Dans certains domaines d'étude, et notamment en optique ou en traitement d'image, il est souvent fait appel à la transformée de Fourier en plusieurs dimensions.
Dans ce chapitre, nous présenterons le cas de l'étude de la diffraction de la lumière lors de son passage par une ouverture de taille réduite. Cette étude montre que, dans des conditions détaillées plus loin, l'image formée présente une répartition de l'éclairement qui correspond à la transformée de Fourier de la forme de l'ouverture.
Une ouverture plane est atteinte par une onde électromagnétique monochromatique de fréquence
f
{\displaystyle f}
c
{\displaystyle c}
A
(
X
,
Y
)
{\displaystyle A(X,Y)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
S
{\displaystyle S}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
A
(
X
,
Y
)
{\displaystyle A(X,Y)}
S
{\displaystyle S}
E
_
i
(
A
)
=
E
i
e
i
ω
t
{\displaystyle {\underline {E}}_{i}(A)=E_{i}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\omega \,t}}
La densité surfacique de puissance rayonnée ou éclairement énergétique (W·m-2 ) correspondante s'exprime dans le vide :
p
i
=
|
E
_
i
(
A
)
|
e
f
f
2
120
π
=
E
i
2
2
×
120
π
{\displaystyle p_{i}={\frac {|{\underline {E}}_{i}(A)|_{\mathrm {eff} }^{2}}{120\pi }}={\frac {E_{i}^{2}}{2\times 120\pi }}}
On rappelle que :
ω
=
2
π
f
{\displaystyle \omega =2\pi f}
λ
=
c
f
{\displaystyle \lambda ={\frac {c}{f}}}
Notations utilisées. Le coefficient de transmission
t
(
X
,
Y
)
{\displaystyle t(X,Y)}
A
(
X
,
Y
)
{\displaystyle A(X,Y)}
t
=
1
{\displaystyle t=1}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
Le champ électrique transmis s'exprime :
E
_
(
A
)
=
E
_
i
t
(
X
,
Y
)
{\displaystyle {\underline {E}}(A)={\underline {E}}_{i}\,t(X,Y)}
Selon le principe de Huygens-Fresnel, chaque point de la surface d'ouverture se comporte comme une source ponctuelle uniforme. L'expression du champ électrique élémentaire au point
B
(
x
,
y
)
{\displaystyle B(x,y)}
A
(
X
,
Y
)
{\displaystyle A(X,Y)}
d
E
_
(
B
)
=
1
δ
K
(
χ
)
E
_
(
A
)
e
−
i
φ
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} {\underline {E}}(B)={\frac {1}{\delta }}\,K(\chi )\ {\underline {E}}(A)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,\varphi }\,\mathrm {d} S}
K
(
χ
)
{\displaystyle K(\chi )}
L'onde arrive au point
B
(
x
;
y
)
{\displaystyle B(x;y)}
δ
{\displaystyle \delta }
τ
{\displaystyle \tau }
φ
{\displaystyle \varphi }
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
φ
=
ω
τ
=
ω
δ
c
=
2
π
λ
δ
=
k
δ
{\displaystyle \varphi =\omega \,\tau =\omega \,{\frac {\delta }{c}}={\frac {2\pi }{\lambda }}\,\delta =k\,\delta }
L'expression du champ électrique élémentaire au point
B
{\displaystyle B}
d
E
_
(
B
)
=
1
δ
E
_
(
A
)
e
−
i
k
δ
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} {\underline {E}}(B)={\frac {1}{\delta }}\,{\underline {E}}(A)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,k\,\delta }\,\mathrm {d} S}
d
E
_
(
x
,
y
)
=
1
δ
E
_
i
t
(
X
,
Y
)
e
−
i
k
δ
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} {\underline {E}}(x,y)={\frac {1}{\delta }}\,{\underline {E}}_{i}\,t(X,Y)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,k\,\delta }\,\mathrm {d} S}
En coordonnées cartésiennes, la distance
δ
{\displaystyle \delta }
δ
=
D
2
+
Δ
2
=
D
2
+
(
x
−
Y
)
2
+
(
y
−
Y
)
2
{\displaystyle \delta ={\sqrt {D^{2}+\Delta ^{2}}}={\sqrt {D^{2}+(x-Y)^{2}+(y-Y)^{2}}}}
.Le champ électrique résultant au point
B
{\displaystyle B}
S
{\displaystyle S}
E
_
(
B
)
=
∬
S
E
_
(
A
)
e
−
i
.
k
.
δ
d
S
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
E
_
(
A
)
e
−
i
.
k
.
δ
d
X
d
Y
{\displaystyle {\underline {E}}(B)=\iint _{S}{\underline {E}}(A)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.\delta }\,\mathrm {d} S=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\underline {E}}(A)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.\delta }\,\mathrm {d} X\,\mathrm {d} Y}
En coordonnées polaires, la distance
δ
{\displaystyle \delta }
δ
=
D
2
+
Δ
2
=
D
2
+
(
r
−
R
)
2
{\displaystyle \delta ={\sqrt {D^{2}+\Delta ^{2}}}={\sqrt {D^{2}+(r-R)^{2}}}}
.Le champ électrique résultant au point
B
{\displaystyle B}
S
{\displaystyle S}
E
_
(
B
)
=
∬
S
E
_
(
A
)
e
−
i
.
k
.
δ
d
S
=
∫
0
2
π
∫
0
∞
E
_
(
A
)
e
−
i
.
k
.
δ
R
d
Θ
d
R
{\displaystyle {\underline {E}}(B)=\iint _{S}{\underline {E}}(A)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.\delta }\,\mathrm {d} S=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }{\underline {E}}(A)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.\delta }\,R\,\mathrm {d} \Theta \,\mathrm {d} R}
L'approximation de Fresnel consiste à
δ
=
D
1
+
(
x
−
X
D
)
2
+
(
y
−
Y
D
)
2
≃
D
[
1
+
1
2
(
x
−
X
D
)
2
+
1
2
(
y
−
Y
D
)
2
]
{\displaystyle \delta =D\,{\sqrt {1+\left({\frac {x-X}{D}}\right)^{2}+\left({\frac {y-Y}{D}}\right)^{2}}}\simeq D\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-X}{D}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {y-Y}{D}}\right)^{2}\right]}
δ
≃
D
+
(
x
−
X
)
2
2
D
+
(
y
−
Y
)
2
2
D
{\displaystyle \delta \simeq D+{\frac {\left(x-X\right)^{2}}{2D}}+{\frac {\left(y-Y\right)^{2}}{2D}}}
L'expression du champ électrique élémentaire au point
B
(
x
,
y
)
{\displaystyle B(x,y)}
A
(
X
,
Y
)
{\displaystyle A(X,Y)}
d
E
_
A
(
B
)
=
e
−
i
.
k
.
D
D
E
_
(
A
)
e
−
i
.
k
.
(
x
−
Y
)
2
+
(
y
−
Y
)
2
2.
D
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} {\underline {E}}_{A}(B)={\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.D}}{D}}\,{\underline {E}}(A)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.{\frac {(x-Y)^{2}+(y-Y)^{2}}{2.D}}}\ \mathrm {d} S}
Le champ électrique résultant au point
B
{\displaystyle B}
S
{\displaystyle S}
E
_
(
B
)
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
E
_
(
A
)
e
−
i
.
k
.
D
D
e
−
i
.
k
.
(
x
−
Y
)
2
+
(
y
−
Y
)
2
2.
