Leçons de niveau 14

Signaux physiques - bis (PCSI)/Filtrage linéaire : signaux périodiques

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Aller à la navigation Aller à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques - bis (PCSI) : Filtrage linéaire : signaux périodiques
Signaux physiques - bis (PCSI)/Filtrage linéaire : signaux périodiques
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

     Dans ce chapitre, nous revoyons le développement en harmoniques de signaux périodiques, puis

     Dans ce chapitre, nous introduisons la notion de puissance électrique moyenne reçue par un dipôle en r.s.f. [1] et enfin

     Dans ce chapitre, nous étendons cette notion pour tout régime périodique non sinusoïdal.

Rappel du théorème de Fourier : décomposition d'un signal périodique en une somme (infinie) de signaux harmoniques[modifier | modifier le wikicode]

Pour plus de détails voir le chap. « théorème de Fourier » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

     Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes évoqués ici et leur application au problème de la propagation de la chaleur

Énoncé du théorème de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

2ème développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

     L'ensemble des valeurs «» [4] définit alors « la représentation fréquentielle du signal ».

Harmonique instantané complexe de rang n[modifier | modifier le wikicode]

     On associe à l'« harmonique instantané de rang à savoir », l'« harmonique instantané complexe » [5] de fréquence où «[5] est l'amplitude complexe de l'harmonique » [6] ;

     l'ensemble des amplitudes complexes [7] définit alors la « représentation fréquentielle complexe du signal » [8].

Rappel de la définition de la grandeur efficace associée à une grandeur périodique, cas d'une grandeur sinusoïdale et autres exemples « grandeur créneau », « grandeur triangulaire », mesure à l'aide d'un multimètre[modifier | modifier le wikicode]

Déjà traité dans « notion de grandeur efficace associée à une grandeur instantanée alternative, mesure des tensions et intensités efficaces » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Définition de la grandeur efficace associée à une grandeur instantanée alternative[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : L'intervalle sur lequel est calculée la moyenne, de largeur , peut être choisi à partir de n'importe quel instant , la moyenne en étant indépendante ;

     Remarque : sans raison d'un choix particulier simplifiant le calcul de l'intégrale, on choisit usuellement l'instant .

Évaluation dans le cas d'une grandeur sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]

     Démonstration [14] : soit à calculer , ce qui se fait en linéarisant selon et en remarquant qu'une primitive de étant avec les mêmes valeurs pour et [15], donne une contribution nulle à l'intégrale correspondante dont on déduit  soit, comme la valeur efficace doit être positive et que l'amplitude l'est aussi, [16] C.Q.F.D. [17].

En exercice, évaluation dans le cas de grandeurs « créneau » ou « triangulaire » symétriques[modifier | modifier le wikicode]

     Revoir le paragraphe « ayant le même intitulé » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », on rappelle que les valeurs efficaces des grandeurs « créneau » [18] ou « triangulaire » symétriques [19] ne sont pas à retenir.

Utilisation d'un multimètre en régime alternatif périodique[modifier | modifier le wikicode]

     Un multimètre peut fonctionner en voltmètre ou en ampèremètre [20] on peut choisir un fonctionnement

  • en régime permanent, repéré par , de plus, quand les graduations sont colorées, elles sont blanches ou
  • en régime périodique, repéré par , de plus, quand les graduations sont colorées, elles sont rouges ;
si on travaille en régime périodique le multimètre fournit la valeur efficace ;

     il existe deux types de multimètres :

  • un multimètre « bas de gamme », donnant la valeur efficace uniquement en régime sinusoïdal le multimètre détermine l'amplitude et divise par pour l'affichage, dans ce cas les valeurs efficaces affichées sont fausses pour d'autres régimes périodiques « créneau [18] ou triangulaire symétriques [19] » [21],
  • un multimètre « T.R.M.S. [22] », donnant la valeur efficace quel que soit le régime l'obtention pouvant se faire par réponse du multimètre proportionnellement au carré de la grandeur, avec une inertie du multimètre ne permettant pas un affichage instantané et se matérialisant avec un affichage de la moyenne.

Formule de Parseval[modifier | modifier le wikicode]

Déjà traité dans le paragraphe « Théorème de Parseval » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

     Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836) mathématicien français à qui on doit essentiellement le « théorème de Parseval [23] » dont il eut l'intuition sans le démontrer [24].

