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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Sur l’inégalité de JensenFonctions convexes/Exercices/Sur l’inégalité de Jensen », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
et
a
1
,
…
,
a
n
,
b
1
,
…
,
b
n
∈
R
{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}\in \mathbb {R} }
. Démontrer que
(
∑
i
=
0
n
a
i
b
i
)
2
≤
(
∑
i
=
0
n
a
i
2
)
(
∑
i
=
0
n
b
i
2
)
{\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=0}^{n}b_{i}^{2}\right)}
.
Soit a1 , a2 ,…, an , une famille de nombres strictement positifs.
Montrer que l’on a :
1
+
(
∏
i
=
1
n
a
i
)
1
n
⩽
∏
i
=
1
n
(
1
+
a
i
)
1
n
{\displaystyle 1+\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}\leqslant \prod _{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}}
Solution
Considérons la fonction
f
{\displaystyle f}
définie par :
∀
x
∈
R
f
(
x
)
=
ln
(
1
+
e
x
)
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \qquad f(x)=\ln(1+e^{x})}
.
On a alors :
f
″
(
x
)
=
e
x
(
1
+
e
x
)
2
{\displaystyle f''(x)={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}}
Par conséquent
f
{\displaystyle f}
est convexe.
En appliquant le corollaire, on obtient :
ln
(
1
+
e
∑
i
=
1
n
x
i
n
)
⩽
∑
i
=
1
n
ln
(
1
+
e
x
i
)
n
{\displaystyle \ln \left(1+e^{\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}{\frac {\ln(1+e^{x_{i}})}{n}}}
.
Posons :
x
i
=
ln
a
i
{\displaystyle x_{i}=\ln a_{i}}
.
On obtient :
ln
(
1
+
e
∑
i
=
1
n
ln
a
i
n
)
⩽
∑
i
=
1
n
ln
(
1
+
a
i
)
n
⇔
ln
(
1
+
∏
i
=
1
n
e
ln
a
i
n
)
⩽
ln
(
∏
i
=
1
n
(
1
+
a
i
)
1
n
)
⇔
1
+
(
∏
i
=
1
n
a
i
)
1
n
⩽
∏
i
=
1
n
(
1
+
a
i
)
1
n
{\displaystyle \ln \left(1+e^{\sum _{i=1}^{n}{\frac {\ln a_{i}}{n}}}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}{\frac {\ln(1+a_{i})}{n}}\Leftrightarrow \ln \left(1+\prod _{i=1}^{n}e^{\frac {\ln a_{i}}{n}}\right)\leqslant \ln \left(\prod _{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}\right)\Leftrightarrow 1+\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}\leqslant \prod _{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}}
.
Soit
(
Ω
,
A
,
μ
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}
un espace mesuré . On considère les « normes »
L
p
{\displaystyle \mathrm {L} ^{p}}
associées .
À l'aide de l'inégalité de Young , démontrer la forme intégrale de l'inégalité de Hölder : si
0
<
p
,
q
≤
+
∞
{\displaystyle 0<p,q\leq +\infty }
et
1
p
+
1
q
=
1
r
{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}}
alors, pour toutes fonctions mesurables
f
{\displaystyle f}
et
g
{\displaystyle g}
,
‖
f
g
‖
r
≤
‖
f
‖
p
‖
g
‖
q
{\displaystyle \|fg\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}
.
Pour quel espace mesuré la forme discrète vue en cours est-elle un cas particulier de la forme intégrale ci-dessus ?
Montrer que le résultat suivant en est un second cas particulier : si
μ
{\displaystyle \mu }
est finie, de masse totale
μ
(
Ω
)
=
M
>
0
{\displaystyle \mu (\Omega )=M>0}
, alors, pour toute fonction mesurable
g
{\displaystyle g}
,
0
<
r
≤
q
≤
+
∞
⇒
‖
g
‖
r
≤
M
1
r
−
1
q
‖
g
‖
q
{\displaystyle 0<r\leq q\leq +\infty \Rightarrow \|g\|_{r}\leq M^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{q}}}\|g\|_{q}}
.
Montrer que réciproquement, ce second cas particulier peut servir de lemme pour démontrer la forme intégrale de l'inégalité de Hölder.
Redémontrer ce lemme à partir de la version intégrale de l'inégalité de Jensen .
Solution
Référence : Intégration et Probabilités (M43050) 2010–2011, cours 15 par Bernard Maurey, université Paris VII - Diderot.
