En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques - bis (PCSI) : Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance Signaux physiques - bis (PCSI)/Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Rappel de l'impédance complexe d'un « R L C série », impédance et déphasage (avance de phase de la tension entre ses bornes sur l'intensité du courant le traversant)
Comme cela a été vu au paragraphe « exemple : impédance complexe d'un R L C série (comme exemple d'association série de plus de deux D.P.L. en r.s.f.) » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » l'impédance complexe d'un « série » en électricité complexe associée au r.s.f. [1] de fréquence s'évalue selon
«».
Impédance du « R L C série » en fonction de sa résistance et de sa réactance
La résistance du série étant toujours positive au sens large, l'avance de phase de la tension sur l'intensité et La résistance du série étant toujours positive au sens large, l'avance de phase de la tension sur l'intensité s'évalue selon soit finalement
«».
Établissement (théorique) de la réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes (et par diagramme de Fresnel), fréquence de résonance en intensité, nullité du déphasage à la résonance en intensité
Il convient bien sûr d'ajouter un schéma du circuit en complexe associée au r.s.f. [1] de fréquence .
Réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes
Soit « la tension instantanée imposée au série » et Soit «[2] l'intensité instantanée du courant le traversant », on leur associe les grandeurs instantanées complexes «» et «» [3] on leur associe les grandeurs instantanées complexes avec leurs valeurs efficaces complexes respectives «» et «» [3],[2] ;
de l'expression de l'impédance complexe du série on déduit la réponse efficace complexe en intensité par loi d'Ohm [4] en complexe soit
«».
Intensité efficace du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »
L'intensité efficace du courant traversant le série se déterminant en prenant le module de l'intensité efficace complexe on en déduit
«».
Phase à l'origine de l'intensité du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »
La tension efficace aux bornes du série étant constante et la pulsation imposée par le générateur variable, on constate que l'intensité efficace du courant traversant le série passe par un maximum quand l'impédance de ce dernier est minimale et, comme celle-ci est la racine carrée de la somme de deux termes positifs dont le 1er est constant, elle est minimale quand le 2ème l'est aussi, ce qui est réalisé quand il s'annule c.-à-d. quand pulsation propre du série.
En conclusion l'intensité efficace du courant traversant le série est maximale on dit alors que l'intensité entre en résonance quand la fréquence imposée par le générateur est égale à la fréquence propre du série ; « la valeur maximale de l'intensité efficace est alors ».
Valeur du déphasage à la résonance en intensité du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »
On vérifie que l'avance de phase de la tension aux bornes du série sur l'intensité du courant le traversant est nulle à la fréquence de résonance en intensité soit
«», c.-à-d. que l'intensité du courant traversant le série est en phase avec la tension à ses bornes à la résonance en intensité.
Réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par diagramme de Fresnel
Diagramme de Fresnel [5] associé à un série soumis à une tension sinusoïdale de tension efficace et de fréquence fixées, détermination de la réponse en intensité
Avant de traiter ce paragraphe il convient, si besoin, de revoir la notion de « vecteur de Fresnel tournant » puis celle de « vecteur de Fresnel (sous-entendu à l'origine des temps) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », Avant de traiter ce paragraphe la notion de diagramme de Fresnel [5] n'étant qu'une façon concrète de matérialiser celle d'amplitudes complexes ou de valeurs efficaces complexes [6] dans tout schéma construit à partir de vecteurs de Fresnel [5] associés aux grandeurs sinusoïdales de même pulsation [7] quand on les ajoute, dérive temporellement certaines d'entre elles ou effectue toute autre opération linéaire, nous n'indiquerons que les grandes lignes de ce traitement, préférant l'utilisation des amplitudes complexes ou des valeurs efficaces complexes [6]
On trace les vecteurs de Fresnel [5] associés à chaque tension [8], puis la somme pour déterminer le vecteur de Fresnel [5] associé à la tension imposée par le générateur, le vecteur de Fresnel [5] associé à l'intensité du courant circulant dans le série étant colinéaire au vecteur de Fresnel [5] associé à la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance , voir diagramme de Fresnel [5] ci-contre [8]
On en déduit par exemple :
« par théorème de Pythagore » [9] avec «», «» et «» d'où le lien entre et «» et
« dans le triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont et » d'où, avec les valeurs de , et rappelées ci-dessus, l'expression de l'avance de phase de la tension aux bornes du série sur l'intensité du courant le traversant «» [10].
