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Sommation/Exercices/Calculs élémentaires

Leçons de niveau 14
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Calculs élémentaires
Image logo représentative de la faculté
Exercices no2
Leçon : Sommation
Chapitre du cours : Définition et premiers calculs

Exercices de niveau 14.

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Exo suiv. :Changement d'indice
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Sommation/Exercices/Calculs élémentaires
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  1. Montrer que la somme des n premiers nombres impairs est n2.
  2. Soit un nombre semi-premier impair (c'est-à-dire produit de deux nombres premiers impairs). De combien de façons peut-on écrire comme somme d'entiers positifs impairs consécutifs ?

Montrer que .

Calculer :

.

Calculer par télescopage :

.
  1. Montrer pour tout entier ,
    .
  2. En déduire la partie entière de

Démontrer que :

.

À l'aide de la formule connue , on va retrouver celles qui donnent puis (cf. chapitre 1, sommation par télescopage).

L'exercice 3-6 présente la même méthode de façon plus efficace.

Question 1.

(a) Recopiez en complétant chaque ligne sur le modèle des deux premières :

(b) Sommez ces égalités par colonnes.

(c) Isolez pour conclure.

Question 2. Calculer avec la même méthode.

Question 3. Montrer que .

Autre méthode.

  1. étant donné, montrer qu'il existe un unique vérifiant et .
  2. On prend . Soit alors le polynôme de la question précédente. Montrer que pour tout on a : .
  3. Montrer que (pour ) .
  4. Calculer .

Calculer de deux façons différentes :

.

Soient n et p deux entiers tels que 0 ≤ p ≤ n et E, un ensemble à n éléments. Soit F l’ensemble des couples (A, B) de sous-ensembles de E disjoints et dont l'union a pour cardinal p.

En dénombrant de deux façons différentes le nombre d'éléments de F, établir la formule :

Voir aussi l'exercice 5-1.

Montrer par récurrence que :

En utilisant un encadrement, calculer :

( étant la fonction partie entière).

  1. En admettant (cf. Exercice 6-3) que
    ,
    démontrer les formules :
    ,
    où par définition (cf. Combinatoire/Arrangements sans répétition), (pour ).
  2. On pose . Utiliser les formules , et pour retrouver , et (voir supra).
  3. Calculer de même

Calculer .

Soit .

  1. Calculer .
  2. Déterminer tels que .
  3. En déduire la valeur de .
  4. Retrouver cette valeur par télescopage.