Énoncé de la formule de Parseval[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Formule de Parseval utilisant le 2ème développement en série de Fourier de la grandeur T-périodique[modifier | modifier le wikicode]

     Écrivant le 2ème développement en série de Fourier de la fonction périodique de fréquence sous la forme

«» [26],

     l'égalité de Parseval prend alors la forme suivante

Début d’un théorème
Fin du théorème

En complément : quelques éléments de démonstration de la formule de Parseval utilisant le 2ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique[modifier | modifier le wikicode]

     On utilise la définition de la valeur efficace c.-à-d. que l'on cherche à calculer l'expression suivante « » ;
     pour évaluer l'intégrale, on développe le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de carrés «», «»,
     pour évaluer l'intégrale, on développe le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de termes « rectangles » selon «» et
     pour évaluer l'intégrale, on développe le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de termes « rectangles » selon « avec »
     pour évaluer l'intégrale, on développe le carré de l'expression à intégrer donnant une somme dont on évalue l'intégrale de chaque terme selon :

  • les intégrales des 1ers termes « rectangles » à savoir «» étant -périodique et se calculant à l'aide de la primitive qui prend la même valeur pour et [28] sont nulles,
  • les intégrales des derniers termes « rectangles » « avec » nécessitant une linéarisation selon « » dont chaque terme se calcule à l'aide des primitives et lesquelles, prenant la même valeur pour et dans la 1ère primitive [29], et pour et dans la 2ème primitive [30], sont également nulles ;
  • les intégrales des termes carrés à savoir «» et « pour » dont la somme se calcule aisément selon « » ou, après « linéarisation de en et intégration en » car l'intégrale est nulle compte-tenu du fait que prend la même valeur pour et [31], on en déduit «» ;

     pour évaluer l'intégrale, on développe le carré de l'expression à intégrer donnant finalement «»

d'où la formule de Parseval «».

Puissance électrique moyenne reçue par un dipôle linéaire au sens de l'A.R.Q.S. dans le cas d'un régime périodique quelconque, évaluation pour un conducteur ohmique (intérêt de la notion de valeur efficace), un condensateur (parfait) et une bobine (parfaite)[modifier | modifier le wikicode]

Puissance électrique moyenne reçue par un D.L. au sens de l'A.R.Q.S. dans le cas d'un régime périodique quelconque[modifier | modifier le wikicode]

     « et étant respectivement la tension instantanée aux bornes d'un D.L. [32] et l'intensité instantanée du courant le traversant en convention récepteur », la puissance instantanée électrique reçue par le D.L. [32] considéré précédemment s'écrit «» [33] ;

     dans un régime -périodique quelconque, on définit la puissance électrique moyenne reçue par le D.L. [32] par

«» [34].

Évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique de résistance R[modifier | modifier le wikicode]

     Avec la loi d'Ohm de l'A.R.Q.S. [35] appliquée au conducteur ohmique de résistance en convention récepteur on a «» et la puissance électrique moyenne reçue par le conducteur ohmique en régime -périodique quelconque se réécrit «» soit, en reconnaissant le carré de l'intensité efficace dans l'expression entre crochets,

«» avec « l'intensité efficace du courant traversant le conducteur ohmique » ;

     comme la tension efficace aux bornes de ce dernier est liée à l'intensité efficace du courant le traversant par «» [36] ou on a également

«» avec « la tension efficace aux bornes du conducteur ohmique » et
«» avec « et tension et intensité efficaces ».

     Rappel : Un des intérêts de l'introduction de la valeur efficace sur la valeur de crête dans la détermination d'une puissance électrique moyenne consommée par un conducteur ohmique est de « donner une même expression quelle que soit la forme du régime périodique » « ou ou encore »
     Rappel : alors qu'on aurait, en fonction des valeurs de crête, en régime sinusoïdal « ou ou encore »,
     Rappel : alors qu'on aurait, en fonction des valeurs de crête, en régime créneau [18] symétrique [19][37] « ou ou encore » [38] et
     Rappel : alors qu'on aurait, en fonction des valeurs de crête, en régime triangulaire symétrique [19] « ou ou encore » [38].

Évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un condensateur parfait de capacité C[modifier | modifier le wikicode]

     Avec la relation de l'A.R.Q.S. [35] en convention récepteur liant l'intensité du courant « traversant » un condensateur de capacité à la tension à ses bornes on a «» et la puissance électrique moyenne reçue par le condensateur en régime -périodique quelconque se réécrit « » soit, en reconnaissant l'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique dans l'expression entre crochets, «» dans laquelle « est l'énergie électrostatique stockée dans le condensateur à l'instant » et finalement, étant une période de [39],

«» ;

     ainsi la puissance électrique moyenne reçue par un condensateur parfait est nulle quelle soit la forme du régime -périodique établi.

Évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par une bobine parfaite d'inductance propre L[modifier | modifier le wikicode]

     Avec la relation de l'A.R.Q.S. [35] en convention récepteur liant l'intensité du courant traversant une bobine parfaite d'inductance propre à la tension à ses bornes on a «» et la puissance électrique moyenne reçue par la bobine parfaite en régime -périodique quelconque se réécrit « » soit, en reconnaissant l'énergie stockée dans la bobine parfaite sous forme électromagnétique dans l'expression entre crochets, «» dans laquelle « est l'énergie électromagnétique stockée dans la bobine parfaite à l'instant » et finalement, étant une période de [39],

«» ;

     ainsi la puissance électrique moyenne reçue par une bobine parfaite est nulle quelle soit la forme du régime -périodique établi.

Puissance électrique moyenne reçue par un dipôle linéaire dans le cas d'un régime sinusoïdal, puissance apparente et facteur de puissance, autres expressions dans le cas d'un dipôle passif utilisant la notion d'impédance ou d'admittance complexes[modifier | modifier le wikicode]

Évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle linéaire quelconque (actif ou passif) en r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

     Notant, en r.s.f. [1], « la tension instantanée aux bornes du D.L. [32] » et « l'intensité instantanée du courant traversant le D.L. [32] en convention récepteur », la définition de « la puissance électrique moyenne reçue par le D.L. [32], notée [40] » se réécrit selon « » et s'évalue en linéarisant, avant intégration, l'expression trigonométrique par utilisation de ce qui donne ici d'où la réécriture de «» soit encore, la somme de « deux valeurs moyennes à évaluer » [41] et ,

  • la 1ère étant nulle car la fonction à intégrer de pulsation et donc de période , donne une primitive également -périodique à prendre entre deux valeurs séparées de soit deux valeurs de primitive égales et
  • la 2ème étant égale à , la fonction à intégrer étant constante et la moyenne d'une constante étant cette constante,
d'où l'expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.L. [32] en r.s.f. [1]
«» [42].

     Ainsi la puissance moyenne électrique reçue par un D.L. [32] en r.s.f. [1] peut être considérée comme le produit de deux facteurs :

  • «» appelée « puissance apparente », produit de la tension efficace et de l'intensité efficace et exprimée en [43] et
  • «» appelé « facteur de puissance » [44], cosinus de l'avance de phase de la tension sur l'intensité du courant et sans unité.

     Signe du facteur de puissance suivant que le dipôle linéaire est passif ou actif : d'une part la puissance électrique moyenne reçue par le D.L. [32] étant positive s'il est passif et négative s'il est actif, d'autre part la puissance apparente étant naturellement positive, on en déduit que
     Signe du facteur de puissance suivant que le dipôle linéaire est passif ou actif : le facteur de puissance d'un D.P.L. [45] est positif, ce qui implique que l'avance de phase de la tension sur l'intensité est comprise entre et en convention récepteur,
     Signe du facteur de puissance suivant que le dipôle linéaire est passif ou actif : le facteur de puissance d'un D.A.L. [46] est négatif, ce qui implique que l'avance de phase de la tension sur l'intensité est comprise entre et ou entre et en convention récepteur.

Autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire en r.s.f. utilisant l'impédance complexe du D.P.L.[modifier | modifier le wikicode]

     Rappelant qu'on définit l'impédance complexe d'un D.P.L. [45] en électricité complexe associée au r.s.f. [1] à partir de la tension et de l'intensité instantanées complexes ou à partir de la tension et de l'intensité efficaces complexes selon «» [47], on en déduit la forme trigonométrique de l'impédance complexe du D.P.L. [45] avec « l'impédance du D.P.L. [45] », selon

«» [48] ;

     parallèlement la forme algébrique de l'impédance complexe du D.P.L. [45] s'écrivant

«» avec
« définissant la résistance du D.P.L. [45] » et « sa réactance » [49],

     l'identification de la forme algébrique de l'impédance complexe du D.P.L. [45] avec la forme trigonométrique de cette dernière l'explicitation de la résistance et de la réactance du D.P.L. [45], [49] selon

«» d'une part et
«» d'autre part,
d'où le facteur de puissance du D.P.L. [45] :     «» [50] ;

     son report dans l'expression précédemment établie de la puissance électrique moyenne reçue «» nous conduit à «» soit, en utilisant la définition de l'impédance une autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. [45] d'impédance complexe selon

«» [42]      avec      « résistance du D.P.L. [45] » [49].

Autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire en r.s.f. utilisant l'admittance complexe du D.P.L.[modifier | modifier le wikicode]

     Rappelant qu'on définit l'admittance complexe d'un D.P.L. [45] en électricité complexe associée au r.s.f. [1] à partir de la tension et de l'intensité instantanées complexes ou à partir de la tension et de l'intensité efficaces complexes selon «» [47], on en déduit la forme trigonométrique de l'admittance complexe du D.P.L. [45] avec « l'admittance du D.P.L. [45] », selon

«» [48] ;

     parallèlement la forme algébrique de l'admittance complexe du D.P.L. [45] s'écrivant

«» avec
« définissant la conductance du D.P.L. [45] » et « sa susceptance » [51],

     l'identification de la forme algébrique de l'admittance complexe du D.P.L. [45] avec la forme trigonométrique de cette dernière l'explicitation de la conductance et de la susceptance du D.P.L. [45], [51] selon

«» d'une part et
«» d'autre part,
d'où le facteur de puissance du D.P.L. [45] :     «» [50] ;

     son report dans l'expression précédemment établie de la puissance électrique moyenne reçue «» [52] nous conduit à «» [52] soit, en utilisant la définition de l'admittance une autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. [45] d'admittance complexe selon

«» [42], [52] avec « conductance du D.P.L. [45] » [51].

Évaluation de la puissance électrique moyenne consommée par un D.P.L. sur l'exemple d'un dipôle R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable[modifier | modifier le wikicode]

     Il y a plusieurs façons d'aborder la détermination de la puissance électrique moyenne consommée par un dipôle série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, nous les énumérons ci-après.

Utilisation de la propriété « la puissance électrique moyenne consommée par une association série est la somme des puissances électriques moyennes consommées par chaque élément de l'association »[modifier | modifier le wikicode]

     Comme la bobine parfaite et le condensateur parfait ne consomment aucune puissance électrique en moyenne [53], la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle série l'est par le conducteur ohmique d'où «» [54], « étant l'intensité efficace du courant traversant le conducteur ohmique mais aussi le dipôle série soit » que l'on reporte dans l'expression de la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle série soit

«».

     Remarque : On aurait une propriété analogue avec des éléments montés en parallèle, la propriété s'énoncerait selon :
     Remarque : « La puissance électrique moyenne consommée par une association parallèle est la somme des puissances électriques moyennes consommées par chaque élément de l'association ».

Utilisation de la résistance du dipôle R L C série (c.-à-d. de la partie réelle de l'impédance complexe)[modifier | modifier le wikicode]

     L'impédance complexe du dipôle série étant «» on en déduit simplement la « résistance du dipôle » [49] et par suite « » [55], où « est l'intensité efficace du courant traversant le série » que l'on reporte dans l'expression de la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle série soit

«» [56].

Utilisation de la conductance du dipôle R L C série (c.-à-d. de la partie réelle de l'admittance complexe)[modifier | modifier le wikicode]

     L'impédance complexe du dipôle série étant «» l'admittance complexe « » et la détermination de la conductance nécessitant la forme algébrique on multiplie haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur soit «» dont on tire la « conductance du dipôle » [51] et par suite «» [57], où « est la tension efficace aux bornes du série » soit, en reportant l'expression de la conductance dans celle de la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle série

«» [58].

Utilisation de la puissance apparente et du facteur de puissance[modifier | modifier le wikicode]

     Cette façon de procéder est de très loin la moins intéressante dans le cas présent car «» [59] nécessite de déterminer

  • d'une part l'intensité efficace traversant le dipôle série par «» et pour cela déterminer l'impédance du dipôle,
  • d'autre part le facteur de puissance par «» et pour cela déterminer la résistance du dipôle

     Dans le cas précis [60] : «» «» «» et
          Dans le cas précis  : «» «[49] »,
          Dans le cas précis  : soit finalement «» [60].

