Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Filtrage linéaire : signaux périodiques

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Signaux physiques (PCSI)/Filtrage linéaire : signaux périodiques
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Sommaire

......Dans ce chapitre, nous revoyons le développement en harmoniques de signaux périodiques, puis

......Dans ce chapitre, nous introduisons la notion de puissance électrique moyenne reçue par un dipôle en r.s.f. et enfin

......Dans ce chapitre, nous étendons cette notion pour tout régime périodique non sinusoïdal.

Rappel du théorème de Fourier : décomposition d'un signal périodique en une somme (infinie) de signaux harmoniques[modifier | modifier le wikicode]

Pour plus de détails voir le chap. « théorème de Fourier » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

......Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes (évoqués ici) et leur application au problème de la propagation de la chaleur

Énoncé du théorème de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

2ème développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]


......L'ensemble des valeurs [3] définit alors la représentation fréquentielle du signal.

Harmonique instantané complexe de rang n[modifier | modifier le wikicode]

......On associe à l'harmonique instantané de rang à savoir , l'harmonique instantané complexe [4] de fréquence [4] est l'amplitude complexe de l'harmonique [5] ;

......l'ensemble des amplitudes complexes [6] définit alors la représentation fréquentielle complexe du signal [7].

Rappel de la définition de la grandeur efficace associée à une grandeur périodique, cas d'une grandeur sinusoïdale et autres exemples « grandeur créneau », « grandeur triangulaire », mesure à l'aide d'un multimètre[modifier | modifier le wikicode]

Déjà traité dans « notion de grandeur efficace associée à une grandeur instantanée alternative … » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Définition de la grandeur efficace associée à une grandeur instantanée alternative[modifier | modifier le wikicode]


......Remarque : L'intervalle sur lequel est calculée la moyenne, de largeur , peut être choisi à partir de n'importe quel instant , la moyenne en étant indépendante ;

......Remarque : sans raison d'un choix particulier simplifiant le calcul de l'intégrale, on choisit usuellement l'instant .

Évaluation dans le cas d'une grandeur sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]


......Démonstration [13] : soit à calculer , ce qui se fait en linéarisant selon et en remarquant qu'une primitive de étant avec les mêmes valeurs pour et [14], donne une contribution nulle à l'intégrale correspondante dont on déduit  soit, comme la valeur efficace doit être positive et que l'amplitude l'est aussi, [15] C.Q.F.D. [16].

En exercice, évaluation dans le cas de grandeurs « créneau » ou « triangulaire » symétriques[modifier | modifier le wikicode]

......Revoir le paragraphe « ayant le même intitulé » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », on rappelle que les valeurs efficaces des grandeurs « créneau » ou « triangulaire » symétriques ne sont pas à retenir.

Utilisation d'un multimètre en régime alternatif périodique[modifier | modifier le wikicode]

......Un multimètre peut fonctionner en voltmètre ou en ampèremètre [17] on peut choisir un fonctionnement

  • en régime permanent, repéré par , de plus, quand les graduations sont colorées, elles sont blanches ou
  • en régime périodique, repéré par , de plus, quand les graduations sont colorées, elles sont rouges ;
si on travaille en régime périodique le multimètre fournit la valeur efficace ;

......il existe deux types de multimètres :

  • un multimètre « bas de gamme », donnant la valeur efficace uniquement en régime sinusoïdal le multimètre détermine l'amplitude et divise par pour l'affichage, dans ce cas les valeurs efficaces affichées sont fausses pour d'autres régimes périodiques « créneau ou triangulaire symétrique » [18],
  • un multimètre « T.R.M.S. [19] », donnant la valeur efficace quel que soit le régime l'obtention pouvant se faire par réponse du multimètre proportionnellement au carré de la grandeur, avec une inertie du multimètre ne permettant pas un affichage instantané et se matérialisant avec un affichage de la moyenne.

Formule de Parseval[modifier | modifier le wikicode]

Déjà traité dans le paragraphe « Théorème de Parseval » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

......Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836) mathématicien français à qui on doit essentiellement le « théorème de Parseval (ou égalité de Parseval) » dont il eut l'intuition sans le démontrer (il estimait que c'était une évidence).