Réduction canonique dans le cadre d'une réponse sinusoïdale forcée d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »
Comme nous l'avons vu dans le paragraphe « réductions canoniques d'un série dans le cadre de la réponse en à un échelon de tension » [11] du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », il y a trois réductions canoniques possibles et, dans le cadre du r.s.f., [1] l'habitude quasi-générale est de choisir la 2ème réduction canonique c.-à-d. :
la « pulsation propre s'exprimant en » et
le « facteur de qualité sans dimension défini par [12] soit » [13] ;
l'usage dans le cadre du r.s.f. [1] est de « remplacer la notion de pulsation en par celle de pulsation réduite[14], sans dimension [15] ».
La « réponse en intensité » du série à la « tension imposée » par le générateur n'ayant pas la même homogénéité que l'« excitation en tension », la réduction canonique ne peut être « complète » [16], il restera un facteur ayant l'homogénéité d'une impédance et nous choisirons le maintien de .
Forme canonique de l'impédance complexe d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale »
Forme canonique de l'intensité efficace complexe du courant traversant un « R L C série en complexe associée au r.s.f. » en fonction de la tension efficace complexe imposée aux bornes du « R L C série »
De l'expression canonique de l'impédance complexe du « série en électricité complexe associée au r.s.f. [1] » on déduit la réponse en intensité efficace complexe du courant traversant ce dernier en fonction de la tension efficace complexe qui lui est imposée
la « réponse en intensité efficace du courant traversant le “ série en r.s.f. [1] ” en fonction de la tension efficace aux bornes de ce dernier », la résistance du conducteur ohmique y figurant, le facteur de qualité et la fréquence réduite soit
«» [19] ou «» avec « impédance du série » sous forme réduite et
la « phase à l'origine de l'intensité instantanée du courant traversant le “ série en r.s.f. [1] ” en fonction de celle de la tension instantanée aux bornes de ce dernier, le facteur de qualité et la fréquence réduite » soit
la résonance en intensité pour la « fréquence réduite unité »[20], la « valeur maximale étant alors » et
la nullité du déphasage entre tension et intensité à la résonance en intensité c.-à-d. pour la « fréquence réduite unité »[21], soit «».
Courbe de valeur efficace en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence, nature du filtre, fréquences de coupure et bande passante à -3dB, définition de l'acuité de la résonance en intensité
Tracé (point par point) de la courbe de valeur efficace en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence
Superposition des courbes de réponse en intensité efficace traversant un série soumis à tension efficace fixée en fonction de la fréquence réduite pour les facteurs de qualité donnant une résonance floue , modérée et aiguë
Voir ci-contre la superposition des tracés de la réponse en intensité efficace du courant traversant le « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe sur laquelle on observe une résonance pour correspondant à une valeur différente du facteur de qualité
« Pour », d'où «» et par suite «» dont on tire la dérivée relativement à la fréquence réduite «» précisant que la tangente à la courbe en n'est pas parallèle à l'axe des la pente étant d'autant plus faible que est grand.
Nature du filtre de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante »
La réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est
un « passe-bande » [23] pour toute valeur du facteur de qualité
car il y a résonance quel que soit [24] avec des limites nulles à basse et haute fréquence [25].
