Théorie des groupes/Représentations complexes des groupes finis, 1

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Dans ce chapitre, on va donner les premiers éléments sur les représentations complexes des groupes finis.

Le chapitre est un peu long pour son contenu, car on a voulu expliciter des choses sur lesquelles les auteurs passent rapidement. On a donné très peu de démonstrations, car elles ne sont pas difficiles, même si une rédaction rigoureuse demande parfois un effort de concentration. On ne conseille d'ailleurs pas au lecteur de s'astreindre à rédiger les démonstrations de tous les énoncés, mais plutôt de réserver son attention aux énoncés qualifiés de théorèmes.

On utilisera parfois une notation inhabituelle de la somme d'une famille finie d'éléments d'un monoïde commutatif (noté additivement) :
par $\sum _{u}\{f_{u}\vert P(u)\},$, on désignera la somme de la famille $(f_{u})_{u\in E}$, où E désigne l'ensemble (supposé fini) des u possédant la propriété P(u). Cette notation a sur la notation courante

$\sum _{P(u)}f_{u}$

l'avantage de montrer clairement que la variable de sommation est u.

En ce qui concerne les matrices, on suivra les mêmes conventions qu'au chapitre Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs. Au lieu de « matrice à coefficients dans $\mathbb {C}$ » (où $\mathbb {C}$ désigne le corps des nombres complexes), on dira parfois « $\mathbb {C}$-matrice ».

Notion de représentation

On désignera par $\mathbb {C}$ le corps des nombres complexes.
Si V est un $\mathbb {C}$-espace vectoriel, on désignera par GL(V) le groupe formé par les $\mathbb {C}$-automorphismes de V, la loi de groupe étant la composition de droite à gauche $(f,g)\mapsto f\circ g.$ (Cette composition est dite de droite à gauche parce qu'on prend d'abord la valeur par g, qui est écrit à droite, puis la valeur du résultat par f, qui est écrit à gauche.)
Pour un nombre naturel n, on désignera par GL(n, $\mathbb {C}$) le groupe multiplicatif formé par les matrices $n\times n$ inversibles à coefficients dans $\mathbb {C}$, le produit de deux matrices étant défini comme au chapitre Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs.

Définition. Représentation vectorielle complexe d'un groupe fini.

Soit G un groupe fini. Une représentation vectorielle complexe de G, ou $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G, est la donnée (V,T) d'un $\mathbb {C}$-espace vectoriel V de dimension finie et d'un homomorphisme de groupes T de G dans GL(V). On dit alors que (V, T) est une $\mathbb {C}$-représentation de G dans V. Nous appellerons V l'espace de la $\mathbb {C}$-représentation (vectorielle) (V, T) et nous définirons le degré de la représentation (V, T) comme la $\mathbb {C}$-dimension de V.

Remarques.

1. Si on convient d'incorporer les $\mathbb {C}$espaces vectoriels de départ et d'arrivée dans la notion d'un homomorphisme de $\mathbb {C}$-espaces vectoriels, autrement dit si on convient par exemple de définir un homomorphisme de $\mathbb {C}$-espaces vectoriels comme un triple (V,F,W), où V et W sont des $\mathbb {C}$espaces vectoriels et f une application de V dans W possédant les propriétés voulues, alors V est déterminé par n'importe quel élément de GL(V) et est donc déterminé par T, de sorte que parler de (V,T) est redondant. Donc, si on adopte la convention en question, on peut se contenter de définir une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G comme un homomorphisme de groupes T de G dans GL(V) pour un certain $\mathbb {C}$-espace vectoriel V de dimension finie.
2. Même sans adopter cette convention, on identifie couramment la représentation (V,T) et l'homomorphisme T.
3. Une $\mathbb {C}$-représentation (vectorielle) de G dans V peut être considérée comme un cas particulier d'action (à gauche) du groupe G sur l'ensemble (sous-jacent de) V, et même comme un cas particulier d'action de G sur le groupe additif V, + par automorphismes (voir chapitre Produit semi-direct).

Définition. Représentation matricielle complexe d'un groupe fini.

Soit G un groupe fini. Une représentation matricielle complexe de G, ou $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G, est un homomorphisme de groupes de G dans GL(n, $\mathbb {C}$) pour un certain nombre naturel n. On dit alors que n est le degré de cette représentation matricielle.

Remarques.

1. On peut définir une F-représentation (vectorielle ou matricielle) de G pour tout corps commutatif F, ce qui donne lieu à des développements théoriques importants, mais on ne s'intéressera dans ce cours qu'au cas où $F=\mathbb {C}$.
2. Comme le groupe GL(1, $\mathbb {C}$) est canoniquement isomorphe au groupe multiplicatif $\mathbb {C} ^{\times }$ du corps $\mathbb {C}$, une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de degré 1 d'un groupe fini G peut être assimilée à un homomorphisme de G dans $\mathbb {C} ^{\times }$.

Définition. Représentation triviale.

Soit G un groupe fini, soit T une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G, d'espace V; on dit que T est triviale si l'homomorphisme $T:G\rightarrow GL(V)$ est trivial, c'est-à-dire applique tout élément de G sur l'automorphisme identité de V. Cela revient à dire que pour tout g dans G et tout v dans V, T(g) (v) = v.
Soit G un groupe fini, soit U une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G, de degré d; on dit que U est triviale si l'homomorphisme $U:G\rightarrow GL(d,\mathbb {C} )$ est trivial, c'est-à dire applique tout élément de G sur la matrice unité $I_{d}\in M_{d}(\mathbb {C} )$.
La $\mathbb {C}$-représentation matricielle triviale de degré 1 d'un groupe fini G est parfois appelée la $\mathbb {C}$-représentation unité de G et notée $1_{G}$.

Définition. Représentation fidèle.

Soit G un groupe fini, soit T une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G, d'espace V; on dit que T est fidèle si l'homomorphisme $T:G\rightarrow GL(V)$ est injectif. Cela revient à dire que T, considérée comme action de G sur l'ensemble V, est fidèle.
Soit G un groupe fini, soit U une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G, de degré d; on dit que U est fidèle si l'homomorphisme $U:G\rightarrow M_{d}(\mathbb {C} )$ est injectif.

Définition. Représentation vectorielle et représentation matricielle se correspondant.

Soit G un groupe fini, soit V un $\mathbb {C}$-espace vectoriel de dimension finie n, soit B une $\mathbb {C}$-base numérotée de V. (Par base numérotée de V, nous entendrons une famille basique de V indexée par l'ensemble {1, 2, ..., n}.)
Si $T:G\rightarrow GL(V)$ est une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G dans V, nous définirons la $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G correspondant à T via la base B comme l'homomorphisme de groupes

$\sigma _{B,V}\circ T$ de G dans $GL(n,\mathbb {C} )$,

où $\sigma _{B,V}$ désigne l'isomorphisme de groupes de GL(V) sur $GL(n,\mathbb {C} )$ qui à tout élément u de GL(V) (autrement dit à tout $\mathbb {C}$-automorphisme u de V) fait correspondre la matrice de u dans la base B.
Donc la $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G correspondant à T via la base B applique l'élément g de G sur la matrice de T(g) dans la vase B.

