Signaux physiques - bis (PCSI)/Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance

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Rappel de l'impédance complexe d'un « R L C série », impédance et déphasage (avance de phase de la tension entre ses bornes sur l'intensité du courant le traversant)

Rappel de l'impédance complexe d'un « R L C série » en complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)

     Comme cela a été vu au paragraphe « exemple : impédance complexe d'un R L C série (comme exemple d'association série de plus de deux D.P.L. en r.s.f.) » du chap.$3$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » l'impédance complexe d'un «$RLC$ série » en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ s'évalue selon

«$\underset{\_}{Z_{RLC\text{série}}}(j\omega )=R+jL\omega +\frac{1}{jC\omega }$».

Impédance du « R L C série » en fonction de sa résistance et de sa réactance

     De la forme algébrique de l'impédance complexe $\underset{\_}{Z_{RLC\text{série}}}(j\omega )=R+j(L\omega -\frac{1}{C\omega })$ on en tire

• sa « résistance ${ℛ}_{RLC\text{série}}(\cancel{\omega })=\mathrm{\Re }[\underset{\_}{Z_{RLC\text{série}}}(j\omega )]=R\in {ℝ}^{+}$» et
• sa « réactance $X_{RLC\text{série}}(\omega )=\mathrm{\Im }[\underset{\_}{Z_{RLC\text{série}}}(j\omega )]=L\omega -\frac{1}{C\omega }\in ℝ$» puis

     on en déduit son impédance par $Z_{RLC\text{série}}(\omega )=|\underset{\_}{Z_{RLC\text{série}}}(j\omega )|=\sqrt{{ℛ}_{RLC\text{série}}^2(\cancel{\omega })+X_{RLC\text{série}}^2(\omega )}$ soit finalement

«$Z_{RLC\text{série}}(\omega )=\sqrt{R^2+{(L\omega -\frac{1}{C\omega })}^2}$».

Avance de phase de la tension sur l'intensité du « R L C série » en fonction de sa résistance et de sa réactance

     La résistance du $RLC$ série étant toujours positive au sens large, l'avance de phase de la tension sur l'intensité $({\phi }_u-{\phi }_i)\in ]-\frac{\pi }{2},+\frac{\pi }{2}[$ et
     La résistance du $RLC$ série étant toujours positive au sens large, l'avance de phase de la tension sur l'intensité s'évalue selon ${\phi }_u-{\phi }_i=\arctan \left[\frac{X_{RLC\text{série}}(\omega )}{{ℛ}_{RLC\text{série}}(\cancel{\omega })}\right]$ soit finalement

«${\phi }_u-{\phi }_i=\arctan \left(\frac{L\omega -\frac{1}{C\omega }}{R}\right)$».

Établissement (théorique) de la réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes (et par diagramme de Fresnel), fréquence de résonance en intensité, nullité du déphasage à la résonance en intensité

Il convient bien sûr d'ajouter un schéma du circuit en complexe associée au r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$.

Réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes

     Soit «$u_g(t)=U_g\sqrt{2}\cos (\omega t+{\phi }_{u_g})$ la tension instantanée imposée au $RLC$ série » et
     Soit «$i(t)=I(\omega )\sqrt{2}\cos (\omega t+{\phi }_i)$ l'intensité instantanée du courant le traversant »,
     on leur associe les grandeurs instantanées complexes «$\underset{\_}{u_g}(t)=\underset{\_}{U_g}\sqrt{2}\exp \left(j\omega t\right)$» et «$\underset{\_}{i}(t)=\underset{\_}{I}(j\omega )\sqrt{2}\exp \left(j\omega t\right)$»
     on leur associe les grandeurs instantanées complexes avec leurs valeurs efficaces complexes respectives «$\underset{\_}{U_g}=U_g\exp \left(j{\phi }_{u_g}\right)$» et «$\underset{\_}{I}(j\omega )=I(\omega )\exp [j{\phi }_i(\omega )]$» ;

     de l'expression de l'impédance complexe du $RLC$ série on déduit la réponse efficace complexe en intensité par loi d'Ohm en complexe soit

«$\underset{\_}{I}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{U_g}}{\underset{\_}{Z_{RLC\text{série}}}(j\omega )}=\frac{\underset{\_}{U_g}}{R+j(L\omega -\frac{1}{C\omega })}$».

Intensité efficace du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »

     L'intensité efficace du courant traversant le $RLC$ série se déterminant en prenant le module de l'intensité efficace complexe on en déduit

«$I(\omega )=|\underset{\_}{I}(j\omega )|=\frac{|\underset{\_}{U_g}|}{|\underset{\_}{Z_{\text{R L C série}}}|}=\frac{U_g}{Z_{\text{R L C série}}}=\frac{U_g}{\sqrt{R^2+{(L\omega -\frac{1}{C\omega })}^2}}$».

Phase à l'origine de l'intensité du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »

     La phase à l'origine de l'intensité du courant traversant le $RLC$ série se déterminant en prenant l'argument de l'intensité efficace complexe on en déduit

«${\phi }_i(\omega )=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{I}(j\omega )]=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[\underset{\_}{U_g}\right]-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[\underset{\_}{Z_{\text{R L C série}}}\right]={\phi }_{u_g}-\arctan \left(\frac{L\omega -\frac{1}{C\omega }}{R}\right)$».

Résonance en intensité du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »

     La tension efficace $U_g$ aux bornes du $RLC$ série étant constante et la pulsation $\omega$ imposée par le générateur variable, on constate que l'intensité efficace $I(\omega )$ du courant traversant le $RLC$ série passe par un maximum quand l'impédance $Z_{\text{R L C série}}$ de ce dernier est minimale et, comme celle-ci est la racine carrée de la somme de deux termes positifs dont le 1^er est constant, elle est minimale quand le 2^ème l'est aussi, ce qui est réalisé quand il s'annule c.-à-d. quand $L\omega =\frac{1}{C\omega }$ $\iff$ $\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}={\omega }_0$ $($pulsation propre du $RLC$ série$)$.

En conclusion l'intensité efficace du courant traversant le $RLC$ série est maximale $($on dit alors que l'intensité entre en résonance$)$
quand la fréquence imposée par le générateur est égale à la fréquence propre du $RLC$ série ;
« la valeur maximale de l'intensité efficace est alors $I_{\text{max}}=I({\omega }_0)=\frac{U_g}{R}$».

Valeur du déphasage à la résonance en intensité du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »

     On vérifie que l'avance de phase de la tension aux bornes du $RLC$ série sur l'intensité du courant le traversant est nulle à la fréquence de résonance en intensité soit

«${\phi }_{u_g}-{\phi }_i({\omega }_0)=\arctan \left(\frac{L{\omega }_0-\frac{1}{C{\omega }_0}}{R}\right)=0$»,
c.-à-d. que l'intensité du courant traversant le $RLC$ série est en phase avec la tension à ses bornes à la résonance en intensité.

Réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par diagramme de Fresnel

Diagramme de Fresnel associé à un $RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de tension efficace et de fréquence fixées, détermination de la réponse en intensité

     Avant de traiter ce paragraphe il convient, si besoin, de revoir la notion de « vecteur de Fresnel tournant » puis celle de « vecteur de Fresnel (sous-entendu à l'origine des temps) » du chap.$8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
     Avant de traiter ce paragraphe la notion de diagramme de Fresnel n'étant qu'une façon concrète de matérialiser celle d'amplitudes complexes $($ou de valeurs efficaces complexes$)$ dans tout schéma construit à partir de vecteurs de Fresnel associés aux grandeurs sinusoïdales de même pulsation $\omega$ quand on les ajoute, dérive temporellement certaines d'entre elles ou effectue toute autre opération linéaire, nous n'indiquerons que les grandes lignes de ce traitement, préférant l'utilisation des amplitudes complexes $($ou des valeurs efficaces complexes$)$ $\dots$

     On trace les vecteurs de Fresnel associés à chaque tension, puis la somme pour déterminer le vecteur de Fresnel associé à la tension imposée par le générateur, le vecteur de Fresnel associé à l'intensité du courant circulant dans le $RLC$ série étant colinéaire au vecteur de Fresnel associé à la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance $R$, voir diagramme de Fresnel ci-contre  $\dots$

     On en déduit par exemple :

• «$U_g=\sqrt{U_R^2+(U_L-U_C{)}^2}$ par théorème de Pythagore » avec «$U_R=RI$», «$U_L=L\omega I$» et «$U_C=\frac{I}{C\omega }$» d'où le lien entre $U_g$ et $I$ «$U_g=$ $\sqrt{R^2+{(L\omega -\frac{1}{C\omega })}^2}I$» et
• «$\tan ({\phi }_{u_g}-{\phi }_i)=\frac{U_L-U_C}{U_R}$ dans le triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont $U_R$ et $|U_L-U_C|$» d'où, avec les valeurs de $U_R$, $U_L$ et $U_C$ rappelées ci-dessus, l'expression de l'avance de phase de la tension aux bornes du $RLC$ série sur l'intensité du courant le traversant «${\phi }_{u_g}-{\phi }_i$ $=\arctan \left(\frac{L\omega -\frac{1}{C\omega }}{R}\right)$».

Réduction canonique dans le cadre d'une réponse sinusoïdale forcée d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »

Choix de la réduction canonique d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale »

     Comme nous l'avons vu dans le paragraphe « réductions canoniques d'un $RLC$ série dans le cadre de la réponse en $u_C(t)$ à un échelon de tension » du chap.$1$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », il y a trois réductions canoniques possibles et, dans le cadre du r.s.f., l'habitude quasi-générale est de choisir la 2^ème réduction canonique c.-à-d. :

• la « pulsation propre ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ s'exprimant en $rad\cdot s^{-1}$» et
• le « facteur de qualité $Q>0$ sans dimension défini par $\frac{R}{L}=\frac{{\omega }_0}{Q}$ soit $Q=\frac{L{\omega }_0}{R}=\frac{1}{RC{\omega }_0}$» ;

     l'usage dans le cadre du r.s.f. est de « remplacer la notion de pulsation $\omega$ en $rad\cdot s^{-1}$ par celle de pulsation réduite $x=\frac{\omega }{{\omega }_0}$, sans dimension ».

     La « réponse en intensité » du $RLC$ série à la « tension imposée » par le générateur n'ayant pas la même homogénéité que l'« excitation en tension », la réduction canonique ne peut être « complète » , il restera un facteur ayant l'homogénéité d'une impédance et nous choisirons le maintien de $R$.

Forme canonique de l'impédance complexe d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale »

     Déterminons d'abord la réduction canonique de l'impédance complexe du $RLC$ série «$\underset{\_}{Z_{\text{R L C série}}}(j\omega )=R+j(L\omega -\frac{1}{C\omega })$»

• par élimination de $\omega$ au profit de $x$ selon $\omega =x{\omega }_0$ soit «$\underset{\_}{Z_{\text{R L C série}}}(jx{\omega }_0)=R+j(L{\omega }_{0}x-\frac{1}{C{\omega }_{0}x})$»
• suivi d'une factorisation par $R$ donnant «$\underset{\_}{Z_{\text{R L C série}}}(jx{\omega }_0)=R[1+j(\frac{L{\omega }_0}{R}x-\frac{1}{RC{\omega }_0}\frac{1}{x})]$» et finalement «$\underset{\_}{Z_{\text{R L C série}}}(jx)=R[1+jQ(x-\frac{1}{x})]$».

Forme canonique de l'intensité efficace complexe du courant traversant un « R L C série en complexe associée au r.s.f. » en fonction de la tension efficace complexe imposée aux bornes du « R L C série »

     De l'expression canonique de l'impédance complexe du «$RLC$ série en électricité complexe associée au r.s.f. » on déduit la réponse en intensité efficace complexe du courant traversant ce dernier en fonction de la tension efficace complexe qui lui est imposée

«$\underset{\_}{I}(jx)=\frac{{\underset{\_}{U}}_g}{\underset{\_}{Z_{\text{R L C série}}}(jx)}=\frac{{\underset{\_}{U}}_g}{R[1+jQ(x-\frac{1}{x})]}$»

     dont on tire :

• la « réponse en intensité efficace du courant traversant le “$RLC$ série en r.s.f. ” en fonction de la tension efficace $U_g$ aux bornes de ce dernier », la résistance $R$ du conducteur ohmique y figurant, le facteur de qualité $Q$ et la fréquence réduite $x$ soit «$I(x)=|\underset{\_}{I}(jx)|=\frac{|{\underset{\_}{U}}_g|}{|\underset{\_}{Z_{\text{R L C série}}}(jx)|}=\frac{U_g}{R\sqrt{1+Q^2{(x-\frac{1}{x})}^2}}$» ou
  «$I(x)=\frac{U_g}{Z_{\text{R L C série}}(x)}$» avec «$Z_{\text{R L C série}}(x)=R\sqrt{1+Q^2{(x-\frac{1}{x})}^2}$ impédance du $RLC$ série » sous forme réduite et
• la « phase à l'origine de l'intensité instantanée du courant traversant le “$RLC$ série en r.s.f. ” en fonction de celle de la tension instantanée $\phi u_g$ aux bornes de ce dernier, le facteur de qualité $Q$ et la fréquence réduite $x$» soit «${\phi }_i(x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{I}(jx)]=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[\underset{\_}{U_g}\right]-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{Z_{\text{R L C série}}}(jx)]={\phi }_{u_g}-\arctan \left[Q(x-\frac{1}{x})\right]$» ;

     on vérifie

• la résonance en intensité pour la « fréquence réduite unité » , la « valeur maximale étant alors $I_{\text{max}}=I(x=1)=\frac{U_g}{R}$» et
• la nullité du déphasage entre tension et intensité à la résonance en intensité c.-à-d. pour la « fréquence réduite unité », soit «${\phi }_i(x=1)={\phi }_{u_g}$».