Fréquences de coupure à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante »
Les fréquences de coupure à [26] sont « les valeurs de fréquence pour lesquelles la réponse est égale à la réponse maximale divisée par » soit ici «» ou, en fréquences réduites, «» soit concrètement l'équation suivante «» équivalente à et finalement l'équation ou encore
«» [27], étant appelée « fréquence réduite de coupure haute à [26] » [28] et « fréquence réduite de coupure basse à [26] » [29] ;
il s'agit en fait de deux équations du 2ème degré obtenues en multipliant chaque équation par ou soit «» de même discriminant chacune a donc deux solutions réelles distinctes dont le produit, égal à , assure que les deux racines de chaque équation sont de signe contraire d'où finalement l'existence d'une seule solution réelle positive pour chaque équation soit
« La bande passante à[26]d'une réponse sinusoïdale forcée d'un D.P.L. [31] soumis à une excitation sinusoïdale » est « la largeur de l'intervalle passant en fréquences à[26]de la réponse », elle est usuellement notée «[32] exprimée en » ; dans le cas présent la bande passante à [26] de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est définie par
«» ;
si l'évaluation de la bande passante à [26] suit le calcul des fréquences de coupure à [26] on en déduit
«» montrant que celle-ci est d'autant plus faible que le facteur de qualité est grand [33] ;
usuellement on s'intéresse à la bande passante à [26] et non explicitement aux fréquences de coupure à [26], il est donc nécessaire de savoir l'évaluer sans avoir à expliciter les fréquences de coupure à [26] et on procède comme suit [34] :
on part du système d'équations non linéaires en et «» le système équivalent «» ou, en réduisant les termes entre parenthèses au même dénominateur puis en factorisant, «» ;
comme les fréquences réduites de coupure à [26] sont strictement positives on a nécessairement et par suite la 1ère équation se réduit à «» soit encore
L'acuité d'une résonance est une grandeur sans dimension définissant le caractère « aigu » de celle-ci c.-à-d. une grandeur d'autant plus grande que la résonance est plus aiguë ; on choisit donc comme définition de l'acuité d'une résonance le rapport de la fréquence de résonance sur la bande passante à [26] ;
dans le cas présent l'acuité de la résonance en intensité d'un « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est défini selon
Utiliser une échelle linéaire pour représenter la grandeur efficace associée à une réponse sinusoïdale forcée d'un D.P.L. [31] soumis à une excitation sinusoïdale
est bien adapté au domaine de fréquences sur lequel la réponse efficace passe de sa valeur maximale au dixième de cette dernière,
rend la variation peu visible sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du dixième de sa valeur maximale au centième de cette dernière,
ne permet pas d'observer de variation sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du centième de sa valeur maximale au millième de cette dernière
Pour rendre observables tous les domaines de fréquences précédents on utilise une échelle logarithmique décimale pour représenter la grandeur efficace associée à une réponse sinusoïdale forcée d'un D.P.L. [31] soumis à une excitation sinusoïdale et ainsi
sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe de sa valeur maximale au dixième de cette dernière, le logarithme décimal de la réponse efficace [39] passe de sa valeur maximale à celle-ci diminuée de un,
sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du dixième de sa valeur maximale au centième de cette dernière, le logarithme décimal de la réponse efficace [39] passe de sa valeur maximale diminuée de un à celle-ci diminuée de deux,
sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du centième de sa valeur maximale au millième de cette dernière, le logarithme décimal de la réponse efficace [39] passe de sa valeur maximale diminuée de deux à celle-ci diminuée de trois
On voit donc que tous les domaines de fréquences sont devenus observables et de façon similaire.
En fait, au lieu de définir le logarithme décimal de la réponse efficace [39], on introduit une grandeur qui est « vingt fois ce logarithme décimal[40] », grandeur que l'on appelle « gain en décibels de la réponse efficace », dont l'intérêt est un effet de loupe sur la variation,
« une diminution d'une unité du logarithme décimal de la réponse efficace [39] correspondant à une diminution de [26] du gain en décibels de la réponse efficace ».
Application au cas de la réponse efficace en intensité d'unsérie soumis à une excitation sinusoïdale : l'intensité efficace sous forme canonique «» ayant la dimension d'une intensité, on définit une intensité de référence constante [41],[39] puis le « gain en décibels de l'intensité efficace sous forme canonique » ou encore
«» ;
Application au cas de la réponse efficace en intensité d'unsérie soumis à une excitation sinusoïdale : la définition de la fréquence réduite de coupure à [26] de la réponse efficace en intensité étant «» l'équivalent en « gain en décibels de l'intensité efficace » en en prenant vingt fois le logarithme décimal «» soit finalement «» [42] d'où la signification de fréquence de coupure à [26]ainsi que celle de bande passante à [26].
Courbe de déphasage en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence, valeurs particulières du déphasage à la résonance en intensité et aux fréquences de coupure à -3dB
Tracé (point par point) de la courbe de déphasage en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence
Superposition des courbes d'avance de phase de l'intensité du courant traversant un série sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite pour les facteurs de qualité donnant une résonance floue , modérée et aiguë
Voir ci-contre la superposition des tracés de l'avance de phase de l'intensité du courant traversant le « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité
donnant une variation lente et assez régulière du déphasage,
donnant une variation rapide au voisinage de la fréquence réduite de résonance en intensité efficace, la variation étant très lente en dehors et
donnant une variation modérément rapide au voisinage de la fréquence réduite de résonance en intensité efficace avec toutefois une variation restant notable mais plus faible en dehors.