D
d
S
{\displaystyle {\underline {E}}(B)=\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }{\underline {E}}(A)\,{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.D}}{D}}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.{\frac {(x-Y)^{2}+(y-Y)^{2}}{2.D}}}\ \mathrm {d} S}
E
_
(
B
)
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
E
_
(
X
,
Y
)
h
(
x
−
X
,
y
−
Y
)
d
S
{\displaystyle {\underline {E}}(B)=\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }{\underline {E}}(X,Y)\,h(x-X,y-Y)\ \mathrm {d} S}
réponse impulsionnelle en amplitude
h
(
x
,
y
)
{\displaystyle h(x,y)}
h
(
x
,
y
)
=
e
−
i
.
k
.
D
D
e
−
i
.
k
.
x
2
+
y
2
2.
D
{\displaystyle h(x,y)={\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.D}}{D}}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.{\frac {x^{2}+y^{2}}{2.D}}}}
h
^
(
x
,
y
)
=
F
{
e
i
.
k
.
D
D
e
i
.
k
.
x
2
+
y
2
2.
D
}
{\displaystyle {\hat {h}}(x,y)={\mathcal {F}}\left\{{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} .k.D}}{D}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} .k.{\frac {x^{2}+y^{2}}{2.D}}}\right\}}
E
_
(
B
)
=
e
−
i
.
k
.
D
D
e
−
i
k
2
D
(
x
2
+
y
2
)
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
(
E
_
(
A
)
e
i
k
2
D
(
Y
2
+
Y
2
)
)
e
i
k
D
(
x
Y
+
y
Y
)
d
X
d
Y
{\displaystyle {\underline {E}}(B)={\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.D}}{D}}\ \mathrm {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D}}(x^{2}+y^{2})}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }\left({\underline {E}}(A)\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D}}(Y^{2}+Y^{2})}\right)\mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{D}}(xY+yY)}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y}
L'approximation de Fraunhofer est utilisée pour l'observation des figures de diffraction en champ lointain ou dans le plan focal d'un système optique convergent. Pour simplifier le calcul intégral, on effectue une linéarisation (développement limité d'ordre 1) de la distance
δ
{\displaystyle \delta }
D
≫
Δ
{\displaystyle D\gg \Delta }
δ
=
D
2
+
Δ
2
=
D
.
1
+
Δ
2
D
2
≃
D
.
(
1
+
Δ
2
2.
D
2
)
≃
D
+
Δ
2
2
D
{\displaystyle \delta ={\sqrt {D^{2}+\Delta ^{2}}}=D.{\sqrt {1+{\frac {\Delta ^{2}}{D^{2}}}}}\simeq D.\left(1+{\frac {\Delta ^{2}}{2.D^{2}}}\right)\simeq D+{\frac {\Delta ^{2}}{2D}}}
et d’autre part que
x
≫
X
{\displaystyle x\gg X}
y
≫
Y
{\displaystyle y\gg Y}
r
≫
R
{\displaystyle r\gg R}
Cette dernière hypothèse permet les approximations suivantes :
(
x
−
X
)
2
=
x
2
(
1
−
X
x
)
2
≃
x
2
(
1
−
2.
X
x
)
≃
x
2
−
2.
x
.
X
{\displaystyle (x-X)^{2}=x^{2}\left(1-{\frac {X}{x}}\right)^{2}\simeq x^{2}\left(1-{\frac {2.X}{x}}\right)\simeq x^{2}-2.x.X}
(
y
−
Y
)
2
≃
y
2
−
2.
y
.
Y
{\displaystyle (y-Y)^{2}\simeq y^{2}-2.y.Y}
On obtient ainsi :
Δ
2
=
(
x
−
Y
)
2
+
(
y
−
Y
)
2
≃
(
x
2
−
2
x
X
+
y
2
−
2
y
Y
)
{\displaystyle \Delta ^{2}=(x-Y)^{2}+(y-Y)^{2}\simeq (x^{2}-2xX+y^{2}-2yY)}
δ
≃
D
+
1
2
(
x
2
−
2.
x
.
X
+
y
2
−
2.
y
.
Y
)
{\displaystyle \delta \simeq D+{\frac {1}{2}}\,(x^{2}-2.x.X+y^{2}-2.y.Y)}
δ
≃
D
+
x
2
+
y
2
2
D
−
x
.
X
+
y
.
Y
D
{\displaystyle \delta \simeq D+{\frac {x^{2}+y^{2}}{2D}}-{\frac {x.X+y.Y}{D}}}
Le champ électrique élémentaire au point
O
(
x
=
0
,
y
=
0
)
{\displaystyle O(x=0,y=0)}
M
(
X
=
0
,
Y
=
0
)
{\displaystyle M(X=0,Y=0)}
d
E
_
M
(
O
)
=
1
D
E
_
(
M
)
e
−
i
k
D
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} {\underline {E}}_{M}(O)={\frac {1}{D}}\,{\underline {E}}(M)\,\mathrm {\mathrm {e} } ^{-\mathrm {i} \,k\,D}\,\mathrm {d} S}
L'expression du champ électrique élémentaire au point
B
(
x
,
y
)
{\displaystyle B(x,y)}
A
(
X
,
Y
)
{\displaystyle A(X,Y)}
d
E
_
A
(
B
)
=
1
δ
E
_
(
A
)
e
−
i
.
k
.
D
e
−
i
.
k
.
x
2
+
y
2
2.
D
e
i
.
k
.
x
.
X
+
y
.
Y
D
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} {\underline {E}}_{A}(B)={\frac {1}{\delta }}\,{\underline {E}}(A)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.D}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.{\frac {x^{2}+y^{2}}{2.D}}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} .k.{\frac {x.X+y.Y}{D}}}\ \mathrm {d} S}
d
E
_
A
(
B
)
=
1
δ
E
_
i
t
(
X
,
Y
)
e
−
i
.
k
.
D
e
−
i
.
k
.
x
2
+
y
2
2.
D
e
i
.
k
.
x
.
X
+
y
.
Y
D
d
X
d
Y
{\displaystyle \mathrm {d} {\underline {E}}_{A}(B)={\frac {1}{\delta }}\,{\underline {E}}_{i}\ t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.D}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.{\frac {x^{2}+y^{2}}{2.D}}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} .k.{\frac {x.X+y.Y}{D}}}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y}
Toujours en supposant
D
≫
Δ
{\displaystyle D\gg \Delta }
δ
≃
D
{\displaystyle \delta \simeq D}
d
E
_
A
(
B
)
=
1
D
E
_
i
t
(
X
,
Y
)
e
−
i
.
k
.
D
e
−
i
.
k
.
x
2
+
y
2
2.
D
e
i
.
k
.
x
.
X
+
y
.
Y
D
d
X
d
Y
{\displaystyle \mathrm {d} {\underline {E}}_{A}(B)={\frac {1}{D}}\,{\underline {E}}_{i}\ t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.D}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.{\frac {x^{2}+y^{2}}{2.D}}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} .k.{\frac {x.X+y.Y}{D}}}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y}
soit :
d
E
_
A
(
B
)
=
e
_
0
t
(
X
,
Y
)
e
i
.
k
.
x
.
X
+
y
.
Y
D
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} {\underline {E}}_{A}(B)={\underline {e}}_{0}\ t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} .k.{\frac {x.X+y.Y}{D}}}\ \mathrm {d} S}
d
E
_
A
(
x
,
y
)
=
e
_
0
t
(
X
,
Y
)
e
i
.
k
.
x
.
X
+
y
.
Y
D
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} {\underline {E}}_{A}(x,y)={\underline {e}}_{0}\ t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} .k.{\frac {x.X+y.Y}{D}}}\ \mathrm {d} S}
avec
e
_
0
{\displaystyle {\underline {e}}_{0}}
-1 ·m-2 :
e
_
0
=
1
D
E
i
e
−
i
k
(
D
+
x
2
+
y
2
2.