Énoncé de la formule de Parseval[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Formule de Parseval utilisant le 2ème développement en série de Fourier de la grandeur T-périodique[modifier | modifier le wikicode]

......Écrivant le 2e développement en série de Fourier de la fonction périodique de fréquence sous la forme

[21],

......l'égalité de Parseval prend alors sous la forme suivante

Début d’un théorème


Fin du théorème

En complément : quelques éléments de démonstration de la formule de Parseval utilisant le 2ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique[modifier | modifier le wikicode]

......On utilise la définition de la valeur efficace c'est-à-dire que l'on cherche à calculer l'expression suivante  ; pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de carrés , , de termes « rectangles » selon et selon avec dont on évalue l'intégrale de chaque terme selon :

  • les intégrales des 1ers termes « rectangles » à savoir étant T/p-périodique et se calculant à l'aide de la primitive qui prend la même valeur pour et [23] sont nulles,
  • de même les intégrales des derniers termes « rectangles » avec nécessitant une linéarisation selon puis se calculant à l'aide des primitives et lesquelles, prenant la même valeur pour et dans la 1ère primitive [24], et pour et dans la 2ème primitive [25], sont également nulles ;
  • enfin les intégrales des termes carrés à savoir et pour dont la somme se calcule aisément selon ou, après linéarisation de en et intégration selon , l'intégrale suivante étant nulle compte-tenu du fait que prend la même valeur pour et [26], on en déduit  ;

......finalement

d'où la formule de Parseval .

Puissance électrique moyenne reçue par un dipôle linéaire au sens de l'A.R.Q.S. dans le cas d'un régime périodique quelconque, évaluation pour un conducteur ohmique (intérêt de la notion de valeur efficace), un condensateur (parfait) et une bobine (parfaite)[modifier | modifier le wikicode]

Puissance électrique moyenne reçue par un D.L. au sens de l'A.R.Q.S. dans le cas d'un régime périodique quelconque[modifier | modifier le wikicode]

...... et étant respectivement la tension instantanée aux bornes du D.L. et l'intensité instantanée du courant le traversant en convention récepteur en régime T-périodique quelconque, la puissance instantanée électrique reçue par le D.L. s'écrit  ;

......on définit la puissance électrique moyenne reçue par le D.L. par

[27].

Évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique de résistance R[modifier | modifier le wikicode]

......Avec la loi d'Ohm de l'A.R.Q.S. appliquée au conducteur ohmique de résistance en convention récepteur on a et la puissance électrique moyenne reçue par le conducteur ohmique en régime T-périodique quelconque se réécrivant on en déduit, en reconnaissant le carré de l'intensité efficace dans l'expression entre crochets

avec l'intensité efficace du courant traversant le conducteur ohmique ;

......comme la tension efficace aux bornes de ce dernier est liée à l'intensité efficace du courant le traversant par [28] ou on a également

avec la tension efficace aux bornes du conducteur ohmique et
avec et tension et intensité efficaces.

......Rappel : Un des intérêts de l'introduction de la valeur efficace sur la valeur de crête dans la détermination d'une puissance électrique moyenne consommée par un conducteur ohmique est de « donner une même expression quelle que soit la forme du régime périodique » ou ou encore alors qu'on aurait, en fonction des valeurs de crête, en régime
......Rappel : sinusoïdal ou ou encore ,
......Rappel : créneau (symétrique) [29] ou ou encore [30] et
......Rappel : triangulaire symétrique ou ou encore [30].

Évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un condensateur parfait de capacité C[modifier | modifier le wikicode]

......Avec la relation de l'A.R.Q.S. en convention récepteur liant l'intensité du courant « traversant » un condensateur de capacité à la tension à ses bornes on a et la puissance électrique moyenne reçue par le condensateur en régime T-périodique quelconque se réécrivant on en déduit, en reconnaissant l'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique dans l'expression entre crochets, dans laquelle est l'énergie électrostatique stockée dans le condensateur à l'instant et finalement, étant une période de [31],

 ;

......ainsi la puissance électrique moyenne reçue par un condensateur parfait est nulle quelle soit la forme du régime T-périodique établi.

Évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par une bobine parfaite d'inductance propre L[modifier | modifier le wikicode]

......Avec la relation de l'A.R.Q.S. en convention récepteur liant l'intensité du courant traversant une bobine parfaite d'inductance propre à la tension à ses bornes on a et la puissance électrique moyenne reçue par la bobine parfaite en régime T-périodique quelconque se réécrivant on en déduit, en reconnaissant l'énergie stockée dans la bobine parfaite sous forme électromagnétique dans l'expression entre crochets, dans laquelle est l'énergie électromagnétique stockée dans la bobine parfaite à l'instant et finalement, étant une période de [31],

 ;

......ainsi la puissance électrique moyenne reçue par une bobine parfaite est nulle quelle soit la forme du régime T-périodique établi.