De même, si $U:G\rightarrow GL(n,\mathbb {C} )$ est une $\mathbb {C}$-représentation matricielle (de degré n) de G, nous définirons la $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G dans V correspondant à U via la base B comme l'homomorphisme de groupes

$\tau _{B,V}\circ U$ de G dans GL(V),

où $\tau _{B,V}$ désigne l'isomorphisme de groupes de $GL(n,\mathbb {C} )$ sur GL(V) qui à toute matrice M appartenant à $GL(n,\mathbb {C} )$ fait correspondre le $\mathbb {C}$-automorphisme de V dont la matrice dans la base B est égale à M.
Donc la $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G dans V correspondant à U via la base B applique l'élément g de G sur l'automorphisme de V qui admet U(g) pour matrice dans la base B.

Puisque les isomorphismes $\sigma _{B,V}$ et $\tau _{B,V}$ sont réciproques l'un de l'autre, nous avons défini une bijection (dépendant de B) entre l'ensemble des $\mathbb {C}$-représentations vectorielles de G dans V et l'ensemble des $\mathbb {C}$-représentations matricielles de degré n de G.

Soit G un groupe fini. Nous dirons qu'une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle T de G et une $\mathbb {C}$-représentation matricielle U de G se correspondent s'il existe une base numérotée B de l'espace V de T telle que U soit la $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G correspondant à T via B (ou, ce qui revient au même, telle que T soit la $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G correspondant à U via B).

Puisque tout espace vectoriel de dimension finie admet une base numérotée, toute $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G correspond à une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G. Puisque, pour tout nombre naturel n, il existe un $\mathbb {C}$-espace vectoriel de dimension n, toute $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G correspond à une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G.

Il est clair qu'une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle et une $\mathbb {C}$-représentation matricielle qui se correspondent sont toutes deux fidèles ou toutes deux non fidèles (puisqu'on passe de la représentation vectorielle à la représentation matricielle en faisant suivre la représentation vectorielle par un certain isomorphisme de groupes).

De même, une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle et une $\mathbb {C}$-représentation matricielle qui se correspondent sont toutes deux triviales ou toutes deux non triviales.

Exemples de représentations

1. Les représentations triviales, dont il a été question, fournissent un premier exemple (trivial) de $\mathbb {C}$-représentations vectorielles et matricielles.

2. Soit G un groupe cyclique d'ordre n, noté multiplicativement, soit x un élément de G qui engendre G, soit $\zeta$ une racine primitive n-ième de 1, c'est-à-dire un élément d'ordre n du groupe multiplicatif de $\mathbb {C}$. Soit U l'unique homomorphisme de G dans GL(1, $\mathbb {C}$) qui applique x sur la matrice $1\times 1$ dont l'unique coefficient est $\zeta$. Pour tout entier rationnel r, $U(x^{r})$ est donc la matrice $1\times 1$ dont l'unique coefficient est $\zeta ^{r}$. Alors U est une $\mathbb {C}$-représentation fidèle de degré 1 du groupe cyclique G.

3. Rappelons cette définition :

Définition. Matrice d'une permutation.

Soient A un anneau, n un nombre naturel et $\varphi$ une permutation de l'ensemble {1, ... , n}. On appelle (abusivement) matrice de la permutation $\varphi$ (relativement à l'anneau A) la matrice

$(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n},$

où $a_{i,j}$ est $\left\lbrace {\begin{array}{l}\mathrm {l'{\acute {e}}l{\acute {e}}ment} \ 1\ \mathrm {de} \ A\ \mathrm {si} \ i=\varphi (j),\\\mathrm {l'{\acute {e}}l{\acute {e}}ment} \ 0\ \mathrm {de} \ A\ \mathrm {dans\ les\ autres\ cas} .\end{array}}\right.$

Autrement dit,

$a_{i,j}=\delta _{i,\varphi (j)}$, symbole de Kronecker à valeurs dans A.

Si l'anneau A est non nul, toute ligne et toute colonne d'une matrice de permutation (relativement à l'anneau A) a donc un et un seul coefficient non nul et ce coefficient est égal à 1. Réciproquement, on vérifie facilement que toute matrice carrée de taille n à coefficients dans A possédant cette propriété est la matrice d'une certaine permutation de {1, ... , n}.
Le lecteur vérifiera facilement les faits suivants :

Début d’un théorème

Rappel.

Soient A un anneau et n un nombre naturel. Pour toute permutation $\varphi$ de {1, ... , n}, notons $P_{\varphi }$ la matrice de la permutation $\varphi$ relativement à l'anneau A.
Si $\varphi$ et $\psi$ sont des permutations de {1, ... , n}, on a

$P_{\varphi }P_{\psi }=P_{\varphi \circ \psi }.$

Si $\mathrm {id} _{n}$ désigne la permutation identique de {1, ... , n}, si $1_{n}$ désigne la matrice unité de $M_{n}(A)$, on a

$P_{id_{n}}=1_{n}.$

Toute matrice de permutation est inversible, l'inverse de $P_{\varphi }$ étant $P_{\varphi ^{-1}}$.
Si l'anneau A n'est pas nul, $\varphi \mapsto P_{\varphi }$ définit un isomorphisme du groupe symétrique $S_{\{1,\ldots ,n\}}$ sur un sous-groupe de GL(n, A).

Fin du théorème

Soit G un sous-groupe du groupe symétrique $S_{n}$. Donc tout élément de G est une permutation de l'ensemble {1, 2, ... , n}. Si à l'élément $\sigma$ de G, on fait correspondre la $\mathbb {C}$-matrice de la permutation $\sigma$, on définit, d'après les énoncés du rappel, une $\mathbb {C}$-représentation matricielle fidèle de degré n de G.

4. Représentation régulière gauche. Soit G un groupe fini. Rappelons que le $\mathbb {C}$-espace vectoriel libre construit sur l'ensemble G est par définition l'ensemble des applications de G dans $\mathbb {C}$, muni d'une addition et d'une loi externe définies « point par point ».
Cet espace vectoriel est noté $\mathbb {C} ^{G}$.
Si, pour tout élément g de G, on désigne par ${\bar {g}}$ l'application de G dans $\mathbb {C}$ qui vaut 1 en g et 0 partout ailleurs, les éléments de $\mathbb {C} ^{G}$ de la forme ${\bar {g}}$ forment une base de $\mathbb {C} ^{G}$.
L'application $g\mapsto {\bar {g}}$ de G dans $\mathbb {C} ^{G}$ est injective, ce qui amène à identifier l'élément ${\bar {g}}$ de $\mathbb {C} ^{G}$ à l'élément g de G et donc à écrire g au lieu de ${\bar {g}}$. Avec cette identification, G est une base de $\mathbb {C} ^{G}$. (En faisant des remplacements convenables dans $\mathbb {C} ^{G}$, on pourrait d'ailleurs obtenir un $\mathbb {C}$-espace vectoriel ayant l'ensemble G pour base en toute rigueur des termes, mais cela n'en vaut pas la peine.) En particulier, la dimension de $\mathbb {C} ^{G}$ est égale à $\vert G\vert$.
La structure de monoïde de G permet de munir le $\mathbb {C}$-espace vectoriel $\mathbb {C} ^{G}$ d'une structure de $\mathbb {C}$-algèbre associative unifère. (Pour la définition d'une telle algèbre, voir le chapitre Théorème de Maschke.) Pour cela, on définit une multiplication dans $\mathbb {C} ^{G}$ en posant, pour toute famille $(a_{g})_{g\in G}$ et toute famille $(b_{g})_{g\in G}$ de nombres complexes,

