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Théorie générale des nombres complexes/La forme algébrique des nombres complexes

Leçons de niveau 14
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La forme algébrique des nombres complexes
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Chapitre no 1
Leçon : Théorie générale des nombres complexes
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L'ensemble des nombres complexes

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Remarques
  • Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
  • En tant qu'ensemble, est donc . On a simplement décidé de noter , au lieu de , le couple des deux réels et . En particulier :
    • le couple est noté , ou plus simplement  ;
    • pour tout réel , le couple est noté , ou plus simplement .

Addition et multiplication dans

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Remarques
  • En particulier, . On vient donc de donner un fondement à l'usuelle pseudo-définition au niveau 13 du nombre i.
  • La notation est compatible avec ces définitions car le nombre complexe correspondant au couple est bien la somme de celui correspondant à et du produit de ceux correspondant à et . On peut également le noter , car la multiplication dans est commutative.


Remarque
De plus, s'identifie à un sous-anneau de , ce qui fait également de une -algèbre.

Conjugué et module d'un nombre complexe

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Le produit de par son conjugué est le réel positif . Sa racine carrée porte un nom :


Le corps des nombres complexes

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Le module d'un nombre complexe non nul étant non nul, on en déduit :


Nous avons montré que est un anneau commutatif unifère et que tout élément non nul de est inversible, d'où la propriété suivante :