Variation de la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle R L C série en fonction de la fréquence, résonance en puissance[modifier | modifier le wikicode]

     La puissance électrique moyenne consommée par le série étant «» peut se réécrire, à l'aide des grandeurs canoniques « la pulsation propre » et « le facteur de qualité », ainsi que de « la fréquence réduite » et d'une « grandeur homogène à une puissance »,
     La puissance électrique moyenne consommée par le série étant «» peut se réécrire, en divisant haut et bas par et en factorisant le dénominateur restant par que l'on associe à de façon à faire apparaître dans l'autre facteur une grandeur sans dimension selon « » soit, en reconnaissant le facteur de qualité au carré que l'on factorisera dans le terme au carré du dénominateur,

«» [61].
Superposition des courbes de réponse en puissance électrique moyenne consommée par un série soumis à une tension efficace fixée en fonction de la fréquence réduite pour les facteurs de qualité donnant une résonance floue , modérée et aiguë

     La puissance électrique moyenne consommée par le série est alors « maximale quand c.-à-d. pour », nous retiendrons que « la puissance électrique moyenne consommée par un série résonne pour la fréquence égale à sa fréquence propre » [62], « la valeur maximale étant alors égale à » ;

     à B.F. [63] le terme prédominant du dénominateur étant , la puissance électrique moyenne consommée par le série est alors équivalente à «» [64] et

     à H.F. [65] le terme prédominant du dénominateur étant , la puissance électrique moyenne consommée par le série est alors équivalente à « » [66] ;

     ci-contre la courbe de la puissance électrique moyenne en fonction de la fréquence réduite avec le positionnement des « fréquences de coupure à » [67], [68] pour les valeurs de facteur de qualité donnant une résonance aiguë les fréquences réduites de coupure à sont et [67] la bande passante réduite à étant [69], une résonance modérée les fréquences réduites de coupure à sont et [67] la bande passante réduite à étant [69] et une résonance floue les fréquences réduites de coupure à sont et [67] la bande passante réduite à étant [69].

Expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire au sens de l'A.R.Q.S. dans le cas d'un régime périodique quelconque, application de la formule de Parseval[modifier | modifier le wikicode]

Décomposition en série de Fourier de la tension aux bornes du D.P.L. et de l'intensité du courant le traversant dans le cas d'un régime T-périodique quelconque, conséquence sur la puissance instantanée électrique reçue[modifier | modifier le wikicode]

     La tension instantanée -périodique mais non harmonique aux bornes du D.P.L. [45], [70] se décomposant en série de Fourier avec choix de la 2ème décomposition selon « » et
     l'intensité instantanée également -périodique mais non harmonique du courant le traversant, en convention récepteur, se décomposant en série de Fourier [71] selon « », nous en déduisons
     la puissance électrique instantanée consommée par le D.P.L. [45] en régime -périodique non harmonique utilisant ces deux décompositions selon « » ce qui, en développant, donne

  • des termes définissant la puissance instantanée électrique reçue par l'intermédiaire de chaque harmonique explicitée ci-après
         « reçue par la composante permanente [72] c.-à-d. » ou
         « reçue par l'harmonique de rang c.-à-d. » mais aussi
  • des termes de puissance correspondant au couplage de deux harmoniques différents explicitée ci-dessous
         « couplage de la composante permanente [72] et de l'harmonique de rang c.-à-d. » ou
         « couplage de l'harmonique de rang et de l'harmonique de rang c.-à-d. ».

Puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. en régime T-périodique quelconque[modifier | modifier le wikicode]

