Sommation/Exercices/Mise en route

Calculer les sommes suivantes où a désigne un paramètre réel ≠ 1 et ≠ -1 :

Exercices de base

$A=\sum _{k=0}^{100}a^{k}$

Solution

Avant de regarder les solutions suivantes, il faut connaître la formule suivante, si S est une série numérique, alors sa somme peut se simplifier :

$S:\sum _{k=p}^{q}a^{k}={\frac {a^{p}-a^{q+1}}{1-a}}$

$A=\sum _{k=0}^{100}a^{k}={\frac {1-a^{101}}{1-a}}$

 

$B=\sum _{k=0}^{100}a^{2k}$

Solution

$B=\sum _{k=0}^{100}(a^{2})^{k}={\frac {1-(a^{2})^{101}}{1-a^{2}}}={\frac {1-a^{202}}{1-a^{2}}}$

 

$C=\sum _{k=1}^{100}a^{k}$

Solution

$C=a{\frac {1-a^{100}}{1-a}}$

 

$D=\sum _{k=5}^{100}a^{k}$

Solution

$D={\frac {a^{5}-a^{101}}{1-a}}=a^{5}{\frac {1-a^{96}}{1-a}}$

 

$E=\sum _{0\leq 2k\leq 100}a^{k}$

Solution

Pour mieux comprendre comment calculer cette série, il n’est pas inutile d'écrire les premiers termes. Ici c’est $1+a^{2}+a^{4}+\cdots +a^{100}$

Les k sont donc pairs ⇔ k = 2n avec n entre 0 et 50. $E'=\sum _{0\leq 2n\leq 50}a^{2n}=\sum _{n=0}^{50}a^{2n}={\frac {1-(a^{2})^{51}}{1-a^{2}}}={\frac {1-a^{102}}{1-a^{2}}}$

 

$F=\sum _{k=1}^{100}a^{3k+2}$

Solution

$F=\sum _{k=1}^{100}a^{3k}a^{2}=a^{2}\sum _{k=1}^{100}(a^{3})^{k}=a^{2}{\frac {a^{3}-a^{303}}{1-a^{3}}}$

 

$G=\sum _{k=1}^{100}(a^{3k}+2)$

Solution

$G=\sum _{k=1}^{100}a^{3k}+2\sum _{k=1}^{100}1={\frac {a^{3}-a^{303}}{1-a^{3}}}+2\times (100-1+1)$

 

Exercices plus difficiles

$H=\sum _{k=m}^{n}a^{pk+q}$

Solution

$H=\sum _{k=m}^{n}a^{pk+q}=a^{q}\sum _{k=m}^{n}a^{pk}=a^{q}({\frac {a^{pm}-a^{p(n+1)}}{1-a^{p}}})$.

 

$I=\sum _{k=m}^{n}(ak+b)$

Solution

Cf. Somme des termes d'une suite arithmétique :

$I={\frac {n-m+1}{2}}(an+b+am+b)=a{\frac {(n+m)(n-m+1)}{2}}+b(n-m+1)$.

 

$J=\sum _{m\leq k\leq n,\ k{\text{ impair}}}a^{pk+q}$.

Solution

$J=\sum _{m\leq 2j+1\leq n}a^{p(2j+1)+q}=a^{p+q}\sum _{{\frac {m-1}{2}}\leq j\leq {\frac {n-1}{2}}}a^{2pj}=a^{p+q}\sum _{j=M}^{N}a^{2pj}=a^{p+q}{\frac {a^{2pM}-a^{2p(N+1)}}{1-a^{2p}}}$

avec

$2pM={\begin{cases}2p{\frac {m-1}{2}}=p(m-1)&{\text{si }}m{\text{ est impair}}\\2p{\frac {m}{2}}=pm&{\text{si }}m{\text{ est pair}}\end{cases}}$

$2p(N+1)={\begin{cases}2p\left({\frac {n-1}{2}}+1\right)=p(n+1)&{\text{si }}n{\text{ est impair}}\\2p\left({\frac {n-2}{2}}+1\right)=pn&{\text{si }}n{\text{ est pair.}}\end{cases}}$