(B_{i})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{i}\neq \emptyset$

et telles que ${(A_{i})}_{i\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$ et ${(B_{i})}_{i\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}\uparrow A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{i}=[B,{(B_{i})}_{i\in I}]}$),

alors

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{i})}_{i\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}B_{i}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}}{\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}}}=\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}}}}$.

(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)

Je pense que le cas d'une partie $A$ bornée, convexe, (connexe), de $\mathbb {R}$, peut se ramener au cas de la partie ${\overline {A}}$ compacte, convexe, (connexe) de $\mathbb {R}$,

grâce à la formule ${card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}})={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)+{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}}\setminus A)$ c'est-à-dire ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}}\setminus A)$,

sachant que ${\overline {A}}\setminus A\in {\cal {P}}(\partial A)$, avec $\partial A={\overline {A}}\setminus {\stackrel {\circ }{A}}$.

Donc, comme $2\mathbb {Z} ^{*},\,\,\mathbb {Z} ^{*}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, $\{$ réunions disjointes (dénombrables infinies, non bornées) de parties $|$ réunions (dénombrables infinies, non bornées) de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

et $2\mathbb {Z} ^{*}\in {\cal {P}}(\mathbb {Z} ^{*})$ et $\mathbb {Z} ^{*}\neq \emptyset$,

et $\mathbb {N} ^{*}\in {\cal {P}}(\mathbb {Z} ^{*})$

et $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,A_{n}=\displaystyle {\bigcup _{m\in \mathbb {N} _{n}^{*}}\{-2m,\,\,2m\}}\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}=\displaystyle {\mathbb {Z} \bigcap {\Big (}[-2n,-1]\bigcup [1,2n]{\Big )}}$

et $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,A_{n},B_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

et $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},A_{n}\in {\cal {P}}(B_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}\neq \emptyset$

et ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} ^{*}}\,\,\nearrow \,\,[2\mathbb {Z} ^{*},{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]$ et ${(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} ^{*}}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[\mathbb {Z} ^{*},{(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]$

(c'est-à-dire $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\uparrow A_{n}=[2\mathbb {Z} ^{*},{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{n}=[\mathbb {Z} ^{*},{(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]}$),

on a bien : $\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},\mathbb {Z} ^{*}}(2\mathbb {Z} ^{*})={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} ^{*})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[2\mathbb {Z} ^{*},{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[\mathbb {Z} ^{*},{(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}A_{n}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}B_{n}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}}{\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}=\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\displaystyle {\bigcup _{m\in \mathbb {N} _{n}^{*}}\{-2m,\,\,2m\}}{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}\displaystyle {\mathbb {Z} \bigcap {\Big (}[-2n,-1]\bigcup [1,2n]{\Big )}}{\bigg )}}}=\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {2n}{4n}}=\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}}$

(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul),

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} ^{*})={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}$,

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} )={card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} ^{*})+1={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})+1={\frac {1}{2}}{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-1{\Big )}+1={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )+{\frac {1}{2}}}$

et comme $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )={card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} )+{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} +1)}$,

on a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} +1)={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} )={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-{\Big (}{\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )+{\frac {1}{2}}{\Big )}={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-{\frac {1}{2}}}$

et plus généralement,

$\forall m\in \mathbb {N} ^{*},\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(m\mathbb {Z} ^{*})={\frac {1}{m}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}$ et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )=\sum _{i\in \mathbb {N} _{m-1}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(m\mathbb {Z} +i)}$

et $\forall a\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(a\mathbb {Z} ^{*})={\frac {1}{a}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}$.

L'ensemble $\mathbb {Z} ^{*}$ est non borné, mais est dénombrable.

Soit ${\mathcal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$.

Si $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,A\in {\cal {P}}(B)$ et $B\neq \emptyset$, où chacune des parties $A$ et $B$ peut être une partie bornée de $\mathbb {R}$ ou un plafonnement à l'infini d'une partie non bornée de $\mathbb {R}$ (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors $0\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(A)\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$

et $\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},B}(A)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}\in {[0,1]}_{non\,\,standard}\supsetneq {[0,1]}_{standard}}$

et si de plus, $A\neq B$,

alors $0\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$

et $\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},B}(A)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}\in {[0,1[}_{non\,\,standard}\supsetneq {[0,1[}_{standard}}$