  • Effectuant la moyenne des divers termes précédemment développés de la puissance électrique instantanée consommée par le D.P.L. [45], [70] en régime -périodique non harmonique utilisant les deux décompositions en série de Fourier de la tension instantanée aux bornes du dipôle et de l'intensité instantanée du courant le traversant en convention récepteur [73], nous trouvons que tous les termes de puissance correspondant au couplage de deux harmoniques différents ont une moyenne nulle en effet
          les termes de couplage de la composante permanente [72] et de l'harmonique de rang c.-à-d. «» étant de moyenne temporelle définie par dans laquelle chaque fonction à intégrer, de période , conduit à une primitive de même périodicité à prendre entre deux valeurs séparées de donnant deux valeurs de primitive égales et par suite une moyenne temporelle nulle et
          les termes de couplage de deux harmoniques de rangs différents c.-à-d. «» étant de moyenne temporelle définie par dont l'intégrande [74] s'intégrant par linéarisation en une somme de deux fonctions sinusoïdales -périodique pour l'une et -périodique pour l'autre, de primitive respective de même périodicité que la fonction considérée à prendre entre deux valeurs séparées de pour la 1ère ce qui donne deux valeurs de primitive égales et séparées de pour la 2ème ce qui donne encore deux valeurs de primitive égales et par suite, leur ajout donne une moyenne nulle ;
  • la moyenne des termes définissant la puissance instantanée électrique reçue par l'intermédiaire de chaque harmonique s'obtient en appliquant le « résultat de la puissance électrique moyenne reçue par un D.P.L. [45], [70] en r.s.f. [1] » [59] d'où

     la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L. [45], [70] en régime -périodique non harmonique est égale à la somme des puissances électriques moyennes consommées par le D.P.L. [45], [70] soumis à chaque harmonique pris isolément soit

«».

Autres expressions de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. en régime T-périodique quelconque[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant établi que la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. [45], [70] en régime -périodique non harmonique est la somme des puissances électriques moyennes consommées par le D.P.L. [45], [70] soumis à chaque harmonique pris isolément, et
     notant [75] l'impédance complexe du D.P.L. [45] pour l'harmonique de rang dont la résistance est [49], nous pouvons réécrire
         notant la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L. [45], [70] soumis à l'harmonique de rang selon «» [55] dans laquelle est l'intensité efficace du courant de l'harmonique de rang traversant le dipôle d'où
     une autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. [45], [75] en régime -périodique quelconque 

«» ;

     notant [75] l'admittance complexe du D.P.L. [45] pour l'harmonique de rang dont la conductance est [51], nous pouvons réécrire
         notant la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L. [45], [70] soumis à l'harmonique de rang selon «» [57] dans laquelle est la tension efficace de l'harmonique de rang aux bornes du dipôle d'où
     une autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. [45], [75] en régime -périodique quelconque 

«».

     Cas particuliers où la résistance de l'harmonique de rang du D.P.L. [45], [75] est indépendante du rang : c.-à-d. «» exemple du dipôle série où  ;
                  Cas particuliers où la résistance de l'harmonique de rang du D.P.L. est indépendante du rang : on en déduit, après factorisation par , la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L. [45], [75] en régime -périodique quelconque «» [76] ;

     Cas particuliers où la conductance de l'harmonique de rang du D.P.L. [45], [75] est indépendante du rang : c.-à-d. «» exemple du dipôle parallèle où  ;
                  Cas particuliers où la conductance de l'harmonique de rang du D.P.L. est indépendante du rang : on en déduit, après factorisation par , la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L. [45], [75] en régime -périodique quelconque «» [76].

Peut-on se ramener à une application de la formule de Parseval pour évaluer la puissance électrique moyenne consommée par un D.P.L. dans le cas d'un régime T-périodique quelconque, le D.P.L. étant de résistance (ou de conductance) dépendant effectivement de la fréquence ?[modifier | modifier le wikicode]

     La réponse est, a priori, « NON » car dans ces cas il n'y a pas de factorisation possible par la résistance commune ou la conductance commune
     La réponse est, a priori, « NON » car dans ces cas il n'y a pas de factorisation possible dans « » [77] ou
     La réponse est, a priori, « NON » car dans ces cas il n'y a pas de factorisation possible dans «» [77] donc
     La réponse est, a priori, « NON » car dans ces cas il n'y a pas d'utilisation d'égalité de Parseval concernant l'intensité efficace ou la tension efficace ;

     La réponse est, a priori, « NON » toutefois on peut procéder autrement, en utilisant que « seuls les conducteurs ohmiques consomment en moyenne de la puissance », « les condensateurs parfaits et les bobines parfaites ayant une consommation moyenne nulle » [53] :