$(\sum _{g\in G}a_{g}g)(\sum _{g\in G}b_{g}g)=\sum _{g,h\in G}a_{g}b_{h}gh$,

ce qui peut encore s'écrire

$(\sum _{g\in G}a_{g}g)(\sum _{g\in G}b_{g}g)=\sum _{g\in G}c_{g}g$,

où $c_{g}=\sum _{h,k\in G,hk=g}a_{h}b_{k}$. Cette multiplication dans $\mathbb {C} ^{G}$ coïncide dans la partie G de $\mathbb {C} ^{G}$ avec la loi de groupe de G.
La $\mathbb {C}$-algèbre ainsi définie est notée $\mathbb {C} G$ ou $\mathbb {C} [G]$. On notera de même l'espace vectoriel sous-jacent de cette algèbre, c'est-à-dire l'espace vectoriel qu'on a noté juqu'ici $\mathbb {C} ^{G}$.
Pour tout élément g de G, désignons par ${\tilde {g}}$ la transformation $x\mapsto gx$ de $\mathbb {C} G$, où gx est calculé selon la multiplication qu'on vient de définir dans $\mathbb {C} G$. On vérifie facilement que ${\tilde {g}}$ est un automorphisme du $\mathbb {C}$-espace vectoriel $\mathbb {C} G$ et que $g\mapsto {\tilde {g}}$ définit un homomorphisme de groupes de G dans $GL(\mathbb {C} G)$, autrement dit une $\mathbb {C}$-représentation (vectorielle) de G dans l'espace $\mathbb {C} G$. Cette représentation, qui joue un rôle dans la théorie, est appelée la $\mathbb {C}$-représentation régulière gauche de G.
En considérant la transformation $x\mapsto xg^{-1}$ de $\mathbb {C} G$, on définira de même une $\mathbb {C}$-représentation de G, dite $\mathbb {C}$-représentation régulière droite de G. (Noter qu'ici, il faut inverser g pour obtenir une représentation conforme à notre définition des représentations.)
Il nous arrivera de dire « représentation régulière » tout court pour « représentation régulière gauche ».

Représentations équivalentes

Définition. Représentations vectorielles équivalentes.

Soit G un groupe fini, soient V₁ et V₂ des $\mathbb {C}$-espaces vectoriels de dimension finie, soit $T_{1}:G\rightarrow GL(V_{1})$ une $\mathbb {C}$-représentation (vectorielle) de G dans V₁, soit $T_{2}:G\rightarrow GL(V_{2})$ une $\mathbb {C}$-représentation (vectorielle) de G dans V₂.
On dit que $T_{1}$ et $T_{2}$ sont équivalentes (ou encore isomorphes) s'il existe un $\mathbb {C}$-isomorphisme f de V₁ sur V₂ tel que, pour tout élément g de G, on ait

$T_{2}(g)=f\circ T_{1}(g)\circ f^{-1}.$

(Cette condition revient à dire que, ${\bar {f}}$ désignant l'isomorphisme $u\mapsto f\circ u\circ f^{-1}$ de $GL(V_{1})$ sur $GL(V_{2})$, on a $T_{2}={\bar {f}}\circ T_{1}.$)

Remarques.

1. On vérifie facilement que l'équivalence entre $\mathbb {C}$-représentations vectorielles de G est une relation d'équivalence.
2. L'équivalence définie ici est évidemment plus forte que l'équivalence entre les actions de G sur les ensembles V₁ et V₂, puisqu'on demande que f soit non seulement une bijection mais un isomorphisme de $\mathbb {C}$-espaces vectoriels.
3. Si deux $\mathbb {C}$-représentations vectorielles de G sont équivalentes, elles ont le même degré (puisque deux espaces vectoriels isomorphes ont la même dimension).

Définition. Représentations matricielles équivalentes.

Soit G un groupe fini, soient U₁ et U₂ des $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G. On dit que U₁ et U₂ sont équivalentes si elles ont le même degré, soit n, et qu'il existe dans $GL(n,\mathbb {C} )$ une matrice M telle que, pour tout élément g de G,

$U_{2}(g)=M\ U_{1}(g)\ M^{-1}.$

Ici encore, on vérifie facilement que l'équivalence entre $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G est une relation d'équivalence.

Les matrices carrées à coefficients dans $\mathbb {C}$ forment un ensemble, donc, pour tout groupe fini G, les $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G forment un ensemble. Donc l'équivalence entre $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G est une relation d'équivalence dans un ensemble. Il en résulte d'une part que pour toute $\mathbb {C}$-représentation matricielle U de G, les $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G équivalentes à U forment un ensemble, que nous appellerons la classe d'équivalence de U, et d'autre part que les classes d'équivalence de $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G forment elles aussi un ensemble. De même que pour toute relation d'équivalence dans un ensemble, deux $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G sont équivalentes si et seulement elles appartiennent à la même classe d'équivalence.

En revanche, si n est un nombre naturel, les $\mathbb {C}$-espaces vectoriels de dimension n ne forment pas un ensemble, donc, si G est un groupe fini et T une représentation vectorielle de G, les $\mathbb {C}$-représentations vectorielles de G équivalentes à T ne forment pas un ensemble. Donc, si on voulait parler de la « classe d'équivalence » d'une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G (ce que nous ne ferons pas dans ce cours), certaines précautions d'ordre logique seraient nécessaires.

Début d’un théorème

Énoncé 1

a) Soient G un groupe fini, T₁ et T₂ des $\mathbb {C}$-représentations vectorielles de G, U₁ et U₂ des $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G; on suppose que T₁ et U₁ se correspondent et que T₂ et U₂ se correspondent; alors T₁ et T₂ sont équivalentes si et seulement si U₁ et U₂ sont équivalentes.
En particulier, si deux $\mathbb {C}$-représentations vectorielles de G correspondent à une même $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G, elles sont équivalentes. De même, si deux $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G correspondent à une même $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G, elles sont équivalentes.
b) Soient G un groupe fini, soient U et U' des $\mathbb {C}$-représentations matricielles équivalentes de G, soit T une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G. Alors T correspond à U si et seulement si elle correspond à U'.

