Polynôme/Exercices/Racines de polynômes

Exercice 1-1

Trouver tous les polynômes $P\in \mathbb {C} [X]$ tels que $P(X^{2})=P(X)P(X+1)$.

Solution

Soit $P$ une solution non nulle.

Soit $\lambda$ une racine de $P$. Alors :

• $P(\lambda ^{2})=P(\lambda )P(\lambda +1)=0\quad (1)$ et $P((\lambda -1)^{2})=P(\lambda -1)P(\lambda )=0\quad (2)$ ;
• D'après $(1)$, tous les $\lambda ^{2^{n}}\;(n\in \mathbb {N} )$ sont racines de $P$ donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que $\lambda$ est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
• D'après $(2)$, $\lambda -1$ est donc aussi nul ou de module 1 ;
• Par conséquent, $\lambda \in \{0,1,-\mathrm {j} ^{2},-\mathrm {j} \}$ donc aussi (d'après $(1)$) $\lambda ^{2}\in \{0,1,-\mathrm {j} ^{2},-\mathrm {j} \}$.

Finalement, les seules racines possibles de $P$ sont $0$ et $1$.

Soit $P=aX^{p}(X-1)^{q}$ avec $p,q\in \mathbb {N}$ et $a\in \mathbb {C} ^{*}$. Alors, $P(X^{2})=P(X)P(X+1)\Leftrightarrow aX^{2p}(X-1)^{2q}=a^{2}X^{p}(X-1)^{q}(X+1)^{p}X^{q}\Leftrightarrow a=1{\text{ et }}p=q$.

Les solutions sont donc : $P=0$ ou $P(X)=(X^{2}-X)^{n}{\text{ avec }}n\in \mathbb {N}$.

 

Exercice 1-2

Déterminer les polynômes $P\in \mathbb {C} [X]$ tels que $XP(X+1)=(X+4)P(X)$.

Solution

Puisque $X$ est premier avec $X+4$, un polynôme $P$ est solution si et seulement si $P=XQ$ pour un $Q\in \mathbb {C} [X]$ tel que $X(X+1)Q(X+1)=(X+4)XQ(X)$, c.-à-d. $(X+1)Q(X+1)=(X+4)Q(X)$.

De même, $Q$ est solution de l'équation précédente si et seulement si $Q=(X+1)R$ pour un $R\in \mathbb {C} [X]$ tel que $(X+1)(X+2)R(X+1)=(X+4)(X+1)R(X)$, c.-à-d. $(X+2)R(X+1)=(X+4)R(X)$.

Et ainsi de suite. Finalement, $P$ est solution si et seulement si $P=X(X+1)(X+2)(X+3)T$ pour un $T\in \mathbb {C} [X]$ tel que $T(X+1)=T(X)$.

Les solutions $P$ sont donc les polynômes de la forme $aX(X+1)(X+2)(X+3)$ avec $a\in \mathbb {C}$.

 

Exercice 1-3

Soit $P(X)=X^{3}-X+1$. Montrer que :

1. $P$ a une unique racine réelle $\alpha$ ;
2. $\alpha <-1$.
3. Soient $\beta ,\gamma \in \mathbb {C}$ les deux autres racines de $P$. Exprimer $\beta +\gamma$ et $\beta \gamma$ en fonction de $\alpha$.
4. En déduire que $|\beta |=|\gamma |<1$.
5. Calculer $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}$.

Solution

1. Une rapide étude de variations montre que la fonction polynôme du troisième degré $x\mapsto x^{3}-x+1$ (continue, et de limite $-\infty$ en $-\infty$) est strictement positive sur $\left[-1/{\sqrt {3}},+\infty \right[$ et strictement croissante sur $\left]-\infty ,-1/{\sqrt {3}}\right]$. Elle s'annule donc exactement une fois.
2. $P\left(-1\right)=1>0$ donc $\alpha <-1$.
3. De $X^{3}-X+1=(X-\alpha )(X-\beta )(X-\gamma )$ on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : $\beta +\gamma =-\alpha$ et $\beta \gamma =-1/\alpha$.
4. $\beta +\gamma ,\beta \gamma \in \mathbb {R}$ donc $\gamma ={\overline {\beta }}$, et $|\beta |^{2}=|\gamma |^{2}=-1/\alpha <1$.
5. $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=\alpha ^{2}+\left(\beta +\gamma \right)^{2}-2\beta \gamma =2\alpha ^{2}+2/\alpha =2{\frac {\alpha ^{3}+1}{\alpha }}=2$.

