Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale dépendant d'un paramètre

Soient :

• ${\mathfrak {E}}$ l'ensemble des fonctions continues de $[0,\,\pi ]$ dans $\mathbb {R}$ ;
• ${\mathfrak {F}}$ l'ensemble des fonctions de $\mathbb {R} _{+}^{*}=\left]0,+\infty \right[$ dans $\mathbb {R}$.

— Ⅰ —

Soit $I\in {\mathfrak {F}}$ définie par $I(x)=\int _{0}^{\pi }\mathrm {e} ^{-tx}\,\mathrm {d} t$.

1°  Calculer $I(x)$ (pour tout réel $x>0$).

2°  a)  Soit $g\in {\mathfrak {F}}$ définie par $g(x)=\mathrm {e} ^{\pi x}-1-\pi x$ (pour tout réel $x>0$).

Étudier le sens de variation de $g$ ; en déduire que $g>0$.

b)  Étudier la variation de la fonction $I$ (on ne demande pas de tracer sa courbe représentative).

— Ⅱ —

1°  Soit $L:{\mathfrak {E}}\to {\mathfrak {F}}$ l'application qui, à tout élément $f$ de ${\mathfrak {E}}$, associe la fonction $F$ définie par :

$F(x)=\int _{0}^{\pi }f(t)\operatorname {e} ^{-tx}\,\mathrm {d} t$ (pour tout $x>0$).

Démontrer que l'application $L$ est linéaire.

2°  Pour toute fonction $f\in {\mathfrak {E}}$ dérivable et de dérivée continue, on pose :

$L(f)=F$ et $L(f')=F^{*}$.

Démontrer que (pour tout $x>0$) :

$F^{*}(x)=\mathrm {e} ^{-\pi x}f(x)-f(0)+xF(x)$.

— Ⅲ —

Soient $f_{1},f_{2},f_{3}\in {\mathfrak {E}}$ définies par :

$f_{1}(t)=1\qquad \qquad f_{2}(t)=\cos 2t\qquad \qquad f_{3}(t)=\sin 2t$.

Soit ${\mathfrak {E}}_{1}$ l'ensemble des fonctions :

$af_{1}+bf_{2}+cf_{3}$

pour tout triplet $(a,b,c)$ de nombres réels.

1°  a)  Déterminer les fonctions :

$F_{1}=L(f_{1}),\qquad F_{2}=L(f_{2}),\qquad F_{3}=L(f_{3})$.

b)  Soit $f$ un élément de ${\mathfrak {E}}_{1}$. Calculer $F(x)$ (pour tout $x>0$).

c)  Démontrer que la restriction de $L$ à ${\mathfrak {E}}_{1}$ est injective.

2°  a)  Soit $f$ un élément de ${\mathfrak {E}}$. Justifier le fait que $f\left([0,\,\pi ]\right)$ est un intervalle fermé $[m,\,M]$, avec $m\leqslant M$.

b)  Démontrer que $mI\leqslant F\leqslant MI$.

c)  En déduire que pour tout $x>0$, il existe au moins un réel $t\in [0,\,\pi ]$ tel que $F(x)=f(t)I(x)$.

Calculer $t$ dans le cas particulier :

$f=f_{1}+f_{2}+f_{3}$ et $x=2$.

'Corrigé'

Ⅰ – 1° $I(x)=\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-tx}}{-x}}\right]_{0}^{\pi }={\frac {1-\mathrm {e} ^{-\pi x}}{x}}$.

2° a) Pour tout $x>0$, $g'(x)=\pi \left(\mathrm {e} ^{\pi x}-1\right)>0$ donc $g(x)>\lim _{0}g=0$.

b) Pour tout $x>0$, $I'(x)=-{\frac {\mathrm {e} ^{-\pi x}g(x)}{x^{2}}}<0$ donc $I$ est strictement décroissante.

$\lim _{0}I=\pi \lim _{x\to 0}{\frac {\mathrm {e} ^{-\pi x}-1}{-\pi x}}=\pi \exp '(0)=\pi$ et $\lim _{+\infty }I=0$.