Puissance électrique moyenne reçue par un dipôle linéaire dans le cas d'un régime sinusoïdal, puissance apparente et facteur de puissance, autres expressions dans le cas d'un dipôle passif utilisant la notion d'impédance ou d'admittance complexes[modifier | modifier le wikicode]

Évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle linéaire quelconque (actif ou passif) en r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

......Notant, en r.s.f., la tension instantanée aux bornes du D.L. et l'intensité instantanée du courant traversant le D.L. en convention récepteur, la puissance électrique moyenne reçue par le D.L., notée [32] est définie par et s'évalue en linéarisant, avant intégration, l'expression trigonométrique par utilisation de ce qui donne ici d'où la réécriture de soit encore, la somme de « deux valeurs moyennes à évaluer » [33] et ,

  • la 1ère étant nulle car la fonction à intégrer de pulsation et donc de période , donne une primitive également -périodique à prendre entre deux valeurs séparées de soit deux valeurs de primitive égales et
  • la 2ème étant égale à , la fonction à intégrer étant constante et la moyenne d'une constante étant cette constante,

......soit finalement l'expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.L. en r.s.f.

[34].

......Ainsi la puissance moyenne électrique reçue par un D.L. en r.s.f. peut être considérée comme le produit de deux facteurs :

  • appelée « puissance apparente », produit de la tension efficace et de l'intensité efficace et exprimée en [35] et
  • appelé « facteur de puissance » [36], cosinus de l'avance de phase de la tension sur l'intensité du courant et sans unité.

......Signe du facteur de puissance suivant que le dipôle linéaire est passif ou actif : d'une part la puissance électrique moyenne reçue par le D.L. étant positive s'il est passif et négative s'il est actif, d'autre part la puissance apparente étant naturellement positive, on en déduit que
......Signe du facteur de puissance suivant que le dipôle linéaire est passif ou actif : le facteur de puissance d'un D.P.L. est positif, ce qui implique que l'avance de phase de la tension sur l'intensité est comprise entre et (en convention récepteur),
......Signe du facteur de puissance suivant que le dipôle linéaire est passif ou actif : le facteur de puissance d'un D.A.L. est négatif, ce qui implique que l'avance de phase de la tension sur l'intensité est comprise entre et ou entre et (en convention récepteur).

Autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire en r.s.f. utilisant l'impédance complexe du D.P.L.[modifier | modifier le wikicode]

......Rappelant qu'on définit l'impédance complexe d'un D.P.L. en électricité complexe associée au r.s.f. à partir de la tension et de l'intensité instantanées complexes ou à partir de la tension et de l'intensité efficaces complexes selon [37], on en déduit la forme trigonométrique de l'impédance complexe du D.P.L. dans laquelle est l'impédance du D.P.L., selon

[38] ;

......parallèlement la forme algébrique de l'impédance complexe du D.P.L. s'écrivant

avec
définissant la résistance du D.P.L. et sa réactance,

......son identification avec la forme trigonométrique nous conduisant à

  • d'une part et
  • d'autre part,

......nous en déduisons le facteur de puissance du D.P.L.

[39] ;

......son report dans l'expression précédemment établie de la puissance électrique moyenne reçue nous conduit à soit, en utilisant la définition de l'impédance nous en déduisons une autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. d'impédance complexe selon

[34] avec résistance du D.P.L..

Autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire en r.s.f. utilisant l'admittance complexe du D.P.L.[modifier | modifier le wikicode]

......Rappelant qu'on définit l'admittance complexe d'un D.P.L. en électricité complexe associée au r.s.f. à partir de la tension et de l'intensité instantanées complexes ou à partir de la tension et de l'intensité efficaces complexes selon [37], on en déduit la forme trigonométrique de l'admittance complexe du D.P.L. dans laquelle est l'admittance du D.P.L., selon

[38] ;

......parallèlement la forme algébrique de l'admittance complexe du D.P.L. s'écrivant

avec
définissant la conductance du D.P.L. et sa susceptance,

......son identification avec la forme trigonométrique nous conduisant à

  • d'une part et
  • d'autre part,

......nous en déduisons le facteur de puissance du D.P.L.

