Sommation/Exercices/Changement d'indice

Exercice 3-1

Calculer :

$a)\,\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{k^{2}+2k}}\qquad \qquad \qquad b)\,\sum _{k=1}^{n}\ln \left(1+{\frac {2}{k}}\right)$.

Solution

a) On a :

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{k^{2}+2k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{k(k+2)}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k+2}}$.

En faisant un changement d'indice dans la deuxième somme, on obtient :

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{k^{2}+2k}}&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\sum _{k=3}^{n+2}{\frac {1}{k}}\\&=1+{\frac {1}{2}}+\sum _{k=3}^{n}{\frac {1}{k}}-\sum _{k=3}^{n}{\frac {1}{k}}-{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}}\\&=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}}\\&={\frac {n(3n+5)}{2(n+1)(n+2)}}.\end{aligned}}$

b) On a :

$\sum _{k=1}^{n}\ln \left(1+{\frac {2}{k}}\right)=\sum _{k=1}^{n}\ln {\frac {k+2}{k}}=\sum _{k=1}^{n}\ln(k+2)-\sum _{k=1}^{n}\ln k$.

En faisant un changement d'indice dans la première somme, on obtient :

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}\ln \left(1+{\frac {2}{k}}\right)&=\sum _{k=3}^{n+2}\ln(k)-\sum _{k=1}^{n}\ln k\\&=\ln(n+1)+\ln(n+2)+\sum _{k=3}^{n}\ln k-\sum _{k=3}^{n}\ln k-\ln 2\\&=\ln(n+1)+\ln(n+2)-\ln 2\\&=\ln {\frac {(n+1)(n+2)}{2}}.\end{aligned}}$

 

Exercice 3-2

Calculer :

$a)\,\sum _{k=0}^{n}(k+1)^{2}\qquad \qquad \qquad b)\,\sum _{k=0}^{n-1}(n-k+1)^{2}$

Solution

a) Par glissement d'indice, on obtient :

$\sum _{k=0}^{n}(k+1)^{2}=\sum _{j=1}^{n+1}j^{2}={\frac {(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}$.

b) En posant $j=n-k+1$, on obtient :

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}(n-k+1)^{2}&=\sum _{j=2}^{n+1}j^{2}\\&=\left(\sum _{j=0}^{n+1}j^{2}\right)-1\\&={\frac {(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}-1\\&={\frac {n(2n^{2}+9n+13)}{6}}.\end{aligned}}$

 

Exercice 3-3

Calculer :

$a)\,\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k^{3}-k}}\qquad \qquad \qquad b)\,\sum _{k=2}^{n}\ln \left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)$

Solution

a)

${\begin{aligned}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k^{3}-k}}&=\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k(k+1)(k-1)}}\qquad \qquad {\text{Factorisation}}\\&=-\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k-1}}\qquad \qquad {\text{Décomposition en éléments simples}}\\&=-\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=3}^{n+1}{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}\qquad \qquad {\text{Glissement d'indice}}\\&=-\sum _{k=3}^{n-1}{\frac {1}{k}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=3}^{n-1}{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{2}}.{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2}}.{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=3}^{n-1}{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}.{\frac {1}{2}}\qquad \qquad {\text{Extraction de termes}}\\&=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{2(n+1)}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}\qquad \qquad {\text{Simplification par les sommes}}\\&={\frac {(n-1)(n+2)}{4n(n+1)}}\end{aligned}}$

ou plus simplement, par télescopage comme dans l'exercice 2-4 d) :

$\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k^{3}-k}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{(k-1)k}}-{\frac {1}{k(k+1)}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{(2-1)2}}-{\frac {1}{n(n+1)}}\right)={\frac {(n-1)(n+2)}{4n(n+1)}}$.

b) $\ln \left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)=\ln {\frac {k^{2}-1}{k^{2}}}=\ln {\frac {(k+1)(k-1)}{k^{2}}}=\ln(k+1)+\ln(k-1)-2\ln k$ donc

$\sum _{k=2}^{n}\ln \left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)=\sum _{k=2}^{n}\ln(k+1)+\sum _{k=2}^{n}\ln(k-1)-2\sum _{k=2}^{n}\ln k$.

En faisant un changement d'indice dans la première et la deuxième somme, on obtient :

${\begin{aligned}\sum _{k=2}^{n}\ln \left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)&=\sum _{k=3}^{n+1}\ln k+\sum _{k=1}^{n-1}\ln k-2\sum _{k=2}^{n}\ln k=\sum _{k=2}^{n}\ln k+\ln(n+1)-\ln 2+\sum _{k=2}^{n}\ln k-\ln n-2\sum _{k=2}^{n}\ln k\\&=\ln(n+1)-\ln 2-\ln n=\ln {\frac {n+1}{2n}}.\end{aligned}}$

Plus simplement, par télescopage :

$\sum _{k=2}^{n}\ln \left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)=\sum _{k=2}^{n}\left(\ln {\frac {k+1}{k}}-\ln {\frac {k}{k-1}}\right)=\ln {\frac {n+1}{n}}-\ln {\frac {2}{2-1}}=\ln {\frac {n+1}{2n}}$.