Fin du théorème

Pour une démonstration (facile) du point a), voir les exercices. Voici une démonstration du point b).
Il suffit évidemment de supposer que U et U' sont des $\mathbb {C}$-représentations matricielles équivalentes de G, que T est une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G correspondant à U' et d'en déduire que T correspond à U.
Soit V l'espace de la représentation vectorielle T, soit n la dimension de V; donc n est le degré de T, de U et de U'.
Puisque les représentations matricielles U et U' sont équivalentes, il existe une matrice $M\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ telle que

(1) $\qquad U'=\sigma _{M}\circ U,$

où $\sigma _{M}$ désigne l'automorphisme $X\mapsto MXM^{-1}$ du groupe $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ).$
D'autre part, puisque la représentation vectorielle T correspond à la représentation matricielle U', il existe une base numérotée $B=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ de V telle que

(2) $\qquad T=\tau _{B,V}\circ U',$

où $\tau _{B,V}$ désigne l'isomorphisme de groupes de $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ sur GL(V) qui à la matrice $Y\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ fait correspondre l'automorphisme de V admettant Y pour matrice dans la base B de V.
En portant (1) dans (2), on obtient

$T=\tau _{B,V}\circ \sigma _{M}\circ U.$

Pour prouver que la représentation vectorielle T correspond à la représentation matricielle U, il suffit donc de prouver qu'il existe une base numérotée B' de V telle que $\tau _{B,V}\circ \sigma _{M}$ soit l'isomorphisme de groupes de $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ sur GL(V) qui à la matrice $Y\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ fait correspondre l'automorphisme de V admettant Y pour matrice dans la base B' de V.
Pour toute matrice $Y\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ),$ nous avons

$\tau _{B,V}\circ \sigma _{M}(Y)=\tau _{B,V}(MYM^{-1}),$

donc il suffit de prouver que

thèse (3)$\qquad \tau _{B,V}(MYM^{-1})$ admet Y pour matrice dans la base $B'=(\tau _{B,V}(M)(b_{1}),\ldots \tau _{B,V}(M)(b_{n}))$ de V.

Nous avons

(4) $\qquad \tau _{B,V}(MYM^{-1})=\tau _{B,V}(M)\circ \tau _{B,V}(Y)(\tau _{B,V}(M))^{-1}.$

De la définition de la base B', il résulte que la matrice de $\tau _{B,V}(M)$ dans les bases B (départ) et B' (arrivée) de V est la matrice identité. Donc la matrice de $(\tau _{B,V}(M))^{-1}$ dans les bases B' (départ) et B (arrivée) de V est elle aussi la matrice identité.
Donc il résulte de (4) que la matrice de $\tau _{B,V}(MYM^{-1})$ dans la base B' est égale à la matrice de $\tau _{B,V}(Y)$ dans la base B, c'est-à-dire à Y. Ceci prouve notre thèse (3).

Représentations irréductibles

Définition. Représentation vectorielle irréductible.

Soit G un groupe fini, soit $T:G\rightarrow GL(V)$ une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G, d'espace V. On dit que cette représentation est irréductible si le groupe linéaire T(G) (sous-groupe de GL(V)) est irréductible au sens qu'on a donné à cette expression dans le chapitre Théorème de Maschke.

Dire qu'une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle $T:G\rightarrow GL(V)$ est irréductible revient donc à dire que les conditions suivantes sont satisfaites : l'espace V de T n'est pas nul et il n'existe pas de sous-$\mathbb {C}$-espace vectoriel W de V tel que 0 < W < V et que, pour tout g dans G et tout w dans W, (T(g)) (w) appartienne à W.
Ces conditions peuvent encore s'exprimer comme suit : l'espace V de T n'est pas nul et il n'existe pas de sous-$\mathbb {C}$-espace vectoriel W de V tel que 0 < W < V et que, pour tout g dans G, (T(g)) (W) = W.

Exemples. 1° Il est clair que toute $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de degré 1 est irréductible.
2° Si une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle triviale (c'est-à-dire dont l'image est réduite au $\mathbb {C}$-automorphisme identité de son espace) est irréductible, elle est de degré 1. Cela résulte du fait, noté dans les exemples de groupes linéaires réductibles (chapitre Théorème de Maschke), que le sous-groupe de GL(V) réduit à l'élément neutre (V étant un espace vectoriel) n'est irréductible que si V est de dimension 1.
3° On trouvera dans les exercices un exemple de $\mathbb {C}$-représentation vectorielle irréductible de degré 2.

Début d’un théorème

Énoncé 2

Soit G un groupe fini, soient T₁ et T₂ des $\mathbb {C}$-représentations vectorielles équivalentes de G. Alors T₁ est irréductible si et seulement T₂ l'est.

Fin du théorème

Démonstration. Laissée au lecteur.

Soient G un groupe fini et U une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G. D'après les énoncés 1 et 2, les deux conditions suivantes sont équivalentes :

1. il existe une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G qui correspond à U et qui est irréductible;
2. toute $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G qui correspond à U est irréductible.

Définition. Représentation matricielle irréductible.

Soit U une $\mathbb {C}$-représentation matricielle d'un groupe fini G. On dit que U est irréductible si les deux conditions équivalentes qui précèdent sont satisfaites.

Remarque. Pour définir une représentation matricielle irréductible, on a dû passer par une représentation vectorielle. Il y a donc une certaine dissymétrie entre représentations vectorielles et représentations matricielles.

Exemples. Les exemples donnés plus haut de $\mathbb {C}$-représentations vectorielles irréductibles se traduisent facilement en exemples de $\mathbb {C}$-représentations matricielles irréductibles. Ainsi, la seule $\mathbb {C}$-représentation matricielle triviale de G qui soit irréductible est la $\mathbb {C}$-représentation matricielle triviale de degré 1.

Début d’un théorème

Énoncé 3

Soit G un groupe fini, soient U₁ et U₂ des $\mathbb {C}$-représentations matricielles équivalentes de G. Alors U₁ est irréductible si et seulement U₂ l'est.

Fin du théorème

Démonstration (facile). Choisissons une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle $T_{1}$ correspondant à $U_{1}$ et une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle $T_{2}$ correspondant à $U_{2}$. D'après la définition des $\mathbb {C}$-représentations matricielles irréductibles, $U_{1}$ est irréductible si et seulement $T_{1}$ l'est. D'après l'énoncé 2, $T_{1}$ est irréductible si et seulement $T_{2}$ l'est. D'après la définition des $\mathbb {C}$-représentations matricielles irréductibles, $T_{2}$ est irréductible si et seulement $U_{2}$ l'est. Donc $U_{1}$ est irréductible si et seulement $U_{2}$ l'est.

Somme directe de représentations vectorielles

Si $(V_{i})_{i\in I}$ est une famille finie de $\mathbb {C}$-espaces vectoriels, si $(f_{i})_{i\in I}$ est une famille telle que pour tout élément i de I, $f_{i}$ soit un $\mathbb {C}$-endomorphisme de $V_{i}$, alors $(v_{i})_{i\in I}\mapsto (f_{i}(v_{i}))_{i\in I}$ définit un $\mathbb {C}$-endomorphisme de l'espace $\bigoplus \limits _{i\in I}V_{i}$ (somme directe des espaces $V_{i}$). Nous désignerons (abusivement) cet endomorphisme comme la somme directe des $f_{i}$ et nous le noterons (abusivement) $\bigoplus \limits _{i\in I}f_{i}$. Si les $f_{i}$ sont des $\mathbb {C}$-automorphismes, $\bigoplus \limits _{i\in I}f_{i}$ est lui aussi un $\mathbb {C}$-automorphisme.

