Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2

Exercice 18-1

On pose :

${\begin{cases}a\in \mathbb {N} ^{*}\qquad n\in \mathbb {N} ^{*}\\I(a,0)=\int _{0}^{1}x^{a}\,\mathrm {d} x\\I(a,n)=\int _{0}^{1}x^{a}(1-x)^{n}\,\mathrm {d} x.\end{cases}}$

1°  En intégrant par parties, montrer que :

$I(a+1,n)={\frac {a+1}{n+1}}I(a,n+1)$.

2°  Établir que :

$I(a,n)-I(a,n+1)=I(a+1,n)$.

En déduire que :

$I(a,n+1)={\frac {n+1}{n+a+2}}I(a,n)$.

3°  L'entier $a>0$ étant fixé, calculer $I(a,0)$ et démontrer par récurrence sur $n$ :

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad I(a,n)={\frac {1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1)\times n}{(a+1)\times (a+2)\times \cdots \times (a+n+1)}}$.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 18-2

1°  Soient $p$ et $q$ des rationnels positifs. Pour $x\in \left[0,1\right[$, on pose :

$f_{p,q}(x)=\int _{0}^{x}t^{p}(1-t)^{q}\,\mathrm {d} t$.

Justifier cette notation.

Déterminer la fonction dérivée de $f_{p,q}$.

En se limitant à $p\geqslant 1$, montrer qu'il existe un triplet $(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}$, dépendant du couple $(p,q)$, tel que

$\forall x\in \left[0,1\right[\quad af_{p,q}(x)+bf_{p-1,q-1}(x)=x^{p}(1-x)^{q}(cx-q)$.

On distinguera les cas $q=0$ et $q\neq 0$. Dans la second cas, on montrera qu'il existe une solution, et une seule, à savoir :

${\begin{cases}a=(p+q)(1+p+q)\\b=-pq\\c=p+q.\end{cases}}$

2°  Pour $x\in [0,1[$ et $n\in \mathbb {N}$, donner une expression de :

$F_{n}(x)=\int _{0}^{x}{\sqrt[{3}]{\frac {t^{n}}{(1-t)^{n+3}}}}\,\mathrm {d} t$

dans laquelle n'intervient aucun signe d'intégration.

(On mettra la fonction $F_{n}$ sous la forme $f_{p-1,q-1}$.)

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 18-3

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $F_{n}$ définie par :

$F_{n}(x)=\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{-t}\sin ^{2n}t\,\mathrm {d} t$.

1°  Prouver que $F_{n}$ est croissante et majorée par $1$.

2°  Soit :

$I_{n}=\lim _{x\to \infty }F_{n}(x)\qquad \left(=\int _{0}^{+\infty }\operatorname {e} ^{-t}\sin ^{2n}t\,\mathrm {d} t\right)$.

Prouvez que :

$I_{n}=(2n-1)I_{n-1}-2nI_{n}$.

3°  En déduire $I_{2}$, $I_{3}$, puis $I_{n}$ en fonction de $n$.

4°  Étudier la limite de la suite $\left(I_{n}\right)$.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 18-4

Pour tout $n$ entier naturel, on considère $I_{n}$, définie par :

$I_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(1+x^{n}){\sqrt[{n}]{1+x^{n}}}}}$.

1°  Calculer $I_{1}$ et $I_{2}$.

2°  Calculer $I_{n}$ en intégrant par parties :

$\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt[{n}]{1+x^{n}}}}$.

3°  Étudier la limite en $+\infty$ de la suite $\left(I_{n}\right)$.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 18-5

Soit la fonction $f$ définie par :

${\begin{cases}f(x)=-x\ln x\\f(0)=\lim _{x\to 0}f(x)=l.\end{cases}}$

1°  Préciser la valeur de $l$. Représenter graphiquement la fonction $f$.

2°  Calculer :

$I_{1}=\int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x$.

3°  On pose, pour $h$ et $k$ entiers naturels :

$H_{h,k}=\int _{0}^{1}x^{h}\left(\ln x\right)^{k}\,\mathrm {d} x$.

Prouver que :

$H_{h,k}=-{\frac {k}{h+1}}H_{h,k-1}$.

4°  Calculer $H_{h,0}$. En déduire :

$H_{h,k}=-{\frac {(-1)^{k}k!}{(h+1)^{k+1}}}$.

5°  En déduire la valeur de

$I_{k}=\int _{0}^{1}{\frac {\left(f(x)\right)^{k}}{k!}}\,\mathrm {d} x$.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 18-6

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ la fonction définie par :

$f(x)=x\operatorname {e} ^{x}$.

1°  Calculer les dérivées première et seconde de $f$ et en déduire, par récurrence, la dérivée d'ordre $n$.

2°  Étudier les variations de la fonction $f_{n}$ définie par :

$f_{n}(x)=(x+n)\operatorname {e} ^{x}$

où $n$ est un entier relatif. Tracer les courbes représentatives $C_{-1}$, $C_{0}$ et $C_{1}$ des fonctions $f_{-1}$, $f_{0}$ et $f_{1}$.

3°  On pose :

$I_{n}(h)=\int _{-n}^{-n+h}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x$.

Calculer $I_{0}(h)$ et $I_{n}(h)$ en fonction de $h$, et établir la relation :

$I_{n}(h)=\operatorname {e} ^{-n}I_{0}(h)$.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}