D
)
=
e
0
e
i
φ
′
{\displaystyle {\underline {e}}_{0}={\frac {1}{D}}\,E_{i}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {-} i\,k\,\left(D+{\frac {x^{2}+y^{2}}{2.D}}\right)}=e_{0}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\varphi '}}
(
r
−
R
)
2
=
r
2
(
1
−
R
r
)
2
≃
r
2
(
1
−
2
R
r
)
≃
r
2
−
2
r
R
{\displaystyle (r-R)^{2}=r^{2}\left(1-{\frac {R}{r}}\right)^{2}\simeq r^{2}\left(1-{\frac {2\,R}{r}}\right)\simeq r^{2}-2\,r\,R}
δ
≃
D
+
1
2
(
x
2
−
2.
x
.
X
)
{\displaystyle \delta \simeq D+{\frac {1}{2}}\,(x^{2}-2.x.X)}
δ
≃
D
+
r
2
2
D
−
r
.
R
D
{\displaystyle \delta \simeq D+{\frac {r^{2}}{2D}}-{\frac {r.R}{D}}}
d
E
_
(
B
)
=
1
D
E
_
i
t
(
X
,
Y
)
e
−
i
.
k
.
D
e
−
i
.
k
.
r
2
2.
D
e
i
.
k
.
r
.
R
D
R
d
Θ
d
R
{\displaystyle \mathrm {d} {\underline {E}}(B)={\frac {1}{D}}\,{\underline {E}}_{i}\,t(X,Y)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.D}\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .k.{\frac {r^{2}}{2.D}}}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} .k.{\frac {r.R}{D}}}\,R\,\mathrm {d} \Theta \,\mathrm {d} R}
d
E
_
(
B
)
=
e
_
0
t
(
R
,
Θ
)
e
i
.
k
.
r
.
R
D
R
d
Θ
d
R
{\displaystyle \mathrm {d} {\underline {E}}(B)={\underline {e}}_{0}\,t(R,\Theta )\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} .k.{\frac {r.R}{D}}}\,R\,\mathrm {d} \Theta \,\mathrm {d} R}
Pour retrouver exactement l’expression de la transformée de Fourier, il faut effectuer les changements de variables suivant qui permettent de définir les coordonnées réduites :
x
′
=
−
x
λ
D
{\displaystyle x'={\frac {-x}{\lambda \,D}}}
y
′
=
−
y
λ
D
{\displaystyle y'={\frac {-y}{\lambda \,D}}}
Le champ électrique élémentaire au point B en provenance du point A devient :
d
E
_
(
B
)
=
e
_
0
t
(
X
,
Y
)
e
−
i
.2
π
.
(
x
′
.
X
+
y
′
.
Y
)
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} {\underline {E}}(B)={\underline {e}}_{0}\ t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .2\pi .(x'.X+y'.Y)}\ \mathrm {d} S}
Par intégration sur la surface d'ouverture on obtient le champ résultant au point B :
E
_
(
B
)
=
∬
S
d
E
_
(
B
)
=
e
_
0
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
t
(
X
,
Y
)
e
−
i
.2
π
.
(
x
′
.
X
+
y
′
.
Y
)
d
X
d
Y
{\displaystyle {\underline {E}}(B)=\iint _{S}\mathrm {d} {\underline {E}}(B)={\underline {e}}_{0}\ \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .2\pi .(x'.X+y'.Y)}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y}
E
_
(
B
)
=
e
_
0
F
{
t
(
X
,
Y
)
}
{\displaystyle {\underline {E}}(B)={\underline {e}}_{0}\ {\mathcal {F}}\{t(X,Y)\}}
E
_
(
x
′
,
y
′
)
=
e
_
0
F
{
t
(
X
,
Y
)
}
{\displaystyle {\underline {E}}(x',y')={\underline {e}}_{0}\ {\mathcal {F}}\{t(X,Y)\}}
La densité surfacique de puissance (ou éclairement énergétique) en W·m-2 est donnée par la relation :
p
(
x
;
y
)
=
|
E
_
(
B
)
|
2
2.120.
π
=
|
E
_
(
B
)
2
|
2.120.
π
=
E
e
f
f
2
(
B
)
120.
π
{\displaystyle p(x;y)={\frac {|{\underline {E}}(B)|^{2}}{2.120.\pi }}={\frac {|{\underline {E}}(B)^{2}|}{2.120.\pi }}={\frac {E_{\mathrm {eff} }^{2}(B)}{120.\pi }}}
Ainsi l'éclairement reçu au point B est obtenu de la façon suivante :
p
(
x
′
;
y
′
)
=
e
0
2
2.120.
π
|
F
{
(
t
(
X
;
Y
)
}
2
|
{\displaystyle p(x';y')={\frac {e_{0}^{2}}{2.120.\pi }}\ |{\mathcal {F}}\{\left(t(X;Y\right)\}^{2}|}
et en posant
p
0
=
e
0
2
2
×
120
π
=
1
2
×
120
π
E
i
2
D
2
=
p
i
D
2
{\displaystyle p_{0}={\frac {e_{0}^{2}}{2\times 120\pi }}={\frac {1}{2\times 120\pi }}{\frac {E_{i}^{2}}{D^{2}}}={\frac {p_{i}}{D^{2}}}}
et
F
{
(
t
(
X
;
Y
)
}
2
=
F
{
(
t
(
X
;
Y
)
∗
(
t
(
X
;
Y
)
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{\left(t(X;Y\right)\}^{2}={\mathcal {F}}\{\left(t(X;Y\right)\ast \left(t(X;Y\right)\}}
on peut écrire que :
p
(
x
′
;
y
′
)
=
p
0
|
F
{
(
t
(
X
;
Y
)
∗
(
t
(
X
;
Y
)
}
|
{\displaystyle p(x';y')=p_{0}\ |{\mathcal {F}}\{\left(t(X;Y\right)\ast \left(t(X;Y\right)\}|}
Dans le cas de l'étude de l'objectif parfait, c'est-à-dire dénué d'aberration, cette distribution est la fonction d'étalement du point ou réponse impulsionnelle spatiale.
Le coefficient de transmission d'une ouverture rectangulaire vaut 1 sur toute l'ouverture et 0 ailleurs :
t
(
X
,
Y
)
=
Π
L
/
2
,
H
/
2
(
X
,
Y
)
=
{
1
,
si
−
L
2
≤
X
≤
L
2
et si
−
H
2
≤
Y
≤
H
2
0
,
sinon
{\displaystyle t(X,Y)=\Pi _{{L}/2,H/2}(X,Y)={\begin{cases}1,&{\text{si }}-{\frac {L}{2}}\leq X\leq {\frac {L}{2}}{\text{ et si }}-{\frac {H}{2}}\leq Y\leq {\frac {H}{2}}\\0,&{\text{sinon }}\end{cases}}}
la répartition du champ électrique sera décrite par un sinus cardinal , transformée de Fourier d'une porte :
F
{
(
t
(
X
;
Y
)
}
=
Π
^
L
/
2
,
H
/
2
(
X
,
Y
)
=
H
L
s
i
n
c
(
π
x
′
L
)
s
i
n
c
(
π
y
′
H
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{\left(t(X;Y\right)\}={\hat {\Pi }}_{{L}/2,H/2}(X,Y)=H\,L\,\mathrm {sinc} (\pi \,x'\,{L})\,\mathrm {sinc} (\pi \,y'\,{H})}
La densité surfacique de puissance reçu s'exprime :
p
(
x
′
;
y
′
)
=
p
0
H
2
L
2
s
i
n
c
2
(
π
x
′
L
)
s
i
n
c
2
(
π
y
′
H
)
{\displaystyle p(x';y')=p_{0}\,H^{2}\,L^{2}\,\mathrm {sinc} ^{2}(\pi \,x'\,{L})\,\mathrm {sinc} ^{2}(\pi \,y'\,{H})}
La puissance totale reçue dans le plan image est :
P
=
∫
∫
Σ
p
(
x
′
,
y
′
)
d
Σ
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
p
0
H
2
L
2
s
i
n
c
2
(
π
x
′
L
)
s
i
n
c
2
(
π
y
′
H
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle P=\int \!\!\!\!\int _{\Sigma }p(x',y')\,\mathrm {d} \Sigma =\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p_{0}\,H^{2}\,L^{2}\,\mathrm {sinc} ^{2}(\pi \,x'\,{L})\,\mathrm {sinc} ^{2}(\pi \,y'\,{H})\,\mathrm {d} x'\,\mathrm {d} y'}
où l'on reconnait l'intégrale de Dirichlet , ce qui amène :
P
=
p
0
H
L
{\displaystyle P=p_{0}\,H\,L}
Démonstration
F
{
(
t
(
X
;
Y
)
}
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
Π
L
/
2
,
H
/
2
(
X
,
Y
)
e
−
i
2
π
x
′
X
e
−
i
2
π
y
′
Y
d
X
d
Y
=
∫
−
L
/
2
+
L
/
2
∫
−
H
/
2
+
H
/
2
1
e
−
i
2
π
x
′
X
e
−
i
2
π
y
′
Y
d
X
d
Y
=
[
e
−
j
.2
π
.
