Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes

Atome de Bohr (modèle de l'atome d'hydrogène)

     On considère un électron de masse $\;m_{e}\simeq 0,91\;10^{-30}\;kg$, de charge $\;-e\simeq -1,6\;10^{-19}\;C$ $\;{\big (}e\;$ étant la charge élémentaire${\big )}$, dans le champ d'attraction d'un noyau d'hydrogène $\;{\big (}$c'est-à-dire d'un proton de masse $\;m_{p}\simeq 1,67\;10^{-27}\;kg$, de charge $\;+e\simeq +1,6\;10^{-19}\;C{\big )}$ ;

     on suppose que l'électron suit la mécanique classique $\;{\big (}$en particulier, qu'il a une trajectoire « bien définie »${\big )}\;$ et que son mouvement est circulaire de rayon $\;r_{0}\;$ dans le référentiel « protocentrique » supposé galiléen ;

     de plus on suppose qu'il ne subit que l'« attraction électrostatique de Coulomb de son noyau » ;

     dans la 1^re partie, on se propose de déterminer un certain nombre de propriétés du mouvement de l'électron et

     dans la 2^ème        , après les avoir comparées aux résultats expérimentaux, d'ajouter l'hypothèse de Bohr permettant de tenter d'expliquer ces résultats.

Détermination de grandeurs cinétiques et dynamiques de l'électron de l'atome d'hydrogène dans le cadre de la mécanique classique quand le 1^er est en mouvement circulaire dans le référentiel « protocentrique » lié au 2^nd

     Déterminer, en utilisant $\;{\big (}$quand cela est possible${\big )}\;$ les notions de cinétique et dynamique du point matériel en mouvement circulaire autour d'un axe $\;{\big (}$fixe${\big )}\;$ dans le référentiel d'étude galiléen,

• la nature uniforme du mouvement circulaire de l'électron dans le référentiel « protocentrique » $\;{\mathcal {R}}_{\text{protocent}}\;$ galiléen puis
• en fonction de « la permittivité diélectrique du vide $\;\varepsilon _{0}\;$», $\;e$, $\;m_{e}\;$ et $\;r_{0}\;$
  $\;\succ \;$sa vitesse angulaire $\;\Omega \;$ et
  $\;\succ \;$sa vitesse instantanée $\;v\;$ toutes deux dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{protocent}}\;$ ainsi que
  $\;\succ \;$sa période $\;T$, et enfin
• en fonction de « la permittivité diélectrique du vide $\;\varepsilon _{0}\;$», $\;e\;$ et $\;r_{0}\;$
  $\;\succ \;$son énergie cinétique $\;K$,
  $\;\succ \;$son énergie potentielle électrostatique $\;U\;$ en choisissant sa référence à l'infini et
  $\;\succ \;$son énergie mécanique $\;E_{m}\;$ dans le champ électrostatique du noyau d'hydrogène toutes trois dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{protocent}}$.

Solution

     Dans le référentiel « protocentrique » $\;{\mathcal {R}}_{\text{protocent}}\;$ galiléen, l'électron $\;M_{e}\;$ n'est soumis qu'à la force d'attraction électrique exercée par le proton $\;P\;$ «$\;{\vec {F}}_{M_{e}\,\leftarrow \,P}={\dfrac {q_{p}\;q_{e}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» dans laquelle $\;r\;$ et $\;u_{r}\;$ sont respectivement la coordonnée radiale et le vecteur unitaire radial du repérage sphérique de pôle $\;P\;$ de l'électron $\;M_{e}$.