Ⅱ – 1° Immédiat, par linéarité de l'intégrale.

2° $F^{*}(x)=\int _{0}^{\pi }f'(t)\operatorname {e} ^{-tx}\,\mathrm {d} t=\left[f(t)\operatorname {e} ^{-tx}\right]_{0}^{\pi }-\int _{0}^{\pi }f(t)\left(-x\operatorname {e} ^{-tx}\right)\,\mathrm {d} t=\mathrm {e} ^{-\pi x}f(x)-f(0)+xF(x)$.

Ⅲ – 1° a) $F_{1}=I$ (cf. Ⅰ).

$f'_{3}=2f_{2}$ et $f'_{2}=-2f_{3}$ donc d'après Ⅱ-2,

$2F_{2}(x)=\mathrm {e} ^{-\pi x}\sin 2x+xF_{3}(x)$ et $-2F_{3}(x)=\mathrm {e} ^{-\pi x}\cos 2x-1+xF_{2}(x)$, donc

$F_{2}(x)={\frac {x+\mathrm {e} ^{-\pi x}(2\sin 2x-x\cos 2x)}{4+x^{2}}}$ et $F_{3}(x)={\frac {2-\mathrm {e} ^{-\pi x}(x\sin 2x+2\cos 2x)}{4+x^{2}}}$.

b) Si $f=af_{1}+bf_{2}+cf_{3}$ alors $F=aF_{1}+bF_{2}+cF_{3}$.

c) Pour montrer que cette application linéaire est injective, il suffit de vérifier que son noyau est réduit au vecteur nul. Soit donc $f=af_{1}+bf_{2}+cf_{3}$ telle que $L(f)=0$, c'est-à-dire $aF_{1}+bF_{2}+cF_{3}=0$ ; montrons qu'alors, $a=b=c=0$. D'abord, $a=0$ (car $\lim _{0}F_{1}=\pi$ et $\lim _{0}F_{2}=\lim _{0}F_{3}=0$) et il reste $bF_{2}+cF_{3}=0$. Puis, $b=0$ (car $\lim _{x\to +\infty }xF_{2}(x)=1$ et $\lim _{x\to +\infty }xF_{3}(x)=0$) et il reste $cF_{3}=0$ donc $c=0$.

2° a) $f$ est continue sur $\left[0,\pi \right]$ donc d'après le théorème des bornes, $f\left(\left[0,\pi \right]\right)$ est de la forme $\left[m,M\right]$.

b) Il suffit, pour $x>0$ fixé, de multiplier l'encadrement $m\operatorname {\leqslant } f\leqslant M$ par la fonction positive $t\mapsto \operatorname {e} ^{-tx}$ et d'intégrer de $0$ à $\pi$.

c) D'après Ⅰ-2.b, $I(x)>0$ et d'après la question précédente, ${\frac {F(x)}{I(x)}}\in \left[m,M\right]=f\left(\left[0,\pi \right]\right)$, d'où l'existence de $t$.

$F_{1}(2)=I(2)={\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }}{2}}\quad {\text{et}}\quad F_{2}(2)+F_{3}(2)={\frac {1+\mathrm {e} ^{-2\pi }(\sin 4-\cos 4)}{4}}+{\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }(\sin 4+\cos 4)}{4}}={\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\cos 4}{2}}$.

${\begin{aligned}I(2)\left(1+\cos 2t+\sin 2t\right)=I(2)+{\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\cos 4}{2}}&\Leftrightarrow \cos 2t+\sin 2t={\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\cos 4}{1-\mathrm {e} ^{-2\pi }}}\\&\Leftrightarrow \cos \left(2t-{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\cos 4}{\left(1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\right){\sqrt {2}}}}\\&\Leftrightarrow t={\frac {\pi }{8}}\pm {\frac {\theta }{2}},\quad {\text{pour}}\quad \theta =\arccos \left({\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\cos 4}{\left(1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\right){\sqrt {2}}}}\right).\end{aligned}}$