Courbe de valeur efficace en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence, nature du filtre, fréquences de coupure et bande passante à -3dB, définition de l'acuité de la résonance en intensité

Tracé (point par point) de la courbe de valeur efficace en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence

Superposition des courbes de réponse en intensité efficace traversant un $RLC$ série soumis à tension efficace fixée en fonction de la fréquence réduite $x$ pour les facteurs de qualité donnant une résonance floue $Q=0,4$, modérée $Q=2$ et aiguë $Q=10$

     Voir ci-contre la superposition des tracés de la réponse en intensité efficace du courant traversant le «$RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe sur laquelle on observe une résonance pour $x_r=1$ correspondant à une valeur différente du facteur de qualité

• $Q=0,4$ donnant une résonance qualifiée de « floue »,
• $Q=10$ donnant une résonance qualifiée d'« aiguë » et
• $Q=2$ donnant une résonance ni « floue » ni « aiguë ».

Voir tableau de variation explicité ci-dessous :

$x$	$0$	$\nearrow$	$1$	$\nearrow$	$+\mathrm{\infty }$
$X(x)=x-\frac{1}{x}$	$-\mathrm{\infty }$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$+\mathrm{\infty }$
$Z_{\text{R L C série}}(x)=R\sqrt{1+Q^2{X}^2(x)}$	$+\mathrm{\infty }$	$\searrow$	$R$	$\nearrow$	$+\mathrm{\infty }$
$I(x)=\frac{U_g}{Z_{\text{R L C série}}(x)}$	$0$	$\nearrow$	$\frac{U_g}{R}$	$\searrow$	$0$

     « Pour $x\to 0$», $X(x)\sim -\frac{1}{x}$ $\Rightarrow$ $X^2(x)\sim \frac{1}{x^2}$ d'où «$Z_{\text{R L C série}}(x)\sim R\frac{Q}{x}$» et par suite «$I(x)\sim \frac{U_g}{R}\frac{x}{Q}$» dont on tire la dérivée relativement à la fréquence réduite «$I^{\prime }(x)\sim \frac{U_g}{R}\frac{1}{Q}\ne 0$» précisant que la tangente à la courbe en $x=0$ n'est pas parallèle à l'axe des $x$ $($la pente étant d'autant plus faible que $Q$ est grand$)$.

Nature du filtre de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante »

     La réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un «$RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est

un « passe-bande »  pour toute valeur du facteur de qualité

     car il y a résonance quel que soit $Q$ avec des limites nulles à basse et haute fréquence.

Fréquences de coupure à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante »

     Les fréquences de coupure à $-3dB$ $f_c$ sont « les valeurs de fréquence pour lesquelles la réponse est égale à la réponse maximale divisée par $\sqrt{2}$» soit ici «$I(f_c)=\frac{I(f_0)}{\sqrt{2}}$» ou, en fréquences réduites, «$I(x_c)=\frac{I(x_0=1)}{\sqrt{2}}$» soit concrètement l'équation suivante «$\frac{\frac{U_g}{R}}{\sqrt{1+Q^2{(x_c-\frac{1}{x_c})}^2}}=\frac{\frac{U_g}{R}}{\sqrt{2}}$» équivalente à $Q^2{(x_c-\frac{1}{x_c})}^2=1$ et finalement l'équation $|x_c-\frac{1}{x_c}|=\frac{1}{Q}$ ou encore

«$\{\begin{array}{c}{x}_{c,h}-\frac{1}{x_{c,h}}=\frac{1}{Q}\\ x_{c,b}-\frac{1}{x_{c,b}}=-\frac{1}{Q}\end{array}\text{avec }{x}_c\in {ℝ}^{+}\text{et }{x}_{c,h}>1>x_{c,b}$»,
$x_{c,h}$ étant appelée « fréquence réduite de coupure haute à $-3dB$ » et $x_{c,b}$ « fréquence réduite de coupure basse à $-3dB$ » ;

     il s'agit en fait de deux équations du 2^ème degré obtenues en multipliant chaque équation par $x_{c,h}$ ou $x_{c,b}$ soit «$\{\begin{array}{c}{x}_{c,h}^2-\frac{x_{c,h}}{Q}-1=0\\ x_{c,b}^2+\frac{x_{c,b}}{Q}-1=0\end{array}$» de même discriminant $\mathrm{\Delta }=\frac{1}{Q^2}+4>0$ $\Rightarrow$ chacune a donc deux solutions réelles distinctes dont le produit, égal à $-1$, assure que les deux racines de chaque équation sont de signe contraire d'où finalement l'existence d'une seule solution réelle positive pour chaque équation soit

«$\left\{\begin{array}{ccccc}{x}_{c,h}& =& \frac{1}{2Q}+\frac{\sqrt{\Delta }}{2}& =& \frac{1}{2Q}+\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}\\ x_{c,b}& =& -\frac{1}{2Q}+\frac{\sqrt{\Delta }}{2}& =& -\frac{1}{2Q}+\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}\end{array}\right\}$»,

     d'où les fréquences de coupure à$-3dB$ obtenues en multipliant par $f_0$ soit «$\left\{\begin{array}{c}{f}_{c,h}=f_0(\frac{1}{2Q}+\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}})\\ f_{c,b}=f_0(-\frac{1}{2Q}+\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}})\end{array}\right\}$» et
     d'où l'intervalle passant en fréquences à$-3dB$ «$[f_0(-\frac{1}{2Q}+\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}});f_0(\frac{1}{2Q}+\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}})]$».

Bande passante à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante »

     « La bande passante à$-3dB$ d'une réponse sinusoïdale forcée d'un D.P.L. soumis à une excitation sinusoïdale » est « la largeur de l'intervalle passant en fréquences à$-3dB$ de la réponse », elle est usuellement notée «$B.P{.}_{-3dB}$ exprimée en $Hz$» ;
     dans le cas présent la bande passante à $-3dB$ de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un «$RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est définie par

«$B.P{.}_{-3dB}=f_{c,h}-f_{c,b}$» ;

     $\succ$si l'évaluation de la bande passante à $-3dB$ suit le calcul des fréquences de coupure à $-3dB$ on en déduit

«$B.P{.}_{-3dB}=f_{c,h}-f_{c,b}=\frac{f_0}{Q}$» montrant que
celle-ci est d'autant plus faible que le facteur de qualité est grand ;

     $\succ$usuellement on s'intéresse à la bande passante à $-3dB$ et non explicitement aux fréquences de coupure à $-3dB$, il est donc nécessaire de savoir l'évaluer sans avoir à expliciter les fréquences de coupure à $-3dB$ et on procède comme suit :

     $\succ$on part du système d'équations non linéaires en $x_{c,h}$ et $x_{c,b}$ «$\left\{\begin{array}{cc}{x}_{c,h}-\frac{1}{x_{c,h}}=\frac{1}{Q}& (1)\\ x_{c,b}-\frac{1}{x_{c,b}}=-\frac{1}{Q}& (2)\end{array}\right\}$» $\Rightarrow$ le système équivalent «$\left\{\begin{array}{cccc}(1)+(2)& x_{c,h}+x_{c,b}-(\frac{1}{x_{c,h}}+\frac{1}{x_{c,b}})& =& 0\\ (1)-(2)& x_{c,h}-x_{c,b}-(\frac{1}{x_{c,h}}-\frac{1}{x_{c,b}})& =& \frac{2}{Q}\end{array}\right\}$» ou, en réduisant les termes entre parenthèses au même dénominateur puis en factorisant, «$\left\{\begin{array}{cccc}(1)+(2)& (x_{c,h}+x_{c,b})(1-\frac{1}{x_{c,h}{x}_{c,b}})& =& 0\\ (1)-(2)& (x_{c,h}-x_{c,b})(1+\frac{1}{x_{c,h}{x}_{c,b}})& =& \frac{2}{Q}\end{array}\right\}$» ;

     $\succ$comme les fréquences réduites de coupure à $-3dB$ sont strictement positives on a nécessairement $x_{c,h}+x_{c,b}\ne 0$ et par suite la 1^ère équation se réduit à «$1-\frac{1}{x_{c,h}{x}_{c,b}}=0$» soit encore

«$x_{c,h}{x}_{c,b}=1$» ;

     $\succ$reportant $x_{c,h}{x}_{c,b}=1$ dans la 2^ème équation, celle-ci se réduit à «$2(x_{c,h}-x_{c,b})=\frac{2}{Q}$» fournissant la valeur de la largeur de l'intervalle passant en fréquences réduites à $-3dB$

«$B.P{.}_{\text{en }x-3dB}=x_{c,h}-x_{c,b}=\frac{1}{Q}$»

     $\succ$dont on tire la bande passante à $-3dB$ en multipliant par la fréquence propre $f_0$ soit

«$B.P{.}_{-3dB}=f_{0}B.P{.}_{\text{en }x-3dB}=\frac{f_0}{Q}$».

Acuité de la résonance en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante »

     L'acuité d'une résonance est une grandeur sans dimension définissant le caractère « aigu » de celle-ci $($c.-à-d. une grandeur d'autant plus grande que la résonance est plus aiguë$)$ ; on choisit donc comme définition de l'acuité d'une résonance le rapport de la fréquence de résonance sur la bande passante à $-3dB$ ;

     dans le cas présent l'acuité de la résonance en intensité d'un «$RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est défini selon

«${𝒜}_i=\frac{f_0}{B.P{.}_{-3dB}}=\frac{1}{B.P{.}_{\text{en }x-3dB}}$» ;

     d'après le calcul de la bande passante à $-3dB$ effectué dans le paragraphe « bande passante à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » plus haut dans ce chapitre on en déduit

«${𝒜}_i=\frac{f_0}{B.P{.}_{-3dB}}=Q$».

Pourquoi les fréquences de coupure et la bande passante sont-elles à -3dB ?

     Utiliser une échelle linéaire pour représenter la grandeur efficace associée à une réponse sinusoïdale forcée d'un D.P.L. soumis à une excitation sinusoïdale

• est bien adapté au domaine de fréquences sur lequel la réponse efficace passe de sa valeur maximale au dixième de cette dernière,
• rend la variation peu visible sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du dixième de sa valeur maximale au centième de cette dernière,
• ne permet pas d'observer de variation sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du centième de sa valeur maximale au millième de cette dernière $\dots$

     Pour rendre observables tous les domaines de fréquences précédents on utilise une échelle logarithmique $($décimale$)$ pour représenter la grandeur efficace associée à une réponse sinusoïdale forcée d'un D.P.L. soumis à une excitation sinusoïdale et ainsi

• sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe de sa valeur maximale au dixième de cette dernière, le logarithme $($décimal$)$ de la réponse efficace passe de sa valeur maximale à celle-ci diminuée de un,
• sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du dixième de sa valeur maximale au centième de cette dernière, le logarithme $($décimal$)$ de la réponse efficace passe de sa valeur maximale diminuée de un à celle-ci diminuée de deux,
• sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du centième de sa valeur maximale au millième de cette dernière, le logarithme $($décimal$)$ de la réponse efficace passe de sa valeur maximale diminuée de deux à celle-ci diminuée de trois $\dots$
• On voit donc que tous les domaines de fréquences sont devenus observables et de façon similaire.

     En fait, au lieu de définir le logarithme $($décimal$)$ de la réponse efficace, on introduit une grandeur qui est « vingt fois ce logarithme $($décimal$)$ », grandeur que l'on appelle « gain en décibels de la réponse efficace », dont l'intérêt est un effet de loupe sur la variation,

« une diminution d'une unité du logarithme $($décimal$)$ de la réponse efficace correspondant à une diminution de $20dB$ du gain en décibels de la réponse efficace ».

     Application au cas de la réponse efficace en intensité d'un$RLC$série soumis à une excitation sinusoïdale : l'intensité efficace sous forme canonique «$I(x)=$ $\frac{U_g}{R}\frac{1}{\sqrt{1+Q^2{(x-\frac{1}{x})}^2}}$» ayant la dimension d'une intensité, on définit une intensité de référence $I_{\text{réf}}$ constante puis le « gain en décibels de l'intensité efficace sous forme canonique » $I_{dB}(x)=20\log \left[\frac{I(x)}{I_{\text{réf}}}\right]=$ $20\log \left[\frac{\frac{U_g}{R}}{I_{\text{réf}}}\right]-20\log \left[\sqrt{1+Q^2{(x-\frac{1}{x})}^2}\right]$ ou encore

«$I_{dB}(x)=20\log \left[\frac{I(x)}{I_{\text{réf}}}\right]=I_{dB\text{max}}-10\log [1+Q^2{(x-\frac{1}{x})}^2]$» ;

     Application au cas de la réponse efficace en intensité d'un$RLC$série soumis à une excitation sinusoïdale : la définition de la fréquence réduite de coupure à $-3dB$ de la réponse efficace en intensité étant «$I(x_c)=\frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}}$» $\Rightarrow$ l'équivalent en « gain en décibels de l'intensité efficace » en en prenant vingt fois le logarithme $($décimal$)$ «$I_{dB}(x_c)=I_{dB\text{max}}-20\log \left[\sqrt{2}\right]=I_{dB\text{max}}-10\log (2)$» soit finalement «$I_{dB}(x_c)\simeq I_{dB\text{max}}-3dB$» d'où la signification de fréquence de coupure à $-3dB$ $($ainsi que celle de bande passante à $-3dB$$)$.