Soit G un groupe fini, soit $(T_{i})_{i\in I}$ une famille finie de $\mathbb {C}$-représentations vectorielles de G. Pour chaque i dans I, notons $V_{i}$ l'espace de la représentation $T_{i}$. Soit g un élément de G. Dans la terminologie et les notations de l'alinéa précédent, $\bigoplus \limits _{i\in I}(T_{i}(g))$ est un $\mathbb {C}$-automorphisme de $\bigoplus \limits _{i\in I}V_{i}$ et $g\mapsto \bigoplus \limits _{i\in I}(T_{i}(g))$ définit un homomorphisme de groupes de G dans $GL(\bigoplus \limits _{i\in I}V_{i})$, autrement dit une $\mathbb {C}$-représentation (vectorielle) de G dans $\bigoplus \limits _{i\in I}V_{i}$.

Définition. Somme directe d'une famille finie de représentations vectorielles d'un groupe fini.

Soit G un groupe fini, soit $(T_{i})_{i\in I}$ une famille finie de $\mathbb {C}$-représentations vectorielles de G. Pour chaque i dans I, notons $V_{i}$ l'espace de la représentation $T_{i}$. Alors la $\mathbb {C}$-représentation (vectorielle) $g\mapsto \bigoplus \limits _{i\in I}(T_{i}(g))$ de G dans $\bigoplus \limits _{i\in I}V_{i}$ est appelée la somme directe (externe) de la famille de $\mathbb {C}$-représentations vectorielles $(T_{i})_{i\in I}$. On notera cette somme directe $\bigoplus \limits _{i\in I}T_{i}$.
Si R et S sont deux $\mathbb {C}$-représentations vectorielles de G, on appellera somme directe de R et S et on notera $R\oplus S$ la $\mathbb {C}$-représentation vectorielle $\bigoplus \limits _{i\in I}T_{i}$ de G, où I = {1, 2}, $T_{1}=R,T_{2}=S$.

Début d’un théorème

Énoncé 4. (Quasi-associativité de la somme directe des représentations vectorielles)

Soit G un groupe fini, soient $T_{1},T_{2},T_{3}$ des $\mathbb {C}$-représentations vectorielles de G. Alors les $\mathbb {C}$-représentations vectorielles de G

$(T_{1}\oplus T_{2})\oplus T_{3}$ et $T_{1}\oplus (T_{2}\oplus T_{3})$

sont équivalentes.

Fin du théorème

Démonstration. Laissée au lecteur.

Début d’un théorème

Énoncé 5. (Quasi-commutativité de la somme directe des représentations vectorielles)

Soit G un groupe fini, soient I, J deux ensembles finis, soit $\sigma$ une bijection de I sur J; pour tout j dans J, soit $T_{j}$ une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G. Alors les $\mathbb {C}$-représentations vectorielles de G

$\bigoplus \limits _{j\in J}T_{j}$ et $\bigoplus \limits _{i\in I}T_{\sigma (i)}$

sont équivalentes.

Fin du théorème

Démonstration. Laissée au lecteur.

Quelques faits concernant les matrices

Pour définir sans ambiguïté la somme directe d'un multiplet de $\mathbb {C}$-représentations matricielles d'un groupe fini et pour mettre cette définition en rapport avec celle de la somme directe de représentations vectorielles, on aura besoin de quelques notions sur les matrices. Comme il s'agit de théorie des matrices plutôt que de théorie des groupes, on sera avare de démonstrations.

Rappelons que, A étant un anneau, $M_{n}(A)$ désigne l'anneau des matrices carrées $n\times n$ à coefficients dans A.

M et N étant deux matrices (non forcément carrées) à coefficients dans un anneau A, définissons de façon informelle la somme directe de M et N comme la matrice obtenue en plaçant diagonalement le tableau de N à droite et en dessous du tableau de M et en complétant le nouveau tableau en mettant à chaque place libre le zéro de l'anneau A. (La somme directe ainsi définie dépend donc de la structure d'anneau de A, puisque c'est cette structure qui détermine le zéro de A.)

Dans la terminologie des blocs, la somme directe de M et N (par rapport à l'anneau A) est la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont respectivement M et N.

Par exemple, si

$M={\begin{pmatrix}a&b&c\\\end{pmatrix}}$

et $N={\begin{pmatrix}x&y\\z&t\\\end{pmatrix}}$,

alors la somme directe de M et N est

${\begin{pmatrix}a&b&c&0&0\\0&0&0&x&y\\0&0&0&z&t\\\end{pmatrix}}$.

De façon formelle :

Définition. Somme directe de deux matrices.

Soit A un anneau, soient M et M' deux matrices à coefficients dans A. Nous définirons la somme directe de M et M' (relativement à l'anneau A) de la façon suivante :

si $M=(a_{i,j})_{(i,j)\in \{1,\ldots r\}\times \{1,\ldots s\}},$

si $M'=(a'_{k,l})_{(k,l)\in \{1,\ldots r'\}\times \{1,\ldots s'\}},$

alors la somme directe de M et M' est la matrice

$(b_{t,u})_{(t,u)\in \{1,\ldots ,r+r'\}\times \{1,\ldots ,s+s'\}},$

où

$b_{t,u}=\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{t,u}\ \mathrm {si} \ (t,u)\in \{1,\ldots ,r\}\times \{1,\ldots ,s\},\\a'_{t-r,u-s}\ \mathrm {si} \ (t,u)\in \{r+1,\ldots ,r+r'\}\times \{s+1,\ldots ,s+s'\},\\0\ \mathrm {dans\ les\ autres\ cas} .\end{array}}\right.$

Nous noterons $M\oplus M'$ la somme directe des matrices M et M'. Comme déjà noté, $M\oplus M'$ dépend de A, ce que la notation ne montre pas.

Début d’un théorème

Énoncé 6 (Associativité de la somme directe des matrices)

Soient

$M=(a_{i,j})_{(i,j)\in \{1,\ldots ,r\}\times \{1,\ldots ,s\}},$

$M'=(b_{k,l})_{(k,l)\in \{1,\ldots ,r'\}\times \{1,\ldots ,s'\}},$

$M''=(c_{m,n})_{(m,n)\in \{1,\ldots ,r''\}\times \{1,\ldots ,s''\}}$

des matrices à coefficients dans un anneau A. Alors

$(M\oplus M')\oplus M''=M\oplus (M'\oplus M'')$

(pour la somme directe correspondant à l'anneau A).

