Corps (mathématiques)/Définitions

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Corps

Corps commutatif

Un corps commutatif $(K,+,\times )$ est un anneau commutatif non nul dans lequel tout élément non nul admet un inverse, c'est-à-dire un symétrique pour $\times$.

Un corps (commutatif) $(K,+,\times )$ est donc un ensemble muni de deux lois internes possédant les propriétés suivantes :

• $(K,+)$ est un groupe abélien, dont l'élément neutre est noté $0$ ;
• $(K\setminus \{0\},\times )$ est également un groupe abélien (son neutre est noté $1$) ;
• $\times$ est distributive par rapport à $+$.

Pour certains auteurs, un corps est nécessairement commutatif. L'exemple le plus célèbre de corps non commutatif est celui des quaternions.

Début de l'exemple

Exemples

Les ensembles de nombres suivants sont des corps, lorsqu'on les munit de leurs opérations usuelles + et × :

• les rationnels $\mathbb {Q}$ ;
• les réels $\mathbb {R}$ ;
• les nombres complexes $\mathbb {C}$.

Fin de l'exemple

Morphisme

Un morphisme d'anneaux d’un corps dans un anneau est nécessairement injectif. Un morphisme d'anneaux envoie en effet tout élément inversible sur un élément inversible, donc non nul. Par la deuxième propriété, tout élément non nul d’un corps est inversible, donc envoyé sur un élément non nul.

Corps des fractions

Propriété

Soit $(A,+,\times )$ un anneau (commutatif) intègre.

Soit $E=A\times A\setminus \{0\}$. On munit $E$ :

• d’une loi interne $+$ telle que : $\forall (a,b),(c,d)\in E:(a,b)+(c,d)=(ad+cb,bd)$
• d’une loi interne $\times$ telle que : $\forall (a,b),(c,d)\in E:(a,b)\times (c,d)=(ac,bd)$
• d’une relation ${\mathcal {R}}$ telle que $\forall (a,b),(c,d)\in E:(a,b){\mathcal {R}}(c,d)\Leftrightarrow ad=bc$

Alors $E/{\mathcal {R}}$ munit des deux lois induites est un corps.

Démonstration

• Montrons que ${\mathcal {R}}$ est bien une relation d'équivalence.

${\mathcal {R}}$ est bien symétrique.

${\mathcal {R}}$ est évidement réflexive.

${\mathcal {R}}$ est transitive. En effet soit $(a,b){\mathcal {R}}(c,d)$ et $(c,d){\mathcal {R}}(g,h)$. On a donc $ad=bc$ et $ch=dg$. Calculons $ahd=adh=bch=bdg=bgd$ en utilisant la commutativité et l'associativité dans $A$ de la multiplication.. Enfin $d$ étant non nul on a $ah=bg$. En effet, puisque $ahd=bgd$ alors $ahd-bgd=0$, soit $(ah-bg)d=0$ par distributivité, et puisque l'anneau est intègre et que $d\neq 0$ alors $ah-dg=0$ et donc $ah=bg$.

• Comme $A$ est intègre, $\forall b,d\in A^{*}:bd\neq 0$, les deux lois sont donc bien internes.
• Montrons que les deux lois sont bien commutatives, associatives et possèdent un élément neutre.

On a $(a,b)+(c,d)=(ad+cb,bd)=(cb+ad,db)=(c,d)+(a,b)$ puisque $(A,+,\times )$ est un anneau commutatif.

De même $(a,b)\times (c,d)=(ac,bd)=(ca,db)=(c,d)\times (a,b)$.

L'associativité de $\times$ sur $E$ découle de l'associativité de $\times$ sur $A$.

Soit $(g,h)\in E$. On a $((a,b)+(c,d))+(g,h)=(ad+cb,bd)+(g,h)=((ad+cb)h+gbd,bdh)=(adh+cbh+gbd,bdh)=(adh+chb+gdb,bdh)=(adh+(ch+gd)b,bdh)=(a,b)+(ch+gd,dh)=(a,b)+((c,d)+(g,h))$ du fait de l'associativité, commutativité et distributivité des deux opérations sur $A$.