Courbe de déphasage en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence, valeurs particulières du déphasage à la résonance en intensité et aux fréquences de coupure à -3dB

Tracé (point par point) de la courbe de déphasage en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence

Superposition des courbes d'avance de phase de l'intensité du courant traversant un $RLC$ série sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite $x$ pour les facteurs de qualité donnant une résonance floue $Q=0,4$, modérée $Q=2$ et aiguë $Q=10$

     Voir ci-contre la superposition des tracés de l'avance de phase de l'intensité du courant traversant le «$RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité

• $Q=0,4$ donnant une variation lente et assez régulière du déphasage,
• $Q=10$ donnant une variation rapide au voisinage de la fréquence réduite de résonance en intensité efficace, la variation étant très lente en dehors et
• $Q=2$ donnant une variation modérément rapide au voisinage de la fréquence réduite de résonance en intensité efficace avec toutefois une variation restant notable mais plus faible en dehors.

Voir tableau de variation explicité ci-dessous :

$x$	$0$	$\nearrow$	$1$	$\nearrow$	$+\mathrm{\infty }$
$X(x)=x-\frac{1}{x}$	$-\mathrm{\infty }$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$+\mathrm{\infty }$
$({\phi }_i-{\phi }_{u_g})(x)=-\arctan [QX(x)]$	$+\frac{\pi }{2}$	$\searrow$	$0$	$\searrow$	$-\frac{\pi }{2}$

     « Pour $x\to 0$», $X(x)\sim -\frac{1}{x}$ $\Rightarrow$ «$\Delta \phi (x)=({\phi }_i-{\phi }_{u_g})(x)\sim \arctan \left[\frac{Q}{x}\right]$» dont on tire la dérivée relativement à la fréquence réduite «$\frac{d\Delta \phi }{dx}(x)\sim \frac{1}{1+{\left(\frac{Q}{x}\right)}^2}[-\frac{Q}{x^2}]=\frac{-Q}{x^2+Q^2}\to -\frac{1}{Q}\ne 0$» précisant que la tangente à la courbe en $x=0$ n'est pas parallèle à l'axe des $x$ $($la pente étant négative d'autant plus faible en valeur absolue que $Q$ est grand$)$.

Valeurs particulières du déphasage à la résonance en intensité et aux fréquences de coupure à -3dB

     « La résonance en intensité se produisant » pour une fréquence imposée par le générateur égale à la fréquence propre du «$RLC$ série » c.-à-d. « pour une fréquence réduite $x_r$ égale à $1$», on en déduit $X(x_r)=x_r-\frac{1}{x_r}$ égale à $0$ et par suite «$\Delta \phi (x_r)=({\phi }_i-{\phi }_{u_g})(x_r)=-\arctan [QX(x_r)]$ égal à $0$» ; on retient donc que

« l'intensité du courant circulant dans le “$RLC$ série ” à la résonance en intensité est en phase avec la tension à ses bornes » ou
«$\mathrm{\Delta }{\phi }_{\text{réson. en i}}={({\phi }_i-{\phi }_{u_g})}_{\text{réson. en i}}=0$» ;

     « les fréquences de coupure haute et basse à $-3dB$ de l'intensité efficace » du courant circulant dans le «$RLC$ série » se déterminant par la résolution des équations «$\left\{\begin{array}{c}X(x_{c,h})=x_{c,h}-\frac{1}{x_{c,h}}=\frac{1}{Q}\\ X(x_{c,b})=x_{c,b}-\frac{1}{x_{c,b}}=-\frac{1}{Q}\end{array}\right\}$» on en déduit «$\mathrm{\Delta }\phi (x)=({\phi }_i-{\phi }_{u_g})(x)=-\arctan [QX(x)]$ égal à $\left\{\begin{array}{c}-\arctan (1)\text{pour }{x}_{c,h}\\ -\arctan (-1)\text{pour }{x}_{c,b}\end{array}\right\}$» soit finalement

«$\left\{\begin{array}{ccccc}\Delta \phi (x_{c,h})& =& ({\phi }_i-{\phi }_{u_g})(x_{c,h})& =& -\frac{\pi }{4}\\ \Delta \phi (x_{c,b})& =& ({\phi }_i-{\phi }_{u_g})(x_{c,b})& =& +\frac{\pi }{4}\end{array}\right\}$».

Détermination expérimentale de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable », observation de la résonance en intensité quelle que soit le facteur de qualité, détermination des fréquences de coupure à -3dB

Dispositif expérimental et 1^ères observations

     On visualise simultanément la « tension aux bornes du générateur B.F. »  sur la voie $CH1$ et
     On visualise simultanément la « tension aux bornes du conducteur ohmique »  sur la voie $CH2$, on observe

• « en fonctionnement bicourbe $(y,t)$», une variabilité de l'amplitude de la courbe sur la voie $CH2$ relativement à la variation de fréquence, l'amplitude de la courbe sur la voie $CH1$ restant constante ainsi qu'une variation du déphasage de la courbe sur la voie $CH2$ par rapport à la courbe de la voie $CH1$ et
• « en fonctionnement $(x,y)$», une courbe de Lissajous elliptique caractéristique de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence ;

     on modifie la valeur du facteur de qualité en changeant la valeur de la résistance du conducteur ohmique $($si $R\nearrow$, $Q\searrow )$.

Observation de la résonance en intensité

     On détermine la résonance en intensité $i(t)$ en déterminant la résonance en tension aux bornes du conducteur ohmique $u_R(t)=Ri(t)$ ;

• on constate, en fonctionnement bicourbe $(y,t)$, que la valeur efficace de $u_R(t)$ passe par un maximum pour une certaine valeur de fréquence, les deux courbes sur voies $CH2$ et $CH1$ étant alors en phase ;
• on vérifie, en passant en fonctionnement $(x,y)$ quand la résonance en intensité est observée, que la courbe de Lissajous est un segment de droite de pente positive caractéristique de l'absence de déphasage entre les deux courbes, ceci étant vérifié pour toute valeur du facteur de qualité.

Détermination des fréquences de coupure à –3dB

     En mesure automatique avec les choix précédemment précisés, on détermine « la valeur de la tension efficace aux bornes du conducteur ohmique à la résonance en intensité soit $U_{R,\text{max}}$» ainsi que « la fréquence de résonance $f_r$», puis

     on calcule « la valeur que doit prendre la tension efficace aux bornes du conducteur ohmique pour les fréquences de coupure à $-3dB$ $\frac{U_{R,\text{max}}}{\sqrt{2}}$» et

     on augmente $($ou diminue$)$ la fréquence pour que la mesure de $U_R$ sur la voie $CH2$ affiche cette valeur, « on mesure alors la valeur de fréquence sur la voie $CH1$» correspondant à la « fréquence de coupure haute $($ou basse$)$ à $-3dB$ », la différence donnant la valeur de la « bande passante à $-3dB$ » .

Détermination expérimentale de la pulsation propre et du facteur de qualité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » à partir des courbes de valeur efficace et de déphasage

Détermination de la fréquence propre

     On détermine la fréquence de résonance en intensité

• soit « sur la courbe tracée point par point de valeur efficace de l'intensité en fonction de la fréquence $($valeur pour laquelle la valeur efficace est maximale$)$» ou « sur la courbe de tension instantanée aux bornes d'un conducteur ohmique en série avec le $RLC$ série visualisée à l'oscilloscope »,
• soit « sur la courbe tracée point par point de l'avance de phase de l'intensité sur la tension en fonction de la fréquence $($valeur annulant le déphasage$)$» ou « sur la courbe de Lissajous entre tension aux bornes d'un conducteur ohmique en série avec le $RLC$ série et tension aux bornes de ce dernier visualisée à l'oscilloscope » et

c'est la fréquence propre du «$RLC$ série ».

Détermination du facteur de qualité

     On détermine les fréquences de coupure à $-3dB$

• soit « sur la courbe tracée point par point de valeur efficace de l'intensité en fonction de la fréquence $($valeurs pour lesquelles la valeur efficace est égale à la valeur maximale divisée par $\sqrt{2})$ » ou « sur la courbe de tension instantanée aux bornes d'un conducteur ohmique en série avec le $RLC$ série visualisée à l'oscilloscope »,
• soit « sur la courbe tracée point par point de l'avance de phase de l'intensité sur la tension en fonction de la fréquence $($valeurs pour lesquelles le déphasage vaut $\pm 45\text{°})$» puis

     on détermine la bande passante à $-3dB$ en faisant la différence des deux fréquences de coupure à $-3dB$, et enfin,

     on détermine l'acuité de la résonance définie comme « rapport de la fréquence propre sur la bande passante à $-3dB$ » :

cette dernière est le facteur de qualité du «$RLC$ série ».

Analogie électromécanique, résonance en vitesse d'un oscillateur mécanique amorti par frottement fluide linéaire soumis à une force excitatrice sinusoïdale

Analogue électromécanique d'un « R L C série » soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable : pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable selon l'axe du ressort

Dispositif expérimental d'enregistrement $($en perspective$)$ d'un pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire et excité par action d'une force horizontale sinusoïdale $($en vue de face$)$

     L'analogue électromécanique d'un «$RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » est un « pendule élastique horizontal amorti $($P.E.H.A.$)$ par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable selon l'axe du ressort » voir schéma ci-contre $($pour avoir l'analogue parfait il faut considérer le pendule « horizontal »$)$ ;

     Il y a deux difficultés pour obtenir la réponse en vitesse d'un pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire et soumis à une force excitatrice sinusoïdale,

• d'une part « comment imposer une force sinusoïdale de fréquence choisie » et
• d'autre part « comment enregistrer la réponse en vitesse ? »

     Le plus difficile est d'imposer « directement » une force excitatrice sinusoïdale de fréquence choisie :

• une 1^ère possibilité est de charger l'objet $($en lui donnant une charge $q)$ et de l'immerger dans un condensateur à isolant fluide visqueux à armatures planes $\perp$ à l'axe du ressort aux bornes desquelles on impose une tension sinusoïdale de fréquence choisie, on crée ainsi un champ électrique $\overrightarrow{E}(t)=E_m\cos (\omega t+{\phi }_E){\overrightarrow{u}}_x$ sinusoïdal de même fréquence, de direction « l'axe du ressort » qui impose sur l'objet $M$ une force électrique $\overrightarrow{F}(t)=$ $q\overrightarrow{E}(t)=q{E}_m\cos (\omega t+{\phi }_E){\overrightarrow{u}}_x$ mais, pour que l'objet reste chargé, il faut que le ressort auquel il est relié soit un isolant électrique c.-à-d. qu'il soit par exemple en plastique $\dots$ ce qui ne correspond pas au ressort usuel $\dots$ ;
• en fait imposer directement une force excitatrice sinusoïdale n'est pas la façon la plus simple de réaliser une excitation sinusoïdale d'un pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire, voir remarque en fin de paragraphe.

     La 2^ème difficulté est d'enregistrer « directement » la réponse en vitesse, car ce qu'on obtient par la méthode d'enregistrement ci-dessus c'est la réponse en élongation $x(t)$ :

• on peut certes à partir de la réponse en élongation en déduire, point par point, la réponse en vitesse mais $\dots$ c'est un peu laborieux $\dots$ ;
• une possibilité pour enregistrer la réponse en vitesse, serait d'utiliser un « capteur de position »  et d'envoyer le signal de sortie du capteur de position sur un « montage dérivateur » , ce qui permet alors d'obtenir un enregistrement en vitesse.

Dispositif expérimental d'enregistrement $($en perspective$)$ d'un pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire et excité sinusoïdalement par action d'un système « excentrique - bielle » agissant sur l'extrémité non liée au solide $($en vue de face$)$

     Façon la plus simple d'obtenir l'équivalent d'une force excitatrice sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable : cette façon consiste à créer un déplacement rectiligne sinusoïdal le long de l'axe du ressort sur son extrémité $A$ précédemment fixe $($voir schéma ci-contre$)$ ;

     on peut utiliser, pour créer le mouvement sinusoïdal de pulsation $\omega$ de $A$ $($extrémité gauche du ressort$)$, un système « excentrique - bielle » ayant pour but de transformer le « mouvement circulaire de l'excentrique et donc de l'extrémité gauche de la bielle liée à l'excentrique par une liaison pivot dont l'axe, solidaire de l'excentrique, est situé à une distance $a$ de l'axe de rotation de ce dernier, $($la vitesse angulaire de rotation de l'excentrique étant $\omega )$» en « mouvement quasi rectiligne sinusoïdal de l'extrémité droite de la bielle liée à l'extrémité gauche du ressort $($c.-à-d. $A)$ par une liaison pivot, le mouvement de $A$ étant quasiment d'amplitude $a$ et de pulsation $\omega$», soit «$x_A(t)\simeq a\cos (\omega t+{\phi }_A)$» ;

     il n'y a donc pas de force excitatrice s'exerçant directement sur l'objet $M$, le bilan de forces horizontales que subit $M$ se réduisant

• à la « tension du ressort $\overrightarrow{T}(t)=-k[x(t)-x_A(t)]{\overrightarrow{u}}_x$» et
• à la « force de frottement fluide linéaire $\overrightarrow{{ℛ}_{\text{flu}}}(t)=-h\dot{x}(t){\overrightarrow{u}}_x$» ;

     on remarque que la « tension du ressort peut être décomposée en deux composantes »,

• « l'une résultant du déplacement de $M$ par rapport à sa position d'équilibre ${\overrightarrow{T}}_M(t)=-k[x(t)]{\overrightarrow{u}}_x$» et
• « l'autre résultant du déplacement imposé de l'extrémité $A$», déplacement conduisant à la composante «${\overrightarrow{T}}_A(t)=k[x_A(t)]{\overrightarrow{u}}_x$ agissant sur $M$» ;

     nous voyons donc que le fait de créer un mouvement sinusoïdal de l'extrémité$A$ «$x_A(t)=a\cos (\omega t+{\phi }_A)$» est équivalent au problème où l'extrémité$A$serait maintenue fixe et où on imposerait directement sur$M$une force excitatrice sinusoïdale «${\overrightarrow{T}}_A(t)$ $=k[x_A(t)]{\overrightarrow{u}}_x=ka\cos (\omega t+{\phi }_A){\overrightarrow{u}}_x$».

