Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité

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Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité
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Chapitre no 38
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. : Représentations complexes des groupes finis, 2
Chap. suiv. : Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés

Exercices :

Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité
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Dans ce chapitre et le suivant, on va donner les premiers éléments sur les caractères des représentations complexes des groupes finis. On se contentera d'un exposé vraiment minimal, limité à peu près à ce qui sera nécessaire pour donner, dans un troisième chapitre, la démonstration originale du théorème p-q de Burnside (selon lequel tout groupe fini dont l'ordre a au plus deux facteurs premiers distincts est résoluble). Dans un quatrième chapitre, on déterminera les caractères irréductibles de quelques groupes finis. Le lecteur intéressé par ce dernier point pourra omettre le chapitre sur le théorème p-q de Burnside.

Rappels sur les nombres algébriques[modifier | modifier le wikicode]

Rappelons quelques notions sur les nombres algébriques qui seront utilisées dans ce chapitre et les suivants.

1° Un nombre complexe est appelé un nombre algébrique sur , ou, plus couramment, un nombre algébrique (tout court), s'il est racine d'un polynôme non nul d'une variable à coefficients dans le corps des nombres rationnels. Un tel polynôme est évidemment non constant.
Tout nombre rationnel est un nombre algébrique (puisqu'un nombre rationnel a est racine du polynôme X - a).
2° Un nombre complexe est appelé un entier algébrique s'il est racine d'un polynôme monique d'une variable à coefficients dans l'anneau des entiers rationnels. (Un polynôme d'une variable est dit monique s'il est non nul et que son coefficient dominant, c'est-à-dire le coefficient de son terme non nul de plus grand degré, est égal à 1.)
Tout entier rationnel est un entier algébrique (puisqu'une entier rationnel a est racine du polynôme X - a).
Tout entier algébrique est évidemment un nombre algébrique.
3° Un nombre complexe est un entier algébrique si et seulement le sous-anneau de engendré par est un sous--module de type fini de , autrement dit un sous-groupe de type fini du groupe additif , + des nombres complexes.
4° Dans 3°, on peut remplacer « sous-anneau » par « sous-pseudo-anneau ». (Noter que si B désigne le sous-anneau de engendré par , si désigne le sous-pseudo-anneau de engendré par , alors et , donc B est un -module de type fini si et seulement si en est un.)
5° Un nombre complexe est un entier algébrique si et seulement s'il appartient à un sous-anneau de qui est un -module de type fini.
6° Dans 5°, on peut remplacer « sous-anneau » par « sous-pseudo-anneau ». (Noter qu'un sous-anneau est un sous-pseudo-anneau et que si P est un sous-pseudo-anneau, est un sous-anneau.)
7° Les nombres algébriques forment un sous-corps de et les entiers algébriques forment un sous-anneau de .
L'anneau des entiers algébriques est donc un sous-anneau du corps des nombres algébriques.
8° Tout nombre complexe qui est à la fois rationnel et entier algébrique est un entier rationnel. (Cela revient à dire que l'anneau est intégralement clos.)
9° (Ce point 9° ne sera pas utilisé avant le chapitre sur le théorème p-q de Burnside.) Si un corps commutatif E admet un corps (commutatif) F comme sous-corps, on dit que E est une extension de F. (Il existe une définition un peu plus générale d'une extension d'un corps commutatif, mais nous n'en aurons pas besoin.) Alors E, muni de son addition et de la loi externe est un F-espace vectoriel. La dimension de cet espace vectoriel est appelée le degré de l'extension E de F, ou encore le degré de E sur F.
Si tout élément de E est algébrique sur F (avec une définition d'un élément algébrique sur F qui généralise de façon évidente la définition d'un nombre complexe algébrique sur donnée au point 1°), on dit que E est une extension algébrique sur F, ou encore que E est algébrique sur F. Toute extension de degré fini d'un corps commutatif F est algébrique sur F.
Tout sous-corps de est une extension de . Le sous-corps de engendré par une famille finie de nombres algébriques (sur ) est une extension de degré fini de et donc, d'après ce qui précède, une extension algébrique de .
Si un sous-corps K de est une extension de degré fini d de , il existe exactement d homomorphismes de corps de K dans (dont l'un envoie chaque élément de K sur lui-même). Ces homomorphismes, comme tout homomorphisme de corps, sont injectifs. On les appelle (abusivement) les isomorphismes de K dans
Les d isomorphismes de K dans coïncident avec l'identité en tout point de On en tire facilement que l'image d'un nombre algébrique (resp. d'un entier algébrique) par un tel isomorphisme est un nombre algébrique (resp. un entier algébrique).
Notons les isomorphismes de K dans Pour tout élément de K, est un élément de et si est un entier algébrique, est un élément de L'élément de est appelé la norme de (dans l'extension K de ) et noté Il est clair qu'un élément de K est nul si et seulement est nul.

