« Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions
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== Exercice 1-1 == |
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On considère l'application linéaire <math>u:\R^2\to\R^2</math> définie par <math>u(x,y)=(x+y,x-y)</math>. Calculer la norme d'opérateur <math>|\!|\!|u|\!|\!|</math> associée, selon que l'on munit <math>\R^2</math> de la norme <math>\|\cdot\|_2</math>, de la norme <math>\|\cdot\|_\infty</math> ou de la norme <math>\|\cdot\|_1</math>. |
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La question étant ambiguë, on se contentera d'examiner les trois cas où la norme choisie sur l'espace <math>\R^2</math> d'arrivée est la même que sur l'espace <math>\R^2</math> de départ (sinon, il y aurait 6 autres cas à traiter). |
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#<math>u</math> est une [[similitude]] de rapport <math>\sqrt2</math> (c.-à-d. que <math>\|u(x,y)\|_2=\sqrt2\|(x,y)\|_2</math>) donc pour <math>\|\cdot\|_2</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\sqrt2</math>. |
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#Pour <math>\|\cdot\|_\infty</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=2</math> car <math>\max(|x+y|,|x-y|)\le|x|+|y|\le2\max(|x|,|y|)</math>, avec égalité par exemple pour <math>(x,y)=(1,1)</math>. |
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#Pour <math>\|\cdot\|_1</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=2</math> car <math>|x+y|+|x-y|\le|x|+|y|+|x|+|y|=2(|x|+|y|)</math>, avec égalité par exemple pour <math>(x,y)=(1,0)</math>. |
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== Exercice 1-2 == |
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<math>\begin{array}{ccccc} |
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\varphi&:&E&\rightarrow&\R\\ |
\varphi&:&E&\rightarrow&\R\\ |
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~&~&f&\mapsto&\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\mathrm dt. |
~&~&f&\mapsto&\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\,\mathrm dt. |
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\end{array}</math> |
\end{array}</math> |
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* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de <math>\varphi</math>. |
* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de <math>\varphi</math>. |
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* Soit <math>f\in E</math>. On a |
* Soit <math>f\in E</math>. On a |
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*:<math>|\varphi(f)|=\left|\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\,\mathrm dt\right|</math> |
*:<math>|\varphi(f)|=\left|\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\,\mathrm dt\right|\le\|f\|_\infty\int_{-1}^1\frac{|t|}{1+t^2}\,\mathrm dt=\|f\|_\infty\int_0^1\frac {2t}{1+t^2}\,\mathrm dt=\|f\|_\infty\ln2</math>. |
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*:donc <math>|\varphi(f)|\leq\int_{-1}^1\frac{|t\,f(t)|}{1+t^2}\,\mathrm dt\le\|f\|_\infty\int_0^1\frac{2t}{1+t^2}\,\mathrm dt</math> |
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*:donc <math>|\varphi(f)|\le\|f\|_\infty\ln2</math>. |
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*:Conclusion : <math>\varphi\in\mathcal L(E,\R)</math> et <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|\leq\ln2</math>. |
*:Conclusion : <math>\varphi\in\mathcal L(E,\R)</math> et <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|\leq\ln2</math>. |
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*On pose pour tout <math>n\in\N^*</math> la fonction <math>f_n\in E</math> qui : |
*On pose pour tout <math>n\in\N^*</math> la fonction <math>f_n\in E</math> qui : |
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** vaut <math>1</math> sur <math>\left[\frac1n,1\right]</math> ; |
** vaut <math>1</math> sur <math>\left[\frac1n,1\right]</math> ; |
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** est affine sur <math>\left[-\frac1n,\frac1n\right]</math>. |
** est affine sur <math>\left[-\frac1n,\frac1n\right]</math>. |
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*:On montre que <math>|\varphi(f_n)| |
*:On a <math>\|f_n\|_\infty=1</math> et l'on montre que <math>|\varphi(f_n)|\to\ln2</math>. |
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Finalement, <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|=\ln2</math>. |
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== Exercice 1- |
== Exercice 1-3 == |
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Soient <math>E</math> un <math>K</math>-espace vectoriel normé et <math>u:E\to K</math> une [[Application linéaire/Définitions#Applications linéaires particulières|forme linéaire]]. Montrer que <math>u</math> est continue si et seulement si son noyau est fermé. |
Soient <math>E</math> un <math>K</math>-espace vectoriel normé et <math>u:E\to K</math> une [[Application linéaire/Définitions#Applications linéaires particulières|forme linéaire]]. Montrer que <math>u</math> est continue si et seulement si son noyau est fermé. |
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{{Solution|contenu= |
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Version du 18 septembre 2019 à 07:43
Exercice 1-1
On considère l'application linéaire définie par . Calculer la norme d'opérateur associée, selon que l'on munit de la norme , de la norme ou de la norme .
La question étant ambiguë, on se contentera d'examiner les trois cas où la norme choisie sur l'espace d'arrivée est la même que sur l'espace de départ (sinon, il y aurait 6 autres cas à traiter).
- est une similitude de rapport (c.-à-d. que ) donc pour , .
- Pour , car , avec égalité par exemple pour .
- Pour , car , avec égalité par exemple pour .
Exercice 1-2
muni de la norme de la convergence uniforme.
Montrer que et calculer .
- La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de .
- Soit . On a
- .
- Conclusion : et .
- On pose pour tout la fonction qui :
- vaut sur ;
- vaut sur ;
- est affine sur .
- On a et l'on montre que .
Finalement, .
Exercice 1-3
Soient un -espace vectoriel normé et une forme linéaire. Montrer que est continue si et seulement si son noyau est fermé.
Le singleton est fermé dans donc si est continue alors est fermé dans .
Réciproquement, supposons que n'est pas continue et démontrons que n'est pas fermé. Par hypothèse, il existe une suite de la boule unité de telle que . À partir d'un certain rang , , ce qui permet de définir
- .
Par construction, la suite est à valeurs dans et converge vers , ce qui conclut.