• Établissement de la nature uniforme du mouvement circulaire de l'électron : l'électron ayant un mouvement circulaire de centre $\;P\;$ et de rayon $\;r_{0}\;$ on remplace le repérage sphérique de pôle $\;P\;$ de l'électron par son repérage « cylindro-polaire » de pôle $\;P\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Pz}}$ $\;{\big [}$axe $\;\perp \;$ au plan de la trajectoire, le sens de $\;{\vec {u}}_{z}\;$ définissant le sens de rotation de l'électron autour de $\;P{\big ]}\;$ tel que le vecteur unitaire radial du repérage cylindro-polaire de $\;M_{e}\;$ soit confondu avec celui de son repérage sphérique ;
  Établissement de la nature uniforme du mouvement circulaire de l'électron : le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à $\;M_{e}\;$ en mouvement circulaire relativement à $\;Pz\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{protocent}}\;$ galiléen donne «$\;{\mathcal {M}}_{Pz}({\vec {F}}_{M_{e}\,\leftarrow \,P})=J_{Pz}\;{\dfrac {d\Omega }{dt}}(t)\;$» dans lequel «$\;J_{Pz}=m_{e}\;r_{0}^{\,2}\;$ est le moment d'inertie de $\;M_{e}\;$ relativement à l'axe $\;Pz\;$» et «$\;\Omega (t)\;$ sa vitesse angulaire à l'instant $\;t\;$», avec «$\;{\mathcal {M}}_{Pz}({\vec {F}}_{M_{e}\,\leftarrow \,P})=0\;$» $\;{\big [}$en effet le bras de levier de $\;{\vec {F}}_{M_{e}\,\leftarrow \,P}\;$ est nul, le support de la force passant par $\;P{\big ]}$, d'où «$\;{\dfrac {d\Omega }{dt}}(t)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;\Omega =cste\;$» c'est-à-dire l'uniformité de la vitesse angulaire du mouvement circulaire.
• Établissement de quelques grandeurs cinématiques de l'électron : la vitesse angulaire dépendant de l'intensité de la force d'attraction électrique nous l'obtenons en projetant la r.f.d.n. sur le vecteur unitaire radial $\;{\vec {u}}_{r}\;$ du repérage cylindro-polaire de l'électron soit «$\;F_{M_{e}\,\leftarrow \,P,\,r}=m_{e}\;a_{E,\,r}\;$» ou, le mouvement étant circulaire de rayon $\;r_{0}\;$ et l'accélération radiale valant «$\;a_{E,\,r}=-r_{0}\;\Omega ^{\,2}\;$» d'une part et d'autre part «$\;{\vec {F}}_{M_{e}\,\leftarrow \,P}=$ $-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{0}^{\,2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ $\Rightarrow$ $\;F_{M_{e}\,\leftarrow \,P,\,r}=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{0}^{\,2}}}\;$», on en déduit «$\;-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{0}^{\,2}}}=-m_{e}\;r_{0}\;\Omega ^{\,2}\;$» soit finalement la vitesse angulaire de l'électron sur sa trajectoire circulaire «$\;\Omega ={\sqrt {\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{0}^{\,3}}}}\;$» ;
  Établissement de quelques grandeurs cinématiques de l'électron : la vitesse instantanée $\;v(t)\;$ d'un mouvement circulaire de rayon $\;r_{0}\;$ est liée à la vitesse angulaire $\;\Omega (t)\;$ de ce mouvement au même instant par «$\;v(t)=r_{0}\;\Omega (t)\;$», on en déduit l'expression de la vitesse instantanée de l'électron sur sa trajectoire circulaire «$\;v={\sqrt {\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{0}}}}\;$» ;
  Établissement de quelques grandeurs cinématiques de l'électron : la période orbitale de l'électron sur sa trajectoire circulaire s'évalue par «$\;T={\dfrac {2\;\pi }{\Omega }}={\dfrac {2\;\pi }{\sqrt {\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{0}^{\,3}}}}}\;$» soit finalement «$\;T={\dfrac {4\;\pi ^{\frac {3}{2}}\;{\sqrt {\varepsilon _{0}\;m_{e}}}\;\left(r_{0}\right)^{\frac {3}{2}}}{e}}={\dfrac {2\;\pi \;{\sqrt {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}}}\;\left(r_{0}\right)^{\frac {3}{2}}}{e}}\;$».
• Établissement des grandeurs énergétiques de l'électron : l'énergie cinétique de l'électron $\;K\;$ en mouvement uniforme de vitesse instantanée $\;v\;$ dans le référentiel « protocentrique » $\;{\mathcal {R}}_{\text{protocent}}\;$ s'évalue selon «$\;K=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m_{e}\;v^{\,2}\;$» $\;{\bigg [}$ce qui se réécrit, le mouvement étant circulaire de rayon $\;r_{0}\;$ et de vitesse angulaire $\;\Omega$, «$\;K={\dfrac {1}{2}}\;m_{e}\;r_{0}^{\,2}\;\Omega ^{2}={\dfrac {1}{2}}\;J_{Pz}\;\Omega ^{2}\;$ avec $\;J_{Pz}=m_{e}\;r_{0}^{\,2}\;$ le moment d'inertie de $\;M_{e}\;$ relativement à l'axe $\;Pz\;$»${\bigg ]}\;$ soit «$\;K={\dfrac {1}{2}}\;m_{e}\;{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{0}}}\;$» et finalement l'expression de l'énergie cinétique de l'électron dans son mouvement circulaire de rayon $\;r_{0}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{protocent}}\;$ «$\;K={\dfrac {e^{2}}{8\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{0}}}\;$» ;
  Établissement des grandeurs énergétiques de l'électron : l'énergie potentielle électrique $\;U\;$ de l'électron dans le champ du proton est définie par «$\;\delta W({\vec {F}}_{M_{e}\,\leftarrow \,P})=-dU\;$» ou «$\;{\vec {F}}_{M_{e}\,\leftarrow \,P}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{e}=-dU\;$ dans lequel $\;{\overrightarrow {dM}}_{e}\;$ est un vecteur déplacement élémentaire quelconque de l'électron $\;{\big (}$c'est-à-dire sans tenir compte de son mouvement particulier${\big )}\;$» soit encore «$\;-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}\;dr=-dU\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {dU}{dr}}(r)=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;U(r)=$ $-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r}}+cste\;$», la valeur de la «$\;cste\;$» étant déterminée par le choix à l'infini de la référence de l'énergie potentielle d'où «$\;cste=0\;$» et par suite l'expression de l'énergie potentielle électrique de l'électron en mouvement circulaire de rayon $\;r_{0}\;$ dans le champ du proton «$\;U(r)=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{0}}}\;$» ;
  Établissement des grandeurs énergétiques de l'électron : l'énergie mécanique $\;E_{m}\;$ de l'électron dans le champ du proton étant définie, dans le référentiel « protocentrique » $\;{\mathcal {R}}_{\text{protocent}}\;$ par «$\;E_{m}=K+U\;$» se réécrit, dans le cas où l'électron a un mouvement circulaire de rayon $\;r_{0}\;$ avec une référence à l'infini pour son énergie potentielle dans le champ protonique, selon «$\;E_{m}=-{\dfrac {e^{2}}{8\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{0}}}\;$».