x
′
.
X
−
j
.2
π
.
x
′
]
−
L
/
2
+
L
/
2
[
e
−
j
.2
π
.
y
′
.
Y
−
j
.2
π
.
y
′
]
−
H
/
2
+
H
/
2
=
1
π
.
x
′
e
−
j
.
π
.
x
′
.
L
−
e
+
j
.
π
.
x
′
.
L
−
2.
j
1
π
.
y
′
e
−
j
.
π
.
y
′
.
H
−
e
+
j
.
π
.
y
′
.
H
−
2.
j
=
sin
(
π
.
x
′
.
L
)
π
.
x
′
sin
(
π
.
y
′
.
L
)
π
.
y
′
=
L
sin
(
π
.
x
′
.
L
)
π
.
x
′
.
L
H
sin
(
π
.
y
′
.
H
)
π
.
y
′
.
H
=
H
L
s
i
n
c
(
π
.
x
′
.
L
)
s
i
n
c
(
π
.
y
′
.
H
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\left(t(X;Y\right)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Pi _{{L}/2,H/2}(X,Y)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,2\pi \,x'X}\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,2\pi \,y'Y}\,\mathrm {d} X\,\mathrm {d} Y\\\ &=\int _{-{L/2}}^{+{L/2}}\int _{-{H/2}}^{+{H/2}}1\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,2\pi \,x'X}\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,2\pi \,y'Y}\,\mathrm {d} X\,\mathrm {d} Y\\\ &=\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .x'.X}}{-\mathrm {j} .2\pi .x'}}\right]_{-{L/2}}^{+{L/2}}\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .y'.Y}}{-\mathrm {j} .2\pi .y'}}\right]_{-{H/2}}^{+{H/2}}\\\ &={\frac {1}{\pi .x'}}\,{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\pi .x'.L}-\mathrm {e} ^{+\mathrm {j} .\pi .x'.L}}{-2.\mathrm {j} }}\,{\frac {1}{\pi .y'}}\,{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\pi .y'.H}-\mathrm {e} ^{+\mathrm {j} .\pi .y'.H}}{-2.\mathrm {j} }}\\\ &={\frac {\sin(\pi .x'.L)}{\pi .x'}}\,{\frac {\sin(\pi .y'.L)}{\pi .y'}}\\\ &=L\,{\frac {\sin(\pi .x'.L)}{\pi .x'.L}}\,H\,{\frac {\sin(\pi .y'.H)}{\pi .y'.H}}\\\ &=H\,L\,\,\mathrm {sinc} (\pi .x'.L)\,\mathrm {sinc} (\pi .y'.H)\\\end{aligned}}}
Dans de cas d'une symétrie évidente autour d'un axe, il est pratique d'utiliser les coordonnées polaires dans le plan.
Comme en coordonnées cartésiennes, on effectue un changement de variable :
r
′
=
−
r
λ
.
D
{\displaystyle r'={\frac {-r}{\lambda .D}}}
E
_
(
B
)
=
E
_
(
r
′
,
θ
′
)
=
∬
S
d
E
_
(
B
)
=
e
_
0
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
t
(
X
,
Y
)
e
−
i
.2
π
.
(
x
′
.
X
+
y
′
.
Y
)
d
X
d
Y
{\displaystyle {\underline {E}}(B)={\underline {E}}(r',\theta ')=\iint _{S}\mathrm {d} {\underline {E}}(B)={\underline {e}}_{0}\,\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .2\pi .(x'.X+y'.Y)}\,\mathrm {d} X\,\mathrm {d} Y}
X
=
R
cos
Θ
{\displaystyle X=R\,\cos \Theta }
Y
=
R
sin
Θ
{\displaystyle Y=R\,\sin \Theta }
x
′
=
r
′
cos
θ
′
{\displaystyle x'=r'\,\cos \theta '}
y
′
=
r
′
sin
θ
′
{\displaystyle y'=r'\,\sin \theta '}
(
x
′
.
X
+
y
′
.
Y
)
=
r
′
cos
θ
′
R
cos
Θ
+
r
′
sin
θ
′
R
sin
Θ
=
r
′
R
cos
(
θ
′
+
Θ
)
{\displaystyle (x'.X+y'.Y)=r'\,\cos \theta '\,R\,\cos \Theta +r'\,\sin \theta '\,R\,\sin \Theta =r'\,R\cos(\theta '+\Theta )}
Compte tenu de la symétrie de révolution autour de l'axe optique on ne s'intéressera qu'à la direction
θ
′
=
0
{\displaystyle \theta '=0}
Θ
{\displaystyle \Theta }
t
(
X
,
Y
)
=
T
(
R
,
Θ
)
=
T
(
R
)
{\displaystyle t(X,Y)={\mathcal {T}}(R,\Theta )={\mathcal {T}}(R)}
E
_
(
B
)
=
E
_
(
r
′
,
θ
′
)
=
∬
S
d
E
_
(
B
)
=
e
_
0
∫
−
∞
∞
∫
0
2
π
t
(
R
)
e
−
i
2
π
(
r
′
R
cos
Θ
)
R
d
Θ
d
R
{\displaystyle {\underline {E}}(B)={\underline {E}}(r',\theta ')=\iint _{S}\mathrm {d} {\underline {E}}(B)={\underline {e}}_{0}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{2\pi }{\mathcal {t}}(R)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,2\pi (r'\,R\cos \Theta )}\,R\,\mathrm {d} \Theta \,\mathrm {d} R}
E
_
(
B
)
=
e
_
0
∫
−
∞
∞
t
(
R
)
J
0
(
r
′
R
)
R
d
R
{\displaystyle {\underline {E}}(B)={\underline {e}}_{0}\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {t}}(R)\,J_{0}(r'\,R)\,R\,\mathrm {d} R}
La transformée de Fourier à 2 dimensions équivaut ici à une transformée de Hankel d'ordre 0 sur un espace à 2 dimensions.
----- A REVOIR ----- Par intégration sur la surface d'ouverture on obtient le champ résultant au point B :
E
_
(
B
)
=
∬
S
d
E
_
(
B
)
=
e
_
0
∫
0
∞
∫
−
∞
2
π
t
(
X
,
Y
)
e
−
i
.2
π
.
r
′
.