« Pour », «» dont on tire la dérivée relativement à la fréquence réduite «» précisant que la tangente à la courbe en n'est pas parallèle à l'axe des la pente étant négative d'autant plus faible en valeur absolue que est grand.
Valeurs particulières du déphasage à la résonance en intensité et aux fréquences de coupure à -3dB
« La résonance en intensité se produisant » pour une fréquence imposée par le générateur égale à la fréquence propre du « série » c.-à-d. « pour une fréquence réduite égale à », on en déduit égale à et par suite « égal à » ; on retient donc que
« l'intensité du courant circulant dans le “ série ” à la résonance en intensité est en phase avec la tension à ses bornes » ou «» ;
« les fréquences de coupure haute et basse à [26] de l'intensité efficace » du courant circulant dans le « série » se déterminant par la résolution des équations «» on en déduit « égal à » soit finalement
«».
Détermination expérimentale de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable », observation de la résonance en intensité quelle que soit le facteur de qualité, détermination des fréquences de coupure à -3dB
On visualise simultanément la « tension aux bornes du générateur B.F. » [43] sur la voie et On visualise simultanément la « tension aux bornes du conducteur ohmique » [44] sur la voie , on observe
« en fonctionnement bicourbe », une variabilité de l'amplitude de la courbe sur la voie relativement à la variation de fréquence, l'amplitude de la courbe sur la voie restant constante ainsi qu'une variation du déphasage de la courbe sur la voie par rapport à la courbe de la voie et
« en fonctionnement », une courbe de Lissajous [45] elliptique caractéristique de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence ;
on modifie la valeur du facteur de qualité en changeant la valeur de la résistance du conducteur ohmique si , .
On détermine la résonance en intensité en déterminant la résonance en tension aux bornes du conducteur ohmique ;
on constate, en fonctionnement bicourbe , que la valeur efficace de [46] passe par un maximum pour une certaine valeur de fréquence [47], les deux courbes sur voies et étant alors en phase [48] ;
on vérifie, en passant en fonctionnement quand la résonance en intensité est observée, que la courbe de Lissajous [45] est un segment de droite de pente positive caractéristique de l'absence de déphasage entre les deux courbes [49], ceci étant vérifié pour toute valeur du facteur de qualité.
En mesure automatique avec les choix précédemment précisés, on détermine « la valeur de la tension efficace aux bornes du conducteur ohmique à la résonance en intensité soit » ainsi que « la fréquence de résonance » [50], puis
on calcule « la valeur que doit prendre la tension efficace aux bornes du conducteur ohmique pour les fréquences de coupure à [26]» et
on augmente ou diminue la fréquence pour que la mesure de sur la voie affiche cette valeur, « on mesure alors la valeur de fréquence sur la voie » correspondant à la « fréquence de coupure haute ou basse à [26] », la différence donnant la valeur de la « bande passante à [26] » [51].
Détermination expérimentale de la pulsation propre et du facteur de qualité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » à partir des courbes de valeur efficace et de déphasage
On détermine la fréquence de résonance en intensité
soit « sur la courbe tracée point par point de valeur efficace de l'intensité en fonction de la fréquence valeur pour laquelle la valeur efficace est maximale» [52] ou « sur la courbe de tension instantanée aux bornes d'un conducteur ohmique en série avec le série visualisée à l'oscilloscope » [53],
soit « sur la courbe tracée point par point de l'avance de phase de l'intensité sur la tension en fonction de la fréquence valeur annulant le déphasage» [52] ou « sur la courbe de Lissajous [45] entre tension aux bornes d'un conducteur ohmique en série avec le série et tension aux bornes de ce dernier visualisée à l'oscilloscope » [54] et
soit « sur la courbe tracée point par point de valeur efficace de l'intensité en fonction de la fréquence valeurs pour lesquelles la valeur efficace est égale à la valeur maximale divisée par »[52] ou « sur la courbe de tension instantanée aux bornes d'un conducteur ohmique en série avec le série visualisée à l'oscilloscope » [55],
soit « sur la courbe tracée point par point de l'avance de phase de l'intensité sur la tension en fonction de la fréquence valeurs pour lesquelles le déphasage vaut » [52] puis
on détermine la bande passante à [26] en faisant la différence des deux fréquences de coupure à [26], et enfin,
on détermine l'acuité de la résonance définie comme « rapport de la fréquence propre sur la bande passante à [26] » :
cette dernière est le facteur de qualité du « série ».