Détermination de l'équation différentielle en vitesse du pendule élastique amorti excité sinusoïdalement (P.E.A.E.S.)

     Nous considérons « l'extrémité $A$ fixe et l'application directe sur $M$ d'une force excitatrice sinusoïdale $\overrightarrow{F}(t)=F_m\cos (\omega t+{\phi }_F){\overrightarrow{u}}_x$», les deux autres forces horizontales étant

• la « tension du ressort $\overrightarrow{T}(t)=-k[x(t)]{\overrightarrow{u}}_x$» $(M$ étant repéré relativement à sa position d'équilibre c.-à-d. la position du ressort à vide$)$ et
• la « force de frottement fluide linéaire $\overrightarrow{{ℛ}_{\text{flu}}}(t)=-h\dot{x}(t){\overrightarrow{u}}_x$» ;

     l'application de la r.f.d.n. à $M$ dans le référentiel d'étude galiléen que l'on projette sur ${\overrightarrow{u}}_x$ donne «$-kx(t)-h\dot{x}(t)+F_m\cos (\omega t+{\phi }_F)=m\ddot{x}(t)$» soit, en ordonnant et en normalisant

«$\ddot{x}(t)+\frac{h}{m}\dot{x}(t)+\frac{k}{m}x(t)=\frac{F_m}{m}\cos (\omega t+{\phi }_F)$» ;

     pour obtenir l'équation différentielle en vitesse il convient de dériver l'équation précédente relativement à $t$, utilisant $v(t)=\dot{x}(t)$ soit

«$\ddot{v}(t)+\frac{h}{m}\dot{v}(t)+\frac{k}{m}v(t)=\frac{F_m\omega }{m}\cos (\omega t+{\phi }_F+\frac{\pi }{2})$».

Réduction canonique du P.E.A.E.S.

     On définit les grandeurs canoniques du P.E.A.E.S. correspondant à la 2^ème réduction canonique introduite dans le paragraphe « réductions canoniques d'un $RLC$ série dans le cadre de la réponse en $u_C(t)$ à un échelon de tension » du chap.$1$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », soit

• la « pulsation propre ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$» et
• le « facteur de qualité $Q>0$ tel que $\frac{h}{m}=\frac{{\omega }_0}{Q}$ $\Rightarrow$ $Q=\frac{m{\omega }_0}{h}=\frac{k}{h{\omega }_0}$» ;

     on en déduit la forme canonique de l'équation différentielle normalisée en vitesse avec excitation sinusoïdale

«$\ddot{v}(t)+\frac{{\omega }_0}{Q}\dot{v}(t)+{\omega }_0^{2}v(t)=\frac{F_m\omega }{m}\cos (\omega t+{\phi }_F+\frac{\pi }{2})$».

Détermination de la réponse forcée sinusoïdale en vitesse du P.E.A.E.S.

     Préliminaire : Le régime libre s'amortit comme en électricité mais usuellement « plus lentement »  et, une fois cet amortissement terminé on observe le régime sinusoïdal forcé de pulsation $\omega$ cherché sous la forme «$v(t)=V_m\cos (\omega t+{\phi }_v)$».

     On résout cette équation différentielle en passant en complexe, la vitesse instantanée complexe s'écrivant «$\underset{\_}{v}(t)=\underset{\_}{V_m}(\omega )\exp \left(i\omega t\right)$» avec l'amplitude complexe de la vitesse «$\underset{\_}{V_m}(i\omega )=$ $V_m(\omega )\exp [i{\phi }_v(\omega )]$» et la force excitatrice instantanée complexe «$\underset{\_}{F}(t)=\underset{\_}{F_m}\exp \left(i\omega t\right)$» avec l'amplitude complexe de la force «$\underset{\_}{F_m}=F_m\exp \left(i{\phi }_F\right)$» ;

     On résout cette équation différentielle en reportant dans l'équation différentielle et simplifiant par $\exp \left(i\omega t\right)$, on obtient «$-{\omega }^2\underset{\_}{V_m}(i\omega )+i\omega \frac{{\omega }_0}{Q}\underset{\_}{V_m}(i\omega )+{\omega }_0^2\underset{\_}{V_m}(i\omega )=i\omega \frac{\underset{\_}{F_m}}{m}$» dont on tire

«$\underset{\_}{V_m}(i\omega )=\frac{i\omega }{({\omega }_0^2-{\omega }^2)+i\omega \frac{{\omega }_0}{Q}}\frac{\underset{\_}{F_m}}{m}=\frac{1}{1+iQ(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })}\frac{\underset{\_}{F_m}}{h}$» ;

     on déduit de la 2^ème forme canonique de l'amplitude complexe de la vitesse les grandeurs suivantes :

• « en en prenant le module, l'amplitude de la vitesse $V_m(\omega )=|\underset{\_}{V_m}(i\omega )|=\frac{1}{|1+iQ(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })|}\frac{|\underset{\_}{F_m}|}{h}=\frac{1}{\sqrt{1+Q^2{(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })}^2}}\frac{F_m}{h}$» et
• « en en prenant l'argument, la phase à l'origine de la vitesse ${\phi }_v(\omega )=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{V_m}(i\omega )]={\phi }_F-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[1+iQ(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })]$» dont on déduit l'« avance de phase de la vitesse sur la force ${\phi }_v-{\phi }_F$ $=-\arctan \left[Q(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })\right]$».

Résonance en vitesse du P.E.A.E.S.

     Les formules précédemment établies sur la « réponse en vitesse du pendule élastique amorti soumis à une force sinusoïdale d'amplitude fixée et de fréquence variable » $($c.-à-d. la réponse en vitesse du P.E.A.E.S.$)$ étant de même forme que celles correspondant à la « réponse en intensité du courant traversant un $RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable », on en déduit les mêmes propriétés à savoir :

• « résonance en vitesse pour une fréquence de la force excitatrice  égale à la fréquence propre de l'oscillateur », la « valeur maximale de l'amplitude en vitesse étant $V_{m,\text{max}}=\frac{F_m}{h}$»,
• « nullité du déphasage à la résonance en vitesse entre la vitesse et la force excitatrice »,
• « nature passe-bande en vitesse de l'oscillateur quel que soit le facteur de qualité »
  « nature passe-bande en vitesse de l'oscillateur avec une « amplitude en vitesse quasi nulle à B.F. et H.F. » et
  « nature passe-bande en vitesse de l'oscillateur une «$B.P{.}_{-3dB}$ d'autant plus petite que le facteur de qualité est grand », «$Q$ caractérisant l'acuité de la résonance »,
• « quadrature avance de la vitesse sur la force excitatrice à B.F. » $\{$l'avance de phase de la vitesse sur la force excitatrice étant $+\frac{\pi }{4}$ pour la fréquence de coupure basse à $-3dB$$\}$ et
  « quadrature retard   de la vitesse sur la force excitatrice à H.F. » $\{$l'avance de phase de la vitesse sur la force excitatrice étant $-\frac{\pi }{4}$ pour la fréquence de coupure haute à $-3dB$$\}$.

Établissement (théorique) de la réponse sinusoïdale forcée en charge (ou tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes (et par diagramme de Fresnel), résonance en charge (sous condition de facteur de qualité suffisant) pour une fréquence inférieure à la fréquence propre, nature du filtre suivant le facteur de qualité

Il convient bien sûr d'ajouter un schéma du circuit en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$.

Réponse sinusoïdale forcée en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes

     Soit «$u_g(t)=U_g\sqrt{2}\cos (\omega t+{\phi }_{u_g})$ la tension instantanée imposée au $RLC$ série » et
     Soit «$u_C(t)=U_C(\omega )\sqrt{2}\cos (\omega t+{\phi }_C)$ la tension instantanée aux bornes du condensateur »,
     on leur associe les grandeurs instantanées complexes «$\underset{\_}{u_g}(t)=\underset{\_}{U_g}\sqrt{2}\exp \left(j\omega t\right)$» et «$\underset{\_}{u_C}(t)=$ $\underset{\_}{U_C}(j\omega )\sqrt{2}\exp \left(j\omega t\right)$»
     on leur associe les grandeurs instantanées complexes avec leurs valeurs efficaces complexes respectives «$\underset{\_}{U_g}=U_g\exp \left(j{\phi }_{u_g}\right)$» et «$\underset{\_}{U_C}(j\omega )=U_C(\omega )\exp [j{\phi }_C(\omega )]$» ;

     «$\underset{\_}{u_C}(t)$ étant la tension instantanée complexe de sortie ouverte d'un pont diviseur de tension dont la tension instantanée complexe d'entrée est $\underset{\_}{u_g}(t)$» on en déduit, en valeurs efficaces complexes, «$\underset{\_}{U_C}(j\omega )=$ $\frac{\frac{1}{jC\omega }}{R+jL\omega +\frac{1}{jC\omega }}\underset{\_}{U_g}$» et, en multipliant haut et bas par $jC\omega$ puis en regroupant les termes réels du dénominateur et en ordonnant

«$\underset{\_}{U_C}(j\omega )=\frac{1}{(1-LC{\omega }^2)+jRC\omega }\underset{\_}{U_g}$».

Réduction canonique de la réponse sinusoïdale forcée en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »

     Comme nous l'avons vu dans le paragraphe « choix de la réduction canonique d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale » plus haut dans ce chapitre, l'habitude quasi-générale dans le cadre du r.s.f. est de choisir la 2^ème réduction canonique c.-à-d. :

• la « pulsation propre ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ s'exprimant en $rad\cdot s^{-1}$» et
• le « facteur de qualité $Q>0$ sans dimension défini par $\frac{R}{L}=\frac{{\omega }_0}{Q}$ soit $Q=\frac{L{\omega }_0}{R}=\frac{1}{RC{\omega }_0}$» ;

     on rappelle que l'usage dans le cadre du r.s.f. est de « remplacer la notion de pulsation $\omega$ en $rad\cdot s^{-1}$ par celle de pulsation réduite $x=\frac{\omega }{{\omega }_0}$, sans dimension ».

     La « réponse en tension aux bornes du condensateur » du $RLC$ série soumis à la « tension imposée » par le générateur ayant la même homogénéité, la réduction canonique sera « complète » , « mis à part la tension efficace complexe imposée par le générateur, la forme canonique de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur ne dépendra que du facteur de qualité $Q$et de la fréquence réduite $x$».

     Pour déterminer la forme canonique réduite de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur, on élimine d'abord $\omega$ au profit de $x$ en y reportant $\omega ={\omega }_{0}x$ soit $\underset{\_}{U_C}(j{\omega }_{0}x)=$ $\frac{1}{(1-\cancel{LC{\omega }_0^2}{x}^2)+jRC{\omega }_{0}x}\underset{\_}{U_g}$ et finalement, en reconnaissant dans $RC{\omega }_0$ l'inverse du facteur de qualité

«$\underset{\_}{U_C}(jx)=\frac{1}{(1-x^2)+j\frac{x}{Q}}\underset{\_}{U_g}$»,
cette forme canonique usuelle étant aussi la forme canonique « pratique ».

     Remarque : si au lieu de chercher la réponse en intensité du courant traversant le «$RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de tension efficace fixée et de fréquence variable » on souhaite obtenir la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique du même «$RLC$ soumis à une tension sinusoïdale de même tension efficace fixée et de fréquence variable », on peut procéder

     Remarque : en déterminant d'abord $\underset{\_}{I}(j\omega )$ par loi d'Ohm en complexe puis en déduire $\underset{\_}{U_R}(j\omega )$ en utilisant $\underset{\_}{U_R}(j\omega )=R\underset{\_}{I}(j\omega )$ ou

     Remarque : en reconnaissant dans $\underset{\_}{u_R}(t)$ la tension instantanée complexe de sortie ouverte d'un pont diviseur de tension dont la tension instantanée complexe d'entrée est $\underset{\_}{u_g}(t)$ soit, en valeurs efficaces complexes, «$\underset{\_}{U_R}(j\omega )=\frac{R}{R+jL\omega +\frac{1}{jC\omega }}\underset{\_}{U_g}$» se réécrivant sous forme canonique normalisée pratique en divisant haut et bas par $R$ et en mettant le dénominateur obtenue sous sa forme algébrique, soit «$\underset{\_}{U_R}(j\omega )=\frac{1}{1+j(\frac{L}{R}\omega -\frac{1}{RC\omega })}\underset{\_}{U_g}$» $\{$il est aisé d'en déduire la forme canonique normalisée pratique réduite «$\underset{\_}{U_R}(jx)=\frac{1}{1+jQ(x-\frac{1}{x})}\underset{\_}{U_g}$» qui a été utilisée pour faire l'étude des variations du module et de l'argument$\}$ ;

     Remarque : à partir de «$\underset{\_}{U_R}(j\omega )=\frac{R}{R+jL\omega +\frac{1}{jC\omega }}\underset{\_}{U_g}$» obtenue par P.D.T. en sortie ouverte, on peut mettre la réponse efficace en tension aux bornes du conducteur ohmique sous sa forme canonique normalisée usuelle en multipliant haut et bas par $jC\omega$ puis en regroupant les termes réels du dénominateur et enfin en ordonnant «$\underset{\_}{U_R}(j\omega )=\frac{jRC\omega }{(1-LC{\omega }^2)+jRC\omega }\underset{\_}{U_g}$» $\{$il est aisé d'obtenir la forme canonique normalisée usuelle réduite «$\underset{\_}{U_R}(jx)=\frac{j\frac{x}{Q}}{(1-x^2)+j\frac{x}{Q}}\underset{\_}{U_g}$»$\}$ ;

     Remarque : on rappelle que la forme canonique usuelle «$\underset{\_}{U_R}(jx)=\frac{j\frac{x}{Q}}{(1-x^2)+j\frac{x}{Q}}\underset{\_}{U_g}$» permet de caractériser l'ordre du système mais ne permet pas de faire une étude simplement, le numérateur dépendant de $x$ ; une fois l'ordre du système caractérisé par la forme canonique usuelle, il convient de trouver la forme canonique pratique en rendant le numérateur constant et pour cela « on divise haut et bas par $j\frac{x}{Q}$» ce qui donne la forme canonique pratique «$\underset{\_}{U_R}(jx)=\frac{1}{1+jQ(x-\frac{1}{x})}\underset{\_}{U_g}$» permettant de faire une étude de variation aisée.