Seuls les points 5°, 7°, 8° et 9° ne sont pas immédiats. On trouve leur démonstration dans des ouvrages classiques d'algèbre[1].

Caractère d'une représentation[modifier | modifier le wikicode]



Les caractères de -représentations de G sont donc des éléments du -espace vectoriel (que nous notons aussi , surtout quand nous tenons compte de sa structure d'algèbre). Quand on parlera de la somme de deux ou plusieurs de ces caractères, il s'agira de leur somme dans cet espace vectoriel, c'est-à-dire de leur somme « point par point ». De même, quand on parlera du produit d'un de ces caractères par un nombre complexe, il s'agira de la loi externe du -espace vectoriel .

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Notons le caractère de T et notons le caractère de U; notons V l'espace de la représentation vectorielle T.
Puisque T et U se correspondent, il existe une base numérotée B de V telle que, pour tout g dans G, U(g) soit la matrice de l'automorphisme T(g) de V dans la base B. On sait que si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, si M désigne la matrice de f dans une base de cet espace, alors Tr(M) = Tr(f). Donc, pour tout g dans G, Tr(U(g)) = Tr(T(g)), c'est-à-dire ce qui prouve l'énoncé.

Remarque. On verra plus loin (théorème 23) que le théorème 1 peut être renforcé comme suit : une -représentation vectorielle et une -représentation matricielle de G se correspondent si et seulement si elles ont le même caractère. C'est pour cela qu'on a qualifié le théorème 1 d'énoncé provisoire.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Commençons par les représentations matricielles. Soient et deux -représentations matricielles équivalentes de G, soit d leur degré. Puisque et sont supposées équivalentes, il existe dans une matrice M telle que, pour tout g dans G,

(1)

On sait[2] que pour toute matrice A dans

(2)

donc (1) donne pour tout g dans G, c'est-à-dire que et ont le même caractère.

L'énoncé est donc démontré pour les représentations matricielles. Pour démontrer le cas vectoriel, on pourrait imiter la démonstration du cas matriciel en utilisant cet analogue vectoriel de (2) :
si et sont deux -espaces vectoriels de même dimension finie, si est un isomorphisme de sur , si u est un endomorphisme de , alors

On peut aussi déduire le cas vectoriel du cas matriciel de la façon suivante. Soient et deux -représentations vectorielles équivalentes de G. ( et n'ont pas forcément le même espace.) Choisissons une -représentation matricielle correspondant à et une -représentation matricielle correspondant à . Puisque et sont supposées équivalentes, il résulte d'un énoncé du chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1 que et sont équivalentes, donc, d'après la première partie de la démonstration, et ont le même caractère. Mais d'après le théorème 1, le caractère de est le caractère de et le caractère de est le caractère de , donc et ont le même caractère.

Remarque. On démontrera plus loin (théorème 23) que le théorème 2 peut être renforcé comme suit : deux -représentations vectorielles (resp. matricielles) de G sont équivalentes si et seulement si elles ont le même caractère. C'est pour cela qu'on a qualifié le théorème 2 d'énoncé provisoire.


Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Notons U la somme directe et notons son caractère. Alors, pour tout élément g de G,

Par définition de la somme directe d'un multiplet de -représentations matricielles de G, cela s'écrit

(1)

On a noté (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1) que la trace de la somme directe d'un multiplet de matrices carrées est la somme des traces de ces matrices, donc (1) peut s'écrire

autrement dit

ce qui démontre l'énoncé.


Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Pour chaque j dans {1, ... , n}, choisissons une représentation matricielle correspondant à (via une base numérotée de ).
Si nous posons

la représentation matricielle U correspond à la représentation vectorielle T (voir chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1).
D'autre part, d'après le théorème 3,

(1)

désigne le caractère de U et où, pour tout j, désigne le caractère de .
Puisque U correspond à T et que, pour chaque j, correspond à , nous avons, d'après le théorème 1,

et, pour chaque j,

donc (1) peut s'écrire

ce qui démontre l'énoncé.

Caractères complexes d'un groupe fini[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe fini, soit une application de G dans . D'après le théorème 1, les deux conditions suivantes sont équivalentes :
1° il existe une -représentation vectorielle de G dont est le caractère;
2° il existe une -représentation matricielle de G dont est le caractère.