[39] ;

......son report dans l'expression précédemment établie de la puissance électrique moyenne reçue [40] nous conduit à [40] soit, en utilisant la définition de l'admittance nous en déduisons une autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. d'admittance complexe selon

[34], [40] avec conductance du D.P.L..

Évaluation de la puissance électrique moyenne consommée par un D.P.L. sur l'exemple d'un dipôle R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable[modifier | modifier le wikicode]

......Il y a plusieurs façons d'aborder la détermination de la puissance électrique moyenne consommée par ce dipôle, nous les énumérons ci-après.

Utilisation de la propriété « la puissance électrique moyenne consommée par une association série est la somme des puissances électriques moyennes consommées par chaque élément de l'association »[modifier | modifier le wikicode]

......Comme la bobine parfaite et le condensateur parfait ne consomment aucune puissance électrique en moyenne, la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle R L C série l'est par le conducteur ohmique d'où , étant l'intensité efficace du courant traversant le conducteur ohmique mais aussi le dipôle R L C série soit que l'on reporte dans l'expression de la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle R L C série soit

.

......Remarque : On aurait une propriété analogue avec des éléments montés en parallèle, la propriété s'énoncerait selon :
......Remarque : La puissance électrique moyenne consommée par une association parallèle est la somme des puissances électriques moyennes consommées par chaque élément de l'association.

Utilisation de la résistance du dipôle R L C série (c'est-à-dire de la partie réelle de l'impédance complexe)[modifier | modifier le wikicode]

......L'impédance complexe du dipôle R L C série étant on en déduit simplement la résistance du dipôle et par suite , où est l'intensité efficace du courant traversant le R L C série que l'on reporte dans l'expression de la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle R L C série soit

[41].

Utilisation de la conductance du dipôle R L C série (c'est-à-dire de la partie réelle de l'admittance complexe)[modifier | modifier le wikicode]

......L'impédance complexe du dipôle R L C série étant on en déduit l'admittance complexe et la détermination de la conductance nécessitant la forme algébrique on multiplie haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur soit dont on tire la conductance du dipôle et par suite , où est la tension efficace aux bornes du R L C série soit, en reportant l'expression de la conductance dans celle de la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle R L C série

[42].

Utilisation de la puissance apparente et du facteur de puissance[modifier | modifier le wikicode]

......Cette façon de procéder est de très loin la moins intéressante dans le cas présent car nécessite de déterminer

  • d'une part l'intensité efficace traversant le dipôle R L C série par et pour cela déterminer l'impédance du dipôle,
  • d'autre part le facteur de puissance par et pour cela déterminer la résistance du dipôle

......Aussi nous ne détaillerons pas cette méthode dans le cas précis.

Variation de la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle R L C série en fonction de la fréquence, résonance en puissance[modifier | modifier le wikicode]

......La puissance électrique moyenne consommée par le R L C série étant peut se réécrire, à l'aide des grandeurs canoniques « la pulsation propre  » et « le facteur de qualité  », ainsi que de « la fréquence réduite  » et d'une « grandeur homogène à une puissance  », en divisant haut et bas par et en factorisant le dénominateur restant par que l'on associe à de façon à faire apparaître dans l'autre facteur une grandeur sans dimension selon soit, en reconnaissant le facteur de qualité au carré que l'on factorisera dans le terme au carré du dénominateur,

[43] ;

......la puissance électrique moyenne consommée par le R L C série est alors maximale quand c'est-à-dire pour , nous retiendrons que « la puissance électrique moyenne consommée par un R L C série résonne pour la fréquence égale à sa fréquence propre » [44], la valeur maximale étant alors égale à  ;

Superposition des courbes de réponse en puissance électrique moyenne consommée par un R L C série soumis à tension efficace fixée en fonction de la fréquence réduite x pour les facteurs de qualité donnant une résonance floue Q = 0,4, modérée Q = 2 et aiguë Q = 10

......à B.F. le terme prédominant du dénominateur étant , la puissance électrique moyenne consommée par le R L C série est alors équivalente à et

......à H.F. le terme prédominant du dénominateur étant , elle est alors équivalente à  ;

......ci-contre la courbe de la puissance électrique moyenne en fonction de la fréquence réduite avec le positionnement des « fréquences de coupure à -3dB » [45] pour les valeurs de facteur de qualité donnant une résonance aiguë les fréquences réduites de coupure à - dB sont et la bande passante réduite à - dB étant , une résonance modérée les fréquences réduites de coupure à - dB sont et la bande passante réduite à - dB étant et une résonance floue les fréquences réduites de coupure à - dB sont et la bande passante réduite à - dB étant .

Expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire au sens de l'A.R.Q.S. dans le cas d'un régime périodique quelconque, application de la formule de Parseval[modifier | modifier le wikicode]

Décomposition en série de Fourier de la tension aux bornes du D.P.L. et de l'intensité du courant le traversant dans le cas d'un régime T-périodique quelconque, conséquence sur la puissance instantanée électrique reçue[modifier | modifier le wikicode]

......La tension instantanée (T-périodique mais non harmonique) aux bornes du D.P.L. [46] se décomposant en série de Fourier (avec choix de la 2ème décomposition) selon et l'intensité instantanée (également T-périodique mais non harmonique) du courant le traversant, en convention récepteur, se décomposant en série de Fourier [47] selon , on en déduit la puissance électrique instantanée consommée par le D.P.L. en régime T-périodique non harmonique utilisant ces deux décompositions selon ce qui, en développant, donne

  • des termes définissant la puissance instantanée électrique reçue par l'intermédiaire de chaque harmonique explicitée ci-après
    ...... reçue par la composante continue c'est-à-dire ou
    ...... reçue par l'harmonique de rang n c'est-à-dire mais aussi
  • des termes de puissance correspondant au couplage de deux harmoniques différents explicitée ci-dessous
    ...... couplage de la composante continue et de l'harmonique de rang n c'est-à-dire ou
    ...... couplage de l'harmonique de rang n et de l'harmonique de rang n' ≠ n c'est-à-dire .

Puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. en régime T-périodique quelconque[modifier | modifier le wikicode]

  • On effectue la moyenne des divers termes précédemment développés et on trouve que tous les termes de puissance correspondant au couplage de deux harmoniques différents ont une moyenne nulle en effet
    ...... les termes de couplage de la composante continue et de l'harmonique de rang n c'est-à-dire étant de période sont de primitive de même périodicité à prendre entre deux valeurs séparées de donnant deux valeurs de primitive égales et par suite une moyenne nulle et
    ...... les termes de couplage de deux harmoniques de rangs différents c'est-à-dire s'intégrant par linéarisation en une somme de fonctions sinusoïdales -périodique pour l'une et -périodique pour l'autre, de primitive respective de même périodicité à prendre entre deux valeurs séparées de pour la 1ère soit deux valeurs de primitive égales et séparées de pour la 2ème soit encore deux valeurs de primitive égales et par suite, quand on les ajoute, une moyenne nulle ;
  • la moyenne des termes définissant la puissance instantanée électrique reçue par l'intermédiaire de chaque harmonique s'obtient en appliquant le résultat de la puissance électrique moyenne reçue par un D.P.L. en r.s.f. et

......finalement la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L. [46] en régime T-périodique non harmonique égale à la somme des puissances électriques moyennes correspondant à chaque harmonique soit

.

Autres expressions de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. en régime T-périodique quelconque[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant établi que la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. [46] est la somme des puissances électriques moyennes correspondant à chaque harmonique, et supposant le D.P.L. d'impédance complexe pour l'harmonique de rang n [48] dont la résistance est , on peut réécrire la puissance électrique moyenne correspondant à l'harmonique de rang n d'où une autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. [48] en régime T-périodique quelconque 

 ;

......supposant maintenant le D.P.L. d'admittance complexe pour l'harmonique de rang n [48] dont la conductance est , on peut réécrire la puissance électrique moyenne correspondant à l'harmonique de rang n d'où une autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. [48] en régime T-périodique quelconque 

.

......Cas particulier où la résistance de l'harmonique de rang n du D.P.L. est indépendante du rang : on a donc c'est l'exemple du dipôle R L C série où  ; on en déduit, après factorisation par , la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L. en régime T-périodique quelconque [49].

......Cas particulier où la conductance de l'harmonique de rang n du D.P.L. est indépendante du rang : on a donc c'est l'exemple du dipôle R L C parallèle où  ; on en déduit, après factorisation par , la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L. en régime T-périodique quelconque [49].