Tension efficace aux bornes du condensateur du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »

     La tension efficace aux bornes du condensateur du $RLC$ série se déterminant en prenant le module de la tension efficace complexe on en déduit

«$U_C(\omega )=|\underset{\_}{U_C}(j\omega )|=\left|\frac{1}{(1-LC{\omega }^2)+jRC\omega }\underset{\_}{U_g}\right|=\frac{U_g}{\sqrt{{(1-LC{\omega }^2)}^2+R^2{C}^2{\omega }^2}}$» ou
sous sa forme canonique normalisée réduite «$U_C(x)=|\underset{\_}{U_C}(jx)|=\frac{U_g}{\sqrt{{(1-x^2)}^2+\frac{x^2}{Q^2}}}$».

Phase à l'origine de la tension aux bornes du condensateur du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »

     La phase à l'origine de la tension aux bornes du condensateur du $RLC$ série se déterminant en prenant l'argument de la tension efficace complexe on en déduit ${\phi }_C(\omega )=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{U_C}(j\omega )]=$ $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[\underset{\_}{U_g}\right]-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[(1-LC{\omega }^2)+jRC\omega ]={\phi }_{u_g}-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left\{jRC\omega [1+j(\frac{L\omega }{R}-\frac{1}{RC\omega })]\right\}$ soit

«${\phi }_C(\omega )=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{U_C}(j\omega )]={\phi }_{u_g}-\frac{\pi }{2}-\arctan (\frac{L\omega }{R}-\frac{1}{RC\omega })$»
ou en fonction du facteur de qualité et de la fréquence réduite
«${\phi }_C(x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{U_C}(jx)]={\phi }_{u_g}-\frac{\pi }{2}-\arctan \left[Q(x-\frac{1}{x})\right]$».

Recherche d'une éventuelle résonance en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »

     La tension efficace $U_g$ imposée par le générateur étant constante et la fréquence réduite $x$ variable, on est amené à « étudier la variation de la tension efficace $U_C(x)$ aux bornes du condensateur en fonction de la fréquence réduite $x$» et «$U_C(x)$ se mettant sous la forme $U_C(x)=\frac{U_g}{\sqrt{g(x^2)}}$ avec $g(x^2)=$ ${(1-x^2)}^2+\frac{x^2}{Q^2}$», il suffit d'« étudier la variation de $g(x^2)$ relativement à $x^2$» $($compte-tenu du fait que $\frac{1}{\sqrt{u}}$ est une fonction $\searrow$ de $u)$ en calculant la dérivée de $g(x^2)$ par rapport à $x^2$ soit «$\frac{dg}{d{x}^2}(x^2)=-2(1-x^2)+\frac{1}{Q^2}=2x^2+\frac{1}{Q^2}-2$» ; on obtient alors la discussion suivante :

• « si le terme constant $\frac{1}{Q^2}-2$ est strictement positif » soit «$Q<\frac{1}{\sqrt{2}}$», la dérivée «$\frac{dg}{d{x}^2}(x^2)>0\mathrm{\forall }{x}^2$» $\Rightarrow$ «$g(x^2)$ fonction $\nearrow$ de $x^2$» $\Rightarrow$ «$U_C(x)$ est une fonction $\searrow$ de $x^2$» donc «$U_C(x)$ est une fonction $\searrow$ de $x$» ;
• « si le terme constant $\frac{1}{Q^2}-2$ est négatif ou nul » soit «$Q⩾\frac{1}{\sqrt{2}}$», la dérivée «$\frac{dg}{d{x}^2}(x^2)$ s'annule pour $x_r^2=1-\frac{1}{2Q^2}⩾0$» avec «$\frac{dg}{d{x}^2}(0)=$ $\frac{1}{Q^2}-2⩽0$» d'une part et d'autre part «$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\frac{dg}{d{x}^2}(x^2)]$ $=+\mathrm{\infty }>0$» $\Rightarrow$ «$g(x^2)$ est minimale en $x_r^2$» $\Rightarrow$ «$U_C(x^2)$ est maximale en $x_r^2$» donc «$U_C(x)$ est maximale en $x_r=\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}<1$».

     En conclusion, la tension aux bornes du condensateur d'un$RLC$série entre en résonance à condition que le facteur de qualité vérifie $Q⩾\frac{1}{\sqrt{2}}$, la fréquence de résonance étant inférieure à la fréquence propre selon «$f_r=f_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}<f_0$» ;

     En conclusion, la valeur de la tension efficace aux bornes du condensateur à la résonance en charge, quand celle-ci est existe, donne $U_{C,\text{max}}=U_C(x_r)=\frac{U_g}{\sqrt{{(1-x_r^2)}^2+\frac{x_r^2}{Q^2}}}=$ $\frac{U_g}{\sqrt{{[1-(1-\frac{1}{2Q^2})]}^2+\frac{1-\frac{1}{2Q^2}}{Q^2}}}=\frac{U_g}{\sqrt{\frac{1}{4Q^4}+\frac{1}{Q^2}-\frac{1}{2Q^4}}}=\frac{U_g}{\sqrt{\frac{1}{Q^2}-\frac{1}{4Q^4}}}$ soit finalement

«$U_{C,\text{max}}=U_C(x_r)=\frac{Q{U}_g}{\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}>Q{U}_g=U_C(x_0=1)$».

Valeur du déphasage à la résonance éventuelle en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »

     Contrairement à « la valeur du déphasage entre l'intensité du courant traversant le $RLC$ série et la tension à ses bornes à la résonance en intensité » $($valeur nulle constituant un résultat remarquable$)$ « très utilisée en pratique pour repérer la résonance en intensité »,
     Contrairement à « la valeur du déphasage entre la tension aux bornes du condensateur du $RLC$ série et la tension à ses bornes à la résonance $($conditionnelle$)$ en charge » « n'ayant aucune particularité permettant son utilisation pour repérer l'éventuelle résonance en charge », usuellement on ne la détermine pas bien que cela ne présente aucune difficulté comme on le vérifie ci-dessous :

     « si $Q⩾\frac{1}{\sqrt{2}}$», « l'avance de phase de la tension aux bornes du condensateur du $RLC$ série sur la tension à ses bornes à la résonance en charge », c.-à-d. à la fréquence réduite $x_r=$ $\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}$, vaut «${\phi }_C(x_r)={\phi }_{u_g}-\frac{\pi }{2}-\arctan \left[Q(x_r-\frac{1}{x_r})\right]$» $\Rightarrow$ ${\phi }_C(x_r)={\phi }_{u_g}-\frac{\pi }{2}-\arctan \left[Q(\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}})\right]$ après report de l'expression de la fréquence réduite de résonance en charge, soit, après réduction au même dénominateur de l'argument de l'arctangente et simplification évidente

«${\phi }_C(x_r)={\phi }_{u_g}-\frac{\pi }{2}+\arctan \left[\frac{1}{2Q\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}}\right]={\phi }_{u_g}-\frac{\pi }{2}+\arctan \left[\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{2Q^2-1}}\right]$».

Nature du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » suivant le facteur de qualité

     Nous avons déterminé, dans le paragraphe « recherche d'une éventuelle résonance en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » plus haut dans ce chapitre,

• « l'absence de résonance en charge si $Q<\frac{1}{\sqrt{2}}$», la réponse efficace en tension aux bornes du condensateur du $RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante étant $\searrow$ d'une valeur notable $U_g\ne 0$ à B.F. jusqu'à une limite nulle à H.F., nous en déduisons la nature « passe-bas » du filtre et
• « l'existence d'une résonance en charge si $Q⩾\frac{1}{\sqrt{2}}$», la réponse efficace en tension aux bornes du condensateur du $RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante étant d'une valeur notable $U_g\ne 0$ à B.F. jusqu'à une limite nulle à H.F. mais en étant d'abord $\nearrow$ puis $\searrow$, nous en déduisons la nature « passe-bande ou passe-bas » du filtre suivant l'existence ou non d'une fréquence de coupure basse non nulle à $-3dB$ ;
       la condition pour qu'il existe une fréquence de coupure basse non nulle à $-3dB$ étant «$U_C(x_{c,b})=\frac{U_C(x_r)}{\sqrt{2}}>U_C(x=0)$» avec la valeur de la réponse efficace à la résonance en charge «$U_C(x_r)$ $=\frac{Q{U}_g}{\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}$», se réécrit «$\frac{Q{U}_g}{\sqrt{2}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}>U_g$ $\iff$ $Q^2>2(1-\frac{1}{4Q^2})$» soit encore l'« inéquation bicarrée en $Q$ suivante $2Q^4-4Q^2+1>0$» ; le discriminant réduit valant ${\Delta }^{\prime }=4-2=2>0$, les zéros du polynôme bicarré sont $\frac{2\pm \sqrt{2}}{2}=$ $1\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\simeq \{\begin{array}{c}1,71\\ 0,29\end{array}$ et, compte-tenu de la condition de résonance $Q^2⩾\frac{1}{2}=0,50$, on en déduit que l'inégalité est vérifiée si $Q^2\gtrsim 1,71$ soit, $Q$ étant positif, la « condition d'existence d'une fréquence de coupure basse à $-3dB$ : $Q⩾\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}\simeq 1,31$ ou $Q\gtrsim 1,31$» ;
       en conclusion de cette étude « si $\frac{1}{\sqrt{2}}⩽Q\lesssim 1,31$» la réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un $RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante est un « passe-bas » et
       en conclusion de cette étude « si $Q\gtrsim 1,31$» c'est un « passe-bande ».

     Finalement « pour un facteur de qualité restant faible $Q\lesssim 1,31$» la réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un $RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante est un « passe-bas » alors que
     Finalement « pour un facteur de qualité plus grand $Q\gtrsim 1,31$» c'est un « passe-bande ».

Complément : détermination des fréquences de coupure à -3dB du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » suivant qu'il y a, ou non, résonance en charge

Détermination de la fréquence de coupure à -3dB du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » en absence de résonance en charge

     Considérant donc «$Q<\frac{1}{\sqrt{2}}$», le filtre est un « passe-bas » dont la « valeur maximale de tension efficace aux bornes du condensateur est $U_{C,\text{max}}=$ $U_C(x=0)=U_g$» ; il n'existe donc qu'« une seule fréquence de coupure à $-3dB$ dont la valeur réduite est définie par $U_C(x_c)=\frac{U_{C,\text{max}}}{\sqrt{2}}$» soit encore l'équation «$\frac{U_g}{\sqrt{{(1-x_c^2)}^2+\frac{x_c^2}{Q^2}}}=\frac{U_g}{\sqrt{2}}$ ou ${(1-x_c^2)}^2+\frac{x_c^2}{Q^2}=2$» soit, en développant et ordonnant l'« équation bicarrée par monômes de degré décroissant, $x_c^4+(\frac{1}{Q^2}-2)x_c^2-1=0$» de discriminant réduit ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={(\frac{1}{2Q^2}-1)}^2+1>0$ $\Rightarrow$ deux racines en $x^2$ réelles distinctes mais de signe contraire, la racine en $x^2$ positive s'écrivant «$x_c^2=$ $-(\frac{1}{2Q^2}-1)+\sqrt{{(\frac{1}{2Q^2}-1)}^2+1}$» soit enfin la fréquence réduite de coupure à $-3dB$

«$x_c=\sqrt{\sqrt{{(\frac{1}{2Q^2}-1)}^2+1}-(\frac{1}{2Q^2}-1)}$»

     d'où la fréquence de coupure à $-3dB$ du « passe-bas » « réponse en charge du $RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable en absence de résonance en charge »

«$f_c=f_0\sqrt{\sqrt{{(\frac{1}{2Q^2}-1)}^2+1}-(\frac{1}{2Q^2}-1)}$».

