« Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions

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rétabli Spécial:Diff/735844, Exercice 2-3, questions 3 et 4 + Style
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== Exercice 1-1 ==
On considère l'application linéaire <math>u:\R^2\to\R^2</math> définie par <math>u(x,y)=(x+y,x-y)</math>. Calculer la norme d'opérateur <math>|\!|\!|u|\!|\!|</math> associée, selon que l'on munit <math>\R^2</math> de la norme <math>\|\cdot\|_2</math>, de la norme <math>\|\cdot\|_\infty</math> ou de la norme <math>\|\cdot\|_1</math>.
<math>E=\mathcal C([-1,1],\R)</math> muni de la norme de la convergence uniforme.
{{Solution|contenu=
La question étant ambiguë, on se contentera d'examiner les trois cas où la norme choisie sur l'espace <math>\R^2</math> d'arrivée est la même que sur l'espace <math>\R^2</math> de départ (sinon, il y aurait 6 autres cas à traiter).
#<math>u</math> est une [[similitude]] de rapport <math>\sqrt2</math> (c.-à-d. que <math>\|u(x,y)\|_2=\sqrt2\|(x,y)\|_2</math>) donc pour <math>\|\cdot\|_2</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\sqrt2</math>.
#Pour <math>\|\cdot\|_\infty</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=2</math> car <math>\max(|x+y|,|x-y|)\le|x|+|y|\le2\max(|x|,|y|)</math>, avec égalité par exemple pour <math>(x,y)=(1,1)</math>.
#Pour <math>\|\cdot\|_1</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=2</math> car <math>|x+y|+|x-y|\le|x|+|y|+|x|+|y|=2(|x|+|y|)</math>, avec égalité par exemple pour <math>(x,y)=(1,0)</math>.
}}
 
== Exercice 1-2 ==
<math>E=\mathcal C([-1,1],\R)</math> muni de la norme <math>\|\cdot\|_\infty</math> de la convergence uniforme.
 
<math>\begin{array}{ccccc}
\varphi&:&E&\rightarrow&\R\\
~&~&f&\mapsto&\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\,\mathrm dt.
\end{array}</math>
 
* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de <math>\varphi</math>.
* Soit <math>f\in E</math>. On a
*:<math>|\varphi(f)|=\left|\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\,\mathrm dt\right|\le\|f\|_\infty\int_{-1}^1\frac{|t|}{1+t^2}\,\mathrm dt=\|f\|_\infty\int_0^1\frac {2t}{1+t^2}\,\mathrm dt=\|f\|_\infty\ln2</math>.
*:donc <math>|\varphi(f)|\leq\int_{-1}^1\frac{|t\,f(t)|}{1+t^2}\,\mathrm dt\le\|f\|_\infty\int_0^1\frac{2t}{1+t^2}\,\mathrm dt</math>
*:donc <math>|\varphi(f)|\le\|f\|_\infty\ln2</math>.
*:Conclusion : <math>\varphi\in\mathcal L(E,\R)</math> et <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|\leq\ln2</math>.
*On pose pour tout <math>n\in\N^*</math> la fonction <math>f_n\in E</math> qui :
** vaut <math>1</math> sur <math>\left[\frac1n,1\right]</math> ;
** est affine sur <math>\left[-\frac1n,\frac1n\right]</math>.
*:On a <math>\|f_n\|_\infty=1</math> et l'on montre que <math>|\varphi(f_n)|\longrightarrow_{n\to+\infty}\ln2</math>.
*:Finalement, <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|=\ln2</math>.
}}
 
== Exercice 1-23 ==
Soient <math>E</math> un <math>K</math>-espace vectoriel normé et <math>u:E\to K</math> une [[Application linéaire/Définitions#Applications linéaires particulières|forme linéaire]]. Montrer que <math>u</math> est continue si et seulement si son noyau est fermé.
{{Solution|contenu=
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