Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés

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Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés
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Chapitre no 39
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. : Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité
Chap. suiv. : Le théorème p-q de Burnside

Exercices :

Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés
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Dans ce chapitre, on va démontrer trois théorèmes sur les degrés des -caractères irréductibles d'un groupe fini.
La numérotation des énoncés fait suite à celle du chapitre précédent.

Rappelons (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, Exemples de représentations) que si G est un groupe fini, la -représentation régulière gauche de G est la -représentation vectorielle L de G dans le - espace vectoriel définie de la façon suivante :

pour tout g dans G, L(g) est l'automorphisme du - espace vectoriel

Le caractère de la représentation L est appelé le caractère régulier de G.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Notons n l'ordre de G et choisissons une numérotation des éléments de G. Donc est une base (numérotée) du -espace
La i-ième composante d'un élément h de G dans cette base est 1 si et 0 sinon.
Donc pour tout élément g de G et tout i dans {1, ... , n}, la i-ième composant de , autrement dit de , dans la base est égale à 1 si g = 1 et à 0 dans le cas contraire. Donc la trace de l'endomorphisme L(g) est égale à n si g = 1 et à 0 dans le cas contraire. Puisque est égal par définition à Tr(L(g)), l'énoncé en résulte.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. D'après le théorème 20 (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité),

(1)

D'autre part, par définition de ,

(2)

Il résulte du lemme 32 que dans la somme du second membre, tous les termes correspondant aux indices g distincts de 1 sont nuls et que le terme correspondant à l'indice g = 1 vaut
Donc la relation (2) peut s'écrire

En portant ceci dans (1), on trouve

ce qui prouve l'énoncé.
Voici une autre démonstration. D'après la seconde relation d'orthogonalité (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité, théorème 31), appliquée à la classe de conjugaison d'un élément g de G et à la classe de conjugaison {1},

Puisque le degré de est un nombre réel, cela peut s'écrire

D'après le lemme 32, le second membre égale , donc, pour tout g dans G,

ce qui prouve l'énoncé.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Notons le caractère régulier de G. D'après le lemme 32,

D'après le lemme 33, le premier membre égale

donc

Comme l'énoncé en résulte.
On pourrait aussi appliquer la seconde relation d'orthogonalité (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité, théorème 31) à « deux » classes de conjugaison égales à {1}.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Nous savons déjà que si G est abélien, alors toute -représentation irréductible de G est de degré 1 (voir chapitre Représentations complexes des groupes finis, 2, théorème 3).
Réciproquement, supposons que toute -représentation irréductible de G est de degré 1 et prouvons que G est abélien. L'hypothèserevient à dire que tout -caractère irréductible de G est de degré 1. D'après le théorème 34, nous avons donc

k désigne le nombre des -caractères irréductibles de G. D'après le théorème 29 (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité), ce nombre est égal au nombre des classes de conjugaison de G. Donc le nombre des classes de conjugaison de G est égal à l'ordre de G, ce qui n'est possible que si chaque classe de conjugaison est réduite à un élément, autrement dit si le groupe G est abélien.

Rappelons que si est un caractère d'un groupe fini G, si K est une classe de conjugaison d'éléments de G, on a convenu de désigner par la valeur prise par en tout élément de K.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Choisissons un -espace vectoriel V de dimension et une -représentation vectorielle irréductible T de G dans V admettant pour caractère.
Nous avons vu (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité, lemme 27) que pour toute fonction centrale ,

(1) le -endomorphisme de V

est l'homothétie de rapport

Notons la fonction caractéristique de K comme partie de G, c'est-à-dire l'application définie par

Comme déjà noté dans le chapitre précédent, démonstration du théorème 31, est une fonction centrale, donc nous pouvons faire dans (1). Nous trouvons ainsi que

est l'homothétie de rapport

Puisque est nulle en dehors de K et vaut 1 en tout élément de K, égale (où la somme est maintenant limitée aux éléments g de K). Donc notre résultat revient à dire que

(2) est l'homothétie de rapport

Par définition de ,

donc (2) revient à dire que

(3) est l'homothétie de rapport

Posons

(4)

La relation (3) signifie donc que

(5) est l'homothétie de rapport

et nous avons à prouver que est un entier algébrique.
Si sont des classes de conjugaison d'éléments de G, si g est un élément de G, notons le nombre des couples tels que
Prouvons que si et sont des éléments conjugués dans G, alors

(thèse 6)

Si (resp. désigne l'ensemble des couples tels que (resp. g'), si nous choisissons x dans G tel que alors définit une bijection de sur donc ce qui est la thèse (6).
Donc si sont des classes de conjugaison d'éléments de G, nous pouvons (en changeant le sens de a) désigner par l'unique nombre naturel possédant la propriété suivante :

(7) pour tout g dans K, est égal au nombre des couples tels que

Prouvons maintenant que si sont des classes de conjugaison d'éléments de G,

(thèse 8)

où J désigne l'ensemble des classes de conjugaison d'éléments de G.
Désignons par l'endomorphisme identique du -espace vectoriel V.
D'après la relation (5),

et

d'où, en composant membre à membre,

D'après (5), peut être remplacé par donc

En prenant les valeurs des deux membres en n'importe que vecteur non nul de V (V est non nul puisque c'est l'espace d'une représentation irréductible), nous trouvons

ce qui est la thèse (8).
Il en résulte que si désignent les différentes classes de conjugaison d'éléments de G,

est un sous-pseudo-anneau de Notons, bien que ce ne soit pas essentiel, que c'est non seulement un sous-pseudo-anneau, mais un sous-anneau de En effet, il comprend 1, car si K désigne la classe de conjugaison {1}, la définition (4) de donne . Comme ce sous-anneau est un -module de type fini, ses éléments sont des entiers algébriques (voir chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1, rappels sur les nombres algébriques, point 5°). En particulier, pour toute classe de conjugaison K d'éléments de G, est un entier algébrique, ce qui, comme noté, est l'énoncé.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Soit un -caractère irréductible de G, soit d le degré de .
Pour toute classe de conjugaison K d'éléments de G, posons (comme dans la démonstration du lemme 36)

Prouvons que

(thèse 1)

où K parcourt les classes de conjugaison d'éléments de G.
D'après la définition de nous avons

d'où, en multipliant par

ce qui revient à dire que, pour tout g dans K,

En sommant sur on trouve

et en sommant sur les classes de conjugaison,

(2)

Le premier membre égale , où, puisque est irréductible, Donc (2) peut s'écrire

(3)

ce qui est notre thèse (1).
D'après le lemme 36, les nombres sont des entiers algébriques et d'après le corollaire 10 (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1), les nombres sont eux aussi des entiers algébriques.
Comme un produit et une somme d'entiers algébriques sont des entiers algébriques (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1, rappels sur les nombres algébriques, point 7°), il résulte de (3) que est un entier algébrique. Puisqu'il est rationnel, c'est donc un entier rationnel (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1, rappels sur les nombres algébriques, point 8°) et, bien sûr, un nombre naturel.

Dans le chapitre suivant, on va montrer comment la théorie des caractères permet de prouver le théorème p-q de Burnside (ou théorème paqb de Burnside), selon lequel tout groupe fini dont l'ordre compte au plus deux facteurs premiers distincts est résoluble. Puis, dans un chapitre indépendant du chapitre sur le théorème p-q de Burnside, on déterminera les -caractères irréductibles de quelques groupes finis. Le lecteur pressé de connaître « effectivement » les -caractères irréductibles de quelques groupes finis peut omettre le chapitre sur le théorème p-q de Burnside.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]