Fin du théorème

Démonstration. La définition informelle de la somme directe de deux matrices comme mise bout à bout diagonalement de ces deux matrices rend l'énoncé évident. De façon formelle, on peut dire que les matrices $(M\oplus M')\oplus M''$ et $M\oplus (M'\oplus M'')$ sont toutes deux égales à la matrice

$(d_{p,q})_{(p,q)\in \{1,\ldots ,r+r'+r''\}\times \{1,\ldots ,s+s'+s''\}},$

où

$d_{p,q}=\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{p,q}\ \mathrm {si} \ (p,q)\in \{1,\ldots ,r\}\times \{1,\ldots ,s\},\\b_{p-r,q-s}\ \mathrm {si} \ (p,q)\in \{r+1,\ldots ,r+r'\}\times \{s+1,\ldots ,s+s'\},\\c_{p-r-r',q-s-s'}\ \mathrm {si} \ (p,q)\in \{r+r'+1,\ldots ,r+r'+r''\}\times \{s+s'+1,\ldots ,s+s'+s''\},\\0\ \mathrm {dans\ les\ autres\ cas} .\end{array}}\right.$

Soient $M_{1},\ldots ,M_{n}$ des matrices à coefficients dans l'anneau A. Puisque la somme directe des matrices à coefficients dans l'anneau A est associative, on peut écrire

$M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}$

sans parenthèses.

On peut d'ailleurs expliciter $M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}$ de la façon suivante :

Début d’un théorème

Énoncé 7 (Somme directe d'un multiplet de matrices)

Soient $M_{1},\ldots ,M_{n}$ des matrices à coefficients dans l'anneau A. Pour tout i dans {1, ..., n}, désignons par r_i (resp. s_i) le nombre de lignes (resp. de colonnes) de M_i et posons

$M_{i}=(a_{i,j,k})_{(j,k)\in \{1,\ldots ,r_{i}\}\times \{1,\ldots ,s_{i}\}}.$

(Il n'y a pas d'inconvénient à utiliser la même notation (j,k) dans des sens différents, puisque ces variables sont muettes.)
Alors

$M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}=(b_{l,m})_{(l,m)\in \{1,\ldots ,r_{1}+\cdots +r_{n}\}\times \{1,\ldots ,s_{1}+\cdots +s_{n}\}},$

où

$b_{l,m}=\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{1,l,m}\ \mathrm {si} \ (l,m)\in \{1,\ldots ,r_{1}\}\times \{1,\ldots ,s_{1}\},\\a_{2,l-r_{1},m-s_{1}}\ \mathrm {si} \ (l,m)\in \{r_{1}+1,\ldots ,r_{1}+r_{2}\}\times \{s_{1}+1,\ldots ,s_{1}+s_{2}\},\\a_{3,l-r_{1}-r_{2},m-s_{1}-s_{2}}\ \mathrm {si} \ (l,m)\in \{r_{1}+r_{2}+1,\ldots ,r_{1}+r_{2}+r_{3}\}\times \{s_{1}+s_{2}+1,\ldots ,s_{1}+s_{2}+s_{3}\},\\\cdots \\a_{n,l-(r_{1}+r_{2}+\cdots r_{n-1}),m-(s_{1}+s_{2}+\cdots s_{n-1})}\ \mathrm {si} \ (l,m)\in \{r_{1}+r_{2}+\cdots r_{n-1}+1,\ldots ,r_{1}+r_{2}+\cdots r_{n}\}\times \{s_{1}+s_{2}+\cdots s_{n-1}+1,\ldots ,s_{1}+s_{2}+\cdots s_{n}\},\\0\ \mathrm {dans\ les\ autres\ cas} .\end{array}}\right.$

Autrement dit : pour tout $l$ dans $\{1,\ldots ,r_{1}+r_{2}+\cdots r_{n}\},$, désignons par $t(l)$ le nombre naturel t tel que

$1+\sum _{u}\{r_{u}\vert 1\leq u<t\}\leq l\leq \sum _{u}\{r_{u}\vert 1\leq u\leq t\};$

pour tout m dans $\{1,\ldots ,s_{1}+s_{2}+\cdots s_{n}\},$ désignons par $v(m)$ le nombre naturel v tel que

$1+\sum _{w}\{s_{w}\vert 1\leq w<v\}\leq m\leq \sum _{w}\{s_{w}\vert 1\leq w\leq v\};$

si $t(l)=v(m)$ et qu'on pose $i=t(l)=v(m),$

alors $b_{l,m}=a_{i,l-\sum _{u}\{r_{u}\vert 1\leq u<i\},\ m-\sum _{w}\{s_{w}\vert 1\leq w<i\}};$

si $t(l)\neq v(m)$,

alors $b_{l,m}=0.$

Fin du théorème

Début d’un théorème

Énoncé 8 (Propriétés de la somme directe d'un multiplet de matrices carrées)

Soit A un anneau. Pour tout nombre naturel n, désignons par $1_{n}$ la matrice unité de $M_{n}(A)$. Soient $n_{1},\ldots ,n_{r}$ des nombres naturels. Alors

$1_{n_{1}}\oplus \cdots \oplus 1_{n_{r}}=1_{n_{1}+\cdots +n_{r}}.$

Si $M_{1},\ldots ,M_{n}$ sont des matrices carrées, alors $M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}$ est une matrice carrée. Si de plus l'anneau A est commutatif, il résulte de théorèmes sur les matrices « diagonales par blocs » que le déterminant de la matrice $M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}$ est égal au produit des déterminants des matrices $M_{1},\ldots ,M_{n}$ et que la trace de la matrice $M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}$ est égale à la somme des traces des matrices $M_{1},\ldots ,M_{n}$.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Énoncé 9. (Lemme)

Soit n un nombre naturel, soit $\varphi$ une permutation de l'ensemble {1, ... , n}. Soit

$M=(x_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice $n\times n$ à coefficients dans un anneau A.

Alors la matrice

$(x_{\varphi (i),\varphi (j)})_{1\leq i,j\leq n}$

est égale à

$(P_{\varphi })^{-1}MP_{\varphi },$

où $P_{\varphi }$ désigne la matrice de la permutation $\varphi$ (relativement à A).
En particulier, les matrices $M=(x_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ et $(x_{\varphi (i),\varphi (j)})_{1\leq i,j\leq n}$ sont semblables.

Fin du théorème

Remarque. La première partie de l'énoncé est plus forte que la seconde, car elle montre qu'on obtient la matrice $(x_{\varphi (i),\varphi (j)})_{1\leq i,j\leq n}$ en conjuguant M par une matrice indépendante des coefficients de M. Cela servira dans la suite.

Début d’un théorème

Énoncé 10. (Quasi-commutativité de la somme directe des matrices carrées.)

Soient r, s deux nombres naturels; désignons par $\sigma$ la permutation de l'ensemble {1, ... , r + s} telle que, pour tout i dans {1, ... , r + s}, $\sigma (i)$ soit l'élément de {1, ... , r + s} qui est congru à i + r modulo r + s. (Donc $\sigma$ dépend de r et de s.)