Analogie électromécanique, résonance en vitesse d'un oscillateur mécanique amorti par frottement fluide linéaire soumis à une force excitatrice sinusoïdale
Analogue électromécanique d'un « R L C série » soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable : pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable selon l'axe du ressort
Dispositif expérimental d'enregistrement en perspective d'un pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire et excité par action d'une force horizontale sinusoïdale en vue de face
L'analogue électromécanique d'un « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » est un « pendule élastique horizontal amorti P.E.H.A. par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante [56] et de fréquence variable selon l'axe du ressort » voir schéma ci-contre pour avoir l'analogue parfait il faut considérer le pendule « horizontal » [57] ;
Il y a deux difficultés pour obtenir la réponse en vitesse d'un pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire et soumis à une force excitatrice sinusoïdale,
d'une part « comment imposer une force sinusoïdale de fréquence choisie » et
d'autre part « comment enregistrer la réponse en vitesse ? »
Le plus difficile est d'imposer « directement » une force excitatrice sinusoïdale de fréquence choisie :
une 1ère possibilité est de charger l'objet en lui donnant une charge et de l'immerger dans un condensateur à isolant fluide visqueux à armatures planes à l'axe du ressort aux bornes desquelles on impose une tension sinusoïdale de fréquence choisie, on crée ainsi un champ électrique [58] sinusoïdal de même fréquence, de direction « l'axe du ressort » qui impose sur l'objet une force électrique mais, pour que l'objet reste chargé, il faut que le ressort auquel il est relié soit un isolant électrique c.-à-d. qu'il soit par exemple en plastique ce qui ne correspond pas au ressort usuel ;
en fait imposer directement une force excitatrice sinusoïdale n'est pas la façon la plus simple de réaliser une excitation sinusoïdale d'un pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire, voir remarque en fin de paragraphe.
La 2ème difficulté est d'enregistrer « directement » la réponse en vitesse, car ce qu'on obtient par la méthode d'enregistrement ci-dessus c'est la réponse en élongation :
on peut certes à partir de la réponse en élongation en déduire, point par point, la réponse en vitesse mais c'est un peu laborieux ;
une possibilité pour enregistrer la réponse en vitesse, serait d'utiliser un « capteur de position » [59] et d'envoyer le signal de sortie du capteur de position sur un « montage dérivateur » [60], ce qui permet alors d'obtenir un enregistrement en vitesse.
Dispositif expérimental d'enregistrement en perspective d'un pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire et excité sinusoïdalement par action d'un système « excentrique - bielle » agissant sur l'extrémité non liée au solide en vue de face
Façon la plus simple d'obtenir l'équivalent d'une force excitatrice sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable : cette façon consiste à créer un déplacement rectiligne sinusoïdal le long de l'axe du ressort sur son extrémité précédemment fixe voir schéma ci-contre ;
on peut utiliser, pour créer le mouvement sinusoïdal de pulsation de extrémité gauche du ressort, un système « excentrique - bielle » ayant pour but de transformer le « mouvement circulaire de l'excentrique[61] et donc de l'extrémité gauche de la bielle liée à l'excentrique[61] par une liaison pivot dont l'axe, solidaire de l'excentrique[61], est situé à une distance de l'axe de rotation de ce dernier, la vitesse angulaire de rotation de l'excentrique[61] étant » en « mouvement quasi rectiligne sinusoïdal de l'extrémité droite de la bielle liée à l'extrémité gauche du ressort c.-à-d. par une liaison pivot, le mouvement de étant quasiment d'amplitude et de pulsation », soit «» ;
il n'y a donc pas de force excitatrice s'exerçant directement sur l'objet , le bilan de forces horizontales que subit se réduisant
on remarque que la « tension du ressort peut être décomposée en deux composantes »,
« l'une résultant du déplacement de par rapport à sa position d'équilibre » [63] et
« l'autre résultant du déplacement imposé de l'extrémité », déplacement conduisant à la composante « agissant sur » ;
nous voyons donc que le fait de créer un mouvement sinusoïdal de l'extrémité «» est équivalent au problème où l'extrémitéserait maintenue fixe et où on imposerait directement surune force excitatrice sinusoïdale «».
