Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Formules générales en relation avec les coefficients des polynômes minimaux trigonométriques

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On trouvera ci-dessous quelques formules relatives aux relations entre coefficients et racines d'un polynôme annulateur des nombres trigonométriques traités dans cet article. Certaines de ces formules font apparaître au second membre la racine d'un diviseur du dénominateur se trouvant dans l'argument des fonctions trigonométriques au premier membre. Ce qui permet d'entrevoir les raisons pour lesquelles, on trouve dans les coefficients des polynômes annulateurs de telle racines.

Formules de sommation

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\qquad {\begin{cases}\sum _{k=1}^{n}\cos {\frac {2k\pi }{2n+1}}={\frac {1}{2}}\left(-1+\sum _{k=-n}^{n}\cos {\frac {2k\pi }{2n+1}}\right)=-{\frac {1}{2}}\\\sum _{k=1}^{n}\cos {\frac {(2k-1)\pi }{2n}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{k=1}^{n}\cos {\frac {(2k-1)\pi }{2n}}+\sum _{k=1}^{n}\cos {\frac {(2n-2k+1)\pi }{2n}}\right)=0.\end{cases}}$

Formules de produits

(Dans ce qui suit, Ent(x) désigne la partie entière de x)

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\qquad {\begin{cases}\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {k\pi }{2n+1}}={\frac {1}{2^{n}}}\\\prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {k\pi }{2n+1}}={\frac {\sqrt {2n+1}}{2^{n}}}\end{cases}}$ (voir Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1#Exercice 10-6 et Polynôme/Exercices/Racines de polynômes#Exercice 1-7).

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\qquad {\begin{cases}\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {2k\pi }{2n+1}}={\frac {(-1)^{Ent({\frac {n-1}{2}})}}{2^{n}}}\\\prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {2k\pi }{2n+1}}={\frac {\sqrt {2n+1}}{2^{n}}}.\end{cases}}$

$\forall n\in \mathbb {N} *\qquad \prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{2n}}=\prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{2n}}={\frac {\sqrt {n}}{2^{n-1}}}$.

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\qquad \prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {(2k-1)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {(2k-1)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}$

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\qquad {\begin{cases}\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {(2k-1)\pi }{4n+2}}={\frac {\sqrt {2n+1}}{2^{n}}}\\\prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {(2k-1)\pi }{4n+2}}={\frac {1}{2^{n}}}.\end{cases}}$

Dans la suite, on désignera par P(n) l’ensemble des nombres entiers compris entre 1 et n et premiers avec n. Par exemple :

$P(15)=\left\{1,2,4,7,8,11,13,14\right\}$.

On désignera aussi par $p$ un nombre premier différent de 2.

On a alors :

$\forall n\in \mathbb {N} \setminus \left\{0,1\right\}\qquad \prod _{k\in P(4n)}\tan {\frac {k\pi }{4n}}=1$ ;

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\qquad \prod _{k\in P(p^{n})}\tan {\frac {k\pi }{p^{n}}}=(-1)^{\frac {p-1}{2}}p$ ;

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\qquad \prod _{k\in P(2p^{n})}\tan {\frac {k\pi }{2p^{n}}}={\frac {(-1)^{\frac {p-1}{2}}}{p}}$.

Pour tout n ayant au moins deux nombres premiers impairs dans sa décomposition en facteurs premiers, on a :

$\prod _{k\in P(n)}\tan {\frac {k\pi }{n}}=1$.

Pour tout n qui n’est pas une puissance de 2, on a :

$\prod _{k\in P(4n)}2\cos {\frac {k\pi }{4n}}=1$.

$\forall n\in \mathbb {N} \setminus \left\{0,1,2\right\}\qquad \prod _{k\in P(2^{n})}2\cos {\frac {k\pi }{2^{n}}}=2$.

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\qquad \prod _{k\in P(p^{n})}2\cos {\frac {k\pi }{p^{n}}}=(-1)^{\frac {p-1}{2}}$.

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\qquad \prod _{k\in P(2p^{n})}2\cos {\frac {k\pi }{2p^{n}}}=(-1)^{\frac {p-1}{2}}p$.

Pour tout n ayant au moins deux nombres premiers impairs dans sa décomposition en facteurs premiers, on a :

$\prod _{k\in P(n)}2\cos {\frac {k\pi }{n}}=1$.

Si $2n+1$ est une puissance du nombre premier $p$,

$\prod _{k\leq n,k\in P(2n+1)}\tan {\frac {k\pi }{2n+1}}={\sqrt {p}}$.

Si $2n+1$ contient au moins deux nombres premiers distincts dans sa décomposition en facteurs premiers,

$\prod _{k\leq n,k\in P(2n+1)}\tan {\frac {k\pi }{2n+1}}=1$.