Leçons de niveau 15

Théorie des groupes/Groupes monogènes, ordre d'un élément

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Groupes monogènes, ordre d'un élément
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Chapitre no 6
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z
Chap. suiv. :Conjugaison, centralisateur, normalisateur

Exercices :

Groupes monogènes, ordre d'un élément
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Groupes monogènes[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons vu qu'un groupe est dit monogène s'il est engendré par un seul élément. Nous avons vu aussi que Z est monogène et que le sous-groupe (monogène) d'un groupe G engendré par un élément a de G est l’ensemble des éléments de G de la forme , n parcourant .

Si a est un générateur d'un groupe monogène G, tout élément de G est de la forme , avec . Il en résulte que tout groupe monogène est commutatif.




Début d'une démonstration


Fin de la démonstration




Début d'une démonstration


Fin de la démonstration





Début d'une démonstration


Fin de la démonstration



Début d'une démonstration


Fin de la démonstration



Début d'une démonstration


Fin de la démonstration




Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Ordre d'un élément[modifier | modifier le wikicode]



Nous avons vu que le sous-groupe de G engendré par g est l’ensemble des éléments de G de la forme gn, n parcourant les entiers rationnels. Il en résulte clairement que le sous-groupe de G engendré par g-1 est égal au sous-groupe de G engendré par g. Donc g et g-1 ont le même ordre.




Début d'une démonstration


Fin de la démonstration




Début d'une démonstration


Fin de la démonstration




Début d'une démonstration


Fin de la démonstration




Début d'une démonstration


Fin de la démonstration




Début d'une démonstration


Fin de la démonstration



Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Groupes simples commutatifs[modifier | modifier le wikicode]



Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Remarques.

  1. Le théorème précédent et le théorème de Jordan-Hölder (qui sera démontré plus loin mais ne dépend d'aucun des théorèmes non triviaux sur la divisibilité dans N ou Z) permettent de prouver le théorème fondamental de l'arithmétique (existence et unicité de la décomposition en facteurs premiers). Ce sera fait dans les exercices sur le théorème de Jordan-Hölder. En revanche, cette méthode ne prouve pas le théorème de Bachet-Bézout.
  2. Les groupes alternés nous fourniront des exemples de groupes simples finis non commutatifs. Dans les exercices sur les groupes alternés, nous rencontrerons un groupe simple infini (non commutatif d’après le précédent théorème).