On a $(a,b)+(0,1)=(a\times 1+0\times b,b\times 1)=(a,b)$ donc $(0,1)\in E$ est élément neutre pour l’addition sur $E$.

De même $(a,b)(1,1)=(a\times 1,b\times 1)=(a,b)$ donc $(1,1)$ est élément neutre pour la multiplication sur $E$.

• Montrons que ${\mathcal {R}}$ est compatible avec l'addition.

Soit $(a,b){\mathcal {R}}(c,d)$ et $(a',b'){\mathcal {R}}(c',d')$, on a donc $ad=bc,a'd'=b'c'$. De plus $(a,b)+(a',b')=(ab'+a'b,bb')$ et $(c,d)+(c',d')=(cd'+c'd,dd')$.

Enfin $(ab'+a'b)dd'=ab'dd'+a'bdd'=adb'd'+a'd'bd=bcb'd'+b'c'bd=bb'cd'+bb'c'd=bb'(cd'+c'd)$ donc $(a,b)+(a',b'){\mathcal {R}}(c,d)+(c',d')$.

• Montrons que ${\mathcal {R}}$ est compatible avec la multiplication.

On a $(a,b)\times (a',b')=(aa',bb')$ et $(c,d)\times (c',d')=(cc',dd')$.

D'où $aa'dd'=ada'd'=bcb'c'=bb'cc'$ et donc $(a,b)\times (a',b'){\mathcal {R}}(c,d)\times (c',d')$.

• On a donc munit $E/{\mathcal {R}}$ de deux lois internes, commutatives, associatives et possédant un élément neutre.
• Il nous reste à montrer que la deuxième est distributive par rapport à la première.

Soit ${\overline {(a,b)}},{\overline {(c,d)}},{\overline {(g,h)}}$ trois classes de $E/{\mathcal {R}}$.

On a $(a,b)\times ((c,d)+(g,h))=(a,b)\times (ch+gd,dh)=(a(ch+gd),bdh)=(ach+agd,bdh)$.

De même $(a,b)\times (c,d)+(a,b)\times (g,h)=(ac,bd)+(ag,bh)=(acbh+agbd,bdbh)$.

Or $(ach+agd)bdbh=achbdbh+agdbdbh=acbhbdh+agbdbdh=(acbh+agbd)bdh$ donc ${\overline {(a,b)\times ((c,d)+(g,h))}}={\overline {(a,b)\times (c,d)+(a,b)\times (g,h)}}$.

 

Définition

Le corps ainsi défini est appelé corps des fractions de $A$ et noté $Fr(A)$ ou $K(A)$.

Un élément $(a,b)\in Fr(A)$ est noté ${\dfrac {a}{b}}$.

Début de l'exemple

Exemple

$\mathbb {Q}$ est le corps des fractions de $\mathbb {Z}$.

Fin de l'exemple

Sous-corps

Proposition

Soient $K$ un corps et $P$ une partie de $K$. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. $P$ est non vide, est une partie stable (pour + et $\times$) de $K$ et $P$ munit des lois induites par celles de $K$ est lui-même un corps ;
2. $P$ est un sous-anneau de $K,1\in P$, et $(x\in P^{*}=P\setminus \{0\}\Rightarrow x^{-1}\in P^{*})$
3. $P$ est un sous-groupe de $(K,+)$ et $P^{*}=P\setminus \{0\}$ munit de la loi $\times$ est un sous-groupe du groupe multiplicatif $(K^{*},\times )$.

Démonstration

Début d'un lemme

Lemme

Soit $(G,\star )$ un groupe et $P$ une partie non vide de $G$ stable pour $\star$. Si $(P,\star )$ est un groupe alors c’est un sous-groupe de $G$.

Fin du lemme

Démonstration

Puisque $P$ est un groupe alors il admet un élément neutre noté $e_{P}$. On a évidemment $e_{P}\star e_{P}=e_{P}$. Puisque $e_{P}$ est un élément de $G$, il est inversible dans $G$ d'inverse $e_{P}^{-1}$.