Soit A un anneau, soit $P_{\sigma }$ la matrice de la permutation $\sigma$ (relativement à l'anneau A); donc

$P_{\sigma }=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq r+s},$

avec

$a_{i,j}=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\ \mathrm {si} \ i=\sigma (j),\ \mathrm {autrement\ dit\ si} \ i\equiv j+r{\pmod {r+s}};\\0\ \mathrm {sinon} .\end{array}}\right.$

Soit M (resp. N) une matrice carrée $r\times r$ (resp. $s\times s$) à coefficients dans A; alors

$N\oplus M=(P_{\sigma })^{-1}(M\oplus N)P_{\sigma }.$

En particulier, les matrices $M\oplus N$ et $N\oplus M$ sont semblables.

Fin du théorème

Remarque. La première partie de l'énoncé est plus forte que la seconde, car elle montre qu'on obtient la matrice $N\oplus M$ en conjuguant $M\oplus N$ par une matrice indépendante des coefficients de M et de N. Cela servira dans la suite.

Début d’un théorème

Énoncé 11. (Produit de deux matrices « diagonales par blocs ».)

Soit A un anneau, soient $M_{1},\ldots ,M_{n},N_{1},\ldots ,N_{n}$ des matrices à coefficients dans A. On suppose que, pour tout i dans {1, ... , n}, le produit $M_{i}N_{i}$ est défini, c'est-à-dire que le nombre de colonnes de $M_{i}$ est égal au nombre de lignes de $N_{i}$. Alors le produit

$(M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n})\ (N_{1}\oplus \cdots \oplus N_{n})$

est défini et égal à

$M_{1}N_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}N_{n}.$

Fin du théorème

Début d’un théorème

Énoncé 12. (Corollaire de l'énoncé 11.)

Soient $M_{1},\ldots ,M_{n},N_{1},\ldots ,N_{n},L_{1},\ldots ,L_{n}$ des matrices carrées à coefficients dans un anneau A. On suppose que pour tout i dans {1, ... , n}, $M_{i},N_{i}$ et $L_{i}$ ont la même taille, soit $d_{i}$, que $L_{i}$ est inversible et que

$N_{i}=L_{i}M_{i}L_{i}^{-1}.$

(La matrice $M_{i}$ et la matrice $N_{i}$ sont donc semblables.)
Alors la matrice $L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}$ est inversible et

$N_{1}\oplus \cdots \oplus N_{n}=(L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})\ (M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n})\ (L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})^{-1}.$

(Les matrices $M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}$ et $N_{1}\oplus \cdots \oplus N_{n}$ sont donc semblables, mais nous aurons besoin de l'énoncé plus précis qui précède.)

Fin du théorème

Somme directe de représentations matricielles

Définition. Somme directe d'un multiplet de représentations matricielles d'un groupe fini.

Soit G un groupe fini, soit $(U_{i})_{1\leq i\leq n}$ un n-uplet de $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G; notons $d_{i}$ le degré de la représentation $U_{i}$.
Si pour tout élément g de G, on désigne par U(g) la somme directe

$U_{1}(g)\oplus \cdots \oplus U_{n}(g)$

des matrices $U_{1}(g),\ldots ,U_{n}(g)$, on définit une $\mathbb {C}$-représentation matricielle U de G, de degré $d_{1}+\cdots +d_{n}.$ On appellera cette représentation la somme directe des représentations $U_{1},\ldots U_{n}$ et on la notera

$U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{n}$.

Remarque. Pour le fait que U est un homomorphisme de groupes de G dans $GL(d_{1}+\cdots +d_{n},\mathbb {C} ),$ voir l'énoncé 11.

Début d’un théorème

Énoncé 13.

Soit G un groupe fini, soit $(T_{i})_{1\leq i\leq n}$ un n-uplet de $\mathbb {C}$-représentations vectorielles de G, soit $(U_{i})_{1\leq i\leq n}$ un n-uplet de $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G. On suppose que pour tout i dans {1, ... , n}, $T_{i}$ et $U_{i}$ se correspondent. Alors la $\mathbb {C}$-représentation vectorielle

$\bigoplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}T_{i}$

et la $\mathbb {C}$-représentation matricielle

$U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{n}$

de G se correspondent.

Fin du théorème

Esquisse de démonstration. Pour tout i dans {1, ... , n}, désignons par $V_{i}$ l'espace de la représentation vectorielle $T_{i}$ et par $d_{i}$ le degré de $T_{i}$, autrement dit la dimension de $V_{i}$. Puisque, pour chaque i, $T_{i}$ et $U_{i}$ se correspondent, il existe pour tout i une base (numérotée) $B_{i}=(b_{i,1},\ldots ,b_{i,d_{i}})$ de $V_{i}$ telle que $T_{i}$ et $U_{i}$ se correspondent via cette base.
Pour tout r dans {1, ... , n}, désignons par $\mathrm {incl} _{r}$ la r-ième injection canonique $V_{r}\rightarrow \bigoplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}V_{i}$. Désignons par B le $(d_{1}+\cdots +d_{n})$-uplet

$B=(\mathrm {incl} _{1}(b_{1,1}),\ldots ,\mathrm {incl} _{1}(b_{1,d_{1}}),\mathrm {incl} _{2}(b_{2,1}),\ldots ,\mathrm {incl} _{2}(b_{2,d_{2}}),\ldots ,\mathrm {incl} _{n}(b_{n,1}),\ldots ,\mathrm {incl} _{n}(b_{n,d_{n}})\ )$.

De façon plus précise,la s-ième composante du $(d_{1}+\cdots +d_{n})$-uplet B est

$\mathrm {incl} _{k_{s}}(b_{k_{s},s-\sum _{l}\{d_{l}\vert 1\leq l<k_{s}\}})$,

où $k_{s}$ désigne l'élément de {1, 2, ... , n} défini par

$\sum _{l}\{d_{l}\vert 1\leq l<k_{s}\}+1\leq s\leq \sum _{l}\{d_{l}\vert 1\leq l\leq k_{s}\}$.

Alors B est une base (numérotée) de $\bigoplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}V_{i}$ et on vérifie que la $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G correspondant à la $\mathbb {C}$-représentations vectorielle $\bigoplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}T_{i}$ via la base B est $U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{n}$.

Début d’un théorème

Énoncé 14. (Associativité de la somme directe des représentations matricielles.)

Soient $U_{1},U_{2},U_{3}$ des $\mathbb {C}$-représentations matricielles d'un même groupe fini. Alors

$(U_{1}\oplus U_{2})\oplus U_{3}=U_{1}\oplus (U_{2}\oplus U_{3})$.

Fin du théorème

Démonstration. Conséquence immédiate de l'associativité de la somme directe des matrices.

Début d’un théorème

Énoncé 15. (Quasi-commutativité de la somme directe des représentations matricielles.)

Soit G un groupe fini, soient $U_{1}$ et $U_{2}$ des $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G. Les $\mathbb {C}$-représentations matricielles $U_{1}\oplus U_{2}$ et $U_{2}\oplus U_{1}$ sont équivalentes.

Fin du théorème

Démonstration. Soient $d_{1}$ et $d_{2}$ les degrés respectifs de $U_{1}$ et $U_{2}$. L'énoncé 10 fournit une certaine matrice (de permutation) $P\in GL(d_{1}+d_{2},\mathbb {C} )$, ne dépendant que de $d_{1}$ et de $d_{2}$, telle que, pour tout élément g de G,

$P^{-1}(U_{1}(g)\oplus U_{2}(g)\ )P=U_{2}(g)\oplus U_{1}(g)$.