Détermination de l'équation différentielle en vitesse du pendule élastique amorti excité sinusoïdalement (P.E.A.E.S.)
On définit les grandeurs canoniques du P.E.A.E.S. [66] correspondant à la 2ème réduction canonique introduite dans le paragraphe « réductions canoniques d'un série dans le cadre de la réponse en à un échelon de tension » [11] du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », soit
Préliminaire : Le régime libre s'amortit comme en électricité mais usuellement « plus lentement » [71] et, une fois cet amortissement terminé on observe le régime sinusoïdal forcé de pulsation cherché sous la forme «».
On résout cette équation différentielle en passant en complexe [72], la vitesse instantanée complexe s'écrivant «» [73] avec l'amplitude complexe de la vitesse «» [73] et la force excitatrice instantanée complexe «» [73] avec l'amplitude complexe de la force «» [73] ;
On résout cette équation différentielle en reportant dans l'équation différentielle et simplifiant par , on obtient «» dont on tire
Les formules précédemment établies sur la « réponse en vitesse du pendule élastique amorti soumis à une force sinusoïdale d'amplitude fixée et de fréquence variable » c.-à-d. la réponse en vitesse du P.E.A.E.S. [66] étant de même forme que celles correspondant à la « réponse en intensité du courant traversant un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable » [77], on en déduit les mêmes propriétés à savoir :
« résonance en vitesse pour une fréquence de la force excitatrice [78] égale à la fréquence propre de l'oscillateur », la « valeur maximale de l'amplitude en vitesse étant » [79],
« nullité du déphasage à la résonance en vitesse entre la vitesse et la force excitatrice » [80],
« nature passe-bande en vitesse de l'oscillateur quel que soit le facteur de qualité » « nature passe-bande en vitesse de l'oscillateur avec une « amplitude en vitesse quasi nulle à B.F. et H.F. » et « nature passe-bande en vitesse de l'oscillateur une « d'autant plus petite que le facteur de qualité est grand », « caractérisant l'acuité de la résonance »,
« quadrature avance de la vitesse sur la force excitatrice à B.F. » l'avance de phase de la vitesse sur la force excitatrice étant pour la fréquence de coupure basse à [26] et « quadrature retard de la vitesse sur la force excitatrice à H.F. » l'avance de phase de la vitesse sur la force excitatrice étant pour la fréquence de coupure haute à [26].
Établissement (théorique) de la réponse sinusoïdale forcée en charge (ou tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes (et par diagramme de Fresnel), résonance en charge (sous condition de facteur de qualité suffisant) pour une fréquence inférieure à la fréquence propre, nature du filtre suivant le facteur de qualité
Il convient bien sûr d'ajouter un schéma du circuit en électricité complexe associée au r.s.f. [1] de fréquence .
Réponse sinusoïdale forcée en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes
Soit « la tension instantanée imposée au série » et Soit «[81] la tension instantanée aux bornes du condensateur », on leur associe les grandeurs instantanées complexes «» et «» [82] on leur associe les grandeurs instantanées complexes avec leurs valeurs efficaces complexes respectives «» et «» [82],[81] ;
« étant la tension instantanée complexe de sortie ouverte d'un pont diviseur de tension dont la tension instantanée complexe d'entrée est » on en déduit, en valeurs efficaces complexes, «» [83] et, en multipliant haut et bas par puis en regroupant les termes réels du dénominateur et en ordonnant
«».
Réduction canonique de la réponse sinusoïdale forcée en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »
le « facteur de qualité sans dimension défini par [12] soit » [13] ;
on rappelle que l'usage dans le cadre du r.s.f. [1] est de « remplacer la notion de pulsation en par celle de pulsation réduite[14], sans dimension [15] ».
La « réponse en tension aux bornes du condensateur » du série soumis à la « tension imposée » par le générateur ayant la même homogénéité, la réduction canonique sera « complète » [16], « mis à part la tension efficace complexe imposée par le générateur, la forme canonique de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur ne dépendra que du facteur de qualité et de la fréquence réduite ».
Pour déterminer la forme canonique réduite [84] de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur, on élimine d'abord au profit de en y reportant soit [85] et finalement, en reconnaissant dans l'inverse du facteur de qualité
«» [86],[87], cette forme canonique [88] usuelle étant aussi la forme canonique « pratique » [89].