Peut-on se ramener à une application de la formule de Parseval pour évaluer la puissance électrique moyenne consommée par un D.P.L. dans le cas d'un régime T-périodique quelconque, le D.P.L. étant de résistance (ou de conductance) dépendant effectivement de la fréquence ?[modifier | modifier le wikicode]

......La réponse est, a priori, NON car dans ces cas il n'y a pas de factorisation possible par la résistance commune (ou la conductance commune) dans ou donc pas d'utilisation d'égalité de Parseval concernant l'intensité efficace ou la tension efficace ;

......toutefois on peut procéder autrement, en utilisant que seuls les conducteurs ohmiques consomment en moyenne de la puissance, les condensateurs parfaits et les bobines parfaites ayant une consommation moyenne nulle :

......pour cela on repère les éléments résistifs du D.P.L. et on évalue l'intensité instantanée du courant traversant cet élément résistif par sa 2ème décomposition en série de Fourier, la puissance électrique moyenne consommée dans est alors par utilisation de la formule de Parseval concernant l'intensité efficace ;

......pour évaluer la puissance électrique moyenne consommée dans le D.P.L. on ajoute les puissances électriques moyennes consommées dans tous les conducteurs ohmiques du D.P.L. soit [50].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Le substantif « harmonique » est « masculin ».
  2. Au sens permanent.
  3. On peut remplacer les amplitudes par les valeurs efficaces multipliées par sauf, bien sûr, pour la composante continue où la notion de valeur efficace n'a aucun sens.
  4. 4,0 et 4,1 Si le traitement est du domaine de l'électricité, il convient d'écrire l'imaginaire unité et non .
  5. Si on remplace les amplitudes par les valeurs efficaces multipliées par , on introduit alors les valeurs efficaces complexes selon .
  6. On notera que la composante continue reste elle-même dans l'ensemble des amplitudes complexes.
  7. Si on remplace les amplitudes complexes par les valeurs efficaces complexes multipliées par , alors la représentation fréquentielle complexe du signal s'écrit .
  8. Cette grandeur n'est pas nécessairement alternative (même si c'est le cas le plus fréquent).
  9. c'est-à-dire la grandeur réelle constante dont le carré est la moyenne du carré de la grandeur instantanée.
  10. La notation signifie valeur moyenne (temporelle) de la fonction .
  11. Résultat suffisamment important pour être retenu.
  12. Dans le domaine de l'électricité c'est quasi systématique, par contre en mécanique on maintient usuellement la notion d'amplitude.
  13. Rappelée car il est important de savoir la refaire.
  14. La fonction étant périodique de période .
  15. Calcul qu'il est conseillé de savoir refaire rapidement.
  16. Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  17. Ceci étant très important est rappelé ci-après, bien que déjà traité dans le paragraphe « ayant le même intitulé » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  18. En régime créneau, l'affichage donne un résultat sous-estimé alors qu'en régime triangulaire symétrique, il donne un résultat surestimé.
  19. « True Root Mean Square » ou « moyenne quadratique exacte ».
  20. On retrouve cette formule sous une autre expression dans le paragraphe « théorème de Parseval utilisant le 3ème développement en série de Fourier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », le 3e développement en série de Fourier « se trouvant ici dans le même chapitre ».
  21. Voir, plus haut dans ce chapitre, le 2ème développement en série de Fourier de la fonction dans lequel on a substitué l'amplitude de chaque harmonique par leur valeur efficace.
  22. On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un nouveau développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique utilisant le carré de la composante continue et les carrés des valeurs efficaces des harmoniques de .
  23. Car la primitive est aussi de période .
  24. Car la primitive est aussi de période .
  25. Car la primitive est aussi de période .
  26. étant -périodique.
  27. La définition de la moyenne temporelle d'une grandeur T-périodique est mais le calcul étant indépendant de , usuellement on choisit .
  28. En effet on a et, les valeurs efficaces ainsi que la résistance étant des grandeurs positives on en déduit .
  29. Mis entre parenthèses car le résultat est indépendant du caractère symétrique.