D'après la définition de la somme directe de deux représentations matricielles, cela peut s'écrire

$P^{-1}(\ (U_{1}\oplus U_{2})(g)\ )P=(U_{2}\oplus U_{1})(g)$.

Puisque P ne dépend pas de g, cela prouve que les $\mathbb {C}$-représentations matricielles $U_{1}\oplus U_{2}$ et $U_{2}\oplus U_{1}$ sont équivalentes.

Début d’un théorème

Énoncé 16.

Soit G un groupe fini, soient $R_{1},\ldots ,R_{n},S_{1},\ldots ,S_{n}$ des $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G. On suppose que pour tout i dans {1, ... , n}, $R_{i}$ et $S_{i}$ sont équivalentes. Alors

$R_{1}\oplus \cdots \oplus R_{n}$ et $S_{1}\oplus \cdots \oplus S_{n}$ sont équivalentes.

Fin du théorème

Démonstration. Pour tout i dans {1, ... , n}, désignons par $d_{i}$ le degré de $R_{i}$ et de $S_{i}$. Puisque la représentation $R_{i}$ et la représentation $S_{i}$ sont équivalentes, il existe pour chaque i une matrice $L_{i}\in \mathrm {GL} (d_{i},\mathbb {C} )$ telle que, pour tout g dans G,

$S_{i}(g)=L_{i}\ R_{i}(g)\ L_{i}^{-1}$.

D'après l'énoncé 12, nous avons, pour tout g dans G,

$S_{1}(g)\oplus \cdots \oplus S_{n}(g)=(L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})\ (R_{1}(g)\oplus \cdots \oplus R_{n}(g))\ (L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})^{-1}$,

où $\oplus$ désigne la somme directe de deux matrices.
D'après la définition de la somme directe de représentations matricielles, cela peut s'écrire

$(S_{1}\oplus \cdots \oplus S_{n})(g)=(L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})\ (\ (R_{1}\oplus \cdots \oplus R_{n})\ (g))\ (L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})^{-1}$,

où $S_{1}\oplus \cdots \oplus S_{n}$ et $R_{1}\oplus \cdots \oplus R_{n}$ désignent des sommes directes de représentations.
Puisque la matrice $L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}$ ne dépend pas de g, cela prouve que les représentations matricielles $R_{1}\oplus \cdots \oplus R_{n}$ et $S_{1}\oplus \cdots \oplus S_{n}$ sont équivalentes.

Début d’un théorème

Énoncé 17.

Soit G un groupe fini, soit n un nombre naturel, soit $\sigma$ une permutation de l'ensemble {1, ... , n}. Pour tout i dans {1, ... , n}, soit $U_{i}$ une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G.
Alors les $\mathbb {C}$-représentations matricielles

$U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{n}$ et $U_{\sigma (1)}\oplus \cdots \oplus U_{\sigma (n)}$

de G sont équivalentes.

Fin du théorème

Démonstration. D'après l'énoncé 16, on peut définir correctement la somme directe de deux classes d'équivalence de $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G en prenant la somme directe de deux représentantes respectives de ces deux classes et en passant à la classe d'équivalence.
D'après les énoncés 14 et 15, la somme directe ainsi définie est une loi de composition associative et commutative dans l'ensemble des classes d'équivalence de $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G. L'énoncé traduit dès lors une propriété connue des lois de composition à la fois associatives et commutatives.

Décomposition d'une représentation en somme directe de représentations irréductibles

Début d’un théorème

Théorème 18.

Soit G un groupe fini, soit T une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G.
Alors T est équivalente à une somme directe

$\bigoplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}T_{i}$

de $\mathbb {C}$-représentations vectorielles irréductibles de G.

Fin du théorème

Démonstration. Soit V l'espace de la représentation T. Puisque la caractéristique du corps $\mathbb {C}$ est nulle, elle ne divise pas l'ordre du sous-groupe T(G) de GL(V), donc, d'après le Théorème de Maschke, il existe des sous-$\mathbb {C}$-espaces $V_{1},\ldots ,V_{n}$ de V invariants par le groupe linéaire T(G) tels que V soit somme directe interne de la famille $(V_{i})_{1\leq i\leq n}$ et que, pour tout i dans {1, ... , n}, le sous-groupe de GL(V_i) formé par les birestrictions à $V_{i}$ des éléments de T(G) soit irréductible.
Pour tout i dans {1, ... , n}, pour tout g dans G, pour tout v dans $V_{i}$, posons

$(T_{i}(g))(v)=(T(g))(v)$.

On vérifie que cela définit une représentation vectorielle irréductible $T_{i}$ de G dans $V_{i}$.
Prouvons que la représentation T est équivalente à la somme directe S = $\bigoplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}T_{i}$.
Notons $\bigoplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}V_{i}$ la somme directe externe de la famille $(V_{i})_{1\leq i\leq n}$ de $\mathbb {C}$-espaces vectoriels.
Puisque V est somme directe interne des $V_{i}$, il existe un (et un seul) $\mathbb {C}$-isomorphisme $\sigma$ de $\bigoplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}V_{i}$ sur V qui, pour tout élément $(v_{i})_{1\leq i\leq n}$ de $\bigoplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}V_{i}$, applique cet élément sur $v_{1}+\cdots +v_{n}$.
On vérifie que, pour tout g dans G,

$\sigma \circ S(g)\circ \sigma ^{-1}=T(g)$,

ce qui prouve que T est équivalente à S, d'où l'énoncé.

Début d’un théorème

Théorème 19.

Soit G un groupe fini, soit U une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G.
Alors U est équivalente à une somme directe

$U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{n}$

de $\mathbb {C}$-représentations matricielles irréductibles de G.

Fin du théorème

Démonstration. Soit d le degré de U. Choisissons un $\mathbb {C}$-espace vectoriel V de dimension d et une base numérotée B de V. (On peut par exemple prendre pour V l'espace $\mathbb {C} ^{d}$ et pour B la base canonique de $\mathbb {C} ^{d}$.)
Désignons par T la $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G dans V correspondant à U via la base B de V.
D'après le théorème 18, T est équivalente à une somme directe

$\bigoplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}T_{i}$

de $\mathbb {C}$-représentations vectorielles irréductibles de G.
D'après la définition des $\mathbb {C}$-représentations matricielles irréductibles, $T_{i}$ correspond, pour tout i, à une $\mathbb {C}$-représentation matricielle irréductible $U_{i}$ de G.
D'après l'énoncé 13, la $\mathbb {C}$-représentation vectorielle $\bigoplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}T_{i}$ correspond à la $\mathbb {C}$-représentation matricielle $U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{n}$.
Récapitulons : U correspond à T, T est équivalente à $\bigoplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}T_{i}$ et $\bigoplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}T_{i}$ correspond à $U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{n}$.
D'après l'énoncé 1, il en résulte que U est équivalente à $U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{n}$, d'où la thèse.