En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Devoir : Intégrale dépendant d'un paramètre
Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale dépendant d'un paramètre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient :
- l'ensemble des fonctions continues de dans ;
- l'ensemble des fonctions de dans .
— Ⅰ —
Soit définie par .
1° Calculer (pour tout réel ).
2° a) Soit définie par (pour tout réel ).
- Étudier le sens de variation de ; en déduire que .
- b) Étudier la variation de la fonction (on ne demande pas de tracer sa courbe représentative).
— Ⅱ —
1° Soit l'application qui, à tout élément de , associe la fonction définie par :
- (pour tout ).
- Démontrer que l'application est linéaire.
2° Pour toute fonction dérivable et de dérivée continue, on pose :
- et .
- Démontrer que (pour tout ) :
- .
— Ⅲ —
Soient définies par :
- .
Soit l'ensemble des fonctions :
pour tout triplet de nombres réels.
1° a) Déterminer les fonctions :
- .
- b) Soit un élément de . Calculer (pour tout ).
- c) Démontrer que la restriction de à est injective.
2° a) Soit un élément de . Justifier le fait que est un intervalle fermé , avec .
- b) Démontrer que .
- c) En déduire que pour tout , il existe au moins un réel tel que .
- Calculer dans le cas particulier :
- et .
Corrigé
Ⅰ – 1° .
- 2° a) Pour tout , donc .
- b) Pour tout , donc est strictement décroissante.
- et .
Ⅱ – 1° Immédiat, par linéarité de l'intégrale.
- 2° .
Ⅲ – 1° a) (cf. Ⅰ).
- et donc d'après Ⅱ-2,
- et , donc
- et .
- b) Si alors .
- c) Pour montrer que cette application linéaire est injective, il suffit de vérifier que son noyau est réduit au vecteur nul. Soit donc telle que , c'est-à-dire ; montrons qu'alors, . D'abord, (car et ) et il reste . Puis, (car et ) et il reste donc .
- 2° a) est continue sur donc d'après le théorème des bornes, est de la forme .
- b) Il suffit, pour fixé, de multiplier l'encadrement par la fonction positive et d'intégrer de à .
- c) D'après Ⅰ-2.b, et d'après la question précédente, , d'où l'existence de .
- .