R
R
d
Θ
d
R
{\displaystyle {\underline {E}}(B)=\iint _{S}\mathrm {d} {\underline {E}}(B)={\underline {e}}_{0}\,\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{2\pi }t(X,Y)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .2\pi .r'.R}\,R\,\mathrm {d} \Theta \,\mathrm {d} R}
E
_
(
B
)
=
e
_
0
F
{
t
(
R
;
Θ
)
}
{\displaystyle {\underline {E}}(B)={\underline {e}}_{0}\,{\mathcal {F}}\{t(R;\Theta )\}}
p
(
r
′
;
θ
)
=
p
0
F
{
(
t
(
R
,
Θ
)
∗
(
t
(
R
,
Θ
)
}
{\displaystyle p(r';\theta )=p_{0}\,{\mathcal {F}}\{\left(t(R,\Theta \right)\ast \left(t(R,\Theta \right)\}}
Le coefficient de transmission d'une ouverture circulaire vaut 1 sur toute l'ouverture et 0 ailleurs :
t
(
R
,
Θ
)
=
{
1
,
si
R
∈
[
0
,
d
/
2
]
0
,
sinon
{\displaystyle t(R,\Theta )={\begin{cases}1,&{\text{si }}R\in \left[0,d/2\right]\\0,&{\text{sinon }}\end{cases}}}
la répartition du champ électrique sera décrite par une fonction de Bessel d'ordre 1 d'un disque :
E
_
(
r
,
0
)
=
e
_
0
2
π
(
d
2
)
2
J
1
(
2
π
r
λ
D
d
2
)
2
π
r
λ
D
d
2
{\displaystyle {\underline {E}}(r,0)={\underline {e}}_{0}\,2\pi \,\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}{\frac {J_{1}\left(2\pi \,{\frac {r}{\lambda D}}{\frac {d}{2}}\right)}{2\pi \,{\frac {r}{\lambda D}}{\frac {d}{2}}}}}
Démonstration
Compte tenu de la symétrie attendue autour de l'axe, on se contentera de connaître le champ électrique sur l'axe
θ
′
=
0
{\displaystyle \theta ^{'}=0}
E
_
(
B
,
θ
′
=
0
)
=
E
_
(
r
′
,
0
)
=
∬
S
d
E
_
(
B
)
=
e
_
0
∫
−
π
π
∫
0
d
/
2
t
(
X
,
Y
)
e
i
.2
π
.
r
λ
D
.
R
.
cos
Θ
R
d
R
d
Θ
{\displaystyle {\underline {E}}(B,\theta '=0)={\underline {E}}(r',0)=\iint _{S}\mathrm {d} {\underline {E}}(B)={\underline {e}}_{0}\,\int _{-\pi }^{\pi }\int _{0}^{d/2}t(X,Y)\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} .2\pi .{\frac {r}{\lambda D}}.R.\cos \Theta }R\,\mathrm {d} R\,\mathrm {d} \Theta }
Selon la définition des fonctions de Bessel d'ordre n,
J
n
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
e
−
i
(
n
τ
−
x
sin
τ
)
d
τ
{\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\rm {e}}^{-\mathrm {i} \,(n\tau -x\sin \tau )}\,\mathrm {d} \tau }
appliquée à l'ordre zéro, auquel on peut appliquer le changement de variable
τ
′
=
τ
−
π
/
2
{\displaystyle \tau '=\tau -\pi /2}
sin
τ
=
cos
(
τ
−
π
/
2
)
{\displaystyle \sin \tau =\cos(\tau -\pi /2)}
J
0
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
e
i
x
sin
τ
d
τ
=
1
2
π
∫
−
π
π
e
i
x
cos
(
τ
−
π
/
2
)
d
τ
=
1
2
π
∫
−
π
π
e
i
x
cos
τ
′
d
τ
′
{\displaystyle J_{0}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\rm {e}}^{\mathrm {i} \,x\sin \tau }\,\mathrm {d} \tau ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\rm {e}}^{\mathrm {i} \,x\cos(\tau -\pi /2)}\,\mathrm {d} \tau ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\rm {e}}^{\mathrm {i} \,x\cos \tau '}\,\mathrm {d} \tau '}
Ici, on peut écrire que
J
0
(
2
π
r
λ
D
R
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
e
i
2
π
r
λ
D
R
sin
Θ
d
Θ
{\displaystyle J_{0}(2\pi \,{\frac {r}{\lambda D}}\,R)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\rm {e}}^{\mathrm {i} \,2\pi \,{\frac {r}{\lambda D}}\,R\sin \Theta }\,\mathrm {d} \Theta }
D'où
E
_
(
r
,
0
)
=
e
_
0
∫
0
d
/
2
2
π
J
0
(
2
π
r
λ
D
R
)
R
d
R
{\displaystyle {\underline {E}}(r,0)={\underline {e}}_{0}\,\int _{0}^{d/2}2\pi \,J_{0}(2\pi \,{\frac {r}{\lambda D}}\,R)\,R\,\mathrm {d} R}
En effectuant le changement de variable
a
=
2
π
r
λ
D
R
{\displaystyle a=2\pi \,{\frac {r}{\lambda D}}\,R}
E
_
(
r
,
0
)
=
e
_
0
2
π
(
1
2
π
r
λ
D
)
2
∫
0
2
π
r
λ
D
d
2
J
0
(
a
)
a
d
a
{\displaystyle {\underline {E}}(r,0)={\underline {e}}_{0}\,2\pi \,\left({\frac {1}{2\pi \,{\frac {r}{\lambda D}}}}\right)^{2}\int _{0}^{2\pi \,{\frac {r}{\lambda D}}{\frac {d}{2}}}J_{0}(a)\,a\,\mathrm {d} a}
Connaissant la propriété des fonctions de Bessel au sujet des dérivations,
d
d
x
(
x
n
J
n
(
x
)
)
=
x
n
J
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{n}J_{n}(x))=x^{n}J_{n-1}(x)}
et en l'exploitant pour n = 0,
d
d
x
(
x
J
1
(
x
)
)
=
x
J
0
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(xJ_{1}(x))=xJ_{0}(x)}
on peut écrire :
x
J
1
(
x
)
=
∫
0
x
a
J
0
(
a
)
d
a
{\displaystyle x\,J_{1}(x)=\int _{0}^{x}a\,J_{0}(a)\,\mathrm {d} a}
En appliquant cette propriété au calcul du champ électrique, on obtient finalement :
E
_
(
r
,
0
)
=
e
_
0
2
π
(
1
2
π
r
λ
D
)
2
J
1
(
2
π
r
λ
D
d
2
)
2
π
r
λ
D
d
2
{\displaystyle {\underline {E}}(r,0)={\underline {e}}_{0}\,2\pi \,\left({\frac {1}{2\pi \,{\frac {r}{\lambda D}}}}\right)^{2}J_{1}\left(2\pi \,{\frac {r}{\lambda D}}{\frac {d}{2}}\right)\,2\pi \,{\frac {r}{\lambda D}}{\frac {d}{2}}}
E
_
(
r
,
0
)
=
e
_
0
2
π
(
d
2
)
2
J
1
(
2
π
r
λ
D
d
2
)
2
π
r
λ
D
d
2
{\displaystyle {\underline {E}}(r,0)={\underline {e}}_{0}\,2\pi \,\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}{\frac {J_{1}\left(2\pi \,{\frac {r}{\lambda D}}{\frac {d}{2}}\right)}{2\pi \,{\frac {r}{\lambda D}}{\frac {d}{2}}}}}
Pour calculer la fonction de transfert de modulation, il faut effectuer la transformée de Fourier de la fonction qui définit l'éclairement du plan image.
Il est alors plus pratique d'effectuer un changement de variable plus simple :
x
′
=
x
λ
.
D
{\displaystyle x'={\frac {x}{\lambda .D}}}
y
′
=
y
λ
.
D
{\displaystyle y'={\frac {y}{\lambda .D}}}
de sorte que
E
_
(
B
)
=
∬
S
d
E
_
(
B
)
=
e
_
0
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
t
(
X
,
Y
)
e
i
.2
π
.
