Théorie de la mesure/Exercices/Intégrales

Leçons de niveau 16
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Intégrales
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Exercices no3
Leçon : Théorie de la mesure

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Mesures
Exo suiv. :Sommaire
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Théorie de la mesure/Exercices/Intégrales
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit un espace mesuré et une suite monotone d'applications -intégrables de dans , de limite simple (à valeurs dans ). Démontrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

  •  ;
  • est -intégrable ;
  •  ;
  • .

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

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Wikipédia possède un article à propos de « Lemme de Fatou ».

Soit un espace mesuré.

1. Soient . Examiner le lemme de Fatou sur l'exemple suivant : , .

2. Soient mesurables telles que .

On pose . Montrer que et calculer .

3. Soit une suite d'éléments de tels que . Soit une fonction -intégrable. Montrer que . Indication (Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C#Exercice 8) : pour tous réels positifs , si alors .

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

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Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de convergence dominée ».

En utilisant le théorème de convergence dominée, montrer que

.

Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

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Wikipédia possède un article à propos de « Intégrale de Stieltjes ».

Soient une mesure sur , de Radon (c'est-à-dire finie sur tout compact) et diffuse (c'est-à-dire sans atomes), et une fonction bornée sur .

Montrer que si est Stieltjes -intégrable alors elle est continue -presque partout.

Indication : utiliser l'oscillation de en , , où , et les ensembles .

Exercice 3-4[modifier | modifier le wikicode]

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Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Fubini ».

Soient et définie par

  1. Prouver que est borélienne et calculer les intégrales et .
  2. est-elle -intégrable sur  ?

Exercice 3-5[modifier | modifier le wikicode]

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Wikipédia possède un article à propos de « Opérateur intégral ».

Soient tels que (ce qui implique ). Soient une constante et mesurable de dans , telles que les applications (pour presque tout ) et (pour -presque tout ) appartiennent à et aient une norme . On veut montrer que la formule définit une application (évidemment linéaire) de dans , et que est continue, de norme .

  1. Traiter le cas .
  2. On suppose . Soit . Pour fixé on pose . Démontrer que .
    (Indication : appliquer l'inégalité de Hölder généralisée pour , , , ).
    En déduire que et conclure.
  3. Dans le cas particulier , si est continue (de dans ), montrer que pour tout est continue.
  4. On pose et pour , . Vérifier que est bornée. Déduire alors des questions 1 et 2 que la formule définit une application bilinéaire continue , de norme (inégalité de Young), puis vérifier que .
  5. Montrer que si avec alors est (uniformément) continue (on se ramènera par translation à la continuité en , puis on procèdera par densité dans , en supposant d'abord continue à support compact). Déduire alors de la question 3 que si alors () est continue.
  6. Si (et ), montrer que si alors est (non seulement continue et bornée mais) nulle à l'infini. (On approximera et par des fonctions à support borné).
  7. Soit une mesure bornée sur . Généraliser le cas de la question 4 pour définir une application linéaire continue .

Exercice 3-6[modifier | modifier le wikicode]

(Généralisation de la formule d'intégration par parties)

Soient un intervalle ouvert de et une mesure sigma-finie sur la tribu borélienne (par exemple, une mesure de Stieltjes). et désignent des applications -intégrables de dans  ; on pose pour tout ,

.
  1. Montrer que pour tout existe ; elle est notée .
  2. Soit et pour . Montrer que est borélienne et -intégrable.
  3. A l'aide du théorème de Fubini, démontrer que et sont -intégrables et que .

Exercice 3-7[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace mesuré, mesurable et . On rappelle que si est sigma-finie, . Montrer que si alors quand . Étudier la réciproque.

Exercice 3-8[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace mesuré, et mesurables. On suppose que en mesure et qu'il existe telle que . Prouver qu'alors dans .

Exercice 3-9[modifier | modifier le wikicode]

Soient et un espace mesuré sigma-fini. Soient , montrer que et en déduire que est continue de dans .