 

Tentative de justification des résultats expérimentaux sur l'atome d'hydrogène par quantification du moment cinétique orbital de l'électron (modèle de Bohr)

     Les valeurs de l'énergie mécanique $\;E_{m}\;$ de l'électron en mouvement circulaire dans le référentiel « protocentrique » $\;{\mathcal {R}}_{\text{protocent}}\;$ galiléen représentant les niveaux d'énergie permis de l'électron dans l'atome d'hydrogène, on constate que la théorie classique précédente permet toutes les valeurs de $\;E_{m}<0$ ;

     or les résultats expérimentaux imposent que les valeurs de $\;E_{m}\;$ soient quantifiées, égales à $\;{\dfrac {E_{1}}{n^{2}}}\;$ avec $\;E_{1}\simeq -13,6\;eV\;$ et $\;n\;$ le nombre quantique principal $\;\in \mathbb {N} ^{*}$ ;

     pour retrouver cela, Bohr suppose la quantification du moment cinétique scalaire orbital de l'électron relativement à son axe de rotation $\;Pz\;$ $\;{\big (}P\;$ étant le centre du noyau d'hydrogène${\big )}\;$ selon $\;\sigma _{z}=n\;\hbar \;$ où «$\;\hbar \;$» est la constante réduite de Planck «$\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\;$» $\;{\big (}h\;$ étant la constante de Planck valant $\;h\simeq 6,63\;10^{-34}\;J\cdot s{\big )}$.

     On se propose de déterminer, dans l'hypothèse de mouvement circulaire de l'électron dans le référentiel « protocentrique » $\;{\mathcal {R}}_{\text{protocent}}\;$ galiléen,

• le moment cinétique orbital scalaire $\;\sigma _{z}\;$ de l'électron relativement à son axe de rotation $\;Pz\;$ en fonction de « la permittivité diélectrique du vide $\;\varepsilon _{0}\;$», $\;e$, $\;m_{e}\;$ et $\;r_{0}$,
• les valeurs $\;\left({\begin{array}{c}{\text{de }}r_{0}\;{\text{ et}}\\{\text{de }}E_{m}\end{array}}\right)\;$ autorisées par la quantification de $\;\sigma _{z}$, en fonction de « la permittivité diélectrique du vide $\;\varepsilon _{0}\;$», $\;e$, $\;m_{e}$, « la constante réduite de Planck $\;\hbar \;$» et « le nombre quantique principal $\;n\;$»,
• la valeur de la constante de Planck $\;h\;$ déduite de $\;E_{1}\simeq -13,6\,eV\;$ ;

     commenter ce dernier résultat en le comparant à la valeur déterminée actuellement et en utilisant vos connaissances de mécanique quantique.

