Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2

Exercice 18-1

Soit n un entier naturel supérieur à 2. Pour tout entier naturel $k\leqslant n$, on pose :

$I_{k,n}=\int _{0}^{1}C_{n}^{k}(1-x)^{n-k}\,\mathrm {d} t$

Comparer I_k,n et I_k+1,n. En déduire I_k,n en fonction de n.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 18-2

On pose :

${\begin{cases}a\in \mathbb {N} ^{*}\qquad n\in \mathbb {N} ^{*}\\I(a,0)=\int _{0}^{1}x^{a}\,\mathrm {d} x\\I(a,n)=\int _{0}^{1}x^{a}(1-x)^{n}\,\mathrm {d} x\end{cases}}$

1°  En intégrant par parties, montrer que :

$I(a+1,n)={\frac {a+1}{n+1}}I(a,n+1)$

2°  Établir que :

$I(a,n)-I(a,n+1)=I(a+1,n)$

En déduire que :

$I(a,n+1)={\frac {n+1}{n+a+2}}I(a,n)$

3°  a étant fixé $(a\in \mathbb {N} ^{*})$, calculer $I(a,0)$ et démontrer par récurrence sur n, pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$

$I(a,n)={\frac {1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1)\times n}{(a+1)\times (a+2)\times \cdots \times (a+n+1)}}$

Solution

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Exercice 18-3

1°  Soient p et q des rationnels positifs. Pour $x\in [0,1[$, on pose :

$f_{p,q}(x)=\int _{0}^{x}t^{p}(1-t)^{q}\,\mathrm {d} t$

Justifier cette notation.

Déterminer la fonction dérivée de $f_{p,q}$.

En se limitant à $p\geqslant 1$, montrer qu'il existe un triplet $(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}$, dépendant du couple (p,q), tel que, pour tout $x\in [0,1[$ :

$af_{p,q}(x)+bf_{p-1,q-1}(x)=x^{p}(1-x)^{q}(cx-q)$

On distinguera les cas q = 0 et q ≠ 0. Dans la second cas, on montrera qu'il existe une solution, et une seule, à savoir :

${\begin{cases}a=(p+q)(1+p+q)\\b=-pq\\c=p+q\end{cases}}$

2°  Pour $x\in [0,1[$ et $n\in \mathbb {N}$, donner une expression de :

$F_{n}(x)=\int _{0}^{x}{\sqrt[{3}]{\frac {t^{n}}{(1-t)^{n+3}}}}\,\mathrm {d} t$

dans laquelle n'intervient aucun signe d'intégration.

(On mettra la fonction F_n sous la forme f_p-1,q-1)

Solution

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Exercice 18-4

Pour tout n entier naturel, on considère la fonction F_n, définie par :

$F_{n}(x)=\int _{0}^{x}e^{-t}\sin ^{2n}t\,\mathrm {d} t$

1°  Prouver que F_n est croissante et majorée par 1.

2°  Soit :

$I_{n}=\lim _{x\to \infty }F_{n}(x)\qquad \left(=\int _{0}^{+\infty }e^{-t}\sin ^{2n}t\,\mathrm {d} t\right)$

Prouvez que :

$I_{n}=(2n-1)I_{n-1}-2nI_{n}$

3°  En déduire I₂, I₃, puis I_n en fonction de n.

4°  Étudier la limite de la suite (I_n).

Solution

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Exercice 18-5

Pour tout n entier naturel, on considère I_n, définie par :

$I_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(1+x^{n}){\sqrt[{n}]{1+x^{n}}}}}$

1°  Calculer I₁, I₂.

2°  Calculer I_n en intégrant par parties :

$\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt[{n}]{1+x^{n}}}}$

3°  Étudier la limite en $+\infty$ de la suite (I_n).

Solution

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Exercice 18-6

Soit la fonction f définie par :

${\begin{cases}f(x)=-x\ln x\\f(0)=\lim _{x\to 0}f(x)=l\end{cases}}$

1°  Préciser la valeur de $l$. Représenter graphiquement la fonction f.

2°  Calculer :

$I_{1}=\int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x$

3°  On pose, pour h et k entiers naturels :

$I_{k}=\int _{0}^{1}{\frac {\left(f(x)\right)^{k}}{k!}}\,\mathrm {d} x$

$H_{h,k}=\int _{0}^{1}x^{h}\left(\ln x\right)^{k}\,\mathrm {d} x$

Prouver que :

$H_{h,k}=-{\frac {k}{h+1}}H_{h,k-1}$

4°  Calculer $H_{h,0}$. En déduire :

$H_{h,k}=-{\frac {(-1)^{k}k!}{(h+1)^{k+1}}}$

5°  En déduire $I_{k}$.

Solution

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Exercice 18-7

Soit f la fonction de la variable réelle x, définie par :

$f(x)=xe^{x}$

1°  Calculer les dérivées première et seconde de f et en déduire, par récurrence, la dérivée d'ordre n.

2°  Étudier les variations de la fonction f_n définie par :

$f_{n}(x)=(x+n)e^{x}$

où n est un entier relatif. Tracer les courbes représentatives C_-1, C₀ et C₁ des fonctions f_-1, f₀ et f₁.

3°  Calculer :

$I_{0}(h)=\int _{0}^{h}f_{0}(x)\,\mathrm {d} x$

et :

$I_{n}(h)=\int _{-n}^{-n+h}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x$

en fonction de h, et établir la relation :

$I_{n}(h)=e^{-n}I_{0}(h)$

Solution

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