Aller au contenu

Fonctions convexes/Exercices/Sur l’inégalité de Jensen

Leçons de niveau 15
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Sur l’inégalité de Jensen
Image logo représentative de la faculté
Exercices no1
Leçon : Fonctions convexes
Chapitre du cours : Applications de l'inégalité de Jensen

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Inégalité de Minkowski
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Sur l’inégalité de Jensen
Fonctions convexes/Exercices/Sur l’inégalité de Jensen
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Soient et . Démontrer que

.

Soit a1, a2,…, an, une famille de nombres strictement positifs.

Montrer que l’on a :

Soit un espace mesuré. On considère les « normes » associées.

  1. À l'aide de l'inégalité de Young, démontrer la forme intégrale de l'inégalité de Hölder : si et alors, pour toutes fonctions mesurables et ,
    .
  2. Pour quel espace mesuré la forme discrète vue en cours est-elle un cas particulier de la forme intégrale ci-dessus ?
  3. Montrer que le résultat suivant en est un second cas particulier : si est finie, de masse totale , alors, pour toute fonction mesurable ,
    .
  4. Montrer que réciproquement, ce second cas particulier peut servir de lemme pour démontrer la forme intégrale de l'inégalité de Hölder.
  5. Redémontrer ce lemme à partir de la version intégrale de l'inégalité de Jensen.

Soient une fonction convexe et une fonction continue par morceaux. En considérant des sommes de Riemann, redémontrer directement dans ce cas la version intégrale de l'inégalité de Jensen :

à partir de la version discrète.