Leçons de niveau 15

Fonctions convexes/Exercices/Sur l’inégalité de Jensen

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Sur l’inégalité de Jensen
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Exercices no1
Leçon : Fonctions convexes
Chapitre du cours : Applications de l'inégalité de Jensen

Ces exercices sont de niveau 15.

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Fonctions convexes/Exercices/Sur l’inégalité de Jensen
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient et . Démontrer que

.

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit a1, a2,…, an, une famille de nombres strictement positifs.

Montrer que l’on a :


Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit a, b, c trois nombres réels strictement positifs. Montrer la relation suivante :

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

Soient une fonction convexe et une fonction continue par morceaux. En considérant des sommes de Riemann, redémontrer directement dans ce cas la version intégrale de l'inégalité de Jensen :

à partir de la version discrète.

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit un espace mesuré. On considère les « normes » associées.

  1. À l'aide de l'inégalité de Young, démontrer la forme intégrale de l'inégalité de Hölder : si et alors, pour toutes fonctions mesurables et ,
    .
  2. Pour quel espace mesuré la forme discrète vue en cours est-elle un cas particulier de la forme intégrale ci-dessus ?
  3. Montrer que le résultat suivant en est un second cas particulier : si est finie, de masse totale , alors, pour toute fonction mesurable ,
    .
  4. Montrer que réciproquement, ce second cas particulier peut servir de lemme pour démontrer la forme intégrale de l'inégalité de Hölder.
  5. Redémontrer ce lemme à partir de la version intégrale de l'inégalité de Jensen.