On peut donc écrire $e_{P}^{-1}\star (e_{P}\star e_{P})=e_{P}^{-1}\star e_{P}$.

Par associativité de $\star$, on a $(e_{P}^{-1}\star e_{P})\star e_{P}=e_{P}^{-1}\star e_{P}$ soit $e_{G}\star e_{P}=e_{G}$ d'où $e_{P}=e_{G}$

$P$ est un groupe donc tout élément $x\in P$ admet un inverse $y$ tel que $x\star y=y\star x=e_{P}=e_{G}$, donc $y$ est l"inverse de $x$ dans $G$, or cet inverse est unique donc $x^{-1}\in P$

Pour conclure $P\subset G$, l'élément neutre de $G$ appartient à $P$ et l’inverse de tout élément de $P$ est dans $P$, donc $P$ est bien un sous-groupe de $G$.

 

Démontrons enfin la proposition.

$(1\Rightarrow 2)$ On sait que $P^{*}=P\setminus \{0\}$ est une partie non vide de $K^{*}=K\setminus \{0\}$, stable pour $\times$. De plus $\times$ est associative, admet un élément neutre et tout élément à un inverse puisque $P$ est un corps donc $(P^{*},\times )$ est un groupe donc d’après le lemme précédent, il s'agit d’un sous-groupe de $(K^{*},\times )$ et donc $1\in P$ et $x\in P\Rightarrow x^{-1}\in P$.

De même $P$ est une partie non vide de $K$, stable pour $+$. De plus $+$ est associative, admet un élément neutre et tout élément à un inverse puisque $P$ est un corps donc $(P,+)$ est un groupe donc d’après le lemme précédent, il s'agit d’un sous-groupe de $(K,+)$ et donc $0\in P$ et $x\in P\Rightarrow -x\in P$.

Ainsi $P$ est stable pour les lois $+$ et $\times$, contient $0$ et $1$ et est stable par passage au symétrique, donc $(P,+,\times )$ est un sous-anneau de $(K,+,\times )$

$(2\Rightarrow 3)$ $P$ est un sous-anneau de $K$ donc $P$ est un sous-groupe additif de $K$.

Puisque $P$ est un sous-anneau de $K$, $\times$ est une loi de composition interne, associative admettant $1_{K}$ comme élément neutre, de plus si $x\in P^{*}$ alors $x^{-1}\in P^{*}$ donc $(P^{*},\times )$ est un sous-groupe de $(K^{*},\times )$.

$(3\Rightarrow 1)$ $(P,+)$ étant un sous-groupe il est donc non vide de plus $+$ est une loi de composition interne donc $P$ est stable pour $+$.

De même $(P^{*},\times )$ étant un sous-groupe $\times$ est une loi de composition interne, donc si $x,y\in P^{*}$ alors $x\times y\in P$. De même si $x\in P^{*}$ alors $0_{P}\times x=x\times 0_{P}=0_{P}\in P$ donc $P$ est stable pour $\times$.

Puisque $+$ et $\times$ sont des lois de groupes, elles sont associatives, ont des éléments neutres et à tout élément correspond un symétrique pour chacune des lois.

Puisque $(K,+)$ est abélien, la loi $+$ est commutative. Et puisque $K$ est un corps commutatif, $(K^{*},\times )$ est aussi abélien donc la loi $\times$ est commutative.

Puisque $K$ est un corps, la loi $\times$ est distributive par rapport à l'addition ce qui reste vrai dans $P$.

$(P^{*},\times )$ étant un sous-groupe d'élément neutre $1_{K}\neq 0_{K}$, $P$ est non nul.

Donc $P$ est un corps.

 

Définition

Toute partie $P$ d’un corps $K$ vérifiant les conditions de la proposition précédente est appelé sous-corps de $K$.

Début de l'exemple

Exemple

$\mathbb {Q}$ est un sous-corps de $\mathbb {R}$, $\mathbb {R}$ est un sous-corps de $\mathbb {C}$.

Fin de l'exemple

Propriété

Soit $K$ un corps. Toute intersection de sous-corps de $K$ est un sous-corps de $K$.