Solution

• Établissement du moment cinétique orbital scalaire de l'électron relativement à son axe de rotation  : un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dont la trajectoire est circulaire de rayon $\;R\;$ autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel d'étude tel que sa vitesse angulaire de rotation à l'instant $\;t\;$ soit $\;\Omega (t)\;$ ayant pour moment cinétique scalaire $\;\sigma _{M\,/\,\Delta }(t)\;$ de $\;M\;$ relativement à $\;\Delta \;$ au même instant $\;t\;$ «$\;\sigma _{M\,/\,\Delta }(t)=J_{\Delta }(M)\;\Omega (t)\;$ avec $\;J_{\Delta }(M)=$ $m\;R^{2}\;$ le moment d'inertie de $\;M\;$ par rapport à $\;\Delta \;$», on en déduit le moment cinétique orbital scalaire de l'électron relativement à son axe de rotation $\;Pz\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{protocent}}\;$ «$\;\sigma _{Pz}=J_{Pz}\;\Omega \;$» soit, en reportant l'expression de vitesse angulaire «$\;\Omega ={\sqrt {\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{0}^{\,3}}}}\;$» et celle du moment d'inertie de l'électron par rapport à $\;Pz\;$ «$\;J_{Pz}=m_{e}\;r_{0}^{\,2}\;$», «$\;\sigma _{Pz}=m_{e}\;r_{0}^{2}\;{\sqrt {\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{0}^{\,3}}}}\;$» et, après simplification évidente, l'expression finale du moment cinétique orbital scalaire de l'électron relativement à son axe de rotation dans le référentiel « protocentrique » $\;{\mathcal {R}}_{\text{protocent}}\;$ «$\;\sigma _{Pz}=e\;{\sqrt {\dfrac {m_{e}\;r_{0}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}}\;$».
• Conséquences de l'hypothèse de quantification de Bohr du moment cinétique orbital scalaire de l'électron relativement à son axe de rotation : de l'hypothèse de quantification de Bohr du moment cinétique orbital scalaire de l'électron relativement à son axe de rotation $\;Pz\;$ selon «$\;\sigma _{z}=n\;\hbar \;$» avec «$\;\hbar \;$ la constante réduite de Planck égale à $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\;$» $\;{\big (}h\;$ étant la constante de Planck${\big )}\;$ et «$\;n\in \mathbb {N} ^{*}$ le nombre quantique principal » nous en déduisons
  Conséquences de l'hypothèse de quantification de Bohr :   $\;\succ \;$la quantification du rayon de la trajectoire circulaire de l'électron $\;r_{0}\;$ selon «$\;e\;{\sqrt {\dfrac {m_{e}\;r_{0}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}}=n\;\hbar \;$» $\Rightarrow$ «$\;r_{0}=n^{2}\;{\dfrac {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;\hbar ^{2}}{m_{e}\;e^{2}}}\;$» soit finalement «$\;r_{0}=n^{2}\;{\dfrac {\varepsilon _{0}\;h^{2}}{\pi \;m_{e}\;e^{2}}}\;$» et
  Conséquences de l'hypothèse de quantification de Bohr :   $\;\succ \;$la quantification de l'énergie mécanique de l'électron dans le champ du proton $\;E_{m}\;$ utilisant «$\;r_{0}=n^{2}\;{\dfrac {\varepsilon _{0}\;h^{2}}{\pi \;m_{e}\;e^{2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;E_{m}=-{\dfrac {e^{2}}{8\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{0}}}=$ $-{\dfrac {e^{2}}{8\;\pi \;\varepsilon _{0}\;n^{2}\;{\dfrac {\varepsilon _{0}\;h^{2}}{\pi \;m_{e}\;e^{2}}}}}=-{\dfrac {m_{e}\;e^{4}}{32\;\pi ^{2}\;\varepsilon _{0}^{2}\;\hbar ^{2}}}\;{\dfrac {1}{n^{2}}}\;$» soit finalement l'expression quantifiée de Bohr de l'énergie mécanique de l'électron en mouvement circulaire dans le champ du proton «$\;E_{m}=-{\dfrac {m_{e}\;e^{4}}{8\;\varepsilon _{0}^{2}\;h^{2}}}\;{\dfrac {1}{n^{2}}}\;$».
• Évaluation de la constante de Planck à partir des résultats expérimentaux greffés sur le modèle de Bohr : de l'expression de l'énergie mécanique de l'état fondamental de l'électron en mouvement circulaire dans le champ du proton obtenue par hypothèse de Bohr «$\;E_{1}=-{\dfrac {m_{e}\;e^{4}}{8\;\varepsilon _{0}^{2}\;h^{2}}}\;$» et de « sa valeur expérimentale $\;E_{1}\simeq -13,6\;eV\;$» on en tire l'expression de la constante de Planck selon «$\;h={\dfrac {e^{2}}{\varepsilon _{0}}}\;{\sqrt {\dfrac {m_{e}}{8\,\left(-E_{1}\right)}}}\;$» soit numériquement «$\;h\simeq {\dfrac {\left(1,6\;10^{-19}\right)^{2}}{\dfrac {1}{36\;\pi \;10^{9}}}}\times {\sqrt {\dfrac {0,91\;10^{-30}}{8\times \left(13,6\times 1,610^{-19}\right)}}}\;$» soit finalement «$\;h\simeq 6,62\;10^{-34}\;U.S.I.\;$».
• Commentaires : On constate une excellente concordance entre la valeur expérimentale de $\;h\;$ et la valeur calculée par théorie de Bohr bien que cette théorie soit reconnue de nos jours « inacceptable » ;
  Commentaires : en effet il y a bien quantification du moment cinétique scalaire de l'électron mais le nombre quantique intervenant n'est pas le nombre quantique principal $\;n\;$ mais le « nombre quantique magnétique $\;{\mathfrak {m}}_{\mathit {l}}\;$» $\;{\big [}{\mathfrak {m}}_{\mathit {l}}\;$ étant un entier relatif $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;\in \mathbb {Z} {\big )}\;$ tel que $\;\vert {\mathfrak {m}}_{\mathit {l}}\vert \leqslant {\mathit {l}}\;$ où $\;{\mathit {l}}\;$ est le nombre quantique secondaire «$\;\in \mathbb {N} \;$ tel que $\;{\mathit {l}}\leqslant n-1\;$» avec $\;n\;$ nombre quantique principal «$\;\in \mathbb {N} ^{*}\;$»${\big ]}\;$ c'est-à-dire que la quantification du moment cinétique scalaire de l'électron s'écrit «$\;\sigma _{z}={\mathfrak {m}}_{\mathit {l}}\;\hbar \;$» $\;{\big (}$avec $\;{\mathfrak {m}}_{\mathit {l}}\;$ ne pouvant pas prendre la valeur $\;n{\big )}\;$ et simultanément la quantification de l'énergie mécanique de l'électron «$\;E_{m,\,n}={\dfrac {E_{m,\,{\text{fond}}}}{n^{2}}}\;$».