Le résultat étant immédiat si
p
{\displaystyle p}
,
q
{\displaystyle q}
,
‖
f
‖
p
{\displaystyle \|f\|_{p}}
ou
‖
g
‖
q
{\displaystyle \|g\|_{q}}
est infini ou si
f
g
{\displaystyle fg}
est nulle p.p., supposons que
p
{\displaystyle p}
et
q
{\displaystyle q}
sont finis et que
‖
f
‖
p
{\displaystyle \|f\|_{p}}
et
‖
g
‖
q
{\displaystyle \|g\|_{q}}
sont finis et non nuls et même, sans perte de généralité, égaux à
1
{\displaystyle 1}
(par homogénéité ). En appliquant l'inégalité de Young
a
b
≤
a
p
′
p
′
+
b
q
′
q
′
a
`
a
=
|
f
|
r
,
b
=
|
g
|
r
,
p
′
=
p
r
,
q
′
=
q
r
(
1
p
′
+
1
q
′
=
1
)
,
{\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p'}}{p'}}+{\frac {b^{q'}}{q'}}\quad \mathrm {\grave {a}} \quad a=|f|^{r},~b=|g|^{r},~p'={\tfrac {p}{r}},~q'={\tfrac {q}{r}}\quad ({\tfrac {1}{p'}}+{\tfrac {1}{q'}}=1),}
on obtient, pour tout
x
∈
Ω
{\displaystyle x\in \Omega }
,
|
f
(
x
)
g
(
x
)
|
r
≤
1
p
′
|
f
(
x
)
|
p
+
1
q
′
|
g
(
x
)
|
q
{\displaystyle |f(x)g(x)|^{r}\leq {\tfrac {1}{p'}}|f(x)|^{p}+{\tfrac {1}{q'}}|g(x)|^{q}}
(avec égalité si et seulement si
|
f
(
x
)
|
p
=
|
g
(
x
)
|
q
{\displaystyle \left|f(x)\right|^{p}=\left|g(x)\right|^{q}}
) et, après intégration,
‖
f
g
‖
r
r
≤
1
p
′
‖
f
‖
p
p
+
1
q
′
‖
g
‖
q
q
=
1
p
′
+
1
q
′
=
1.
{\displaystyle {\|fg\|_{r}}^{r}\leq {\tfrac {1}{p'}}{\|f\|_{p}}^{p}+{\tfrac {1}{q'}}{\|g\|_{q}}^{q}={\tfrac {1}{p'}}+{\tfrac {1}{q'}}=1.}
On a donc bien
‖
f
g
‖
r
≤
1
=
‖
f
‖
p
‖
g
‖
q
,
{\displaystyle \|fg\|_{r}\leq 1=\|f\|_{p}\|g\|_{q},}
avec égalité si et seulement si
|
f
|
p
=
|
g
|
q
{\displaystyle \left|f\right|^{p}=\left|g\right|^{q}}
p.p.
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage.
Prendre
f
=
1
{\displaystyle f=1}
.
Supposons, comme dans la question 1, que
p
{\displaystyle p}
et
q
{\displaystyle q}
sont finis et que
‖
f
‖
p
=
‖
g
‖
q
=
1
{\displaystyle \|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1}
. En appliquant le lemme à la mesure de probabilité à densité
ν
:=
|
f
|
p
μ
{\displaystyle \nu :=|f|^{p}\mu }
sur l'ensemble
[
f
≠
0
]
{\displaystyle [f\neq 0]}
et à la fonction
G
:=
|
f
−
p
/
q
g
|
{\displaystyle G:=|f^{-p/q}~g|}
, on obtient
‖
f
g
‖
L
r
(
μ
)
=
‖
G
‖
L
r
(
ν
)
≤
‖
G
‖
L
q
(
ν
)
≤
‖
g
‖
L
q
(
μ
)
=
1
{\displaystyle \|fg\|_{\mathrm {L} ^{r}(\mu )}=\|G\|_{\mathrm {L} ^{r}(\nu )}\leq \|G\|_{\mathrm {L} ^{q}(\nu )}\leq \|g\|_{\mathrm {L} ^{q}(\mu )}=1}
.