Remarque. Dans d'autres contextes, l'expression « caractère d'un groupe » est souvent employée dans le sens d'homomorphisme de ce groupe dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes. Nous ne donnerons jamais cette signification au mot « caractère ». On verra dans la suite qu'un homomorphisme d'un groupe fini G dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes peut être assimilé à un cas particulier de ce que nous appelons caractère complexe de G.

Exemples (triviaux) de caractères d'un groupe fini.
1° L'application constante nulle d'un groupe fini G dans est un -caractère de G, car c'est le caractère de l'unique -représentation matricielle de degré 0 de G. Nous dirons que l'application constante nulle de G dans est le caractère nul de G.
2° L'application constante de valeur 1 d'un groupe fini G dans est un -caractère de G, car c'est le caractère de la -représentation matricielle constante

où (1) désigne la matrice de taille 1 dont l'unique coefficient est 1.
3° Plus généralement, si f est un homomorphisme d'un groupe fini G dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes, l'application (application qui a le même graphe que f mais dont l'ensemble d'arrivée est tout entier, alors que celui de f est ) est un -caractère de G. En effet, c'est le caractère de la -représentation matricielle

où (f(x)) désigne la matrice de taille 1 dont l'unique coefficient est f(x).

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Soit U une -représentation matricielle de G ayant pour caractère. Alors Mais U(1) est la matrice unité , où d désigne le degré de la représentation T, et la trace de cette matrice est égale à d, donc ce qui démontre l'énoncé dans le cas matriciel. On démontre le cas vectoriel d'une façon analogue, ou on le déduit du cas matriciel en associant à une représentation vectorielle T une représentation matricielle U qui lui correspond et en notant que T et U ont alors le même degré et, d'après le théorème 1, le même caractère.


Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarque. On verra au théorème 23 que si deux -représentations de G, toutes deux vectorielles ou toutes deux matricielles, ont le même caractère, elles sont équivalentes et que si une -représentation vectorielle et une -représentation matricielle de G ont le même caractère, elles se correspondent. C'est plus fort que le corollaire 6, puisque des représentations équivalentes ou se correspondant ont le même degré.




D'après le théorème 5, le degré de est aussi le degré de toute -représentation, vectorielle ou matricielle, de G ayant pour caractère.

Soit G un groupe fini et un -caractère de G. Puisqu'une -représentation vectorielle et une -représentation matricielle de G qui se correspondent ont le même caractère (théorème 1) et sont ensemble irréductibles ou non (voir définition d'une -représentation matricielle irréductible au chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1), les deux conditions suivantes sont équivalentes :

1° il existe une -représentation vectorielle irréductible ayant pour caractère;
2° il existe une -représentation matricielle irréductible ayant pour caractère.




Remarque. On démontrera plus loin (théorème 24) qu'un -caractère de G est irréductible si et seulement toute -représentation (vectorielle ou matricielle) de G ayant pour caractère est irréductible. En attendant, toutefois, nous devons nous en tenir à la définition.

Soient G un groupe fini et f une application de G dans . Les deux conditions suivantes sont équivalentes :

f est constante dans chaque classe de conjugaison d'éléments de G;
2° pour tous x, y dans G, f(xy) = f(yx).

En effet, xy et yx sont conjugués (puisque ) donc 1° entraîne 2° et, d'autre part, si et sont deux éléments conjugués dans G, alors et avec et , donc 2° entraîne 1°.




Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Soit un -caractère de G, soient g, h des éléments de G. Il s'agit de prouver que

thèse (1)

Choisissons une -représentation matricielle U de G ayant pour caractère. Alors

où Tr désigne la trace d'une matrice.
Puisque U est un homomorphisme de groupes, cela peut s'écrire

(2)

On a rappelé (voir démonstration du théorème 2) que si M est une matrice appartenant à et N une matrice appartenant à , alors

donc (2) peut s'écrire

autrement dit

ce qui est notre thèse (1).

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Soit un -caractère de G. Choisissons une -représentation, par exemple vectorielle, de G ayant pour caractère.
D'après le chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, il existe un multiplet de -représentations vectorielles irréductibles de G telle que T soit équivalente à
Pour chaque i dans {1, ... , n}, notons le caractère de
D'après le théorème 2, le caractère de T, c'est-à-dire , est égal au caractère de et d'après le théorème 4, le caractère de est égal à
Donc

Puisque les représentations sont irréductibles, les caractères sont irréductibles, d'où l'énoncé.


Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Choisissons une -représentation, par exemple vectorielle, T de G ayant pour caractère. Notons V l'espace de T.
Soit g un élément de G, soit r l'ordre de g dans G.
Puisque et que T est un homomorphisme de groupes de G dans GL(V), nous avons , donc l'endomorphisme T(g) de V est racine du polynôme , donc le polynôme caractéristique de l'endomorphisme T(g) de V est de la forme

sont des racines r-ièmes de l'unité dans . On a alors

autrement dit

(1)

Puisque l'ordre r de g divise l'ordre n de G, , qui sont des racines r-ièmes de l'unité, sont des racines n-ièmes de l'unité. Nous avons donc démontré les deux premières assertions de l'énoncé.
L'endomorphisme est l'inverse de l'endomorphisme T(g), donc[3]

(2)

Toute racine de l'unité est un nombre complexe de valeur absolue 1, donc pour chaque j, donc (2) peut s'écrire

autrement dit

c'est-à-dire, d'après (1),

ce qui est la troisième assertion de l'énoncé.

Pour tout nombre naturel n non nul, les racines n-ièmes de l'unité dans sont des entiers algébriques (puisqu'elles sont racines du polynôme ). Le plus petit sous-corps de comprenant les racines n-ièmes de l'unité est appelé le n-ième corps cyclotomique. Le théorème 9 a pou conséquence immédiate le

Début d’un théorème


Fin du théorème


Les caractères irréductibles dans l'espace des fonctions centrales[modifier | modifier le wikicode]



Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. La bilinéarité est évidente.
D'autre part,

autrement dit

(1)

Comme définit une permutation de G, cela peut s'écrire

(2)

ce qui démontre la dernière assertion de l'énoncé. En portant (2) dans (1), nous trouvons

ce qui prouve que la forme bilinéaire est symétrique.

Il nous arrivera de noter cette forme bilinéaire.

Nous dirons que deux applications de G dans sont orthogonales si , ce qui revient à
Nous dirons qu'un r-uplet d'applications de G dans est orthonormal, ou encore est un système orthonormal, si, pour tous i, j dans {1, ... , r}, , symbole de Kronecker dans .

Les deux énoncés qui suivent ne seront pas utilisés dans la suite et pourraient être obtenus comme des conséquences (faibles) du corollaire 21, qui sera démontré plus loin. On ne les donne que pour habituer le lecteur à la manipulation de la forme bilinéaire .

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Nous avons

(1)

Puisque et sont des -caractères de G, nous avons, d'après le théorème 9, et donc (1) peut s'écrire

d'où, par symétrie de (théorème 11),

ce qui prouve que est réel.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Nous avons

ce qui, d'après le théorème 9, peut s'écrire

(1)

Dans la somme du second membre, tous les termes sont des nombres réels , donc

Si n'est pas le caractère nul, son degré, soit d, n'est pas nul. Puisque le terme correspondant à g = 1 dans la somme du second membre de (1) est égal à , nous avons donc

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Prouvons le point (i).
Si T et U sont vectorielles et qu'on choisit des représentations matricielles T' et U' correspondant respectivement à T et à U, alors T' et U' sont irréductibles et non équivalentes (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1); de plus, le caractère de T est égal au caractère de T' et le caractère de U est égal au caractère de U' (théorème 1). Cela montre que pour prouver le point (i), nous pouvons nous limiter au cas où T et U sont matricielles, ce que nous ferons.
Soient m et n les degrés respectifs de T et de U.
Pour tous i, j dans {1, ... , m}, désignons par l'application de G dans qui applique l'élément g de G sur le (i, j)-ième coefficient de la matrice T(g).
Autrement dit, pour tout g dans G,

De même, pour tous r,sj dans {1, ... , n}, désignons par l'application de G dans qui applique l'élément g de G sur le (r, s)-ième coefficient de la matrice U(g).
Autrement dit, pour tout g dans G,

Nous avons

Puisque T et U sont irréductibles et non équivalentes, il résulte d'un théorème de Schur démontré au chapitre Représentations complexes des groupes finis, 2 que chaque somme partielle est nulle, donc

ce qui prouve le point (ii).
Démontrons maintenant le point (ii).
Choisissons une -représentation matricielle irréductible T de G ayant pour caractère. Définissons m et comme dans la démonstration du point (i). Nous avons

(1)

D'après le théorème de Schur déjà utilisé dans la démonstration du point (i), la somme partielle

est égale à

donc (1) peut s'écrire

ce qui démontre le point (ii).

