Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale de Gauss

— Ⅰ —

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ l'application définie par :

$f(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{-x\left(1+t^{2}\right)}}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t$.

Montrer que :

$\forall x\geqslant 0\qquad f(x)\leqslant \mathrm {e} ^{-x}$.

Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?

— Ⅱ —

1°  Montrer que pour tout réel $y$ :

$0\leqslant \mathrm {e} ^{y}-1-y\leqslant {\frac {y^{2}}{2}}\operatorname {e} ^{|y|}$.

2°  En déduire que pour tous réels $x$ et $h$,

$0\leqslant f(x+h)-f(x)+h\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{-x\left(1+t^{2}\right)}\,\mathrm {d} t\leqslant 2h^{2}\operatorname {e} ^{2|h|}f(x)$.

En déduire que $f$ est dérivable et préciser sa dérivée.

— Ⅲ —

Prouver que :

$\forall x\in \mathbb {R} \qquad x\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{-(xt)^{2}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u$.

— Ⅳ —

Soit $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ l'application $x\mapsto f\left(x^{2}\right)$.

Montrer que $g'(x)=-2\mathrm {e} ^{-x^{2}}\int _{0}^{x}\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u$.

Que peut-on dire de la fonction $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par :

$h(x)=g(x)+\left(\int _{0}^{x}\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u\right)^{2}$ ?

En déduire la valeur de $\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u$.

Corrigé

Ⅰ $\forall x\geqslant 0\qquad 0\leqslant f(x)\leqslant \int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{-x}\,\mathrm {d} t=\operatorname {e} ^{-x}$ donc $\lim _{+\infty }f=0$.

Ⅱ 1° D'après la formule de Taylor-Lagrange, il existe un réel $c$ compris entre $0$ et $y$ tel que

$\mathrm {e} ^{y}-1-y={\frac {y^{2}}{2}}\mathrm {e} ^{c}$.

Puisque $c\leqslant |y|$, $\mathrm {e} ^{c}\leqslant \mathrm {e} ^{|y|}$.

2° $f(x+h)-f(x)+h\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{-x\left(1+t^{2}\right)}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{-x\left(1+t^{2}\right)}}{1+t^{2}}}\left(\mathrm {e} ^{-h(1+t^{2})}-1+h(1+t^{2})\right)\,\mathrm {d} t$.

D'après la question précédente, cette intégrale est positive et majorée par

$\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{-x\left(1+t^{2}\right)}}{1+t^{2}}}{\frac {h^{2}\left(1+t^{2}\right)^{2}}{2}}\operatorname {e} ^{|h|\left(1+t^{2}\right)}\,\mathrm {d} t\leqslant \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{-x\left(1+t^{2}\right)}}{1+t^{2}}}2h^{2}\operatorname {e} ^{2|h|}\,\mathrm {d} t=2h^{2}\operatorname {e} ^{2|h|}f(x)$.

En divisant par $|h|$ pour $h\neq 0$ puis en faisant tendre $h$ vers $0$, on en déduit par encadrement que $f$ est dérivable en tout réel $x$ et

$f'(x)=-\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{-x\left(1+t^{2}\right)}\,\mathrm {d} t=-\operatorname {e} ^{-x}\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{-xt^{2}}\,\mathrm {d} t$.

Ⅲ Changement de variable $u=xt$.

Ⅳ D'après Ⅱ et Ⅲ, $g'(x)=2xf'(x^{2})=-2x\operatorname {e} ^{-x^{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{-(xt)^{2}}\,\mathrm {d} t=-2\mathrm {e} ^{-x^{2}}\int _{0}^{x}\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u$ (on aurait pu calculer plus directement la dérivée de $g$ – sans passer par celle de $f$ – en dérivant sous le signe d'intégration).

Par conséquent, $h'=0$ donc $h$ est constante, c'est-à-dire :

$\forall x\in \mathbb {R} \qquad f\left(x^{2}\right)+\left(\int _{0}^{x}\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u\right)^{2}=f(0)={\frac {\pi }{4}}$

donc (d'après Ⅰ)

$\left(\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u\right)^{2}={\frac {\pi }{4}}$,

c'est-à-dire :

$\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$.