Leçons de niveau 13

Intégration en mathématiques/Exercices/Divers

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Divers
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Exercices no19
Leçon : Intégration en mathématiques

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Suites d'intégrales 2
Exo suiv. :Calculs d'aires 1
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Exercice 19-1[modifier | modifier le wikicode]

Pour et entiers naturels, on considère l'intégrale :

.

 Calculer  :

a)  en utilisant le changement de variable et la formule du binôme ;
b)  en établissant, par intégration par parties, une relation de récurrence entre et , puis en déduisant du calcul de .

 Déduire de ce qui précède que :

.

Exercice 19-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit :

.

Prouver que, pour tout  :

.

Exercice 19-3[modifier | modifier le wikicode]

On considère, dans un repère orthonormal, la courbe d'équation :

.

Soit un nombre strictement positif. On désigne par et les deux points de la courbe d'abscisses respectives et , et et leurs projetés orthogonaux sur l’axe des abscisses.

 Calculer l’aire de la surface limitée par l’axe des abscisses, les droites et et la courbe .

 On considère la fonction définie par :

Calculer la dérivée de la fonction pour
Étudier la variation de et construire son graphique.
Préciser les demi-tangentes à ce graphique au point d'abscisse .

 Calculer les valeurs de pour lesquelles l'aire est égale à .

 Étudier les limites à droite et à gauche en de la fonction :

.

Exercice 19-4[modifier | modifier le wikicode]

On considère la fonction définie par :

.

 Étudier son ensemble de définition, démontrer qu'elle est périodique de période et étudier sa variation dans l'intervalle .

Tracer la courbe représentative de dans un repère orthonormal.

 Calculer les primitives de . On pourra mettre sous la forme :

et sont des constantes à préciser.
En déduire la valeur de l’aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations , .

Exercice 19-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit la fonction définie par :

.

 Étudier la variation de et la représenter graphiquement par rapport à un repère orthonormal . Soit , la courbe représentative.

 Écrire l'équation de la tangente à au point ayant pour abscisse le nombre .

 Vérifier que la fonction définie par :

est une primitive de la fonction dans chacun des intervalles où cette dernière est définie.

 Évaluer l’aire du domaine plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe et la tangente à au point .