Remarque : si au lieu de chercher la réponse en intensité du courant traversant le « série soumis à une tension sinusoïdale de tension efficace fixée et de fréquence variable » on souhaite obtenir la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique du même « soumis à une tension sinusoïdale de même tension efficace fixée et de fréquence variable », on peut procéder
Remarque : en déterminant d'abord par loi d'Ohm [4] en complexe [90] puis en déduire en utilisant ou
Remarque : en reconnaissant dans la tension instantanée complexe de sortie ouverte d'un pont diviseur de tension dont la tension instantanée complexe d'entrée est soit, en valeurs efficaces complexes, «» [83] se réécrivant sous forme canonique normalisée pratique en divisant haut et bas par et en mettant le dénominateur obtenue sous sa forme algébrique, soit «» il est aisé d'en déduire la forme canonique normalisée pratique réduite «» [91],[92] qui a été utilisée pour faire l'étude des variations du module et de l'argument ;
Remarque : à partir de «» obtenue par P.D.T. [93] en sortie ouverte, on peut mettre la réponse efficace en tension aux bornes du conducteur ohmique sous sa forme canonique normalisée usuelle en multipliant haut et bas par puis en regroupant les termes réels du dénominateur et enfin en ordonnant «» [94]
![{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{R\,L\,C\;{\text{série}}}({\cancel {\omega }})=\Re \left[{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )\right]=R\;\in \mathbb {R} ^{+}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7079b24951a0e3894373a61719273ce2c363fc)
![{\displaystyle \;X_{R\,L\,C\;{\text{série}}}(\omega )=\Im \left[{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )\right]=L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\;\in \mathbb {R} \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfca4ba0cd7036f8e361801864705b6c1d92232)
![{\displaystyle \;\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\;,\;+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce886b8a3ea433e4f81d863285c464e3ee3cfc8)
![{\displaystyle \;\varphi _{u}-\varphi _{i}=\arctan \!\left[{\dfrac {X_{R\,L\,C\;{\text{série}}}(\omega )}{{\mathcal {R}}_{R\,L\,C\;{\text{série}}}({\cancel {\omega }})}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85964e078a90d7a0bda1938a048d3bc591f34105)
![{\displaystyle \;{\underline {I}}(j\,\omega )=I(\omega )\,\exp \!\left[j\,\varphi _{i}(\omega )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43621081b395e614b9076a5246b6ae5736edfadd)
![{\displaystyle \;\varphi _{i}(\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I}}(j\,\omega )\right]=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {U_{g}}}\right]-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{\text{R L C série}}}}\right]=\varphi _{u_{g}}-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}}{R}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e56bc3ed95db27502c2d0194a709f8617a5ee50)
![{\displaystyle \;{\underline {Z_{\text{R L C série}}}}(j\,x\,\omega _{0})=R\left[1+j\left({\dfrac {L\,\omega _{0}}{R}}\,x-{\dfrac {1}{R\,C\,\omega _{0}}}\,{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b933e974c49f82318b9da8ea17bb06c605164de4)
![{\displaystyle \;{\underline {Z_{\text{R L C série}}}}(j\,x)=R\left[1+j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcd2f0d1be3f4a1cc40afcfe3b037ef53026430)
![{\displaystyle \;{\underline {I}}(j\,x)={\dfrac {{\underline {U}}_{g}}{{\underline {Z_{\text{R L C série}}}}(j\,x)}}={\dfrac {{\underline {U}}_{g}}{R\left[1+j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ab74d9857db88dd79e1c5db5eb123f9481089a)
![{\displaystyle \;\varphi _{i}(x)=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I}}(j\,x)\right]=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {U_{g}}}\right]-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{\text{R L C série}}}}(j\,x)\right]=\varphi _{u_{g}}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f4f258c361e0856a81272e75a8426dbc4502e9)