  Commentaires : Remarque : la quantification du moment cinétique scalaire proposée par Niels Bohr «$\;\sigma _{z}=n\;\hbar \;$» avec «$\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\;$ la constante réduite de Planck » et «$\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ le nombre quantique principal » se réécrit «$\;p_{M_{e}}\;r=n\;\hbar \;$ avec $\;p_{M_{e}}=\Vert {\vec {p}}_{M_{e}}\Vert \;$ la norme du vecteur quantité de mouvement de l'électron » ou «$\;p_{M_{e}}\,\left(2\;\pi \;r\right)=n\;h\;$ avec $\;h\;$ la constante de Planck » soit encore, en introduisant la longueur d'onde de de Broglie associée à l'électron «$\;\lambda _{d.B.\,M_{e}}={\dfrac {h}{p_{M_{e}}}}\;$», sous la forme «$\;\left(2\;\pi \;r\right)=n\;\lambda _{d.B.\,M_{e}}\;$» ou «$\;\left(\pi \;r\right)=n\;{\dfrac {\lambda _{d.B.\,M_{e}}}{2}}\;$» dans laquelle $\;{\dfrac {\lambda _{d.B.\,M_{e}}}{2}}\;$ serait la distance séparant deux nœuds consécutifs $\;{\big (}$ou deux ventres consécutifs${\big )}\;$ d'un système d'ondes stationnaires sinusoïdales de matière électronique, la quantification du moment cinétique orbital scalaire de l'électron selon Niels Bohr pouvant être interprétée comme la condition de résonance d'un système d'ondes stationnaires sinusoïdales de matière électronique le long de la moitié du cercle de rayon $\;r$, cette condition n'étant qu'une curiosité sans fondement théorique retenu.
• Additif sur la nécessité d'une quantification de l'énergie de l'électron de l'atome d'hydrogène : les résultats expérimentaux sont en désaccord avec ce qu'on déduit du modèle classique de l'atome d'hydrogène ; en particulier dans ce modèle, en considérant une trajectoire circulaire pour l'électron, l'énergie mécanique de l'atome peut prendre n'importe quelle valeur
  Additif sur la nécessité d'une quantification de l'énergie de l'électron de l'atome d'hydrogène : alors qu'expérimentalement, on mesure une énergie minimale de $\;-13,6\;eV\;$ correspondant à l'état fondamental de cet atome d'$H$ ; cette valeur minimale se détermine en mesurant l'énergie d'ionisation de l'atome d'$H\;$ «$\;E_{\text{ionisation}}\;$» définie comme suit : « l'électron pris dans l'état fondamental peut, par apport d'énergie extérieure $\;{\big (}$ou par fourniture d'un travail extérieur${\big )}$, être arraché à l'attraction du proton et l'énergie minimale à apporter $\;{\big (}$ou le travail extérieur minimal à fournir${\big )}\;$ est appelée “ énergie d'ionisation $\;E_{\text{ionisation}}\;$ de l'atome d'$H\;$” » ; mesurant «$\;E_{\text{ionisation}}=13,6\;eV\;$», on en déduit, d'après le résultat de la note « ²⁴ » plus haut dans ce chapitre, «$\;E_{m,\,{\text{fondamental}}}=-13,6\;eV\;$» ;
  Additif sur la nécessité d'une quantification de l'énergie de l'électron de l'atome d'hydrogène : les valeurs d'énergie supérieure correspondent aux états excités de l'atome, et elles ne peuvent pas, en pratique, prendre n'importe quelle valeur alors que le modèle « classique » ne l'interdit pas !
  Additif sur la nécessité d'une quantification de l'énergie de l'électron de l'atome d'hydrogène : En résumé la quantification des niveaux d'énergie de l'électron de l'atome d'$H\;$ a été mise en évidence par l'observation de la discrétion du spectre d'émission de l'atome d'$H\;$ d'une part et d'autre part des mesures des longueurs d'onde d'émission, on en a déduit que les valeurs des niveaux d'énergie possibles de l'électron de l'atome d'$H\;$ s'écrivaient selon «$\;E_{m,\,n}={\dfrac {E_{m,\,{\text{fondamental}}}}{n^{2}}}\;$» avec «$\;n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\;$».
  Additif sur la nécessité d'une quantification de l'énergie de l'électron de l'atome d'hydrogène : Il est étonnant de constater que le modèle « planétaire » de l'atome d'$H\;$ qui ne permet pas de trouver la quantification des niveaux d'énergie $\;{\big (}$et est donc faux${\big )}\;$ donne néanmoins des valeurs exactes d'énergie pour les valeurs mesurées de taille d'atome ;
  Additif sur la nécessité d'une quantification de l'énergie de l'électron de l'atome d'hydrogène : la mesure de la taille de l'atome d'$H\;$ pris dans son état fondamental donnant «$\;r_{\text{fondamental}}=0,530\;{\text{Å}}\;$ », son report dans l'énergie mécanique du modèle classique « planétaire », «$\;E_{m,\,{\text{fondamental}}}=-{\dfrac {e^{2}}{8\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{\text{fondamental}}}}\;$» donne «$\;-{\dfrac {\left(1,6\;10^{-19}\right)^{2}}{8\;\pi \times {\dfrac {1}{36\;\pi \;10^{9}}}\times 5,30\;10^{-11}}}\;$ en $\;J\;$ ou $\;\simeq -21,7\;10^{-19}\;J\simeq {\dfrac {-21,7\,10^{-19}}{1,6\;10^{-19}}}\;$ en $\;eV\;$» soit «$\;E_{m,\,{\text{fondamental}}}\simeq -13,6\;eV\;$» !
  Additif sur la nécessité d'une quantification de l'énergie de l'électron de l'atome d'hydrogène : La vitesse instantanée de l'électron sur sa trajectoire circulaire de l'état fondamental de l'atome d'$H\;$ est «$\;v_{\text{fondamental}}=$ ${\dfrac {e}{\sqrt {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{\text{fondamental}}}}}\;$» donnant numériquement «$\;v_{\text{fondamental}}={\dfrac {1,6\;10^{-19}}{\sqrt {4\;\pi \;{\dfrac {1}{36\;\pi \;10^{9}}}\times 0,91\;10^{-30}\times 5,30\;10^{-11}}}}\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$ $\simeq 2,19\;10^{6}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{\text{fondamental}}\simeq 2190\;km\cdot s^{-1}\ll c\;$» donc non relativiste ; sur les autres orbites circulaires possibles, $\;r\;$ étant plus grand, la vitesse est plus faible et par suite l'électron n'est jamais relativiste.