On peut de plus remarquer que l'égalité a lieu si et seulement s'il existe une constante
C
{\displaystyle C}
telle que, μ-p.p.,
(
(
f
(
x
)
=
0
⇒
g
(
x
)
=
0
)
et
(
f
(
x
)
≠
0
⇒
G
(
x
)
=
C
)
)
i.e.
|
g
(
x
)
|
q
=
C
q
|
f
(
x
)
|
p
{\displaystyle {\Big (}{\big (}f(x)=0\Rightarrow g(x)=0{\big )}{\text{ et }}{\big (}f(x)\neq 0\Rightarrow G(x)=C{\big )}{\Big )}{\text{ i.e. }}|g(x)|^{q}=C^{q}|f(x)|^{p}}
.
Le cas
q
=
+
∞
{\displaystyle q=+\infty }
ou
‖
g
‖
q
=
+
∞
{\displaystyle \|g\|_{q}=+\infty }
est immédiat et le cas
M
{\displaystyle M}
quelconque se ramène facilement au cas
M
=
1
{\displaystyle M=1}
en divisant
μ
{\displaystyle \mu }
par
M
{\displaystyle M}
. Supposons donc que
q
<
+
∞
{\displaystyle q<+\infty }
et
M
=
1
{\displaystyle M=1}
, et montrons que pour toute fonction
g
∈
L
q
{\displaystyle g\in \mathrm {L} ^{q}}
,
(
∫
|
g
|
r
d
μ
)
1
/
r
≤
(
∫
|
g
|
q
d
μ
)
1
/
q
{\displaystyle \left(\int |g|^{r}~\mathrm {d} \mu \right)^{1/r}\leq \left(\int |g|^{q}~\mathrm {d} \mu \right)^{1/q}}
ou encore, en posant
s
=
q
/
r
{\displaystyle s=q/r}
, que pour toute fonction positive
h
∈
L
s
{\displaystyle h\in \mathrm {L} ^{s}}
,
(
∫
h
d
μ
)
s
≤
∫
h
s
d
μ
{\displaystyle \left(\int h\mathrm {d} \mu \right)^{s}\leq \int h^{s}~\mathrm {d} \mu }
.
Le cas où
h
{\displaystyle h}
est intégrable résulte de l'inégalité de Jensen intégrale appliquée à la fonction
t
↦
t
s
{\displaystyle t\mapsto t^{s}}
, qui est convexe sur
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}
car
s
≥
1
{\displaystyle s\geq 1}
. Le cas général s'en déduit par convergence monotone .
Soient
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
une fonction convexe et
g
:
[
0
,
1
]
→
R
{\displaystyle g:\left[0,1\right]\to \mathbb {R} }
une fonction continue par morceaux . En considérant des sommes de Riemann , redémontrer directement dans ce cas la version intégrale de l'inégalité de Jensen :
f
(
∫
0
1
g
(
x
)
d
x
)
≤
∫
0
1
f
∘
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle f\left(\int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x\right)\leq \int _{0}^{1}f\circ g(x)\,\mathrm {d} x}
à partir de la version discrète .
Solution
f
{\displaystyle f}
est continue (d'après la propriété 6) donc
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
est, comme
g
{\displaystyle g}
, continue par morceaux donc :
∫
0
1
g
(
x
)
d
x
=
lim
n
→
∞
1
n
∑
k
=
1
n
g
(
k
n
)
{\displaystyle \int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}g\left({\frac {k}{n}}\right)}
et
∫
0
1
f
∘
g
(
x
)
d
x
=
lim
n
→
∞
1
n
∑
k
=
1
n
f
∘
g
(
k
n
)
{\displaystyle \int _{0}^{1}f\circ g(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f\circ g\left({\frac {k}{n}}\right)}
.
En utilisant l'inégalité de Jensen discrète, on obtient :
f
(
∑
k
=
1
n
1
n
g
(
k
n
)
)
≤
∑
k
=
1
n
1
n
f
∘
g
(
k
n
)
{\displaystyle f\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}g\left({\frac {k}{n}}\right)\right)\leq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}f\circ g\left({\frac {k}{n}}\right)}
.
En faisant tendre
n
{\displaystyle n}
vers l'infini, on en déduit :
f
(
∫
0
1
g
(
x
)
d
x
)
=
lim
n
→
∞
f
(
∑
k
=
1
n
1
n
g
(
k
n
)
)
≤
∫
0
1
f
∘
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle f\left(\int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}g\left({\frac {k}{n}}\right)\right)\leq \int _{0}^{1}f\circ g(x)\,\mathrm {d} x}
.