Démonstration

Soit $P=\cap _{i\in I}P_{i}$ où les $P_{i}$ sont des sous-corps de $K$.

Chaque $(P_{i},+)$ est donc un sous-groupe de $(K,+)$ et chaque $(P_{I}^{*},\times )$ est un sous-groupe de $(K^{*},\times )$.

Or l'intersection de sous-groupes est un sous-groupe donc $(P,+)=\cap _{i\in I}(P_{i},+)$ est un sous-groupe de $(K,+)$ et $(P^{*},\times )=\cap _{i\in I}(P_{i}^{*},\times )$ est un sous-groupe de $(K^{*},\times )$.

Donc d’après la proposition précédente $P$ est un sous-corps de $K$.

 

Proposition

Soit $K$ un corps. Soit $P$ une partie de $K$. L'ensemble $E$ des sous-corps de $K$ qui contiennent $P$ est non vide, et possède, au sens de l'inclusion, un plus petit élément.

Démonstration

$E$ est non vide car il contient $K$. Posons alors $k=\cap _{P'\in E}P'$. Donc $k$ est inclus dans tout sous-corps de $K$ contenant $P$.

$\forall P'\in E:P\subset P'$ donc $P\subset k$.

D'après la propriété précédente $k$ est un sous-corps.

 

Définition

Le plus petit sous-corps d’un corps $K$ contenant la partie $P$ est appelée sous-corps de $K$ engendré par $P$.

Caractéristique

Début d'un lemme

Lemme

Soit $A$ un anneau. L'application $f:n\mapsto n.1_{A}$ de $\mathbb {Z}$ dans $A$ est l'unique homomorphisme d'anneau de $\mathbb {Z}$ dans $A$.

Fin du lemme

Démonstration

On a bien $f(1)=1_{A}$, $f(n+m)=f(n)+f(m)$ et $f(n\times m)=f(n)\times f(m)$. Donc $f$ est bien un homomorphisme.

Montrons qu’il est unique.

On doit avoir $f(1)=1_{A}$, par récurrence on montre que $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}:f(n)=n.1_{A}$ en utilisant $f(n+m)=f(n)+f(m)$.

On a $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ donc en simplifiant dans le groupe abélien $(A,+)$, on a $f(0)=0_{A}$.

Enfin, on a $\forall n\in N:f(0)=f(n-n)=f(n)+f(-n)$ donc $f(n)+f(-n)=0_{A}$, donc $f(-n)$ est l'opposé de $f(n)$ c’est à dire $f(-n)=-(n.1_{A})=-n.1_{A}$.

$f$ est donc définie sur tout $\mathbb {Z}$ par $f(n)=n.1_{A}$.

 

Le noyau de ce morphisme est un idéal de $\mathbb {Z}$ de la forme $n\mathbb {Z}$. L'entier $n$ est soit nul, soit un nombre premier.

En effet, si $n$ était un entier non nul décomposable, alors on pourrait écrire $n=k.l$ où $1<k$ et $l<n$. Alors, $\phi (kl)=0=\phi (k).\phi (l)$. Donc, soit k soit l serait dans le noyau de $\phi$, donc divisible par n. C’est impossible par hypothèse.

Début d’un théorème

Théorème

Pour un corps $K$, l'unique morphisme d'anneaux $\phi :\mathbb {Z} \to K$ est :

• Ou bien injectif; dans ce cas $K$ est dit de caractéristique nulle. L'injection $\phi$ se prolonge en un morphisme de corps $\mathbb {Q} \to K$ ;
• Ou bien de noyau $p\mathbb {Z}$ avec $p$ premier ; dans ce cas, $K$ est dit de caractéristique p. L'application $\phi$ induit une injection $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to K$.

Fin du théorème

Démonstration

1er cas : $\phi$ est injectif :

Soit $\psi$, l’application de $\mathbb {Q}$ dans $K$ qui à tout $x={\dfrac {a}{b}}$ fait correspondre $\psi (x)=\phi (a)(\phi (b))^{-1}$.

