« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions
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m →Exercice 2-3 : quelques normes sur \R^2 : complément |
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#[[File:Vector norms2.svg|thumb|left|Les cercles unité (en gras) associés aux trois normes.]]{{clr}} |
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#La figure montre que <math>\|(x,y)\|_1\ge\|(x,y)\|_2\ge\|(x,y)\|_\infty</math>, avec égalités si <math>\{|x|,|y|\}=\{0,1\}</math>, et que <math>\|(x,y)\|_\infty\ge\frac12\|(x,y)\|_1</math>, avec égalité si <math>\{|x|,|y|\}=\{1,1\}</math>.<br>Il est très facile de redémontrer directement ces trois inégalités (et les cas d'égalité).<br>Pour la comparaison entre <math>\|\cdot\|_1</math> et <math>\|\cdot\|_\infty</math>, on a même trouvé les constantes optimales : <math>\|(x,y)\|_\infty\le\|(x,y)\|_1\le2\|(x,y)\|_\infty</math>. On les trouve de même pour les deux autres paires (en dilatant l'une des deux boules jusqu'à contenir l'autre) : <math>\|(x,y)\|_\infty\le\|(x,y)\|_2\le\sqrt2\|(x,y)\|_\infty</math> et <math>\|(x,y)\|_2\le\|(x,y)\|_1\le\sqrt2\|(x,y)\|_2</math>.<br>Plus généralement, sur <math>\R^n</math>, on a |
#La figure montre que <math>\|(x,y)\|_1\ge\|(x,y)\|_2\ge\|(x,y)\|_\infty</math>, avec égalités si <math>\{|x|,|y|\}=\{0,1\}</math>, et que <math>\|(x,y)\|_\infty\ge\frac12\|(x,y)\|_1</math>, avec égalité si <math>\{|x|,|y|\}=\{1,1\}</math>.<br>Il est très facile de redémontrer directement ces trois inégalités (et les cas d'égalité).<br>Pour la comparaison entre <math>\|\cdot\|_1</math> et <math>\|\cdot\|_\infty</math>, on a même trouvé les constantes optimales : <math>\|(x,y)\|_\infty\le\|(x,y)\|_1\le2\|(x,y)\|_\infty</math>. On les trouve de même pour les deux autres paires (en dilatant l'une des deux boules jusqu'à contenir l'autre) : <math>\|(x,y)\|_\infty\le\|(x,y)\|_2\le\sqrt2\|(x,y)\|_\infty</math> et <math>\|(x,y)\|_2\le\|(x,y)\|_1\le\sqrt2\|(x,y)\|_2</math>.<br>Plus généralement, sur <math>\R^n</math>, on a <math>1\le r\le p\le\infty\Rightarrow\|\cdot\|_p\le\|\cdot\|_r\le n^{\frac1r-\frac1p}\|\cdot\|_p</math>, la seconde inégalité se déduisant de l'[[Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen#Application 3 : démonstration de l'inégalité de Hölder|inégalité de Hölder]]. |
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#<math>u</math> est une [[similitude]] directe de rapport <math>\sqrt2</math> donc <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\sqrt2</math> |
#<math>u</math> est une [[similitude]] directe de rapport <math>\sqrt2</math> donc <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\sqrt2</math> |
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Version du 16 septembre 2018 à 12:45
Exercice 2-1
Soit . Montrer que son exponentielle est un polynôme en ou plus généralement, que pour toute fonction d'une variable complexe développable en série entière en , avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de (pour une norme arbitraire fixée sur ).
Solution
Par définition, est une limite de polynômes en (les sommes partielles de la série entière). Puisque est de dimension finie, le sous-espace vectoriel est fermé.
Exercice 2-2 : densité de GLn
Soit ou . Démontrer que dans (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble des matrices inversibles est dense.
Solution
Soit . Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe tel que pour tout entier , , ce qui prouve que est adhérent à .
Exercice 2-3 : quelques normes sur
- Représenter graphiquement les boules unité de muni respectivement des normes
- .
- Montrer que ces normes sont équivalentes en explicitant les constantes associées.
- On considère l'application linéaire définie par . Calculer la norme d'opérateur associée.
- Même question en remplaçant par les deux autres normes ci-dessus.
Solution
- La figure montre que , avec égalités si , et que , avec égalité si .
Il est très facile de redémontrer directement ces trois inégalités (et les cas d'égalité).
Pour la comparaison entre et , on a même trouvé les constantes optimales : . On les trouve de même pour les deux autres paires (en dilatant l'une des deux boules jusqu'à contenir l'autre) : et .
Plus généralement, sur , on a , la seconde inégalité se déduisant de l'inégalité de Hölder. - est une similitude directe de rapport donc
-
- Pour , .
- Pour , .