Sommation/Exercices/Mise en route

Calculer les sommes suivantes où a désigne un paramètre réel ≠ 1 et ≠ -1 :

Exercices de base

$A=\sum _{k=0}^{100}{a}^k$

Solution

Avant de regarder les solutions suivantes, il faut connaître la formule suivante, si S est une série numérique, alors sa somme peut se simplifier :

$S:\sum _{k=p}^q{a}^k=\frac{a^p-a^{q+1}}{1-a}$

$A=\sum _{k=0}^{100}{a}^k=\frac{1-a^{101}}{1-a}$

 

$B=\sum _{k=0}^{100}{a}^{2k}$

Solution

$B=\sum _{k=0}^{100}(a^2{)}^k=\frac{1-(a^2{)}^{101}}{1-a^2}=\frac{1-a^{202}}{1-a^2}$

 

$C=\sum _{k=1}^{100}{a}^k$

Solution

$C=a\frac{1-a^{100}}{1-a}$

 

$D=\sum _{k=5}^{100}{a}^k$

Solution

$D=\frac{a^5-a^{101}}{1-a}=a^5\frac{1-a^{96}}{1-a}$

 

$E=\sum _{0\le 2k\le 100}{a}^k$

Solution

Pour mieux comprendre comment calculer cette série, il n’est pas inutile d'écrire les premiers termes. Ici c’est $1+a^2+a^4+\cdots +a^{100}$

Les k sont donc pairs ⇔ k = 2n avec n entre 0 et 50. $E^{\prime }=\sum _{0\le 2n\le 50}{a}^{2n}=\sum _{n=0}^{50}{a}^{2n}=\frac{1-(a^2{)}^{51}}{1-a^2}=\frac{1-a^{102}}{1-a^2}$

 

$F=\sum _{k=1}^{100}{a}^{3k+2}$

Solution

$F=\sum _{k=1}^{100}{a}^{3k}{a}^2=a^2\sum _{k=1}^{100}(a^3{)}^k=a^2\frac{a^3-a^{303}}{1-a^3}$

 

$G=\sum _{k=1}^{100}(a^{3k}+2)$

Solution

$G=\sum _{k=1}^{100}{a}^{3k}+2\sum _{k=1}^{100}1=\frac{a^3-a^{303}}{1-a^3}+2\times (100-1+1)$

 

Exercices plus difficiles

$H=\sum _{k=m}^n{a}^{pk+q}$

Solution

$H=\sum _{k=m}^n{a}^{pk+q}=a^q\sum _{k=m}^n{a}^{pk}=a^q(\frac{a^{pm}-a^{p(n+1)}}{1-a^p})$.

 

$I=\sum _{k=m}^n(ak+b)$

Solution

Cf. Somme des termes d'une suite arithmétique :

$I=\frac{n-m+1}{2}(an+b+am+b)=a\frac{(n+m)(n-m+1)}{2}+b(n-m+1)$.

 

$J=\sum _{m\le k\le n,k\text{ impair}}{a}^{pk+q}$.

Solution

$J=\sum _{m\le 2j+1\le n}{a}^{p(2j+1)+q}=a^{p+q}\sum _{\frac{m-1}{2}\le j\le \frac{n-1}{2}}{a}^{2pj}=a^{p+q}\sum _{j=M}^N{a}^{2pj}=a^{p+q}\frac{a^{2pM}-a^{2p(N+1)}}{1-a^{2p}}$

avec

$2pM=\{\begin{array}{cc}2p\frac{m-1}{2}=p(m-1)& \text{si }m\text{ est impair}\\ 2p\frac{m}{2}=pm& \text{si }m\text{ est pair}\end{array}$

$2p(N+1)=\{\begin{array}{cc}2p(\frac{n-1}{2}+1)=p(n+1)& \text{si }n\text{ est impair}\\ 2p(\frac{n-2}{2}+1)=pn& \text{si }n\text{ est pair.}\end{array}$