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Désignons par et par les caractères de T et de U respectivement.
Nous savons déjà (théorème 2) que si T et U sont équivalentes, alors = .
Réciproquement, supposons = et prouvons que T et U sont équivalentes.
D'après le point (ii) du théorème 14, l'hypothèse = entraîne

donc, d'après le point (i) du théorème 14, T et U sont équivalentes.

Remarque. Nous démontrerons au théorème 23 que, dans le corollaire 15, l'hypothèse d'irréductibilité peut être levée.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Puisque deux -représentations matricielles équivalentes de G ont le même caractère (théorème 2 ou corollaire 15), on peut définir correctement une application f de l'ensemble des classes d'équivalence de -représentations matricielles irréductibles de G dans l'ensemble des -caractères irréductibles de G de sorte que, pour toute -représentation matricielle irréductible U de G, f applique la classe de U sur le caractère de U (ce caractère est irréductible par définition d'un caractère irréductible).
L'application f est surjective par définition des caractères irréductibles et est injective d'après le corollaire 15, donc c'est une bijection, ce qui démontre la première assertion de l'énoncé.
On a vu (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 2) que les classes d'équivalence de -représentations matricielles irréductibles de G sont en nombre fini; la seconde assertion de l'énoncé en résulte.

Remarque. On précisera plus loin (théorème 29) le nombre des -caractères irréductibles de G.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. C'est une reformulation du théorème 14, avec cette différence que le présent énoncé fait abstraction des représentations qui permettent de définir les caractères.
Choisissons deux représentations irréductibles T et U de G, par exemple matricielles, ayant respectivement pour caractères et .
Si alors T et U ne sont pas équivalentes (théorème 2 ou encore corollaire 15), donc, d'après le théorème 14, (i)

Si maintenant alors, d'après le théorème 14, (ii),

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Soient des scalaires (nombres complexes) tels que

(1)

Soit j un des indices 1, ... , r; il s'agit de prouver que

(thèse 2)

D'après (1), nous avons

(3)

D'après le théorème 17, et pour tout i distinct de j. Donc (3) peut s'écrire ce qui est notre thèse (2).

Début d’un théorème


Fin du théorème

Les fonctions centrales de G dans forment un sous- espace vectoriel de et on vérifie facilement que ce sous-espace est isomorphe à l'espace , où désigne l'ensemble des classes de conjugaison d'éléments de G. Donc

(1) les fonctions centrales de G dans forment un sous--espace de dimension de

D'autre part, puisque, d'après le théorème 7, tout -caractère est une fonction centrale, il résulte du théorème 18 que les -caractères irréductibles de G forment une partie linéairement indépendante du -espace des fonctions centrales de G dans .
De cela et de (1), il résulte que le nombre des -caractères irréductibles de G est au plus égal à , ce qui démontre l'énoncé.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. D'après le théorème 8, il existe des nombres naturels tels que

(1)

Alors, pour tout j,

D'après le théorème 17, cela peut s'écrire

On peut donc remplacer dans (1) par ce qui démontre l'énoncé.




Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. La thèse

et son cas particulier

sont une conséquence immédiate de la bilinéarité de et du théorème 17.
D'après le théorème 20, les et les sont naturels, d'où la troisième assertion de l'énoncé. La relation , autrement dit la relation , a lieu si et seulement si tous les sont nuls, ce qui, vu l'indépendance linéaire des a lieu si et seulement d'où la dernière assertion de l'énoncé.

Remarque. Le corollaire 21 est évidemment plus précis que les énoncés 12 et 13.


Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Si est irréductible, alors d'après le théorème 14 (ou le théorème 17).
Réciproquement, supposons que et prouvons que est irréductible.
Soient les différents -caractères irréductibles de G. D'après le théorème 8 (ou encore le théorème 20), il existe des nombres naturels tels que

(1)

d'où, d'après le corollaire 21,

Puisque nous supposons , nous avons donc

ce qui n'est possible que si pour un i, et que pour tous les j distincts de i,
Alors (1) donne donc est irréductible.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Démontrons le point a) dans le cas où les représentations S et T sont matricielles.
Désignons par le caractère de S et par le caractère de T.
Nous savons déjà, par le théorème 2, que si S et T sont équivalentes, alors .
Réciproquement, supposons que

(1)

et prouvons que S et T sont équivalentes.
Par exemple d'après le corollaire 16, nous pouvons choisir un système complet de -représentations matricielles irréductibles deux à deux non équivalentes de G, l'expression « système complet » signifiant que toute -représentation matricielle irréductible de G est équivalente à une (et une seule) des représentations .
Donc (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, énoncé 17 et théorème 20), S est équivalente à une somme directe

où chaque est une des représentations .
D'après l'associativité et la quasi-commutativité de la somme directe des -représentations matricielles (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, énoncés 14 et 15), S est donc équivalente à une somme directe

