« Topologie générale/Continuité et homéomorphismes » : différence entre les versions
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→Continuité globale : autre critère de continuité, via les frontières |
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#l'image réciproque par <math>f</math> de tout fermé de <math>Y</math> est un fermé de <math>X</math> ; |
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#pour toute partie <math>A</math> de <math>X</math>, <math>f(\overline A)\subset\overline{f(A)}</math> ; |
#pour toute partie <math>A</math> de <math>X</math>, <math>f(\overline A)\subset\overline{f(A)}</math> ; |
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#pour toute partie <math>B</math> de <math>Y</math>, <math>\overline{f^{-1}(B)}\subset f^{-1}(\overline B)</math> |
#pour toute partie <math>B</math> de <math>Y</math>, <math>\overline{f^{-1}(B)}\subset f^{-1}(\overline B)</math> ; |
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#pour toute partie <math>C</math> de <math>Y</math>, <math>\operatorname{Fr}\left(f^{-1}(C)\right)\subset f^{-1}\left(\operatorname{Fr}(C)\right)</math>. |
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*5 ⇒ 4 : en posant ''B = f''(''A'') et en utilisant le fait que ''A'' est inclus dans ''f ''<sup>–1</sup>(''f''(''A'')). |
*5 ⇒ 4 : en posant ''B = f''(''A'') et en utilisant le fait que ''A'' est inclus dans ''f ''<sup>–1</sup>(''f''(''A'')). |
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*4 ⇒ 3 : en posant ''A = f ''<sup>–1</sup>(''G'') et en utilisant le fait que ''f''(''f ''<sup>–1</sup>(''G'')) est inclus dans ''G''. |
*4 ⇒ 3 : en posant ''A = f ''<sup>–1</sup>(''G'') et en utilisant le fait que ''f''(''f ''<sup>–1</sup>(''G'')) est inclus dans ''G''. |
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Les propriétés 1 à 5 sont donc équivalentes. Enfin : |
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*5 ⇒ 6 : en appliquant 5 à ''B = C'' et à ''B = Y''\''C'' et en prenant l'intersection membre à membre de part et d'autre des deux inclusions obtenues ; |
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*6 ⇒ 3 : en utilisant qu'une partie est fermée si et seulement si elle contient sa frontière. |
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Version du 13 janvier 2018 à 23:50
Au lycée, on dit d'une fonction qu'elle est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. Mais considérons une courbe de longueur infinie : impossible de la tracer avec un crayon ! La notion de continuité s'est clarifiée au XIXe siècle, grâce notamment aux travaux de Cauchy.
Limite
Soient et deux espaces topologiques, une partie de , une application, un point adhérent à et un point de .
On dit que a pour limite au point si, pour tout voisinage de , il existe un voisinage de tel que .
Sous les hypothèses de la définition :
- est nécessairement adhérent à ;
- si est séparé et si une telle limite existe alors elle est unique, ce qui légitime dans ce cas la notation .
Pour tout voisinage de , est inclus dans et (puisque ) non vide, donc :
- pour tout voisinage de , est non vide ;
- pour tous voisinages respectifs et de deux limites et , est non vide (ce qui, si l'espace est séparé, prouve que ). En effet, il existe deux voisinages et de tels que ; leur intersection est alors un voisinage de (donc ) et .
Continuité en un point
Soient et deux espaces topologiques, une application et un point de . On dit que est continue au point si a pour limite au point .
est continue au point si et seulement si l'image réciproque par de tout voisinage de est un voisinage de :
.
Continuité globale
Soient et deux espaces topologiques et une application.
On dit que est
- continue (sur ) si elle est continue en tout point de ;
- un homéomorphisme lorsqu'elle est bijective et que et sont continues.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
- l'application est continue ;
- l'image réciproque par de tout ouvert de est un ouvert de ;
- l'image réciproque par de tout fermé de est un fermé de ;
- pour toute partie de , ;
- pour toute partie de , ;
- pour toute partie de , .
- 1 ⇔ 2 : d'après la définition locale, f est continue en a si et seulement si, pour tout ouvert O de Y tel que a appartienne à f–1(O), f–1(O) est voisinage de a. Donc f est continue en tout point si et seulement si, pour tout ouvert O de Y, f–1(O) est voisinage de chacun de ses points, c'est-à-dire est ouvert.
- 2 ⇔ 3 : par passage aux complémentaires.
- 3 ⇒ 5 : en posant G = B.
- 5 ⇒ 4 : en posant B = f(A) et en utilisant le fait que A est inclus dans f –1(f(A)).
- 4 ⇒ 3 : en posant A = f –1(G) et en utilisant le fait que f(f –1(G)) est inclus dans G.
Les propriétés 1 à 5 sont donc équivalentes. Enfin :
- 5 ⇒ 6 : en appliquant 5 à B = C et à B = Y\C et en prenant l'intersection membre à membre de part et d'autre des deux inclusions obtenues ;
- 6 ⇒ 3 : en utilisant qu'une partie est fermée si et seulement si elle contient sa frontière.
Continuité et espaces produits
Soit une famille d'espaces topologiques, l'espace produit et un espace topologique.
- Les projections canoniques sont à la fois :
- continues (l'image réciproque d'un ouvert de est un ouvert de ) ;
- ouvertes (l'image directe d'un ouvert de est un ouvert de ).
- Une application est continue si et seulement si ses composantes le sont.
- Si une application est continue alors ses applications partielles le sont (l'application partielle associée à un point et à indice étant : où et ).
Caractérisation séquentielle
Si tout point de admet une base de voisinages (finie ou) dénombrable — en particulier si est un espace métrique — on dispose de caractérisations plus intuitives de l'adhérence et de la continuité :
Si tout point de admet une base dénombrable de voisinages, alors, pour tout point et toute partie de :
- est adhérent à (si et) seulement s'il est limite d'une suite d'éléments de ;
- si est adhérent à , une application a pour limite au point si (et seulement si) pour toute suite dans de limite , la suite a pour limite .
- par conséquent, une application est continue au point si (et seulement si) pour toute suite de limite , la suite a pour limite .
Soit une base de voisinages de , que l'on peut supposer décroissante (quitte à remplacer chaque par son intersection avec les précédents). Le principe est que toute suite telle que converge alors vers .
- Si est adhérent à , comme chaque rencontre , on peut choisir a.
- Raisonnons par contraposition. Si n'est pas limite de en , il existe un voisinage de dont l'image réciproque ne contient aucun . En choisissant dans chaque un tel que , on construit une suite de limite dont l'image n'admet pas pour limite.