Théorie générale des nombres complexes/La forme algébrique des nombres complexes

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L'ensemble des nombres complexes

Définition

On appelle ensemble des nombres complexes, et l'on note $\mathbb {C}$, l'ensemble des expressions de la forme : $a+\mathrm {i} b$ où $a$ et $b$ sont des réels.

Pour tout nombre complexe $z=a+\mathrm {i} b$, on appelle respectivement partie réelle et partie imaginaire de $z$ les deux réels $a$ et $b$, que l'on note :

$a=\operatorname {Re} (z)\quad {\text{et}}\quad b=\operatorname {Im} (z)$.

Remarques

• Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
• En tant qu'ensemble, $\mathbb {C}$ est donc $\mathbb {R} ^{2}$. On a simplement décidé de noter $a+\mathrm {i} b$, au lieu de $(a,b)$, le couple des deux réels $a$ et $b$. En particulier :
  • le couple $(0,1)$ est noté $0+\mathrm {i} 1$, ou plus simplement $\mathrm {i}$ ;
  • pour tout réel $a$, le couple $(a,0)$ est noté $a+\mathrm {i} 0$, ou plus simplement $a$.

Addition et multiplication dans $\mathbb {C}$

Définition

On définit sur $\mathbb {C}$ deux lois internes, addition et multiplication, par :

$(a+\mathrm {i} b)+(c+\mathrm {i} d)=(a+c)+\mathrm {i} (b+d)$ ;

$(a+\mathrm {i} b)(c+\mathrm {i} d)=(ac-bd)+\mathrm {i} (ad+bc)$.

Remarques

• En particulier, $\mathrm {i} ^{2}=-1$. On vient donc de donner un fondement à l'usuelle pseudo-définition au niveau 13 du nombre i.
• La notation $a+\mathrm {i} b$ est compatible avec ces définitions car le nombre complexe correspondant au couple $(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ est bien la somme de celui correspondant à $(a,0)$ et du produit de ceux correspondant à $(0,1)$ et $(b,0)$. On peut également le noter $a+b\mathrm {i}$, car la multiplication dans $\mathbb {C}$ est commutative.

Proposition

$(\mathbb {C} ,+,\cdot )$ est un anneau commutatif unifère .

Démonstration

L'addition dans $\mathbb {C}$ est la simple transcription de l'addition dans $\mathbb {R} ^{2}$, ce qui fait de $(\mathbb {C} ,+)$ un groupe abélien, d'élément neutre $0$.

On vérifie de plus que :

• $(\mathbb {C} ,\cdot )$ est un monoïde commutatif :
  • commutativité de la multiplication : $\forall (z,z')\in \mathbb {C} ^{2}\quad zz'=z'z$,
  • associativité de la multiplication : $\forall (z,z',z'')\in \mathbb {C} ^{3}\quad (zz')z''=z(z'z'')$,
  • élément neutre : $\forall z\in \mathbb {C} \quad z1=z$ ;
• la multiplication est distributive par rapport à l'addition : $\forall (z,z',z'')\in \mathbb {C} ^{3}\quad (z+z')z''=zz''+z'z''$.

 

Remarque

De plus, $\mathbb {R}$ s'identifie à un sous-anneau de $\mathbb {C}$, ce qui fait également de $\mathbb {C}$ une $\mathbb {R}$-algèbre.

Conjugué et module d'un nombre complexe

Définition du conjugué

Pour tout $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$, le conjugué du nombre complexe $z=x+\mathrm {i} y$, noté ${\overline {z}}$, est le nombre complexe défini par :

${\overline {x+\mathrm {i} y}}=x-\mathrm {i} y$.

Le produit de $x+\mathrm {i} y$ par son conjugué est le réel positif $x^{2}+y^{2}$. Sa racine carrée porte un nom :

Définition du module

Pour tout $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$, le module du nombre complexe $z=x+\mathrm {i} y$, noté $|z|$, est le réel positif défini par :

$|z|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$,

ou encore :

$|x+\mathrm {i} y|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$.

Le corps des nombres complexes

Le module d'un nombre complexe non nul étant non nul, on en déduit :

Inverse d'un nombre complexe non nul

Tout nombre complexe non nul possède un inverse dans $\mathbb {C}$.

Plus précisément : pour tout $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$,

${\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}$

ou encore : pour tout $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$,

${\frac {1}{x+\mathrm {i} y}}={\frac {x-\mathrm {i} y}{x^{2}+y^{2}}}$.

Nous avons montré que $(\mathbb {C} ,+,\cdot )$ est un anneau commutatif unifère et que tout élément non nul de $\mathbb {C}$ est inversible, d'où la propriété suivante :

Corollaire

Muni des deux opérations addition et multiplication, $\mathbb {C}$ est un corps commutatif.