Détermination de la (ou les) fréquence(s) de coupure à -3dB du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » en présence de résonance en charge

     Considérant donc «$Q⩾\frac{1}{\sqrt{2}}$», le filtre étant un « passe-bas ou passe-bande » suivant que $Q$ est $\lesssim 1,31$ ou non, dont la « valeur maximale de tension efficace aux bornes du condensateur est $U_{C,\text{max}}=U_C(x_r=\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}})=\frac{Q{U}_g}{\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}$» ; il existe donc, suivant la valeur du facteur de qualité, « une ou deux fréquences de coupure à $-3dB$ dont la $($ou les$)$ valeur(s) réduite(s) sont définies par $U_C(x_c)=\frac{U_{C,\text{max}}}{\sqrt{2}}$» soit encore l'équation «$\frac{U_g}{\sqrt{{(1-x_c^2)}^2+\frac{x_c^2}{Q^2}}}=\frac{Q{U}_g}{\sqrt{2}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}$ ou ${(1-x_c^2)}^2+\frac{x_c^2}{Q^2}=\cancel{\pm }\frac{2}{Q^2}(1-\frac{1}{4Q^2})$» soit, en développant et ordonnant l'« équation bicarrée, $x_c^4+(\frac{1}{Q^2}-2)x_c^2+1-\frac{2}{Q^2}+\frac{1}{2Q^4}=0$» de discriminant réduit ${\Delta }^{\prime }={(\frac{1}{2Q^2}-1)}^2-1+\frac{2}{Q^2}-\frac{1}{2Q^4}$ se simplifiant en ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=\frac{1}{Q^2}-\frac{1}{4Q^4}=$ $\frac{1}{Q^2}(1-\frac{1}{4Q^2})>0$ $\Rightarrow$ deux racines en $x^2$ réelles distinctes s'écrivant $x_c^2=-(\frac{1}{2Q^2}-1)\pm \frac{1}{Q}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}$ ces dernières étant toutes les deux positives ou de signe contraire ; ainsi,
     Considérant donc «$Q⩾\frac{1}{\sqrt{2}}$», dans le cas où les deux racines en $x^2$ sont $>0$, il y a deux fréquences réduites de coupure à $-3dB$ «$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c,h}=\sqrt{(1-\frac{1}{2Q^2})+\frac{1}{Q}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}\\ x_{c,b}=\sqrt{(1-\frac{1}{2Q^2})-\frac{1}{Q}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}\end{array}\right\}$» et
     Considérant donc «$Q⩾\frac{1}{\sqrt{2}}$», dans le cas où une seule racine en $x^2$ est $>0$, il y a une fréquence réduite de coupure à $-3dB$ «$x_{c,h}=\sqrt{(1-\frac{1}{2Q^2})+\frac{1}{Q}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}$» d'où

• la fréquence de coupure à $-3dB$ du « passe-bas à $Q\lesssim 1,31$» « réponse en charge du $RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable en présence de résonance en charge » est «$f_c=f_0\sqrt{(1-\frac{1}{2Q^2})+\frac{1}{Q}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}$»,
• les fréquences de coupure haute et basse à $-3dB$ du « passe-bande à $Q\gtrsim 1,31$» « réponse en charge du $RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable en présence de résonance en charge » sont «$\left\{\begin{array}{c}{f}_{c,h}=f_0\sqrt{(1-\frac{1}{2Q^2})+\frac{1}{Q}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}\\ f_{c,b}=f_0\sqrt{(1-\frac{1}{2Q^2})-\frac{1}{Q}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}\end{array}\right\}$».

Réponse sinusoïdale forcée en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par diagramme de Fresnel

     Revoir, si besoin est, la notion de « vecteur de Fresnel tournant » puis celle de « vecteur de Fresnel (sous-entendu à l'origine des temps) » du chap.$8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », sachant que la notion de diagramme de Fresnel n'est qu'une façon concrète de matérialiser celle d'amplitudes complexes $($ou de valeurs efficaces complexes$)$ dans tout schéma construit à partir de vecteurs de Fresnel associés aux grandeurs sinusoïdales de même pulsation $\omega$ quand on les ajoute, dérive temporellement certaines d'entre elles ou effectue toute autre opération linéaire $\dots$

     Comme il a été indiqué dans le paragraphe « lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnel » du chap.$8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'utilisation du diagramme de Fresnel n'apportant rien de plus que celle d'amplitudes complexes $($ou de valeurs efficaces complexes$)$, nous n'indiquerons que les grandes lignes de ce traitement.

Diagramme de Fresnel associé à un $RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de tension efficace et de fréquence fixées, détermination de la réponse en tension aux bornes du condensateur

     On trace les vecteurs de Fresnel associés à chaque tension, puis la somme pour déterminer le vecteur de Fresnel associé à la tension imposée par le générateur, voir diagramme de Fresnel ci-contre  ; parmi ces vecteurs de Fresnel on distingue entre autres

• le vecteur de Fresnel associé à la tension aux bornes du condensateur du $RLC$ série indirectement $\perp$ à celui associé à l'intensité du courant y circulant, leurs normes étant liées par «$U_C$ $=\frac{I}{C\omega }$», et
• le vecteur de Fresnel associé à l'intensité du courant colinéaire à celui associé à la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance $R$, leurs normes étant liées par «$U_R=RI$» $\dots$

     La façon la plus simple de procéder consiste à « déterminer $I$ en fonction de $U_g$» pour ensuite « l’insérer dans $U_C=$ $\frac{I}{C\omega }$» soit :

• «$U_g=\sqrt{U_R^2+(U_L-U_C{)}^2}$ par théorème de Pythagore » dans lequel on reporte «$U_R=RI$», «$U_L=L\omega I$» et «$U_C=\frac{I}{C\omega }$» d'où $U_g=\sqrt{R^2+{(L\omega -\frac{1}{C\omega })}^2}I$ $\iff$ «$I=\frac{U_g}{\sqrt{R^2+{(L\omega -\frac{1}{C\omega })}^2}}$» et finalement, par report dans «$U_C=\frac{I}{C\omega }$» l'expression de la tension efficace aux bornes du condensateur en fonction de celle imposée au $RLC$ série «$U_C=\frac{U_g}{C\omega \sqrt{R^2+{(L\omega -\frac{1}{C\omega })}^2}}$» $\dots$
• «$\tan ({\phi }_{u_g}-{\phi }_i)=\frac{U_L-U_C}{U_R}$ dans le triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont $U_R$ et $|U_L-U_C|$» permettant de déduire, par report des expressions de $U_L$, $U_C$ et $U_R$ et simplification évidente, «${\phi }_{u_g}-{\phi }_i=\arctan \left(\frac{L\omega -\frac{1}{C\omega }}{R}\right)$» puis, sachant que «${\phi }_C={\phi }_i-\frac{\pi }{2}$» ou ${\phi }_i=$ ${\phi }_C+\frac{\pi }{2}$, on en déduit ${\phi }_{u_g}-{\phi }_C-\frac{\pi }{2}=\arctan \left(\frac{L\omega -\frac{1}{C\omega }}{R}\right)$ puis l'expression de l'avance de phase de la tension aux bornes du $RLC$ série sur celle aux bornes du condensateur «${\phi }_{u_g}-{\phi }_C=\frac{\pi }{2}+\arctan \left(\frac{L\omega -\frac{1}{C\omega }}{R}\right)$».

Utilisation d'un outil de résolution numérique pour étudier l'influence du facteur de qualité sur l'éventuelle résonance en charge d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »

Tracé simultané des courbes de réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un $RLC$ série soumis à tension sinusoïdale de valeur efficace fixée en fonction de la fréquence réduite $x$ suivant le facteur de qualité pour la recherche d'une éventuelle résonance en charge, les tracés étant obtenus par Scilab

     Préliminaire : A priori ce paragraphe n'a pas de raison d'être car il est relativement aisé de trouver « à la main » la condition à imposer à $Q$ pour qu'il y ait résonance en charge et de constater que la résonance est d'autant plus aiguë que $Q$ est grand mais
     Préliminaire : c'est une demande explicite du programme de physique de P.C.S.I. $\dots$

     Pour faire cette étude on peut tracer les courbes de valeurs efficaces $U_C$ en fonction de $x$ pour différentes valeurs de $Q$ $(0,4;\frac{1}{\sqrt{2}};1;3)$ $($voir ci-contre$)$ en utilisant n'importe quel logiciel de résolution numérique $[$celui utilisé ici est un de ceux proposés par le programme à savoir « Scilab »$]$, le programme utilisé est donné ci-dessous, les graphes tracés ci-contre résultant de l'utilisation de ce programme ;

Q=3 ;x=linspace(0,3,100) ;G1=((1-x^2)^2+x^2/Q^2)^(-1/2) ;

Q=1 ;x=linspace(0,3,100) ;G2=((1-x^2)^2+x^2/Q^2)^(-1/2) ;

Q=(2)^(-1/2) ;x=linspace(0,3,100) ;G3=((1-x^2)^2+x^2/Q^2)^(-1/2) ;

Q=0,4 ;x=linspace(0,3,100) ;G4=((1-x^2)^2+x^2/Q^2)^(-1/2) ;

drawlater()

plot(x,G1,"b",x,G2,"g",x,G3,"r",x,G4,"m") ;

a=gca() ;a.x_location="bottom" ;a.y_location="left" ;

a.title.text="Les réponses en u_C suivants les valeurs du facteur de qualité" ;

e=gce();e.children(2).thickness=2 ;

drawnow()

Étude de la réponse sinusoïdale forcée en charge d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » à grand facteur de qualité, résonance forte (ou aiguë), fréquence de résonance en charge égale à celle en intensité, fréquences de coupure et bande passante à -3dB, acuité de la résonance en charge

Étude de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » à grand facteur de qualité

     Envisageant un « grand facteur de qualité c.-à-d. $Q\gg 1$», on en déduit qu'il y a « résonance en charge pour la fréquence réduite $x_r=\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}=$ ${(1-\frac{1}{2Q^2})}^{\frac{1}{2}}\simeq 1-\frac{1}{4Q^2}$» ou, en conservant uniquement le terme prépondérant, « pour $x_r\simeq 1$» ;

en conclusion « si $Q\gg 1$», «$f_{r,Q\gg 1}\simeq f_0$» c.-à-d. que
« la fréquence de résonance en charge à grand facteur de qualité est quasiment la fréquence propre » ;

     « la valeur maximale correspondante $U_{C,\text{max}}=U_C(x_r)=\frac{Q{U}_g}{\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}=Q{U}_g{(1-\frac{1}{4Q^2})}^{-\frac{1}{2}}$» se réécrit, en considérant $\frac{1}{4Q^2}$ comme un infiniment petit d'ordre un et en prenant le D.L. à l'ordre un du dernier facteur, «$U_{C,\text{max}}\simeq Q{U}_g(1+\frac{1}{8Q^2})$» ou, en conservant uniquement le terme prépondérant de ce dernier facteur,

«$U_{C,\text{max}}\simeq Q{U}_g$» impliquant une « très grande tension efficace aux bornes du condensateur »,
ce qui correspond à une « résonance aiguë ».

Détermination des fréquences de coupure à -3dB du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » à grand facteur de qualité

     Avec «$Q\gg 1$», le filtre « réponse en tension aux bornes du condensateur du $RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » étant un « passe-bande », on définit « deux fréquences de coupure à $-3dB$ de valeurs réduites $x_c$» par «$U_C(x_c)=\frac{U_C(x_r)}{\sqrt{2}}$» dans laquelle « la tension efficace aux bornes du condensateur pour la fréquence réduite $x$ s'écrit $U_C(x)=$ $\frac{U_g}{\sqrt{{(1-x^2)}^2+\frac{x^2}{Q^2}}}$» et « celle pour la résonance en charge $U_C(x_r)=\frac{Q{U}_g}{\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}$» dans la mesure où on ne tient pas compte de $Q\gg 1$ soit finalement l'équation de définition des fréquences de coupure à $-3dB$

«$\frac{U_g}{\sqrt{{(1-x_c^2)}^2+\frac{x_c^2}{Q^2}}}=\frac{Q{U}_g}{\sqrt{2}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}$ sans tenir compte de $Q\gg 1$» ;

     « tenir compte de $Q\gg 1$» permet

• d'une part de « remplacer $U_C(x_r)$ par son terme prépondérant soit $U_C(x_r)\simeq Q{U}_g$» et
• d'autre part, « le caractère aigu de la résonance impliquant que les fréquences réduites de coupure à $-3dB$ sont proches de la fréquence réduite de résonance en charge laquelle est assimilable à la fréquence réduite propre $x_0=1$», on peut « remplacer $\frac{x_c^2}{Q^2}$ par son terme prépondérant soit $\frac{x_c^2}{Q^2}\simeq \frac{1}{Q^2}$», « l'autre terme ${(1-x_c^2)}^2$ proche de $0$ étant laissé tel quel »,

     d'où la réécriture de l'équation de définition des fréquences de coupure à $-3dB$ pour un grand facteur de qualité

«$\frac{U_g}{\sqrt{{(1-x_c^2)}^2+\frac{1}{Q^2}}}\simeq \frac{Q{U}_g}{\sqrt{2}}$ $\iff$ ${(1-x_c^2)}^2+\frac{1}{Q^2}\simeq \frac{2}{Q^2}$»
conduisant à «$|1-x_c^2|=\frac{1}{Q}$» ou «$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c,h,Q\gg 1}^2-1\simeq \frac{1}{Q}\\ 1-x_{c,b,Q\gg 1}^2\simeq \frac{1}{Q}\end{array}\right\}$» ;

     on en déduit aisément les fréquences réduites de coupure à $-3dB$ du passe-bande « réponse en tension aux bornes du condensateur du $RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante à grand facteur de qualité » «$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c,h,Q\gg 1}\simeq \sqrt{1+\frac{1}{Q}}={(1+\frac{1}{Q})}^{\frac{1}{2}}\\ x_{c,b,Q\gg 1}\simeq \sqrt{1-\frac{1}{Q}}={(1-\frac{1}{Q})}^{\frac{1}{2}}\end{array}\right\}$» ou, en utilisant le D.L. à l'ordre un de $(1+x{)}^n,n\in {\mathbb{Q}}^{\ast }$ avec $n=\frac{1}{2}$,

«$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c,h,Q\gg 1}\simeq 1+\frac{1}{2Q}\\ x_{c,b,Q\gg 1}\simeq 1-\frac{1}{2Q}\end{array}\right\}$» donnant les fréquences de coupure à $-3dB$ «$\left\{\begin{array}{c}{f}_{c,h,Q\gg 1}\simeq f_0(1+\frac{1}{2Q})\\ f_{c,b,Q\gg 1}\simeq f_0(1-\frac{1}{2Q})\end{array}\right\}$».