     La réponse est, a priori, « NON » toutefois on peut procéder autrement, pour cela on repère chaque élément résistif du D.P.L. [45] de résistance et
     La réponse est, a priori, « NON » toutefois on peut procéder autrement, pour cela on évalue l'intensité instantanée du courant traversant cet élément résistif par sa 2ème décomposition en série de Fourier c.-à-d. «» puis
     La réponse est, a priori, « NON » toutefois on peut procéder autrement, on en déduit la puissance électrique moyenne consommée dans «» soit finalement «» [76] ;

     La réponse est, a priori, « NON » toutefois on peut procéder autrement, pour évaluer la puissance électrique moyenne consommée dans le D.P.L. [45] on ajoute les puissances électriques moyennes consommées dans tous les conducteurs ohmiques du D.P.L. [45] soit «» [78].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 et 1,6 Régime Sinusoïdal Forcé.
  2. Le substantif « harmonique » est « masculin ».
  3. 3,0 et 3,1 Au sens permanent.
  4. On peut remplacer les amplitudes par les valeurs efficaces multipliées par sauf, bien sûr, pour la composante continue où la notion de valeur efficace n'a aucun sens.
  5. 5,0 et 5,1 Si le traitement est du domaine de l'électricité, il convient d'écrire l'imaginaire unité et non .
  6. Si on remplace les amplitudes par les valeurs efficaces multipliées par , on introduit alors les valeurs efficaces complexes selon .
  7. On notera que la composante continue reste elle-même dans l'ensemble des amplitudes complexes.
  8. Si on remplace les amplitudes complexes par les valeurs efficaces complexes multipliées par , alors la représentation fréquentielle complexe du signal s'écrit .
  9. Cette grandeur n'est pas nécessairement alternative même si c'est le cas le plus fréquent.
  10. c.-à-d. la grandeur réelle constante dont le carré est la moyenne du carré de la grandeur instantanée.
  11. La notation signifie valeur moyenne temporelle de la fonction .
  12. Résultat suffisamment important pour être retenu.
  13. Dans le domaine de l'électricité c'est quasi systématique, par contre en mécanique on maintient usuellement la notion d'amplitude.
  14. Rappelée car il est important de savoir la refaire.
  15. La fonction étant périodique de période .
  16. Calcul qu'il est conseillé de savoir refaire rapidement.
  17. Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  18. 18,0 18,1 et 18,2 Encore appelé « carré ».
  19. 19,0 19,1 19,2 et 19,3 Un signal alterné c.-à-d. périodique avec une alternance positive et une négative est dit « symétrique » si la durée de l'alternance positive est égale à celle de l'alternance négative.
  20. Ceci étant très important est rappelé ci-après, bien que déjà traité dans le paragraphe « ayant le même intitulé » du chap. de la leçon «Signaux physiques (PCSI) ».
  21. En régime créneau, l'affichage donne un résultat sous-estimé alors qu'en régime triangulaire symétrique, il donne un résultat surestimé.
  22. « True Root Mean Square » ou « moyenne quadratique exacte ».
  23. Encore appelé égalité de Parseval.
  24. Il estimait que c'était une évidence.
  25. On retrouve cette formule sous une autre expression dans le paragraphe « théorème de Parseval utilisant le 3ème développement en série de Fourier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », le 3ème développement en série de Fourier « se trouvant ici dans le même chapitre ».
  26. Voir, plus haut dans ce chapitre, le 2ème développement en série de Fourier de la fonction dans lequel on a substitué l'amplitude de chaque harmonique par leur valeur efficace.
  27. On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un nouveau développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique utilisant le carré de la composante continue et les carrés des valeurs efficaces des harmoniques de .
  28. Car la primitive est aussi de période .
  29. Car la primitive est aussi de période .
  30. Car la primitive est aussi de période .
  31. étant -périodique.
  32. 32,0 32,1 32,2 32,3 32,4 32,5 32,6 32,7 et 32,8 Dipôle Linéaire.
  33. Voir le paragraphe « expression, en convention récepteur, de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intenisté du courant la traversant » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  34. La définition de la moyenne temporelle d'une grandeur -périodique est «» mais le calcul étant indépendant de , usuellement on choisit .
  35. 35,0 35,1 et 35,2 Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires.
  36. En effet on a et, les valeurs efficaces ainsi que la résistance étant des grandeurs positives on en déduit .