  30. 30,0 et 30,1 Revoir le paragraphe « évaluation dans le cas de grandeurs créneau ou triangulaire symétriques de leur valeur efficace » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  31. 31,0 et 31,1 Si est la période de la tension (ou de l'intensité du courant) on a ou ou établissant que est une période du carré de la tension (ou du carré de l'intensité du courant) mais non nécessairement la plus petite comme on le vérifierait sur l'exemple de tension sinusoïdale (ou d'intensité sinusoïdale du courant) dans lequel la plus petite période du carré de tension (ou du carré d'intensité du courant) est la moitié de la période de la tension (ou de l'intensité du courant).
  32. Notation que l'on utilise en r.s.f. à la place de celle, plus lourde, utilisée en régime T-périodique quelconque .
  33. Au facteur près.
  34. 34,0 34,1 et 34,2 À retenir et à savoir retrouver rapidement.
  35. Bien que de même homogénéité que la puissance électrique moyenne exprimée en , on n'exprime pas la puissance apparente en mais en pour bien souligné que la puissance apparente n'est en général pas la puissance électrique moyenne.
  36. C'est ce facteur qui fait que la puissance apparente n'est pas la puissance électrique moyenne reçue quand il est différent de .
  37. 37,0 et 37,1 Dans le cas général la tension et l'intensité efficaces complexes dépendent toutes deux de la pulsation imposée par le générateur mais il est possible que l'une des deux ou les deux n'en dépendent pas ; ainsi quand on impose la tension d'un générateur de tension directement aux bornes du D.P.L. n'en dépend pas ou quand on impose l'intensité du courant délivré par un générateur de courant directement à travers le D.P.L. n'en dépend pas, enfin aucun des deux n'en dépend quand en plus il s'agit d'un conducteur ohmique.
  38. 38,0 et 38,1 Dans le cas général la tension et l'intensité efficaces dépendent toutes deux de la pulsation imposée par le générateur mais il est possible que l'une des deux ou les deux n'en dépendent pas ; ainsi quand on impose la tension d'un générateur de tension directement aux bornes du D.P.L. n'en dépend pas ou quand on impose l'intensité du courant délivré par un générateur de courant directement à travers le D.P.L. n'en dépend pas, enfin aucun des deux n'en dépend quand en plus il s'agit d'un conducteur ohmique ;
    ...on peut redire la même chose en ce qui concernent les phases à l'origine de la tension et de l'intensité
  39. 39,0 et 39,1 Pour la suite nous adopterons la simplification usuelle de notation à savoir ne pas préciser la dépendance en pulsation imposée par le générateur des phases à l'origine (même si celles-ci en dépendante effectivement).
  40. 40,0 40,1 et 40,2 Noter que l'on met en indice de la puissance électrique moyenne consommée « l'impédance complexe » et non « l'admittance complexe » pour les mêmes raisons que l'on écrit l'impédance complexe sur les schémas et non l'admittance complexe.
  41. A priori intéressant car l'impédance complexe d'une association série est simple à déterminer.
  42. A priori intéressant car la tension efficace étant constante n'est pas à déterminer, par contre l'admittance complexe d'une association série nécessite de déterminer au préalable l'impédance complexe d'où un intérêt amoindri.
  43. Bien que l'on ne considère plus la variation de la puissance électrique moyenne consommée par le R L C série selon la même variable ayant été remplacée par et par suite qu'il ne peut s'agir de la même fonction, la valeur reste la même et l'usage veut qu'en physique nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction d'où la conservation de la notation .
  44. C'est-à-dire qu'elle résonne simultanément à l'intensité efficace du courant, ce qui est en accord avec .
  45. Celles-ci correspondant à l'intensité efficace égale à l'intensité efficace maximale divisée par , elles sont aussi définies comme les valeurs de fréquence pour lesquelles la puissance électrique moyenne est égale à la puissance électrique moyenne maximale divisée par .
  46. 46,0 46,1 et 46,2 Mais cela reste valable pour un D.A.L..
  47. Avec même choix de la 2ème décomposition.
  48. 48,0 48,1 48,2 et 48,3 Ici le dipôle ne peut être actif puisqu'on lui associe une impédance complexe pour chaque harmonique, il est donc nécessairement passif.
  49. 49,0 et 49,1 D'après l'égalité de Parseval utilisant le 2ème développement en série de Fourier vue plus haut dans ce chapitre.
  50. On obtiendrait de même en utilisant les tensions aux bornes des éléments résistifs au lieu des intensités des courants les traversant .