 

Treuil hissant une charge

Schéma descriptif d'un treuil hissant une charge $\;M\;$ par l'intermédiaire d'un câble sans masse enroulé sur le cylindre du treuil soumis, entre autres, à l'action d'un moteur exerçant un couple de moment scalaire $\;\Gamma$

     Un treuil, dont le tambour est assimilable à un cylindre de centre $\;O$ $\;{\big (}$qui est aussi le C.D.I.${\big )}$, de rayon $\;R\;$ et de moment d'inertie $\;J\;$ par rapport à son axe de rotation fixe dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}\;$ supposé galiléen, permet de remonter, à l'aide d'un câble $\;{\big (}$de masse négligeable${\big )}$, parfaitement souple, enroulé sur le tambour, une charge $\;M\;$ de masse $\;m$ ;

     nous associons au référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, une base cartésienne orthonormée directe $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace$ $\;{\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$, $\;{\vec {u}}_{z}\;$ étant vertical ascendant et $\;{\vec {u}}_{y}\;$ horizontal $\;\parallel \;$ à l'axe du cylindre du treuil, son sens permettant de définir le sens $\;+\;$ de rotation du cylindre ;

     le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ est uniforme, son intensité étant notée $\;g$, nous en déduisons «$\;{\vec {g}}=-g\;{\vec {u}}_{z}\;$» ;

     nous supposons que le tambour peut tourner sans frottements autour de son axe fixe et
     nous supposons qu'il est actionné par un moteur qui exerce un couple de moment scalaire $\;\Gamma \;$ constant d'où
     nous supposons qu'il est actionné par un moteur qui exerce un couple le moment vectoriel du couple «$\;{\vec {\Gamma }}=\Gamma \;{\vec {u}}_{y}\;$».

     Déterminer, en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ composé du tambour, de la charge et du câble, ainsi que
     Déterminer, en appliquant la condition exprimant que le câble ne glisse pas sur le tambour,
     Déterminer, l'accélération verticale $\;a_{z}(M)\;$ de la charge $\;M\;$ dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}$.

Solution

     Le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ composé du tambour, de la charge et du câble est soumis aux actions extérieures suivantes :

• le poids du tambour «$\;m_{\text{tamb}}\;{\vec {g}}\;$» vertical descendant dont le point d'application est $\;O\;$ $\Rightarrow$ son moment scalaire «$\;{\mathcal {M}}_{Oy}\!\left(m_{\text{tamb}}\;{\vec {g}}\right)=0\;$»,
• l'ensemble des réactions de l'axe $\;Oy\;$ sur le tambour, réactions considérées sans frottements, $\Rightarrow$ le moment résultant scalaire des réactions de l'axe sur le tambour «$\;{\mathcal {M}}_{Oy,\,{\text{réact}}}=0\;$»,
• le couple moteur agissant sur le tambour de moment scalaire $\;\Gamma >0\;$ et
• le poids de la charge $\;M\left(m\right)\;$ «$\;m_{\text{tamb}}\;{\vec {g}}\;$» vertical descendant, de moment scalaire «$\;{\mathcal {M}}_{Oy}\!\left(m\;{\vec {g}}\right)=-m\;g\;R\;$» $\;{\big [}m\;{\vec {g}}\;$ tendant à faire descendre $\;M\;$ c'est-à-dire à faire tourner le tambour dans le sens $\;-$, le bras de levier de $\;m\;{\vec {g}}\;$ étant égal à $\;R{\big ]}$.

     Remarque : on notera que les tensions du câble en ses différents endroits constituant pour le système, des actions mécaniques intérieures, ne sont pas à prendre en compte.

     L'application du théorème du moment cinétique scalaire appliqué au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}$ galiléen, l'axe $\;Oy\;$ par rapport auquel les moments scalaires sont évalués y étant fixe, nous conduit à «$\;{\cancel {{\mathcal {M}}_{Oy}\!\left(m_{\text{tamb}}\;{\vec {g}}\right)}}\;+\;{\cancel {{\mathcal {M}}_{Oy,\,{\text{réact}}}}}\;+\Gamma +{\mathcal {M}}_{Oy}\!\left(m\;{\vec {g}}\right)={\dfrac {d\sigma _{Oy}\!\left({\mathcal {S}}\right)}{dt}}(t)\;$» avec      $\;\sigma _{Oy}\!\left({\mathcal {S}}_{t}\right)\;$ le moment cinétique scalaire de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ relativement à l'axe $\;Oy\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ égal à la somme des moments cinétiques scalaires des composants à même instant $\;t\;$ relativement au même axe $\;Oy\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ soit «$\;\sigma _{Oy}\!\left({\mathcal {S}}_{t}\right)=J\;\omega (t)+\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{y}\;$» $\;{\big [}$le moment cinétique scalaire du câble $\;{\big (}$considéré sans masse${\big )}\;$ étant nul${\big ]}$,      le 1^erterme du 2^nd membre étant le moment cinétique scalaire du tambour $\;{\big \{}$avec $\;J\;$ le moment d'inertie du tambour relativement à $\;Oy\;$ et $\;\omega (t)\;$ sa vitesse angulaire à l'instant $\;t{\big \}}\;$ et
     le 2^nd terme du 2^nd membre le moment cinétique scalaire de la charge $\;{\big \{}$avec $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ le vecteur vitesse de la charge à l'instant $\;t{\big \}}$, soit «$\;\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{y}=\left[\left(-R\;{\vec {u}}_{x}+z_{M}\;{\vec {u}}_{z}\right)\wedge m\;V_{z,\,M}(t)\;{\vec {u}}_{z}\right]\cdot {\vec {u}}_{y}$ $=m\;V_{z,\,M}(t)\;R\;$» $\;{\big \{}$attention $\;z_{M}(t)\;$ est $\;<0\;$ mais si la charge est hissée $\;V_{z,\,M}(t)\;$ est $\;>0\;$ et le moment cinétique scalaire de la charge de même signe${\big \}}\;$
     d'où la réécriture du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en tenant compte des évaluations des différents moments scalaires, «$\;\Gamma -m\;g\;R=J\;{\dfrac {d\omega }{dt}}(t)+m\;R\;{\dfrac {dV_{z,\,M}}{dt}}(t)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» ;

     la condition de non glissement du câble sur le tambour s'écrivant «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\text{tamb}}}(t)={\vec {V}}_{I\,\in \,{\text{câble}}}(t)\;\;\forall \;t\;$» avec