(2)

où les sont des nombres naturels et où désigne la somme directe de représentations égales à .
De même, T est équivalente à une somme directe

(3)

pour certains nombres naturels
Compte tenu des théorèmes 2 et 3, nos relations (2) et (3) donnent

et

désigne le caractère de
Donc, d'après (1),

(4)

Puisque les représentations matricielles sont irréductibles et deux à deux non équivalentes, il résulte du corollaire 15 que les caractères sont deux à deux distincts, donc, d'après le théorème 18, ils sont linéairement indépendants.
La relation (4) donne donc , donc, d'après (2) et (3), S et T sont équivalentes.
On a donc démontré l'assertion a) de l'énoncé dans le cas où S et T sont matricielles. On pourrait démontrer de même le cas vectoriel à l'aide d'analogues vectoriels des théorèmes matriciels dont on s'est servi dans la démonstration du point a). On peut aussi déduire le cas vectoriel du cas matriciel en utilisant le théorème 1 et le fait que si S et T sont des -représentations vectorielles correspondant respectivement à des -représentations matricielles S' et T', alors S et T sont équivalentes si et seulement si S'et T' le sont. (Voir chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, énoncé 1.)

Démontrons maintenant le point b). D'après le théorème 1, il suffit de prouver que si T et U ont le même caractère, elles se correspondent. Notons V l'espace de la représentation T. Choisissons une base numérotée B de V et notons U' la -représentation matricielle de G correspondant à T via la base B. Notons le caractère de T et le caractère de U'. Puisque T et U' se correspondent, le théorème 1 donne

D'autre part,

par hypothèse.

Donc donc, d'après le point a), U et U' sont équivalentes.
On est donc dans la situation suivante : U et U' sont matricielles et équivalentes, T est vectorielle et correspond à U'. D'après le chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, énoncé 1, b), il en résulte que T et U se correspondent.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Cela se déduit facilement de la définition d'un -caractère irréductible, du théorème 23 (deux -représentations ayant le même caractère sont équivalentes) et du fait que si deux -représentations (toutes deux vectorielles ou toutes deux matricielles) sont équivalentes, si une de ces deux représentations est irréductible, l'autre l'est aussi (Représentations complexes des groupes finis, 1, énoncé 2 ou 3).

Soit un -caractère d'un groupe fini G. Nous avons été amenés à considérer la fonction (conjuguée complexe de G), par exemple au théorème 9. Nous allons prouver que la fonction est elle aussi un -caractère de G. Pour cela, nous allons introduire la notion de -représentation matricielle contragrédiente d'une -représentation matricielle de G.

Soit T une -représentation matricielle de G, c'est-à-dire un homomorphisme de G dans pour un certain nombre naturel n. L'application

où le t en exposant à gauche désigne la transposée d'une matrice, est un homomorphisme de groupes. En effet,

où le second membre, d'après la propriété de la transposée, est égal à Donc  : définit une -représentation matricielle de G, de même degré que T.




Il est clair que la contragrédiente de la contragrédiente d'une -représentation matricielle T de G n'est autre que T.

Remarque. Si T est une -représentation vectorielle de G dans un espace V, on peut définir de façon analogue la contragrédiente de T comme la représentation vectorielle , où désigne le dual de V (c'est-à-dire le -espace formé par les formes -linéaires sur V) et où le t en exposant désigne le transposé d'un endomorphisme d'espace vectoriel. La contragrédiente de la contragrédiente de T est alors une -représentation vectorielle de G dans l'espace , espace canoniquement isomorphe à V, et est équivalente à T, ce que le lecteur intéressé pourra vérifier. Nous ne nous servirons pas de la contragrédiente d'une représentation vectorielle.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Soit U une -représentation matricielle de G; désignons par le caractère de U.

(1) Le caractère de la contragrédiente de U applique l'élément g de G sur

Puisqu'une matrice carrée et sa transposée ont la même diagonale principale et donc la même trace, la relation (1) revient à dire que le caractère de la contragrédiente de U applique l'élément g de G sur autrement dit sur , qui, d'après le théorème 9, est égal à Donc le caractère de la contragrédiente de U est Que et soient de même degré, cela résulte du fait qu'une -représentation matricielle et sa contragrédiente ont le même degré, ou encore du fait que, le degré de étant un nombre naturel, Nous avons ainsi prouvé les deux premières assertions de l'énoncé.
D'après le théorème 22, est irréductible si et seulement si D'après le théorème 11, cette condition équivaut à et d'après le théorème 9, ceci équivaut à ce qui, d'après le théorème 22, équivaut à ce que soit irréductible. Cela prouve la troisième assertion de l'énoncé.