Bande passante à -3dB et acuité de la résonance en charge du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » à grand facteur de qualité

     Dans l'hypothèse «$Q\gg 1$» on détermine la bande passante réduite à $-3dB$ selon «${\left(\Delta x\right)}_{Q\gg 1}=x_{c,h,Q\gg 1}-x_{c,b,Q\gg 1}\simeq \frac{1}{Q}$» et par suite
     Dans l'hypothèse «$Q\gg 1$» on détermine la bande passante à $-3dB$ pour la résonance en charge à grand facteur de qualité s'écrit

«$B.P{.}_{-3dB,Q\gg 1}={\left(\mathrm{\Delta }f\right)}_{Q\gg 1}=f_0{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}_{Q\gg 1}\simeq \frac{f_0}{Q}$»
c.-à-d. le même résultat que celle de la résonance en intensité 
mais avec «$B.P{.}_{-3dB,Q\gg 1}\simeq \frac{f_0}{Q}\ll f_0$» ;

     on définit de même l'acuité de la résonance en charge à grand facteur de qualité par

«${𝒜}_{C,Q\gg 1}=\frac{f_{r,Q\gg 1}}{{\left(\Delta f\right)}_{Q\gg 1}}\simeq \frac{f_0}{\frac{f_0}{Q}}=Q$»
c.-à-d. encore le même résultat que celle de la résonance en intensité
mais avec «${𝒜}_{C,Q\gg 1}\simeq Q\gg 1$».

Courbe de valeur efficace en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence, nature du filtre suivant la valeur du facteur de qualité, cas particulier d'un grand facteur de qualité

Tracé, point par point, de la courbe de valeur efficace en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite

Superposition des courbes de réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un $RLC$ série soumis à tension efficace fixée en fonction de la fréquence réduite $x$ pour les facteurs de qualité donnant une absence de résonance $Q=0,4$, une “ résonance limite en $x=0$” $Q=\frac{1}{\sqrt{2}}$, floue $Q=2$ et aiguë $Q=10$

     Voir ci-contre la superposition des tracés de la réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un «$RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité

• $Q=0,4$ donnant une absence de résonance,
• $Q=10$ donnant une résonance qualifiée d'« aiguë » en «$x_r=\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}\simeq 0,995$»,
• $Q=\frac{1}{\sqrt{2}}$ donnant une résonance limite en «$x_r=\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}=0$» et
• $Q=2$ donnant une résonance qualifiée de « floue » en «$x_r=\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}\simeq 0,875$».

Voir tableau de variation explicité ci-dessous dans le cas où il y a résonance c.-à-d. si $Q⩾\frac{1}{\sqrt{2}}$ :

$x$	$0$	$\nearrow$	$x_r=\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}$	$\nearrow$	$1$	$\nearrow$	$+\mathrm{\infty }$
$U_C(x)=\frac{U_g}{\sqrt{{(1-x^2)}^2+\frac{x^2}{Q^2}}}$	$U_g$	$\nearrow$	$U_{C,\text{max}}$	$\searrow$	$Q{U}_g$	$\searrow$	$0$

Le tableau de variation dans le cas où il n'y a pas résonance c.-à-d. si $Q<\frac{1}{\sqrt{2}}$ correspond à une $\searrow$ de $U_g$ à $0$.

     « Pour $x\to 0$», «$U_C(x)=\frac{U_g}{\sqrt{1+x^2(\frac{1}{Q^2}-2)+\cancel{x^4}}}\simeq U_g[1-\frac{x^2}{2}(\frac{1}{Q^2}-2)]$» dont on tire la dérivée par rapport à la fréquence réduite «$\frac{d{U}_C}{dx}(x)\simeq$ $U_g[-x(\frac{1}{Q^2}-2)]\to 0$» précisant que la tangente à la courbe en $x=0$ est parallèle à l'axe des $x$.

Rappel : nature du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » suivant le facteur de qualité

     A déjà été traité dans le paragraphe « nature du filtre “ réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” suivant le facteur de qualité » plus haut dans ce chapitre, on rappelle les résultats obtenus :

• « si $Q$ est faible » $($plus précisément « si $Q\lesssim 1,31$»$)$ « la réponse en tension aux bornes du condensateur du $RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est un « passe-bas » sans résonance ou avec résonance très floue et
• « si $Q$ est suffisamment grand » $($plus précisément « si $Q\gtrsim 1,31$»$)$ c'est un « passe-bande » à résonance d'autant plus aiguë que la valeur du facteur de qualité est grande, la fréquence de résonance en charge étant d'autant plus proche de la fréquence propre que $Q$ est grand.

Rappel : cas particulier d'un grand facteur de qualité

     A déjà été traité dans le paragraphe « étude de la réponse sinusoïdale forcée en charge d'un “ R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” à grand facteur de qualité, résonance forte (ou aiguë), fréquence de résonance en charge égale à celle en intensité, fréquences de coupure et bande passante à -3dB, acuité de la résonance en charge » plus haut dans ce chapitre, on rappelle le principal résultat

c'est un « passe-bande » de fréquence de résonance quasiment égale à la fréquence propre et
dont l'acuité de résonance en charge est approximativement égale au facteur de qualité.

Courbe de déphasage en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence, cas particulier d'un grand facteur de qualité

Tracé (point par point) de la courbe de déphasage en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite

Superposition des courbes d'avance de phase de la tension aux bornes du condensateur d'un $RLC$ série sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite $x$ pour les facteurs de qualité donnant une absence de résonance $Q=0,4$, une “ résonance limite en $x=0$” $Q=\frac{1}{\sqrt{2}}$, floue $Q=2$ et aiguë $Q=10$

     Voir ci-contre la superposition des tracés de l'avance de phase de la tension aux bornes du condensateur du «$RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité

• $Q=0,4$ donnant une variation lente et assez régulière du déphasage,
• $Q=10$ donnant une variation rapide au voisinage de la fréquence réduite propre et très lente en dehors,
• $Q=\frac{1}{\sqrt{2}}$ donnant une variation légèrement plus rapide qu'aux faibles valeurs du facteur de qualité, variation du déphasage restant assez régulière et
• $Q=2$ donnant une variation modérément rapide au voisinage de la fréquence réduite propre avec toutefois une variation restant notable mais plus faible en dehors.

Voir tableau de variation explicité ci-dessous :

$x$	$0$	$\nearrow$	$1$	$\nearrow$	$+\mathrm{\infty }$
$X(x)=x-\frac{1}{x}$	$-\mathrm{\infty }$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$+\mathrm{\infty }$
$({\phi }_C-{\phi }_{u_g})(x)=-\frac{\pi }{2}-\arctan [QX(x)]$	$0$	$\searrow$	$-\frac{\pi }{2}$	$\searrow$	$-\pi$

     « Pour $x\to 0$», $X(x)\sim -\frac{1}{x}$ $\Rightarrow$ «$\Delta \phi (x)=({\phi }_C-{\phi }_{u_g})(x)\sim -\frac{\pi }{2}+\arctan \left[\frac{Q}{x}\right]$» dont on tire la dérivée relativement à la fréquence réduite «$\frac{d\Delta \phi }{dx}(x)\sim \frac{1}{1+{\left(\frac{Q}{x}\right)}^2}[-\frac{Q}{x^2}]=\frac{-Q}{x^2+Q^2}\to -\frac{1}{Q}\ne 0$» précisant que la tangente à la courbe en $x=0$ n'est pas parallèle à l'axe des $x$ $($la pente étant négative d'autant plus faible en valeur absolue que $Q$ est grand$)$.

     Remarques : on retiendra deux points sur ces courbes d'avance de phase de la tension aux bornes du condensateur d'un $RLC$ série excité sinusoïdalement sur la tension à ses bornes :

• elles ont toutes un point commun en la fréquence réduite propre $x_0=1$, le déphasage étant égal à $-\frac{\pi }{2}$ et
• elles sont indépendantes du caractère « passe-bas ou passe-bande » du filtre.

Cas particulier d'un grand facteur de qualité

     « Mis à part le voisinage immédiat de $x_0=1$», « un grand facteur de qualité c.-à-d. $Q\gg 1$» implique «$Q|x-\frac{1}{x}|\gg 1$» que l'on peut réécrire «$Q(x-\frac{1}{x})\to \left\{\begin{array}{c}+\mathrm{\infty }\text{si }x>1\\ -\mathrm{\infty }\text{si }x<1\end{array}\right\}$ quand $Q\to \mathrm{\infty }$» d'où «$-\arctan \left[Q(x-\frac{1}{x})\right]\to \left\{\begin{array}{c}-\frac{\pi }{2}\text{si }x>1\\ +\frac{\pi }{2}\text{si }x<1\end{array}\right\}$ quand $Q\to \mathrm{\infty }$» et par suite l'avance de phase de la tension aux bornes du condensateur du $RLC$ série excité sinusoïdalement sur la tension à ses bornes a pour limite quand $Q\to \mathrm{\infty }$

«$({\phi }_C-{\phi }_{u_g})(x)=-\frac{\pi }{2}-\arctan \left[Q(x-\frac{1}{x})\right]\to \left\{\begin{array}{c}-\pi \text{si }x>1\\ 0\text{si }x<1\end{array}\right\}$» soit encore
«$\left\{\begin{array}{cccc}{({\phi }_C-{\phi }_{u_g})}_{H.F.}& =& -\pi & \text{si }x>1\\ {({\phi }_C-{\phi }_{u_g})}_{B.F.}& =& 0& \text{si }x<1\end{array}\right\}$ avec $x\notin 𝒱(x_0=1)$».

     Déphasage de la tension aux bornes du condensateur d'un$RLC$série excité sinusoïdalement à grand facteur de qualité sur la tension imposée au$RLC$série aux fréquences de coupure haute et basse à$-3dB$ : ayant déterminé les expressions des fréquences réduites de coupure haute et basse à $-3dB$ quand le facteur de qualité a une grande valeur dans le paragraphe « détermination des fréquences de coupure à -3dB du filtre “ réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” à grand facteur de qualité » plus haut dans ce chapitre soit «$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c,h,Q\gg 1}\simeq 1+\frac{1}{2Q}\Rightarrow \frac{1}{x_{c,h,Q\gg 1}}\simeq 1-\frac{1}{2Q}\\ x_{c,b,\mathbb{Q}\gg 1}\simeq 1-\frac{1}{2Q}\Rightarrow \frac{1}{x_{c,b,Q\gg 1}}\simeq 1+\frac{1}{2Q}\end{array}\right\}$» $\Rightarrow$ «$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c,h,Q\gg 1}-\frac{1}{x_{c,h,Q\gg 1}}\simeq \frac{1}{Q}\\ x_{c,b,Q\gg 1}-\frac{1}{x_{c,b,Q\gg 1}}\simeq -\frac{1}{Q}\end{array}\right\}$» d'où les expressions du déphasage aux fréquences de coupure à $-3dB$

«$\left\{\begin{array}{ccccc}({\phi }_x-{\phi }_F)(x_{c,h,Q\gg 1})& \simeq & -\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}& =& -\frac{3\pi }{4}\\ ({\phi }_x-{\phi }_F)(x_{c,b,Q\gg 1})& \simeq & -\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}& =& -\frac{\pi }{4}\end{array}\right\}$».

Complémentarités des informations présentes sur les courbes de valeur efficace et de déphasage dans la réponse sinusoïdale forcée en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour un facteur de qualité modéré

     La façon la plus simple de déterminer la fréquence propre du $RLC$ série quand on étudie sa réponse en tension aux bornes de son condensateur $u_C(t)$, est de le faire à partir de la connaissance de la courbe de déphasage en effet
     La façon la plus simple pour la fréquence propre on a «$({\phi }_C-{\phi }_{u_g})(x_0=1)=-\frac{\pi }{2}$ $[$moyenne arithmétique de l'avance de phase à B.F. $($qui est nulle$)$ et de celle à H.F. $($qui vaut $-\pi \left)\right]$ » $\{$la moyenne arithmétique de l'avance de phase à B.F. et de celle à H.F. s'obtenant plus aisément à partir de la courbe de déphasage si celle-ci a été tracée auparavant$\}$ ;

     La façon la plus simple pour déterminer l'existence d'une éventuelle résonance en charge, le facteur de qualité et la fréquence de résonance, on utilise la courbe de valeur efficace en effet,

• ayant déterminé la valeur de la fréquence propre, il suffit de lire sur la courbe de valeur efficace, la valeur de $U_C$ pour la fréquence propre et on en déduit «$Q=\frac{U_C(f_0)}{U_g}$»,
• « si ce dernier est $>\frac{1}{\sqrt{2}}$» il y a résonance en charge que l'on détermine aisément en prenant la valeur maximale de $U_C$, ce qui permet d'obtenir la fréquence de résonance $f_r$,
• on vérifie alors l'accord avec les valeurs de $f_0$ et $Q$ obtenues précédemment selon «$f_r=f_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}$» ;

il y a donc bien « complémentarités des courbes de valeur efficace et de déphasage » pour déterminer les grandeurs canoniques du $RLC$ série $\dots$

Détermination expérimentale de la réponse sinusoïdale forcée en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable », observation de la résonance en charge pour un facteur de qualité suffisant, détermination de la fréquence de résonance en charge

Dispositif expérimental et 1^ères observations

     On visualise simultanément la « tension aux bornes du générateur B.F. »  sur la voie $CH1$ et
     On visualise simultanément la « tension aux bornes du condensateur »  sur la voie $CH2$, on observe

• « en fonctionnement bicourbe $(y,t)$», une variabilité de l'amplitude de la courbe sur la voie $CH2$ relativement à la variation de fréquence, l'amplitude de la courbe sur la voie $CH1$ restant constante ainsi qu'une variation du déphasage de la courbe sur la voie $CH2$ par rapport à la courbe de la voie $CH1$ et
• « en fonctionnement $(x,y)$», une courbe de Lissajous elliptique caractéristique de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence ;

     on modifie la valeur du facteur de qualité en changeant la valeur de la résistance du conducteur ohmique $($si $R\nearrow$, $Q\searrow )$.