• «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\text{tamb}}}(t)=\omega (t)\;{\vec {u}}_{y}\wedge \left(-R\;{\vec {u}}_{x}\right)=R\;\omega (t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\big [}$le point $\;I\,\in \,{\text{tamb}}\;$ ayant un mouvement circulaire d'axe $\;Oy\;$ de vecteur rotation instantanée $\;\omega (t)\;{\vec {u}}_{y}{\big ]}\;$ et
• «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\text{câble}}}(t)=V_{z,\,M}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\big [}$le point $\;I\,\in \,{\text{câble}}\;$ ayant un mouvement de translation le long de $\;Oz\;$ de vecteur vitesse $\;V_{z,\,M}(t)\;{\vec {u}}_{z}$, le câble étant inextensible${\big ]}\;$

     d'où la réécriture de la condition de non glissement du câble sur le tambour «$\;R\;\omega (t)=V_{z,\,M}(t),\;\;\forall \;t\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» ;      de la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ on tire le lien entre l'accélération angulaire du tambour $\;{\dfrac {d\omega }{dt}}(t)\;$ et l'accélération verticale de la charge $\;{\dfrac {dV_{z,\,M}}{dt}}(t)=a_{z,\,M}(t)\;$ soit «$\;R\;{\dfrac {d\omega }{dt}}(t)=a_{z,\,M}(t),\;\;\forall \;t\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d\omega }{dt}}(t)={\dfrac {a_{z,\,M}(t)}{R}}\;\;\forall \;t\;$» d'où, par report de l'accélération angulaire du tambour dans la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$, «$\;\Gamma -m\;g\;R=J\;{\dfrac {a_{z,\,M}(t)}{R}}+m\;R\;a_{z,\,M}(t)\;$» dont on déduit l'accélération verticale de la charge $\;{\big [}$notée $\;a_{z}(M)\;$ car indépendante de $\;t{\big ]}\;$ «$\;a_{z}(M)={\dfrac {\Gamma -m\;g\;R}{{\dfrac {J}{R}}+m\;R}}=R\;{\dfrac {\Gamma -m\;g\;R}{J+m\;R^{2}}}\;$»,
la charge étant effectivement hissée si $\;\Gamma \;$ est $\;>\;$ à $\;m\;g\;R$.

 

Oscillations d'une masselotte

Dispositif comprenant un ressort vertical à l'extrémité $\;C\;$ de laquelle est accroché l'axe d'une poulie simple, une masselotte $\;B\;$ est suspendue à un câble passant dans la gorge de la poulie et fixé en $\;A\;$ en contrebas de $\;B$

     On considère le système représenté sur le schéma ci-contre comprenant :

• un ressort idéal, c'est-à-dire un ressort de masse négligeable $\;{\big (}$par rapport aux autres masses${\big )}$, parfaitement élastique $\;{\big (}$pourvu qu'on reste dans son domaine d'élasticité${\big )}$, de longueur à vide $\;{\mathit {l}}_{0}$, de raideur $\;k\;$, à l'extrémité duquel est suspendu horizontalement
• l'axe d'une poulie homogène, de masse $\;M$, de C.D.I. $\;C$, de rayon $\;R\;$ et de moment d'inertie relativement à son axe «$\;J={\dfrac {1}{2}}\;M\;R^{\,2}\;$», la poulie pouvant tourner sans frottement sur son axe,
• un câble idéal, c'est-à-dire de masse négligeable $\;{\big (}$par rapport aux autres masses${\big )}\;$ et inextensible, passant dans la gorge de la poulie $\;{\big (}$gorge dont la profondeur peut être négligée par rapport à $\;R{\big )}$, sur laquelle nous supposons que le câble ne glisse pas, est attaché à un point fixe $\;B\;$ situé en contrebas,
• une masselotte étant suspendue à l'autre extrémité libre $\;B\;$ du câble peut ainsi effectuer des oscillations dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à $\;A\;$ supposé galiléen ;

     le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ est supposé uniforme d'intensité $\;g$ ;

     en plus du dispositif précédemment décrit nous supposons la présence de guides permettant d'assurer que les mouvements de $\;B\;$ et $\;C\;$ sont rectilignes suivant leur verticale respective $\;{\big (}$les guides agissant sans aucun frottement${\big )}$.

     On choisira un repère cartésien lié à $\;{\mathcal {R}}\;$ d'origine $\;A\;$ et de base cartésienne orthonormée directe $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ avec
     On choisira $\;{\vec {u}}_{z}\;\perp \;$ vertical descendant,
     On choisira $\;{\vec {u}}_{x}\;$ horizontal orienté vers la droite dans le plan de la vue de profil du schéma et
     On choisira $\;{\vec {u}}_{y}\;\perp \;$ au plan de la vue de profil du schéma et orienté en pointant vers le lecteur, ce vecteur définissant le sens $\;+\;$ de mesure des angles orientés du plan de la vue de profil.