La démonstration du théorème qui suit montre que la considération des caractères simplifie parfois les choses.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Désignons par le caractère de T. D'après la définition d'un caractère irréductible et le théorème 24, T est irréductible si et seulement si est irréductible. D'après le théorème 25, il en résulte que

(1) T est irréductible si et seulement si est irréductible.

D'autre part, toujours d'après le théorème 25, est le caractère de la contragrédiente de T, donc, d'après la définition d'un caractère irréductible et le théorème 24, est irréductible si et seulement si la contragrédiente de T est irréductible.
Joint à (1), cela démontre l'énoncé.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. D'après le théorème 11, , où, d'après le théorème 9, peut être remplacé par donc
Tout revient donc à prouver que si désigne l'endomorphisme de V, alors

(thèse 1) est l'homothétie de rapport

Prouvons d'abord que, pour tout élément g de G,

(thèse 2)

Nous avons

Puisque définit une permutation de G, cela peut s'écrire

(3)

D'autre part,

Puisque définit une permutation de G, cela peut s'écrire

(4)

Puisque la fonction est supposée centrale, nous avons donc (4) peut s'écrire

La comparaison de ceci avec (3) montre que, pour tout g dans G,

ce qui est notre thèse (2). Cela signifie que l'endomorphisme de V appartient au commutant de la représentation vectorielle T. Puisque cette représentation est supposée irréductible, l'endomorphisme est donc une homothétie. (Voir chapitre Théorie des groupes/Représentations complexes des groupes finis, 2.)
Désignons par le rapport de cette homothétie. Donc est un nombre complexe tel quelque

désigne l'endomorphisme identique de V.
En passant aux traces, nous trouvons

D'après le théorème 9, peut être remplacé par , donc

d'où notre thèse (1), qui, comme noté, prouve l'énoncé.

Remarque. On verra dans les exercices que l'hypothèse d'irréductibilité ne peut pas être supprimée dans le lemme qui précède.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. En fait, on n'utilisera pas la bilinéarité de , mais seulement sa linéarité par rapport à la seconde variable.
Rappelons que, de façon générale, si W désigne un F-espace vectoriel de dimension finie n, si sont des formes linéaires sur W, si le seul vecteur commun aux noyaux de ces formes est 0, alors Pour le prouver, on peut dire par exemple que l'homomorphisme de F-espaces

est injectif, donc , c'est-à-dire
(On pourrait aussi utiliser le fait que le noyau d'une forme linéaire sur un espace vectoriel de dimension n est de dimension , ce qui peut se démontrer à l'aide du premier théorème d'isomorphisme relatif aux groupes à opérateurs. De proche en proche, on en déduit que si s est un nombre naturel < n, l'intersection des noyaux de s formes linéaires sur V est un sous-espace de dimension et n'est donc pas réduite à 0.)
En appliquant cela aux formes linéaires , où

on trouve . Puisque sont supposés linéairement indépendants, l'énoncé en résulte.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Désignons par H(G) le -espace vectoriel des fonctions centrales Soient les différents -caractères irréductibles de G. D'après le théorème 14, ces caractères forment un système orthohormal pour la forme bilinéaire .
Pour prouver qu'ils forment une base de H(G), il suffit, d'après le lemme 28 (appliqué à la restriction de à ), de prouver que tout élément de H(G) orthogonal à chacun des caractères est nul.
Soit une fonction centrale orthogonale à chacun des caractères . Il s'agit donc de prouver que

(thèse 1) est nulle.

D'après le théorème 25, définit une permutation de l'ensemble des -caractères irréductibles de G, donc l'hypothèse sur revient à dire que, pour tout -caractère irréductible de G, est orthogonale à
Cela revient encore à dire que, pour toute -représentation vectorielle irréductible T de G,

désigne le caractère de T.
D'après le lemme 27, on a donc

(2)

pour toute -représentation vectorielle irréductible T de G,
Montrons que c'est encore vrai pour toute -représentation vectorielle S de G, non nécessairement irréductible.
(On va remonter au théorème de Maschke, mais on pourrait utiliser plutôt une conséquence du théorème de Maschke qu'on a démontrée au chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, à savoir que toute -représentation vectorielle de G est équivalente à la somme directe d'une famille finie de -représentations vectorielles irréductibles de G.)
Soit V l'espace de S. D'après le théorème de Maschke, il existe des sous-espaces de V tels que V soit somme directe interne , que, pour tout i dans {1, ... , r} et tout g dans G, soit invariant par l'automorphisme S(g) de V et que, pour tout i dans {1, ... , r}, la représentation de G dans définie par