Observation de la résonance conditionnelle en charge

     On détermine la résonance en charge $q(t)$ en déterminant la résonance en tension aux bornes du condensateur $u_C(t)=\frac{q(t)}{C}$ ;

• on constate, en fonctionnement bicourbe $(y,t)$, que la valeur efficace de $u_C(t)$ a deux comportements possibles suivant la valeur de $Q$
       $\succ$« si $Q$ est $<\frac{1}{\sqrt{2}}\simeq 0,7$» la tension efficace $U_C$ $\searrow$ quand on fait croître la fréquence et
       $\succ$« si $Q$ est $>\frac{1}{\sqrt{2}}\simeq 0,7$» elle passe par un maximum pour une certaine valeur de fréquence.

En complément : détermination des fréquences de coupure à –3dB

     En mesure automatique avec les choix précédemment précisés, on détermine « la valeur de la tension efficace aux bornes du condensateur à la résonance en charge soit $U_{C,\text{max}}$» ainsi que « la fréquence de résonance $f_r$», puis

     on calcule « la valeur que doit prendre la tension efficace aux bornes du condensateur pour la $($ou les$)$ fréquence(s) de coupure à $-3dB$ $\frac{U_{C,\text{max}}}{\sqrt{2}}$» et

     on augmente $($ou diminue$)$ la fréquence pour que la mesure de $U_C$ sur la voie $CH2$ affiche cette valeur, « on mesure alors la valeur de fréquence sur la voie $CH1$» correspondant à la « fréquence de coupure haute $($ou basse$)$ à $-3dB$ » et, dans le cas où les deux fréquences de coupure à $-3dB$ existent, leur différence donne la valeur de la « bande passante à $-3dB$ ».

Analogie électromécanique, résonance en élongation d'un oscillateur mécanique amorti par frottement fluide linéaire soumis à une force excitatrice sinusoïdale

Rappel : P.E.A.E.S. analogue électromécanique d'un « R L C série » soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable

Dispositif expérimental d'enregistrement $($en perspective$)$ d'un pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire et excité par action d'une force horizontale sinusoïdale $($en vue de face$)$

     L'analogue électromécanique d'un «$RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » étant un « pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable selon l'axe du ressort » $($pour avoir l'analogue parfait il faut considérer le pendule « horizontal »$)$ voir schéma ci-contre ;

     Il ne reste plus qu'une difficulté pour obtenir la réponse en élongation d'un pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire et soumis à une force excitatrice sinusoïdale $($contrairement à l'obtention de la réponse en vitesse d'un P.E.A.E.S. où il y avait deux difficultés, l'enregistrement de la réponse en vitesse disparaissant quand on s'intéresse à la réponse en élongation$)$, celle de choisir la façon d'imposer une force sinusoïdale de fréquence choisie :

     les deux possibilités d'imposer une force sinusoïdale de fréquence choisie ont déjà été évoquées au paragraphe « analogue électromécanique d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable : pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable selon l'axe du ressort » plus haut dans ce chapitre, nous retenons
     les deux possibilités la 2^ème intitulée « façon la plus simple d'obtenir l'équivalent d'une force excitatrice sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable » qui peut être retrouvée dans le paragraphe précité
     les deux possibilités la 2^ème consistant à imposer un déplacement sinusoïdal de fréquence variable à l'extrémité du ressort initialement fixe «$x_A(t)\simeq a\cos (\omega t+{\phi }_A)$», ce déplacement sinusoïdal simulant alors sur l'autre extrémité reliée au solide une force sinusoïdale «$\overrightarrow{F}(t)={\overrightarrow{T}}_A(t)=k[x_A(t)]{\overrightarrow{u}}_x=ka\cos (\omega t+{\phi }_A){\overrightarrow{u}}_x$» $\{$notée «$\overrightarrow{F}(t)=F_m\cos (\omega t+{\phi }_F){\overrightarrow{u}}_x$» par la suite$\}$ sans que celle-ci ne lui soit imposée directement ;
     les deux possibilités la 2^ème intitulée attention, pour que cette simulation soit mise en œuvre, il est nécessaire de considérer simultanément l'extrémité $A$ fixe $($sinon nous tiendrions deux fois compte du mouvement de $A$$)$ $\dots$

Détermination de l'équation différentielle en élongation du P.E.A.E.S.

     Nous considérons l'extrémité «$A$ fixe » et l'« application directe sur $M$ d'une force excitatrice sinusoïdale $\overrightarrow{F}(t)=F_m\cos (\omega t+{\phi }_F){\overrightarrow{u}}_x$», les deux autres forces horizontales étant

• « la tension du ressort $\overrightarrow{T}(t)=-k[x(t)]{\overrightarrow{u}}_x$» $(M$ étant repéré relativement à sa position d'équilibre c.-à-d. la position du ressort à vide$)$ et
• « la force de frottement fluide linéaire $\overrightarrow{{ℛ}_{\text{flu}}}(t)=-h\dot{x}(t){\overrightarrow{u}}_x$» ;

     l'application de la r.f.d.n. à $M$ dans le référentiel d'étude galiléen que l'on projette sur ${\overrightarrow{u}}_x$ donne $-kx(t)-h\dot{x}(t)+F_m\cos (\omega t+{\phi }_F)=m\ddot{x}(t)$ soit, en ordonnant et en normalisant

«$\ddot{x}(t)+\frac{h}{m}\dot{x}(t)+\frac{k}{m}x(t)=\frac{F_m}{m}\cos (\omega t+{\phi }_F)$».

Rappel : réduction canonique du P.E.A.E.S.

     La réduction canonique a déjà été introduite dans le paragraphe « réduction canonique du P.E.A.E.S. » plus haut dans ce chapitre, on rappelle les grandeurs canoniques ci-dessous :

• la « pulsation propre ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$» et
• le « facteur de qualité $Q>0$ tel que $\frac{h}{m}=\frac{{\omega }_0}{Q}$ $\Rightarrow$ $Q=\frac{m{\omega }_0}{h}=\frac{k}{h{\omega }_0}$» ;

     on en déduit la forme canonique de l'équation différentielle normalisée en élongation avec excitation sinusoïdale

«$\ddot{x}(t)+\frac{{\omega }_0}{Q}\dot{x}(t)+{\omega }_0^{2}x(t)=\frac{F_m}{m}\cos (\omega t+{\phi }_F)$».

Détermination de la réponse forcée sinusoïdale en élongation du P.E.A.E.S.

     Amortissement du régime libre : Le régime libre s'amortit comme en électricité mais usuellement « plus lentement »  et, une fois cet amortissement terminé on observe le régime sinusoïdal forcé de pulsation $\omega$ cherché sous la forme $x(t)=X_m\cos (\omega t+{\phi }_x)$.

     On résout cette équation différentielle en passant en complexe, l'élongation instantanée complexe s'écrivant «$\underset{\_}{x}(t)=\underset{\_}{X_m}(\omega )\exp \left(i\omega t\right)$» avec l'amplitude complexe de l'élongation «$\underset{\_}{X_m}(i\omega )$ $=X_m(\omega )\exp [i{\phi }_x(\omega )]$» et la force excitatrice instantanée complexe «$\underset{\_}{F}(t)=\underset{\_}{F_m}\exp \left(i\omega t\right)$» avec l'amplitude complexe de la force «$\underset{\_}{F_m}=F_m\exp \left(i{\phi }_F\right)$» ;

     On résout cette équation différentielle en reportant dans l'équation différentielle et simplifiant par $\exp \left(i\omega t\right)$, on obtient «$-{\omega }^2\underset{\_}{X_m}(i\omega )+i\omega \frac{{\omega }_0}{Q}\underset{\_}{X_m}(i\omega )+{\omega }_0^2\underset{\_}{X_m}(i\omega )=\frac{\underset{\_}{F_m}}{m}$» dont on tire

«$\underset{\_}{X_m}(i\omega )=\frac{1}{({\omega }_0^2-{\omega }^2)+i\omega \frac{{\omega }_0}{Q}}\frac{\underset{\_}{F_m}}{m}$» ;

     on déduit de cette forme canonique de l'amplitude complexe de l'élongation les grandeurs suivantes :

• « en en prenant le module, l'amplitude de l'élongation $X_m(\omega )=|\underset{\_}{X_m}(i\omega )|=\frac{1}{|({\omega }_0^2-{\omega }^2)+i\omega \frac{{\omega }_0}{Q}|}\frac{|\underset{\_}{F_m}|}{m}=\frac{\frac{F_m}{m}}{\sqrt{{({\omega }_0^2-{\omega }^2)}^2+{\omega }^2\frac{{\omega }_0^2}{Q^2}}}$» et
• « en en prenant l'argument, la phase à l'origine de l'élongation ${\phi }_x(\omega )=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{X_m}(i\omega )]={\phi }_F-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[({\omega }_0^2-{\omega }^2)+i\omega \frac{{\omega }_0}{Q}]$» soit, en mettant $i\omega \frac{{\omega }_0}{Q}$ en facteur dans le complexe dont on cherche l'argument, «${\phi }_x(\omega )={\phi }_F-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left\{i\omega \frac{{\omega }_0}{Q}[1+iQ(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })]\right\}$ $\Rightarrow$ ${\phi }_x(\omega )=$ ${\phi }_F-\frac{\pi }{2}-\arctan \left[Q(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })\right]$» d'où l'« avance de phase de l'élongation sur la force ${\phi }_x-{\phi }_F$ $=-\frac{\pi }{2}-\arctan \left[Q(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })\right]$».

     Comme en électricité il est pratique d'introduire la pulsation réduite $($identique à la fréquence réduite$)$ notée $u$ et définie selon «$u=\frac{\omega }{{\omega }_0}=\frac{f}{f_0}$» et, avec cet emploi on peut réécrire

• l'« amplitude complexe en élongation $\underset{\_}{X_m}(iu)=\frac{1}{(1-u^2)+i\frac{u}{Q}}\frac{\underset{\_}{F_m}}{m{\omega }_0^2}=\frac{1}{(1-u^2)+i\frac{u}{Q}}\frac{\underset{\_}{F_m}}{k}$»,
• l'« amplitude de l'élongation $X_m(u)=\frac{\frac{F_m}{m{\omega }_0^2}}{\sqrt{{(1-u^2)}^2+\frac{u^2}{Q^2}}}=\frac{\frac{F_m}{k}}{\sqrt{{(1-u^2)}^2+\frac{u^2}{Q^2}}}$» et
• la « phase à l'origine de l'élongation ${\phi }_x(u)={\phi }_F-\frac{\pi }{2}-\arctan \left[Q(u-\frac{1}{u})\right]$» d'où l'« avance de phase de l'élongation sur la force ${\phi }_x-{\phi }_F$ $=-\frac{\pi }{2}-\arctan \left[Q(u-\frac{1}{u})\right]$».

Résonance conditionnelle en élongation du P.E.A.E.S.

     Les formules précédemment établies dans le paragraphe « détermination de la réponse forcée sinusoïdale en élongation du P.A.A.E.S. » plus haut dans ce chapitre concernant la « réponse en élongation du P.E.A.E.S. » étant les mêmes que celles correspondant à la « réponse en charge d'un $RLC$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable », on en déduit les mêmes propriétés à savoir :

• « résonance conditionnelle en élongation pour un facteur de qualité $Q⩾\frac{1}{\sqrt{2}}$» et une « fréquence de la force excitatrice »  inférieure à la fréquence propre de l'oscillateur, plus précisément pour une fréquence égale à «$f_r=f_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}$»,
• « déphasage entre l'élongation et la force excitatrice à la résonance en vitesse égal à $({\phi }_x-{\phi }_F)(f_0)=-\frac{\pi }{2}$»,
• nature « passe-bande ou passe-bas » en élongation de l'oscillateur suivant que le facteur de qualité est plus ou moins grand $($« passe-bande » pour $Q\gtrsim 1,31)$ avec une amplitude en élongation égale à celle de l'excitateur à B.F. et quasi nulle H.F. et une $B.P{.}_{-3dB}$ d'autant plus petite que le facteur de qualité est grand,
• « déphasage de l'élongation sur la force excitatrice » « nul à B.F. soit ${({\phi }_x-{\phi }_F)}_{B.F.}=0$» et « égale à $-\pi$ à H.F. » soit «${({\phi }_x-{\phi }_F)}_{H.F.}=-\pi$» et enfin
• « déphasage de l'élongation sur la force excitatrice à grand facteur de qualité ${({\phi }_x-{\phi }_F)}_{Q\gg 1}(x)\simeq -\frac{\pi }{2}-\arctan \left[Q(x-\frac{1}{x})\right]$» et
  comme les fréquences réduites de coupure haute et basse à $-3dB$ et à grand facteur de qualité ont été déterminées par «$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c,h,Q\gg 1}\simeq 1+\frac{1}{2Q}\\ x_{c,b,\mathbb{Q}\gg 1}\simeq 1-\frac{1}{2Q}\end{array}\right\}$», nous avons établi, en utilisant les deux résultats précédemment rappelés, «$\left\{\begin{array}{ccccc}({\phi }_x-{\phi }_F)(x_{c,h,Q\gg 1})& \simeq & -\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}& =& -\frac{3\pi }{4}\\ ({\phi }_x-{\phi }_F)(x_{c,b,Q\gg 1})& \simeq & -\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}& =& -\frac{\pi }{4}\end{array}\right\}$».

Démarche expérimentale autour des régimes transitoires du 2^nd ordre : animation « flash »

     On peut trouver cette animation à l'adresse suivante http://www.walter-fendt.de/html5/phfr/resonance_fr.htm ci-dessous une copie d'écran :

Copie d'écran d'une animation flash d'un système du 2^ème ordre

     Lancez l'animation après avoir sélectionné « diagramme élongation - temps » ainsi que les paramètres souhaités $($à choisir intelligemment$)$, suivant votre choix vous verrez $($ou ne verrez pas$)$ le régime transitoire au début puis le régime forcé.