  37. Mis entre parenthèses car le résultat est indépendant du caractère symétrique.
  38. 38,0 et 38,1 Revoir le paragraphe « évaluation dans le cas de grandeurs créneau ou triangulaire symétriques (de leur valeur efficace) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  39. 39,0 et 39,1 Si est la période de la tension ou de l'intensité du courant on a ou ou établissant que est une période du carré de la tension ou du carré de l'intensité du courant mais non nécessairement la plus petite comme on le vérifierait sur l'exemple de tension sinusoïdale ou d'intensité sinusoïdale du courant dans lequel la plus petite période du carré de tension ou du carré d'intensité du courant est la moitié de la période de la tension ou de l'intensité du courant.
  40. Notation que l'on utilise en r.s.f. à la place de celle, plus lourde, utilisée en régime -périodique quelconque .
  41. Au facteur près.
  42. 42,0 42,1 et 42,2 À retenir et à savoir retrouver rapidement.
  43. Bien que de même homogénéité que la puissance électrique moyenne exprimée en , on n'exprime pas la puissance apparente en mais en pour bien souligner que la puissance apparente n'est en général pas la puissance électrique moyenne.
  44. C'est ce facteur qui fait que la puissance apparente n'est pas la puissance électrique moyenne reçue quand il est différent de .
  45. 45,00 45,01 45,02 45,03 45,04 45,05 45,06 45,07 45,08 45,09 45,10 45,11 45,12 45,13 45,14 45,15 45,16 45,17 45,18 45,19 45,20 45,21 45,22 45,23 45,24 45,25 45,26 45,27 45,28 45,29 45,30 45,31 45,32 45,33 45,34 45,35 45,36 45,37 45,38 45,39 45,40 et 45,41 Dipôle Passif Linéaire.
  46. Dipôle Actif Linéaire.
  47. 47,0 et 47,1 Dans le cas général la tension et l'intensité efficaces complexes dépendent toutes deux de la pulsation imposée par le générateur mais il est possible que l'une des deux ou les deux n'en dépendent pas ; ainsi quand on impose la tension d'un générateur de tension directement aux bornes du D.P.L. n'en dépend pas ou quand on impose l'intensité du courant délivré par un générateur de courant directement à travers le D.P.L. n'en dépend pas, enfin aucun des deux n'en dépend quand en plus il s'agit d'un conducteur ohmique.
  48. 48,0 et 48,1 Dans le cas général la tension et l'intensité efficaces dépendent toutes deux de la pulsation imposée par le générateur mais il est possible que l'une des deux ou les deux n'en dépendent pas ; ainsi quand on impose la tension d'un générateur de tension directement aux bornes du D.P.L. n'en dépend pas ou quand on impose l'intensité du courant délivré par un générateur de courant directement à travers le D.P.L. n'en dépend pas, enfin aucun des deux n'en dépend quand en plus il s'agit d'un conducteur ohmique ;
       on peut redire la même chose en ce qui concernent les phases à l'origine de la tension et de l'intensité
  49. 49,0 49,1 49,2 49,3 49,4 et 49,5 Voir le paragraphe « notion de résistance et de réactance d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) et d'impédance complexe connue » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  50. 50,0 et 50,1 Pour la suite nous adopterons la simplification usuelle de notation à savoir ne pas préciser la dépendance en pulsation imposée par le générateur des phases à l'origine même si celles-ci en dépendent effectivement.
  51. 51,0 51,1 51,2 51,3 et 51,4 Voir le paragraphe « notion de conductance et de susceptance d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) et d'admittance complexe connue » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  52. 52,0 52,1 et 52,2 Noter que l'on met en indice de la puissance électrique moyenne consommée « l'impédance complexe » et non « l'admittance complexe » pour les mêmes raisons que l'on écrit l'impédance complexe sur les schémas et non l'admittance complexe.
  53. 53,0 et 53,1 Voir les paragraphes « évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un condensateur parfait de capacité C » et « évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par une bobine parfaite d'inductance propre L » plus haut dans ce chapitre.
  54. Voir le paragraphe « évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique de résistance R » plus haut dans ce chapitre.
  55. 55,0 et 55,1 Voir le paragraphe « autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire en r.s.f. utilisant l'impédance complexe du D.P.L. » plus haut dans ce chapitre.
  56. A priori intéressant car l'impédance complexe d'une association série est simple à déterminer.
  57. 57,0 et 57,1 Voir le paragraphe « autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire en r.s.f. utilisant l'admittance complexe du D.P.L. » plus haut dans ce chapitre.