Théorie des groupes/Exercices/Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité

Problème 1

Soit G un groupe fini, soit g un élément de G tel que $g^2=1,$ soit $\chi$ un $ℂ$-caractère de G.
Prouver que $\chi (g)$ est un entier rationnel et que

$\chi (g)\equiv \chi (1)(\mathrm{mod}2).$

Solution

Notons d le degré $\chi (1)$ de $\chi .$
L'ordre de g est égal à 2 ou à 1, donc d'après le théorème 9 du chapitre théorique (forme précise), $\chi (g)$ est la somme d'une famille de d racines carrées de l'unité.
Soit donc

(1) $\chi (g)={\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_d,$

où chaque ${\lambda }_i$ appartient à la paire {1, -1}. Pour chaque i,

${\lambda }_i\in \mathbb{Z}$ et ${\lambda }_i\equiv 1(\mathrm{mod}2),$

donc (1) entraîne

$\chi (g)\in \mathbb{Z}$ et $\chi (g)\equiv d(\mathrm{mod}2).$

Puisque d désigne $\chi (1)$, l'énoncé en résulte.

 

Problème 2

Soit G un groupe fini, soient $T_1:G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(V_1)$ et $T_2:G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(V_2)$ deux $ℂ$-représentations vectorielles irréductibles non équivalentes de G. Désignons par T la représentation $T_1\oplus T_2$ de G. Prouver qu'il existe une fonction centrale $\gamma :G\to ℂ$ telle que l'endomorphisme $\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g)$ de $V_1\oplus V_2$ ne soit pas une homothétie. (Cela montre que dans le lemme 27 du chapitre théorique, l'hypothèse d'irréductibilité ne peut pas être levée.)
Indication : appliquer le lemme 27 du chapitre théorique aux représentations $T_1$ et $T_2$.

Solution

Puisque $T_1$ et $T_2$ sont irréductibles, les espaces $V_1$ et $V_2$ sont non nuls, donc nous pouvons choisir $v_1$ non nul dans $V_1$ et $v_2$ non nul dans $V_2$.
Soit $\gamma :G\to ℂ$ une fonction centrale.
D'après la définition de T,

$(\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g))(v_1,v_2)=(\sum _{g\in G}\gamma (g)T_1(g)(v_1),\sum _{g\in G}\gamma (g)T_2(g)(v_2)).$

D'après le lemme 27 du chapitre théorique, cela peut s'écrire

$(\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g))(v_1,v_2)=(\frac{|G|}{d_1}(\gamma |\overline{{\chi }_1})v_1,\frac{|G|}{d_2}(\gamma |\overline{{\chi }_2})v_2),$

où ${\chi }_1$ désigne le caractère de $T_1$ et ${\chi }_2$ le caractère de $T_2$. Puisque $v_1$ et $v_2$ sont non nuls, il en résulte que si la fonction centrale $\gamma$ est telle que $\frac{|G|}{d_1}(\gamma |\overline{{\chi }_1})\ne \frac{|G|}{d_2}(\gamma |\overline{{\chi }_2})$, alors $\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g)$ n'est pas une homothétie.
Donc pour prouver l'énoncé, il suffit de trouver une fonction centrale $\gamma$ telle que

(thèse 1) $\frac{|G|}{d_1}(\gamma |\overline{{\chi }_1})\ne \frac{|G|}{d_2}(\gamma |\overline{{\chi }_2}).$

Puisque $T_1$ et $T_2$ ne sont pas équivalentes, nous avons

${\chi }_1\ne {\chi }_2,$ d'où $\overline{{\chi }_1}\ne \overline{{\chi }_2}.$

Prenons pour $\gamma$ la fonction (centrale) $\overline{{\chi }_1}.$ Alors, d'après les théorèmes 17 et 25 du chapitre théorique,

$\frac{|G|}{d_1}(\gamma |\overline{{\chi }_1})=\frac{|G|}{d_1}(\overline{{\chi }_1}|\overline{{\chi }_1})=\frac{|G|}{d_1}\ne 0$

et

$\frac{|G|}{d_2}(\gamma |\overline{{\chi }_2})=\frac{|G|}{d_2}(\overline{{\chi }_1}|\overline{{\chi }_2})=0.$

Nous avons donc prouvé que la fonction centrale $\gamma =\overline{{\chi }_1}$ satisfait à la thèse (1), d'où l'énoncé.