 

Exercice 3-4

Calculer :

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3^{k}+4^{k}}{5^{k}}}$.

Solution

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3^{k}+4^{k}}{5^{k}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {3}{5}}\right)^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {4}{5}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\frac {3}{5}}}}+{\frac {1}{1-{\frac {4}{5}}}}={\frac {15}{2}}$.

 

Exercice 3-5

Calculer :

$\sum _{i=0}^{3n}{E\left({\frac {i^{2}}{3}}\right)}$

Solution

On a :

${\begin{aligned}\sum _{i=0}^{3n}{E\left({\frac {i^{2}}{3}}\right)}&=\sum _{k=0}^{E\left({\frac {3n}{3}}\right)}{E\left({\frac {(3k)^{2}}{3}}\right)}+\sum _{k=0}^{E\left({\frac {3n-1}{3}}\right)}{E\left({\frac {(3k+1)^{2}}{3}}\right)}+\sum _{k=0}^{E\left({\frac {3n-2}{3}}\right)}{E\left({\frac {(3k+2)^{2}}{3}}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}3k^{2}+\sum _{k=0}^{n-1}(3k^{2}+2k)+\sum _{k=0}^{n-1}(3k^{2}+4k+1)\\&=9\sum _{k=0}^{n}k^{2}+6\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n-1}1-6n^{2}-6n\\&=9{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}+6{\frac {n(n+1)}{2}}+n-6n^{2}-6n\\&={\frac {n(6n^{2}+3n-1)}{2}}\end{aligned}}$

 

Exercice 3-6

Ceci est une formalisation de l'exercice 2-6.

En faisant un glissement d'indice dans des sommes de la forme :

$\sum _{k=0}^{n}(k+1)^{m}$,

redémontrer successivement les formules bien connues :

$a)\,\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad \qquad \qquad b)\,\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\qquad \qquad \qquad c)\,\sum _{k=1}^{n}k^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$.

Solution

a)

${\begin{aligned}0&=\sum _{k=0}^{n}(k+1)^{2}-\sum _{k=1}^{n+1}k^{2}\\&=\sum _{k=0}^{n}(k^{2}+2k+1)-\sum _{k=0}^{n+1}k^{2}\\&=\sum _{k=0}^{n}k^{2}+2\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1-\sum _{k=0}^{n}k^{2}-(n+1)^{2}\\&=2\sum _{k=0}^{n}k+(n+1)-(n+1)^{2}\\&=2\sum _{k=0}^{n}k-n(n+1)\end{aligned}}$

donc

$\sum _{k=1}^{n}k=\sum _{k=0}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}$.

b)

${\begin{aligned}0&=\sum _{k=0}^{n}(k+1)^{3}-\sum _{k=1}^{n+1}k^{3}\\&=\sum _{k=0}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)-\sum _{k=0}^{n+1}k^{3}\\&=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1-\sum _{k=0}^{n}k^{3}-(n+1)^{3}\\&=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3{\frac {n(n+1)}{2}}+(n+1)-(n+1)^{3}\\&=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}-{\frac {n(n+1)(2n+1)}{2}}\end{aligned}}$

donc

$\sum _{k=1}^{n}k^{2}=\sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$.

c)

${\begin{aligned}0&=\sum _{k=0}^{n}(k+1)^{4}-\sum _{k=1}^{n+1}k^{4}\\&=\sum _{k=0}^{n}(k^{4}+4k^{3}+6k^{2}+4k+1)-\sum _{k=0}^{n+1}k^{4}\\&=\sum _{k=0}^{n}k^{4}+4\sum _{k=0}^{n}k^{3}+6\sum _{k=0}^{n}k^{2}+4\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1-\sum _{k=0}^{n}k^{4}-(n+1)^{4}\\&=4\sum _{k=0}^{n}k^{3}+6{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}+4{\frac {n(n+1)}{2}}+n+1-(n+1)^{4}\\&=4\sum _{k=0}^{n}k^{3}-n^{2}(n+1)^{2}\end{aligned}}$

donc

$\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\sum _{k=0}^{n}k^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$.

 

Exercice 3-7

Calculer $\sum _{i=0}^{n}\left[X^{i}{\binom {n}{i}}\sum _{k=i}^{n}{n-i \choose n-k}\right]$.

Solution

D'après la formule du binôme,

$\forall i\in \left[0,n\right]\quad \sum _{k=i}^{n}{n-i \choose n-k}=\sum _{j=0}^{n-i}{n-i \choose n-i-j}=\sum _{j=0}^{n-i}{\binom {n-i}{j}}=2^{n-i}$

puis

$\sum _{i=0}^{n}\left[X^{i}{\binom {n}{i}}2^{n-i}\right]=(2+X)^{n}$.