(
x
′
.
X
+
y
′
.
Y
)
d
X
d
Y
{\displaystyle {\underline {E}}(B)=\iint _{S}\mathrm {d} {\underline {E}}(B)={\underline {e}}_{0}\,\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} .2\pi .(x'.X+y'.Y)}\,\mathrm {d} X\,\mathrm {d} Y}
E
_
(
B
)
=
e
_
0
F
−
1
(
t
(
X
;
Y
)
)
{\displaystyle {\underline {E}}(B)={\underline {e}}_{0}\,{\mathcal {F}}^{-1}(t(X;Y))}
L'éclairement est proportionnel à la densité surfacique de puissance rayonnée :
p
(
x
′
;
y
′
)
=
p
0
F
−
1
(
(
t
(
X
;
Y
)
)
F
−
1
(
(
t
(
X
;
Y
)
)
{\displaystyle p(x';y')=p_{0}\,{\mathcal {F}}^{-1}\left(\left(t(X;Y\right)\right)\,{\mathcal {F}}^{-1}\left(\left(t(X;Y\right)\right)}
p
(
x
′
;
y
′
)
=
p
0
F
−
1
(
(
t
(
X
;
Y
)
∗
(
t
(
X
;
Y
)
)
{\displaystyle p(x';y')=p_{0}\,{\mathcal {F}}^{-1}\left(\left(t(X;Y\right)\ast \left(t(X;Y\right)\right)}
La fonction de transfert optique est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle spatiale. Attention il faut retomber sur 1 au maximum pour normaliser la fonction.
M
T
F
=
C
(
f
,
g
)
=
K
F
(
p
(
x
′
,
y
′
)
)
p
0
{\displaystyle \mathrm {MTF} =C(f,g)=K\,{\frac {{\mathcal {F}}(p(x',y'))}{p_{0}}}}
C
(
f
,
g
)
=
K
F
(
F
−
1
(
T
(
X
,
Y
)
∗
T
(
X
,
Y
)
)
)
{\displaystyle C(f,g)=K\,{\mathcal {F}}\left({\mathcal {F}}^{-1}\left(T\left(X,Y\right)\ast T\left(X,Y\right)\right)\right)}
C
(
f
,
g
)
=
K
T
(
X
,
Y
)
∗
T
(
X
,
Y
)
{\displaystyle C(f,g)=K\,T\left(X,Y\right)\ast T\left(X,Y\right)}
C
(
f
,
g
)
=
K
∬
t
(
X
,
Y
)
T
(
f
−
X
,
g
−
Y
)
d
X
d
Y
{\displaystyle C(f,g)=K\,\iint t(X,Y)\,T(f-X,g-Y)\,\mathrm {d} X\,\mathrm {d} Y}
La réponse impulsionnelle correspond à un rectangle ce qui est l'analogue d'une fonction porte en deux dimensions. La fonction de transfert optique est l'autoconvolution de la porte ce qui correspond à l'aire de l'intersection de deux rectangles.
{
C
(
f
,
g
)
=
K
(
L
−
|
f
|
)
(
H
−
|
g
|
)
si
|
f
|
⩽
L
et
|
g
|
⩽
H
C
(
f
,
g
)
=
0
sinon
{\displaystyle {\begin{cases}C(f,g)=K\,(L-|f|)(H-|g|)&{\text{si}}\quad |f|\leqslant L\ {\text{et}}\ |g|\leqslant H\\C(f,g)=0&{\text{sinon}}\end{cases}}}
---------- Plus compliqué analytiquement ---------
t
(
X
,
Y
)
=
{
1
,
si
−
L
2
≤
X
≤
L
2
et si
−
H
2
≤
Y
≤
H
2
0
,
sinon
{\displaystyle t(X,Y)={\begin{cases}1,&{\text{si }}-{\frac {L}{2}}\leq X\leq {\frac {L}{2}}{\text{ et si }}-{\frac {H}{2}}\leq Y\leq {\frac {H}{2}}\\0,&{\text{sinon }}\end{cases}}}
C
(
f
,
g
)
=
K
T
(
f
,
g
)
∗
T
(
f
,
g
)
{\displaystyle C(f,g)=K\,T\left(f,g\right)\ast T\left(f,g\right)}
C
(
f
,
g
)
=
K
∬
t
(
x
,
y
)
T
(
f
−
x
,
g
−
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle C(f,g)=K\,\iint t(x,y)\,T(f-x,g-y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
C
(
f
,
g
)
=
K
∫
−
L
/
2
L
/
2
∫
−
H
/
2
H
/
2
1
T
(
f
−
x
,
g
−
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle C(f,g)=K\,\int _{-L/2}^{L/2}\int _{-H/2}^{H/2}1\,T(f-x,g-y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
u
=
f
−
x
{\displaystyle u=f-x}
v
=
g
−
y
{\displaystyle v=g-y}
C
(
f
,
g
)
=
K
∫
f
+
L
/
2
f
−
L
/
2
∫
g
+
H
/
2
g
−
H
/
2
1
T
(
f
−
x
,
g
−
y
)
d
u
d
v
{\displaystyle C(f,g)=K\,\int _{f+L/2}^{f-L/2}\int _{g+H/2}^{g-H/2}1\,T(f-x,g-y)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}
C
(
f
,
g
)
=
K
∫
f
−
L
/
2
f
+
L
/
2
∫
g
−
H
/
2
g
+
H
/
2
1
T
(
u
,
v
)
d
u
d
v
{\displaystyle C(f,g)=K\,\int _{f-L/2}^{f+L/2}\int _{g-H/2}^{g+H/2}1\,T(u,v)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}
Si
f
+
L
2
≤
−
L
2
⇔
f
≤
−
L
{\displaystyle f+{\frac {L}{2}}\leq -{\frac {L}{2}}\Leftrightarrow f\leq -L}
f
−
L
2
⩾
L
2
⇔
f
⩾
L
{\displaystyle f-{\frac {L}{2}}\geqslant {\frac {L}{2}}\Leftrightarrow f\geqslant L}
C
(
f
,
g
)
=
0
{\displaystyle C(f,g)=0}
Si
f
−
L
2
⩽
−
L
2
⇔
f
⩽
0
{\displaystyle f-{\frac {L}{2}}\leqslant -{\frac {L}{2}}\Leftrightarrow f\leqslant 0}
C
(
f
,
g
)
=
K
∫
−
L
/
2
f
+
L
/
2
∫
g
−
H
/
2
g
+
H
/
2
1
d
u
d
v
{\displaystyle C(f,g)=K\,\int _{-L/2}^{f+L/2}\int _{g-H/2}^{g+H/2}1\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}
C
(
f
,
g
)
=
K
(
f
+
L
)
∫
g
−
H
/
2
g
+
H
/
2
1
d
v
{\displaystyle C(f,g)=K\,(f+L)\int _{g-H/2}^{g+H/2}1\,\mathrm {d} v}
f
+
L
2
⩾
L
2
⇔
f
⩾
0
{\displaystyle f+{\frac {L}{2}}\geqslant {\frac {L}{2}}\Leftrightarrow f\geqslant 0}
C
(
f
,
g
)
=
K
∫
f
−
L
/
2
L
/
2
∫
g
−
H
/
2
g
+
H
/
2
1
d
u
d
v
{\displaystyle C(f,g)=K\,\int _{f-L/2}^{L/2}\int _{g-H/2}^{g+H/2}1\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}
C
(
f
,
g
)
=
K
(
L
−
f
)
∫
g
−
H
/
2
g
+
H
/
2
1
d
v
{\displaystyle C(f,g)=K\,(L-f)\int _{g-H/2}^{g+H/2}1\,\mathrm {d} v}
C
(
f
,
g
)
=
K
(
L
−
f
)
∫
g
−
H
/
2
g
+
H
/
2
1
d
v
{\displaystyle C(f,g)=K\,(L-f)\int _{g-H/2}^{g+H/2}1\,\mathrm {d} v}
L’auto-convolution de la réponse impulsionnelle spatiale peut être calculée en déterminant la surface d'intersection de deux disques.