 

Exercice 1-4

Soit $P\in \mathbb {R} [X]$ tel que $\forall x\in \mathbb {R} \quad P(x)\geq 0$. Montrer qu'il existe $A,B\in \mathbb {R} [X]$ tels que $P=A^{2}+B^{2}$.

Indication

On pourra chercher à factoriser $P$ dans $\mathbb {C} [X]$ sous la forme $P=Q{\overline {Q}}$.

 

Solution

$P\in \mathbb {R} [X]$ est a priori le produit dans $\mathbb {R} [X]$ d'un polynôme $Q$ scindé et d'un polynôme unitaire $R$ à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors $R(\mathbb {R} )>0$ donc (puisque $P(\mathbb {R} )\geq 0$) $Q(\mathbb {R} )\geq 0$. Par conséquent, toutes les racines de $Q$ sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que $Q$ est le carré d'un polynôme $S\in \mathbb {R} [X]$. $R$ étant pour sa part de la forme $T{\overline {T}}$ avec $T\in \mathbb {C} [X]$, on obtient : $P=Q{\overline {Q}}$, avec $Q=ST\in \mathbb {C} [X]$. En décomposant $Q$ sous la forme $A+\mathrm {i} B$ avec $A,B\in \mathbb {R} [X]$, on conclut : $P=A^{2}+B^{2}$.

 

Exercice 1-5

Soient $\alpha \in \mathbb {R} ,\,n\in \mathbb {N} ,\,P_{n}=\left(\cos \alpha +X\sin \alpha \right)^{n}$.

Déterminer les restes des divisions euclidiennes de $P_{n}$ par $(X^{2}+1)^{2}$ et par $X^{2}+1$.

Solution

Le reste de la division euclidienne de $P_{n}$ par $(X^{2}+1)^{2}$ est $aX^{3}+bX^{2}+cX+d$ avec (puisque $\mathrm {i}$ et $-\mathrm {i}$ sont racines doubles de $(X^{2}+1)^{2}$) :

• $-a\mathrm {i} -b+c\mathrm {i} +d=P(\mathrm {i} )=\mathrm {e} ^{n\mathrm {i} \alpha }$ ;
• $a\mathrm {i} -b-c\mathrm {i} +d=P(-\mathrm {i} )=\mathrm {e} ^{-n\mathrm {i} \alpha }$ ;
• $-3a+2b\mathrm {i} +c=P'(\mathrm {i} )=n\sin \alpha \operatorname {e} ^{(n-1)\mathrm {i} \alpha }$ ;
• $-3a-2b\mathrm {i} +c=P'(-\mathrm {i} )=n\sin \alpha \operatorname {e} ^{-(n-1)\mathrm {i} \alpha }$.

En résolvant le système, on en déduit :

$a=2\sin(n\alpha )-n\sin \alpha \cos((n-1)\alpha ),\quad b={\frac {n\sin \alpha \sin((n-1)\alpha )}{2}},$

$c=3\sin(n\alpha )-n\sin \alpha \cos((n-1)\alpha ),\quad d={\frac {2\cos(n\alpha )+n\sin \alpha \sin((n-1)\alpha )}{2}}$.

Le reste de la division euclidienne de $P_{n}$ par $X^{2}+1$ est donc :

$(c-a)X+d-b=\sin(n\alpha )X+\cos(n\alpha )$.

 

Exercice 1-6

Montrer que pour tout $(p,q,r)\in \mathbb {N} ^{3}$, $X^{3p}+X^{3q+1}+X^{3r+2}$ est divisible par $X^{2}+X+1$.

Solution

Il suffit de vérifier que $\mathrm {j}$ (donc aussi $-\mathrm {j}$) est racine de ce polynôme.

$\mathrm {j} ^{3p}+\mathrm {j} ^{3q+1}+\mathrm {j} ^{3r+2}=1+\mathrm {j} +\mathrm {j} ^{2}=0$.