![{\displaystyle \;\left[f_{0}\left(-{\dfrac {1}{2\;Q}}+{\sqrt {1+{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}}}\right)\;;\;f_{0}\left({\dfrac {1}{2\;Q}}+{\sqrt {1+{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518af6be3b60331c31cc2eeb0f181fab137937d5)
![{\displaystyle \;I_{dB}(x)=20\;\log \!\left[{\dfrac {I(x)}{I_{\text{réf}}}}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e10de874b472fe45e5c205e1f65c9adc04be30)
![{\displaystyle 20\;\log \!\left[{\dfrac {\dfrac {U_{g}}{R}}{I_{\text{réf}}}}\right]-20\;\log \!\left[{\sqrt {1+Q^{2}\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)^{\!\!2}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6c32474a3a6e3b424965c0af6f7f852f4bc0a1)
![{\displaystyle \;I_{dB}(x)=20\;\log \!\left[{\dfrac {I(x)}{I_{\text{réf}}}}\right]=I_{dB\,{\text{max}}}-10\;\log \!\left[1+Q^{2}\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)^{\!\!2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a297b4966d73220a71875c88529715114565280)
![{\displaystyle \;I_{dB}(x_{c})=I_{dB\,{\text{max}}}-20\;\log \!\left[{\sqrt {2}}\right]=I_{dB\,{\text{max}}}-10\;\log(2)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71aacf5ecad12b91120cd81cfbcbe8487376833)
![{\displaystyle \;\left(\varphi _{i}-\varphi _{u_{g}}\right)(x)=-\arctan \!\left[Q\;X(x)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1719ea9ad7b232e474bf6bde784838425284d070)
![{\displaystyle \;\Delta \varphi (x)=\left(\varphi _{i}-\varphi _{u_{g}}\right)(x)\sim \arctan \!\left[{\dfrac {Q}{x}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18805dbae3fd9f366407ebfafaebf26e1a58a9b1)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\Delta \varphi }{dx}}(x)\sim {\dfrac {1}{1+\left({\dfrac {Q}{x}}\right)^{\!2}}}\left[-{\dfrac {Q}{x^{2}}}\right]={\dfrac {-Q}{x^{2}+Q^{2}}}\rightarrow -{\dfrac {1}{Q}}\neq 0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a805a1a48c9a0bfb93022cfc75ef4f849c3b6b93)
![{\displaystyle \;\Delta \varphi (x_{r})=\left(\varphi _{i}-\varphi _{u_{g}}\right)(x_{r})=-\arctan \!\left[Q\;X(x_{r})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae71b1b5f47412d7a01234b5e062a9cc88bc8892)
![{\displaystyle \;\Delta \varphi (x)=\left(\varphi _{i}-\varphi _{u_{g}}\right)(x)=-\arctan \!\left[Q\;X(x)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eff9c596b6d19ff4ece3b0100875216dfc219ec)
![{\displaystyle \;{\vec {T}}(t)=-k\left[x(t)-x_{A}(t)\right]{\vec {u}}_{x}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c966fcc59648f9c3b16d3fd26346bf77b5cec57)
![{\displaystyle \;{\vec {T}}_{M}(t)=-k\left[x(t)\right]{\vec {u}}_{x}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425a7ae29899164fe51e1b088b0736562a439252)
![{\displaystyle \;{\vec {T}}_{A}(t)=k\left[x_{A}(t)\right]{\vec {u}}_{x}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66286b850d4c4d00ed73be1b7bfa31843548ee6c)
![{\displaystyle =k\left[x_{A}(t)\right]{\vec {u}}_{x}=k\;a\;\cos \!\left(\omega \;t+\varphi _{A}\right){\vec {u}}_{x}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e673b6e946ea0e6b553674cab0c1e69ea1c53bfe)
![{\displaystyle \;{\vec {T}}(t)=-k\left[x(t)\right]{\vec {u}}_{x}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/660764ba8f60ff2d32538e21a2b5261a00dce792)
![{\displaystyle V_{m}(\omega )\;\exp \!\left[i\;\varphi _{v}(\omega )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4fffa30455c4985c5d867d64168b1b1c4ac4c10)
![{\displaystyle \;\varphi _{v}(\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {V_{m}}}(i\,\omega )\right]=\varphi _{F}-\mathrm {arg} \!\left[1+i\;Q\left({\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega _{0}}{\omega }}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3323b3681dd08872943374f6b64fde663e05df9)
![{\displaystyle =-\arctan \!\left[Q\left({\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega _{0}}{\omega }}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b121da97052ae8d6d17289cc1c743be53a51b6ad)
![{\displaystyle \;{\underline {U_{C}}}(j\,\omega )=U_{C}(\omega )\,\exp \!\left[j\,\varphi _{C}(\omega )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e975bd3cac5ffc86efe68e98c4e1006b974427)