A
=
2
(
θ
f
c
2
2
−
f
c
cos
θ
f
c
sin
θ
)
{\displaystyle A=2\left({\frac {\theta f_{c}^{2}}{2}}-f_{c}\cos \theta \,f_{c}\sin \theta \right)}
A
=
2
f
c
2
(
θ
2
−
sin
2
θ
2
)
{\displaystyle A=2\,f_{c}^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {\sin 2\theta }{2}}\right)}
A
=
2
f
c
2
(
θ
2
−
cos
θ
sin
θ
)
{\displaystyle A=2\,f_{c}^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\cos \theta \sin \theta }\right)}
Au maximum, l'aire vaut
A
m
a
x
=
π
f
c
2
{\displaystyle A_{\mathrm {max} }=\pi \,f_{c}^{2}}
f
f
c
=
cos
θ
{\displaystyle {\frac {f}{f_{c}}}=\cos \theta }
sin
2
θ
=
1
−
(
f
f
c
)
2
{\displaystyle \sin ^{2}\theta =1-\left({\frac {f}{f_{c}}}\right)^{2}}
A
=
2
f
c
2
(
arccos
(
f
/
f
c
)
2
−
f
f
c
1
−
(
f
f
c
)
2
)
{\displaystyle A=2\,f_{c}^{2}\left({\frac {\arccos(f/f_{c})}{2}}-{{\frac {f}{f_{c}}}{\sqrt {1-\left({\frac {f}{f_{c}}}\right)^{2}}}}\right)}
En divisant par
A
m
a
x
{\displaystyle A_{\mathrm {max} }}
C
(
f
)
=
2
π
(
arccos
(
f
/
f
c
)
2
−
f
f
c
1
−
(
f
f
c
)
2
)
{\displaystyle C(f)={\frac {2}{\pi }}\left({\frac {\arccos(f/f_{c})}{2}}-{{\frac {f}{f_{c}}}{\sqrt {1-\left({\frac {f}{f_{c}}}\right)^{2}}}}\right)}
La puissance totale qui traverse la surface est :
P
=
E
i
2
2
×
120.
π
S
=
p
0
S
{\displaystyle P={\frac {E_{i}^{2}}{2\times 120.\pi }}\,S=p_{0}\,S}
La puissance totale qui atteint le plan image
P
=
∫
∫
|
E
(
B
)
|
2
2
×
120
π
d
Σ
{\displaystyle P=\int \!\!\!\!\int {\frac {|E(B)|^{2}}{2\times 120\pi }}d\Sigma }
P
=
∫
∫
|
E
(
B
)
|
2
2
×
120
π
d
Σ
{\displaystyle P=\int \!\!\!\!\int {\frac {|E(B)|^{2}}{2\times 120\pi }}d\Sigma }
E
_
(
B
)
=
e
_
0
F
{
t
(
X
,
Y
)
}
{\displaystyle {\underline {E}}(B)={\underline {e}}_{0}\ {\mathcal {F}}\{t(X,Y)\}}
e
_
0
=
1
D
E
i
e
−
i
k
(
D
+
x
2
+
y
2
2.
D
)
=
e
0
e
i
φ
′
{\displaystyle {\underline {e}}_{0}={\frac {1}{D}}\,E_{i}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {-} i\,k\,\left(D+{\frac {x^{2}+y^{2}}{2.D}}\right)}=e_{0}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\varphi '}}
p
(
x
′
;
y
′
)
=
p
0
|
F
{
(
t
(
X
;
Y
)
∗
(
t
(
X
;
Y
)
}
|
{\displaystyle p(x';y')=p_{0}\ |{\mathcal {F}}\{\left(t(X;Y\right)\ast \left(t(X;Y\right)\}|}
p
0
=
e
0
2
2.120.
π
{\displaystyle p_{0}={\frac {e_{0}^{2}}{2.120.\pi }}}
---
E
_
(
B
)
=
∬
S
d
E
_
(
B
)
=
e
_
0
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
t
(
X
,
Y
)
e
−
i
.2
π
.
(
x
′
.
X
+
y
′
.
Y
)
d
X
d
Y
{\displaystyle {\underline {E}}(B)=\iint _{S}\mathrm {d} {\underline {E}}(B)={\underline {e}}_{0}\ \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .2\pi .(x'.X+y'.Y)}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y}
E
_
(
O
)
=
∬
S
d
E
_
A
(
O
)
=
e
_
0
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
t
(
X
,
Y
)
d
X
d
Y
{\displaystyle {\underline {E}}(O)=\iint _{S}\mathrm {d} {\underline {E}}_{A}(O)={\underline {e}}_{0}\ \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y}
En supposant
t
=
1
{\displaystyle t=1}
E
_
(
O
)
=
e
_
0
S
{\displaystyle {\underline {E}}(O)={\underline {e}}_{0}\,S}
p
(
x
′
,
y
′
)
=
p
0
|
F
{
(
t
(
X
;
Y
)
∗
(
t
(
X
;
Y
)
}
|
{\displaystyle p(x',y')=p_{0}\ |{\mathcal {F}}\{\left(t(X;Y\right)\ast \left(t(X;Y\right)\}|}
p
(
0
,
0
)
=
e
0
2
S
2
2
×
120
π
=
p
0
S
2
=
1
2
×
120
π
E
i
2
S
2
D
2
{\displaystyle p(0,0)={\frac {e_{0}^{2}\,S^{2}}{2\times 120\pi }}=p_{0}\,S^{2}={\frac {1}{2\times 120\pi }}{\frac {E_{i}^{2}\,S^{2}}{D^{2}}}}
p
0
S
2
=
p
i
S
2
D
2
{\displaystyle p_{0}\,S^{2}={\frac {p_{i}\,S^{2}}{D^{2}}}}
--- Poubelle ! ---
La densité surfacique de puissance émise au point A s'exprime en fonction du champ électrique efficace
E
(
A
)
{\displaystyle E(A)}
p
A
(
X
,
Y
)
=
E
2
(
A
)
120.
π
{\displaystyle p_{A}(X,Y)={\frac {E^{2}(A)}{120.\pi }}}
La puissance rayonnée émise par l'élément de surface au point A :
d
P
A
(
X
,
Y
)
=
E
2
(
A
)
120.
π
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} P_{A}(X,Y)={\frac {E^{2}(A)}{120.\pi }}\,\mathrm {d} S}
L'onde étant supposée sphérique, la densité surfacique de puissance à une distance
δ
{\displaystyle \delta }
d
p
(
δ
)
=
d
P
A
4.
π
.
δ
2
=
1
4.
π
.
δ
2
E
2
(
A
)
120.
π
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} p(\delta )={\frac {\mathrm {d} P_{A}}{4.\pi .\delta ^{2}}}={\frac {1}{4.\pi .\delta ^{2}}}\,{\frac {E^{2}(A)}{120.\pi }}\,\mathrm {d} S}
La densité surfacique de puissance au point B en provenance de l’ensemble de la surface S :
p
(
δ
)
=
∬
S
1
4.
π
.
δ
2
E
2
(
A
)
120.
π
d
S
=
E
2
(
A
)
120.
π
1
4.
π
∬
S
1
δ
2
d
S
=
E
2
(
B
)
120.
