Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes

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Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes
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Exercices no22
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Automorphismes d'un groupe cyclique
Exo suiv. :Produit semi-direct
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Théorie des groupes/Exercices/Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe abélien fini. Pour tout élément de G, désignons par l'application de dans qui à tout homomorphisme f de G dans fait correspondre l'élément f(x) de . Prouver que est un homomorphisme de dans , autrement dit un élément de . Prouver que définit un isomorphisme de sur . (Cela montre que, comme annoncé dans le chapitre théorique, on peut définir un isomorphisme « canonique » de sur .)