(où désigne la birestriction de S(g) à ) soit irréductible.
Puisque (2) est vraie quand T est irréductible, nous avons

pour tout i dans {1, ... , r}. Autrement dit, pour tout i dans {1, ... , r} et tout w dans ,

Par définition de , cela signifie que pour tout i dans {1, ... , r} et tout w dans

(3)

Soit v un élément de V. Puisque V est somme directe interne , il existe tels que

D'après (3), nous avons

pour tout i dans {1, ... , r}. En sommant sur i, nous trouvons

pour tout v dans V, autrement dit

pour toute -représentation vectorielle S de G, comme annoncé.
Appliquons cela au cas où S est la -représentation (vectorielle) régulière gauche L de G (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, Exemples de représentations). Cela donne

(4)

où les deux membres sont des endomorphismes du -espace vectoriel
Désignons par e l'élément neutre de G. En égalant les valeurs des deux membres de (4) en l'élément e de (on identifie ici G à une partie de abus de langage dont on a convenu), on trouve

dans

Puisque G est une base de nous avons donc pour tout g dans G, autrement dit est la fonction nulle, ce qui est notre thèse (1). Comme on l'a vu, il en résulte que forment une base du -espace H(G). Puisque la dimension de H(G) est égale au nombre des classes de conjugaison d'éléments de G (on l'a déjà noté dans la démonstration du théorème 19), k est donc égal à ce nombre, ce qui achève la démonstration.

Remarque. Le théorème 29 est plus fort que le théorème 19.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Cela résulte immédiatement du corollaire 16 et du théorème 29.

On a vu que si G est un groupe fini, K une classe de conjugaison d'éléments de G et un -caractère de G, est constant dans K. Nous noterons (abusivement) la valeur prise par en tout point de K. Donc si g est un élément de G, si K désigne la classe de conjugaison de g, De plus, la classe de conjugaison de est et

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Désignons par la fonction caractéristique de K (comme partie de G), c'est-à-dire que est définie par

Puisque K est une classe de conjugaison, cette fonction est centrale. D'après le théorème 29, il existe donc des nombres complexes tels que

(1)

Pour tout i dans {1, ... , h}, nous avons alors

d'où, d'après la première relation d'orthogonalité (théorème 17),

(2)

(La démonstration de cette relation peut s'étendre immédiatement de à toute fonction centrale de G dans . On obtient ainsi un énoncé dont le théorème 20 est un cas particulier.)
Par définition de la relation (2) s'écrit

Comme est nulle en dehors de K, on peut limiter la sommation aux g appartenant à K, donc

Puisque définit une bijection de K sur K-1 (ensemble des inverses des éléments de K), le résultat peut s'écrire

(3)

On vérifie facilement que K-1 est une classe de conjugaison, donc est constant de valeur dans K-1, donc (3) peut s'écrire

ou encore (puisque )

Donc (1) peut s'écrire

En passant aux valeurs en nous trouvons pour tout g dans G. Cela revient à dire que pour toute classe de conjugaison K',

En remplaçant K et K' par leurs inverses et en se rappelant que, pour tout g dans G, on obtient l'énoncé.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Pour des démonstrations de 5° et 7°, voir par exemple D.S. Dummit et R.M. Foote, Abstract Algebra, 3e édition, Wiley, copyr. 2004, p. 692, ou, dans un cadre plus général, N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitres 5 à 7, Springer, 2006, ch. V, § 1, n° 1, p. 5-7. Pour une démonstration de 8°, voir par exemple D.S. Dummit et R.M. Foote, ouvr. cit., prop. 28, p. 696, ou N. Bourbaki, ouvr. cit., ch. V, § 1, n° 3, prop. 10, p. 13. Pour des démonstrations des assertions du point 9°, le lecteur qui n'est pas familier avec la théorie de Galois peut se reporter à Z. I. Borevitch et I. R. Chafarevitch, Théorie des nombres, réimpr. Éditions Jacques Gabay, 1993, Appendice algébrique, § 2, notamment le théorème 11, p. 452.
  2. Voir par exemple P. Tauvel, Algèbre, 2e éd., Dunod, 2010, cor. 7.8.5, p. 110.
  3. N. Bourbaki, Algèbre, chapitres 4 à 7, Paris, 1981, ch. VII, § 5, n° 5, p. VII.37.