π
{\displaystyle p(\delta )=\iint _{S}{\frac {1}{4.\pi .\delta ^{2}}}\,{\frac {E^{2}(A)}{120.\pi }}\,\mathrm {d} S={\frac {E^{2}(A)}{120.\pi }}\,{\frac {1}{4.\pi }}\,\iint _{S}{\frac {1}{\delta ^{2}}}\,\mathrm {d} S={\frac {E^{2}(B)}{120.\pi }}}
On peut ainsi mettre en lien les champs électriques efficaces aux points A et B :
E
(
B
)
=
∬
S
1
δ
2
d
S
4.
π
E
(
A
)
=
E
(
A
)
{\displaystyle E(B)={\sqrt {\frac {\iint _{S}{\frac {1}{\delta ^{2}}}\,\mathrm {d} S}{4.\pi }}}\,E(A)=E(A)}
La figure de diffraction pour une impulsion est donnée par la transformée de Fourier de la forme de l'ouverture.
Ouverture rectangulaire
p
(
X
;
Y
)
=
Π
(
L
/
2
;
H
/
2
)
(
X
;
Y
)
{\displaystyle p(X;Y)=\Pi _{(L/2;H/2)}(X;Y)}
La figure de diffraction de correspondante est donnée par :
h
(
x
;
y
)
=
F
(
p
(
X
;
Y
)
)
=
∫
−
H
/
2
H
/
2
(
∫
−
L
/
2
L
/
2
e
−
i
.2
π
.
x
.
X
d
X
)
e
−
i
.2
π
.
y
.
Y
d
Y
{\displaystyle h(x;y)={\mathcal {F}}(p(X;Y))=\int _{-H/2}^{H/2}\left(\int _{-L/2}^{L/2}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .2\pi .x.X}\,\mathrm {d} X\right)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .2\pi .y.Y}\,\mathrm {d} Y}
h
(
x
;
y
)
=
∫
−
H
/
2
H
/
2
L
s
i
n
c
(
π
.
f
L
.
H
)
e
−
i
.2
π
.
f
H
.
y
d
y
{\displaystyle h(x;y)=\int _{-H/2}^{H/2}L\,\mathrm {sinc} \left(\pi .f_{L}.H\right)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} .2\pi .f_{H}.y}\,\mathrm {d} y}
h
(
x
;
y
)
=
L
s
i
n
c
(
π
.
f
L
.
L
)
H
s
i
n
c
(
π
.
f
H
.
H
)
{\displaystyle h(x;y)=L\,\mathrm {sinc} \left(\pi .f_{L}.L\right)\,H\,\mathrm {sinc} \left(\pi .f_{H}.H\right)}
l'éclairement résultant (toujours dans le cas d'une impulsion)
E
(
x
;
y
)
=
|
h
(
x
;
y
)
|
2
{\displaystyle E(x;y)=|h(x;y)|^{2}}
L'OTF est donnée par la transformée de Fourier de l'éclairement.
M
T
F
(
f
L
;
f
H
)
=
F
(
E
(
x
;
y
)
)
=
F
(
|
h
(
x
;
y
)
|
|
h
(
x
;
y
)
|
)
{\displaystyle MTF(f_{L};f_{H})={\mathcal {F}}(E(x;y))={\mathcal {F}}(|h(x;y)|\,|h(x;y)|)}
M
T
F
(
f
L
;
f
H
)
=
F
(
|
h
(
x
;
y
)
|
)
∗
F
(
|
h
(
x
;
y
)
|
)
{\displaystyle MTF(f_{L};f_{H})={\mathcal {F}}(|h(x;y)|)\ast {\mathcal {F}}(|h(x;y)|)}
L'image de la mire qui se forme est le produit de convolution d'un sinus par une porte ou inversement.
E
(
x
)
=
sin
(
ω
.
x
)
∗
Π
D
/
2
(
x
)
{\displaystyle E(x)=\sin(\omega .x)\ast \Pi _{D/2}(x)}
E
(
x
)
=
∫
−
∞
∞
sin
(
ω
.
h
)
Π
D
/
2
(
x
−
h
)
d
h
{\displaystyle E(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\sin(\omega .h)\,\Pi _{D/2}(x-h)\,\mathrm {d} h}
E
(
x
)
=
∫
x
−
D
/
2
x
+
D
/
2
sin
(
ω
.
h
)
d
h
{\displaystyle E(x)=\int _{x-D/2}^{x+D/2}\sin(\omega .h)\,\mathrm {d} h}
E
(
x
)
=
[
−
1
ω
cos
(
ω
.
h
)
]
x
−
D
/
2
x
+
D
/
2
{\displaystyle E(x)=\left[-{\frac {1}{\omega }}\cos \left(\omega .h\right)\right]_{x-D/2}^{x+D/2}}
E
(
x
)
=
−
1
ω
cos
(
ω
.
(
x
+
D
/
2
)
)
+
1
ω
cos
(
ω
.
(
x
−
D
/
2
)
)
{\displaystyle E(x)=-{\frac {1}{\omega }}\cos \left(\omega .\left(x+D/2\right)\right)+{\frac {1}{\omega }}\cos \left(\omega .\left(x-D/2\right)\right)}
E
(
x
)
=
2
ω
sin
(
ω
.
x
)
sin
(
ω
.
D
/
2
)
{\displaystyle E(x)={\frac {2}{\omega }}\,\sin \left(\omega .x\right)\,\sin \left(\omega .D/2\right)}
Brouillon 1
Brouillon 2
Brouillon 3
Brouillon 4
Brouillon 5
Brouillon 6
Brouillon 9
![{\displaystyle \delta =D\,{\sqrt {1+\left({\frac {x-X}{D}}\right)^{2}+\left({\frac {y-Y}{D}}\right)^{2}}}\simeq D\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-X}{D}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {y-Y}{D}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f371aebae9af5a4d50d0939470bd764b28f59e87)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\left(t(X;Y\right)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Pi _{{L}/2,H/2}(X,Y)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,2\pi \,x'X}\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,2\pi \,y'Y}\,\mathrm {d} X\,\mathrm {d} Y\\\ &=\int _{-{L/2}}^{+{L/2}}\int _{-{H/2}}^{+{H/2}}1\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,2\pi \,x'X}\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,2\pi \,y'Y}\,\mathrm {d} X\,\mathrm {d} Y\\\ &=\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .x'.X}}{-\mathrm {j} .2\pi .x'}}\right]_{-{L/2}}^{+{L/2}}\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .y'.Y}}{-\mathrm {j} .2\pi .y'}}\right]_{-{H/2}}^{+{H/2}}\\\ &={\frac {1}{\pi .x'}}\,{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\pi .x'.L}-\mathrm {e} ^{+\mathrm {j} .\pi .x'.L}}{-2.\mathrm {j} }}\,{\frac {1}{\pi .y'}}\,{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\pi .y'.H}-\mathrm {e} ^{+\mathrm {j} .\pi .y'.H}}{-2.\mathrm {j} }}\\\ &={\frac {\sin(\pi .x'.L)}{\pi .x'}}\,{\frac {\sin(\pi .y'.L)}{\pi .y'}}\\\ &=L\,{\frac {\sin(\pi .x'.L)}{\pi .x'.L}}\,H\,{\frac {\sin(\pi .y'.H)}{\pi .y'.H}}\\\ &=H\,L\,\,\mathrm {sinc} (\pi .x'.L)\,\mathrm {sinc} (\pi .y'.H)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a98070e4bcb6b5e0645bb4e63853b883de14a355)
![{\displaystyle t(R,\Theta )={\begin{cases}1,&{\text{si }}R\in \left[0,d/2\right]\\0,&{\text{sinon }}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3df4c6d62f91aac8e8463b270030de34b01fce6)
![{\displaystyle E(x)=\left[-{\frac {1}{\omega }}\cos \left(\omega .h\right)\right]_{x-D/2}^{x+D/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abfc4e4b2c002194f3b7378594dd43bad2b9357f)