(Ou par triple récurrence.)

 

Montrer que pour tout $n\in \mathbb {N}$, le polynôme $P_{n}=(X+1)^{6n+1}-X^{6n+1}-1$ est divisible par $(X^{2}+X+1)^{2}$.

Solution

Il suffit de vérifier que $\mathrm {j}$ (donc aussi $-\mathrm {j}$) est racine double de $P_{n}$.

$P_{n}(\mathrm {j} )=\left(-\mathrm {j} ^{2}\right)^{6n+1}-\mathrm {j} ^{6n+1}-1=-\mathrm {j} ^{2}-\mathrm {j} -1=0$.

$P'_{n}(\mathrm {j} )=(6n+1)\left(\left(-\mathrm {j} ^{2}\right)^{6n}-\mathrm {j} ^{6n}\right)=(6n+1)(1-1)=0$.

 

Exercice 1-7

Démontrer que pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$,

$\prod _{k=1}^{2n}\cos {\frac {k\pi }{2n+1}}={\frac {1}{(-4)^{n}}}$.

Indication : on fera intervenir un polynôme de degré $4n$ ayant pour racines les nombres complexes $\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} {\frac {k\pi }{2n+1}}}$ pour $1\leq k\leq 2n$, et l'on en déduira (à l'aide des polynômes de Tchebychev) un polynôme $P$ de degré $2n$ ayant pour racines les $\cos {\frac {k\pi }{2n+1}}$. Une relation entre coefficients et racines de $P$ permettra de conclure.

Solution

Les $\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} {\frac {k\pi }{2n+1}}}$ pour $1\leq k\leq 2n$ sont racines de ${\frac {X^{2(2n+1)}-1}{X^{2}-1}}=X^{4n}+X^{4n-2}+\dots +X^{2}+1=X^{2n}\left(X^{2n}+{\frac {1}{X^{2n}}}+X^{2n-2}+{\frac {1}{X^{2n-2}}}+\dots +X^{2}+{\frac {1}{X^{2}}}+1\right)$.

Autrement dit, pour $\theta ={\frac {k\pi }{2n+1}}$ ($1\leq k\leq 2n$) : $0=2\cos(2n\theta )+2\cos((2n-2)\theta )+\dots +2\cos(2\theta )+1=P(\cos \theta )$, où $P=2T_{2n}+2T_{2n-2}+\dots +2T_{2}+1$.

Le $m$-ième polynôme de Tchebychev $T_{m}$ est de degré $m$, de coefficient dominant $2^{m-1}$ et de terme constant $(-1)^{m/2}$ si $m$ est pair. $P$ est donc de degré $2n$, de coefficient dominant $p_{2n}=2\times 2^{2n-1}=4^{n}$ et de terme constant $p_{0}=2(-1)^{n}+2(-1)^{n-1}+\dots +2(-1)+1=(-1)^{n}$. Le produit $\prod _{k=1}^{2n}\cos {\frac {k\pi }{2n+1}}$ de ses racines est bien égal à $(-1)^{2n}{\frac {p_{0}}{p_{2n}}}={\frac {1}{(-4)^{n}}}$.

 

Remarque : de façon équivalente, $\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {k\pi }{2n+1}}={\frac {1}{2^{n}}}$.

• Pour une autre méthode, voir Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1#Exercice 10-6 question 2 (dans le cas particulier $n=4$).
• Pour d'autres formules de ce genre, voir Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Formules générales en relation avec les coefficients des polynômes minimaux trigonométriques.

Exercice 1-8

Soit un polygone régulier de sommets $A_{1},\dots ,A_{n}$ inscrit dans un cercle de rayon 1. Montrer que

$A_{1}A_{2}\cdot A_{1}A_{3}\cdots A_{1}A_{n}=n$.

Solution

Il s'agit de vérifier que $|\omega -1||\omega ^{2}-1|\dots |\omega ^{n-1}-1|=n$, où $\omega =\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {2\pi }{n}}}$.

Le polynôme $P(X):=(X-\omega )(X-\omega ^{2})\dots (X-\omega ^{n-1})$ est égal à ${\frac {X^{n}-1}{X-1}}=1+X+\dots +X^{n-1}$ donc $P(1)=n$.