Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale dépendant d'un paramètre

Leçons de niveau 14
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Intégrale dépendant d'un paramètre
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Devoir no1
Leçon : Intégration de Riemann

Devoir de niveau 14.

Dev préc. :Sommaire
Dev suiv. :Intégrale de Gauss
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Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale dépendant d'un paramètre
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Soient :

  • l'ensemble des fonctions continues de dans  ;
  • l'ensemble des fonctions de dans .
— Ⅰ —

Soit définie par .

 Calculer (pour tout réel ).

 a)  Soit définie par (pour tout réel ).

Étudier le sens de variation de  ; en déduire que .
b)  Étudier la variation de la fonction (on ne demande pas de tracer sa courbe représentative).


— Ⅱ —

 Soit l'application qui, à tout élément de , associe la fonction définie par :

(pour tout ).
Démontrer que l'application est linéaire.

 Pour toute fonction dérivable et de dérivée continue, on pose :

et .
Démontrer que (pour tout ) :
.


— Ⅲ —

Soient définies par :

.

Soit l'ensemble des fonctions :

pour tout triplet de nombres réels.

 a)  Déterminer les fonctions :

.
b)  Soit un élément de . Calculer (pour tout ).
c)  Démontrer que la restriction de à est injective.

 a)  Soit un élément de . Justifier le fait que est un intervalle fermé , avec .

b)  Démontrer que .
c)  En déduire que pour tout , il existe au moins un réel tel que .
Calculer dans le cas particulier :
et .