$\psi$ est bien définie, en effet soit ${\dfrac {a}{b}}={\dfrac {c}{d}}$, on a $ad=bc$ d'où $\phi (a)\phi (d)=\phi (ad)=\phi (bc)=\phi (b)\phi (c)$ et donc $\phi (a)(\phi (b))^{-1}=\phi (c)(\phi (d))^{-1}$. La valeur prise par $\psi$ ne dépend donc pas du représentant de $x$ choisi.

Soit $x\in \mathbb {Z}$, on a $x={\dfrac {x}{1}}$ d'où $\psi (x)=\phi (x)(\phi (1))^{-1}=\phi (x)1_{K}^{-1}=\phi (x)\times 1_{K}=\phi (x)$. Donc $\psi$ prolonge $\phi$.

On a évidemment $\psi (1)=\phi (1)=1_{K}$

On a $\psi ({\dfrac {a}{b}}+{\dfrac {c}{d}})=\psi ({\dfrac {ad+bc}{bd}})=\phi (ad+bc)(\phi (bd))^{-1}=(\phi (a)\phi (d)+\phi (b)\phi (c))(\phi (d))^{-1}(\phi (b))^{-1}=\phi (a)(\phi (b))^{-1}+\phi (c)(\phi (d))^{-1}=\psi ({\dfrac {a}{b}})+\psi ({\dfrac {c}{d}})$

De même $\psi ({\dfrac {a}{b}}\times {\dfrac {c}{d}})=\psi ({\dfrac {ac}{bd}})=\phi (ac)(\phi (bd))^{-1}=(\phi (a)\phi (c))(\phi (d))^{-1}(\phi (b))^{-1}=\phi (a)(\phi (b))^{-1}\times \phi (c)(\phi (d))^{-1}=\psi ({\dfrac {a}{b}})\times \psi ({\dfrac {c}{d}})$

$\psi$ est donc bien un morphisme de $\mathbb {Q}$ sur $K$.

2^e cas : $\phi$ n’est pas injectif

On sait que $\mathbb {Z}$ et $K$ sont deux anneaux intègres donc le noyau de $\phi$ est un idéal de $\mathbb {Z}$. Il existe donc $p\in \mathbb {N}$ tel que $ker(\phi )=p\mathbb {Z}$.

Comme $\phi (1)=1_{K}\neq 0$ alors $c\neq 1$.

Comme $K$ est intègre, son sous-anneau $Im(\phi )$ est intègre.

$Im(\phi )$ est isomorphe à $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$. En effet, $\phi$ est une application surjective de $\mathbb {Z}$ sur $Im(\phi )$ et de noyau $c\mathbb {Z}$. Les anneaux $Im(\phi )$ et $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ sont donc intègres.

L'anneau $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ est intègre donc $p$ est premier.

Posons $\psi$ l’application de $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ dans $K$ définie par $\psi ({\overline {x}})=\phi (x)$.

$\psi$ est bien une application. En effet soit $x$ et $x'$ deux représentants de la même classe. On a $x-x'\in p\mathbb {Z}$ donc $\phi (x-x')=0$ soit $\phi (x)-\phi (x')=0$ et donc $\phi (x)=\phi (x')$. La valeur de $\psi$ ne dépend donc pas du représentant choisi.

$\psi$ est une injection, dans le cas contraire, il existe $x$ et $x'$ tels que $x-x'\notin p\mathbb {Z}$ et tels que $\psi ({\overline {x}})=\psi ({\overline {x'}})$. Mais alors $\phi (x)=\phi (x')$ et donc $\phi (x)-\phi (x')=0$ soit $\phi (x-x')=0$ d'où $x-x'\in ker(\phi )$ c’est à dire $x-x'\in p\mathbb {Z}$ ce qui est absurde.

$\phi$ induit bien une injection de $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ dans $K$.

 

Définition

Si $K$ n’est pas de caractéristique nulle, l'entier $p$ défini dans le théorème précédent est appelé caractéristique du corps $K$.

Début de l'exemple

Exemple

• $\mathbb {C}$ et ses sous-corps sont de caractéristique nulle.
• $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ est un corps de caractéristique $p$.

Fin de l'exemple