Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Le théorème p-q de Burnside

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Théorie des groupes/Le théorème p-q de Burnside
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Dans ce chapitre, on va démontrer le théorème p-q de Burnside, ou théorème pa qb de Burnside, selon lequel tout groupe fini dont l'ordre compte au plus deux facteurs premiers distincts est résoluble. La démonstration est celle que Burnside lui-même a donnée en 1904[1] à l'aide de la théorie des -caractères des groupes finis.

On resta environ soixante-cinq ans sans connaître de démonstration indépendante de la théorie des caractères. En suivant une indication de J. G. Thompson, D. Goldschmidt donna en 1970 une telle démonstration limitée aux groupes d'ordre pa qb impair et H. Bender compléta la démonstration en 1972[2].

La numérotation des énoncés fait suite à celle du chapitre précédent.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. On va utiliser le point 9° des rappels sur les nombres algébriques (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1).

Soit L l'extension de engendrée par Cette extension est de degré fini.

Soit un « isomorphisme » de L dans . Il résulte des hypothèses de l'énoncé que sont des racines de l'unité non toutes égales entre elles donc, d'après le lemme précédent,

, soit .

En prenant le produit sur les « isomorphismes » de L dans , on trouve

(1) .

D'autre part, puisque, par hypothèse est un entier algébrique, son image par est un entier rationnel. D'après (1), la valeur absolue de cet entier rationnel est < 1, donc elle est nulle, ce qui prouve l'énoncé.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration[4],[5],[6]. Par définition, est la trace de la matrice T(g). Puisque G est un groupe fini, cette matrice est un élément d'ordre fini du groupe . D'après le lemme précédent, l'énoncé sera donc démontré si nous prouvons que est un entier algébrique.

Puisque d et sont supposés premiers entre eux, il existe des entiers rationnels et tels que

.

En multipliant par , on obtient

(1) .

Puisque est irréductible, il résulte du lemme 36 (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 2) que

(2) est un entier algébrique.

D'autre part, d'après le corollaire 10 (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1),

(3) est un entier algébrique.

(1), (2) et (3) montrent que est bien un entier algébrique, ce qui achève la preuve.

Début d’un théorème


Fin du théorème

La dénomination « Théorème de non-simplicité de Burnside », qu'on donne ici au théorème qui suit, n'est pas standard, mais ce théorème a bien été démontré par Burnside[7],[8],[9] et ajouté à son article[1], ce qui lui a permis de simplifier sa preuve initiale du théorème pa qb.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Supposons que, par absurde,

(hyp. 1) G soit simple.

Désignons par les différents -caractères irréductibles de G, en prenant pour le caractère constant de valeur 1 (caractère principal). Pour tout i dans {1, ... , h}, désignons par le degré de .

Pour chaque i dans {1, ... , h}, choisissons une -représentation matricielle de G ayant pour caractère. Les sont donc irréductibles et deux à deux non équivalentes et est la -représentation matricielle triviale de degré 1 de G.

Il résulte alors du lemme 42 que

(2) pour tout , la représentation est fidèle.

Par hypothèse de l'énoncé, nous pouvons choisir un élément g de G tel que

.

Comme g a plusieurs conjugués, il n'appartient pas au centre de G. Pour tout , d'après (2), la matrice n'est donc pas scalaire. Par conséquent, d'après le lemme 41 :

(3) pour tout tel que ne soit pas divisible par p, .

D'autre part, puisque g a plusieurs conjugués, il est distinct de 1 (nous avons d'ailleurs déjà noté qu'il n'appartient pas au centre de G) donc, d'après la seconde relation d'orthogonalité (Caractères complexes des groupes finis, 1, théorème 31) :

autrement dit, en divisant par p et en tenant compte de (3) :

(4) .

Or nous savons (nous l'avons déjà utilisé dans la preuve du lemme 41) que tous les sont des entiers algébriques donc, d'après (4), 1/p est un entier algébrique, ce qui est faux (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1, rappels sur les nombres algébriques, point 8°).

La contradiction obtenue prouve que notre hypothèse (1) est absurde, donc G n'est pas simple, ce qui démontre l'énoncé.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration[10]. On va raisonner par récurrence sur , en supposant que le théorème est vrai pour tout groupe d'ordre .

Puisque tout groupe fini ayant pour ordre une puissance de nombre premier est nilpotent et donc résoluble, nous pouvons supposer que p et q sont distincts et que a et b sont non nuls.

Supposons que (par absurde)

(hyp. 1) G soit simple.

Alors, d'après le théorème 43, aucune classe de conjugaison d'éléments de G non réduite à un élément n'a pour cardinal une puissance de nombre premier. Puisque le cardinal d'une classe de conjugaison divise (chapitre Action de groupe, section Le centralisateur et le normalisateur vus comme stabilisateurs), cela revient à dire que

(2) toute classe de conjugaison de G non réduite à un élément a un cardinal divisible par pq.

Puisque nous supposons que G est simple et d'ordre non premier, c'est un groupe simple non commutatif, donc son centre est réduit à l'élément neutre, autrement dit {1} est la seule classe de conjugaison de G réduite à un élément. Donc, d'après (2)

,

ce qui est impossible, puisque , que nous supposons égal à avec et non nuls, est divisible par pq.

La contradiction obtenue prouve que notre hypothèse (1) est absurde, donc G n'est pas simple. Il existe donc un sous-groupe normal N de G tel que

1 < N < G.

Alors les groupes N et G/N sont tous deux d'ordre De plus, les ordres de N et de G/N divisent donc l'ordre de N est de la forme et l'ordre de G/N est de la forme Par hypothèse de récurrence, N et G/N sont résolubles, donc (chapitre Groupes résolubles) G est résoluble.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 et 1,1 W. Burnside, « On groups of order pαqβ », Proc. London Math. Soc., vol. s2-1, no  1, 1904 [texte intégral lien DOI].
  2. Joseph A. Gallian, « The search for finite simple groups », Mathematics Magazine, vol. 49, 1976, p. 163-179 [texte intégral], p. 170.
  3. N. Bourbaki, Topologie générale, Paris, Hermann, 1974, ch. VI, § 2, n° 1, p. VI.7.
  4. W. R. Scott, Group Theory, Dover, 1987 (1re éd. 1964) [lire en ligne], p. 333 , 12.3.1.
  5. Derek J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer, 1996 [lire en ligne], p. 247 , 8.5.1.
  6. Larry C. Grove, Groups and Characters, Wiley, 1997 [lire en ligne], p. 119-120 , Proposition 5.2.37.
  7. Scott 1987, p. 334, 12.3.2.
  8. Robinson 1996, p. 247, 8.5.2.
  9. Grove 1997, p. 200, Theorem 5.2.38.
  10. Pavel I. Etingof et al., Introduction to Representation Theory, AMS, 2011 [lire en ligne], p. 100 .