     En utilisant successivement la projection sur la direction verticale du théorème du mouvement du C.D.I. à la masselotte d'une part et à l'ensemble « poulie - partie de câble au contact » d'autre part puis

     En utilisant successivement la généralisation du théorème du moment cinétique scalaire à l'ensemble « poulie - partie de câble au contact » relativement à l'axe $\;\Delta _{C}$ $\;{\big [}$la généralisation étant applicable à un solide dont le mouvement dans le référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de son C.D.I. $\;G\;$ et d'une rotation autour d'un axe passant par $\;G\;$ et de direction fixe dans le référentiel d'étude »${\big ]}\;$ et enfin

     En utilisant successivement la condition de non glissement du câble sur la poulie associée au caractère inextensible de ce dernier,

     déduire l'équation différentielle du mouvement de la masselotte en $\;\zeta _{B}(t)=z_{B}(t)-z_{B,\,{\text{éq}}}$ $\;{\big (}z_{B,\,{\text{éq}}}\;$ étant la cote de la masselotte à l'équilibre${\big )}\;$ puis

     la nature sinusoïdale des oscillations de la masselotte ainsi que sa période propre $\;{\mathcal {T}}_{0}$.

Solution

Dispositif avec forces appliquées comprenant un ressort vertical à l'extrémité $\;C\;$ de laquelle est accroché l'axe d'une poulie simple, une charge $\;B\;$ est suspendue à un câble passant dans la gorge de la poulie et fixé en $\;A\;$ en contrebas de $\;B$

     Sur le schéma ci-contre sont représentées les forces extérieures s'exerçant sur l'« ensemble $\;\left({\mathcal {P}}\right)\;$ composée de la poulie simple avec la partie de câble immédiatement au contact de celle-ci » d'une part et sur la masselotte d'autre part,

• sur $\;\left({\mathcal {P}}\right)\;$ il y a « son poids $\;M\;{\vec {g}}=M\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$», « la force exercée par le ressort sur la poulie $\;{\vec {F}}(t)=-k\,\left[\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}+u(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\big \{}\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}\;$ étant l'allongement du ressort à l'équilibre et $\;u(t)\;$ étant son allongement supplémentaire à l'instant $\;t\;$ par rapport à sa position d'équilibre $\;{\big (}$c'est aussi la cote à l'instant $\;t\;$ du C.D.I. $\;C\;$ de la poulie repérée par rapport à sa position d'équilibre${\big )}{\big \}}$, « la force que la partie de câble située au-delà de $\;E\;$ du côté de la masselotte exerce sur $\;\left({\mathcal {P}}\right)$ $\;{\vec {T}}_{1}(t)=T_{1}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\big \{}$ avec $\;T_{1}(t)>0{\big \}}\;$ et « la force que la partie de câble située en deçà de $\;D\;$ reliée au point fixe $\;A\;$ exerce sur $\;\left({\mathcal {P}}\right)$ $\;{\vec {T}}_{2}(t)=T_{2}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\big \{}$ avec $\;T_{2}(t)>0{\big \}}$.
• sur la masselotte $\;B\;$ il y a « son poids $\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» et « la force que le câble exerce sur la masselotte $\;{{\vec {T}}_{1}}{\!'}(t)=-T_{1}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\Big \{}$la partie de câble entre $\;B\;$ et $\;E\;$ étant libre entre ces deux extrémités et sans masse $\Rightarrow$ les forces exercées par la masselotte «$\;-{{\vec {T}}_{1}}{\!'}(t)\;$» et par $\;\left({\mathcal {P}}\right)\;$ «$\;-{\vec {T}}_{1}(t)\;$» devant vérifier $\;\left[-{{\vec {T}}_{1}}{\!'}(t)\right]+\left[-{\vec {T}}_{1}(t)\right]={\vec {0}}$ ${\big (}$produit de la masse nulle de la partie de câble par le vecteur accélération de son C.D.I.${\big )}\;$ sont opposées d'où «$\;{{\vec {T}}_{1}}{\!'}(t)\;$ et $\;{\vec {T}}_{1}(t)\;$ de même norme »${\Big \}}$ ;

     l'application, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, du théorème du mouvement du C.D.I.,
     l'application, $\succ \;$au système fermé coïncidant à l'instant $\;t\;$ avec $\;\left({\mathcal {P}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;M\;{\vec {g}}+{\vec {F}}(t)+{\vec {T}}_{1}(t)+{\vec {T}}_{2}(t)=M\;{\vec {a}}_{C}(t)\;$» soit, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{z}$, «$\;M\;g-k\,\left[\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}+u(t)\right]+T_{1}(t)+T_{2}(t)$ $=M\;{\ddot {u}}(t)\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$» puis
     l'application, $\succ \;$à la masselotte $\Rightarrow$ «$\;m\;{\vec {g}}+{{\vec {T}}_{1}}{\!'}(t)=m\;{\vec {a}}_{B}(t)\;$» soit, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{z}$, «$\;m\;g-T_{1}(t)=m\;{\ddot {z}}_{B}(t)\;$» ${\Big \{}z_{B}(t)\;$ étant la cote de $\;B\;$ par rapport à la même origine que celle choisie pour $\;C\;$ à savoir la position d'équilibre de ce dernier $\Rightarrow$ la cote de $\;B\;$ à l'équilibre est $\;\neq 0\;$ et notée $\;z_{B,\,{\text{éq}}}{\Big \}}\;$ ou, en repérant $\;B\;$ par rapport à sa position d'équilibre $\Rightarrow$ la nouvelle cote de $\;B\;$ s'évalue selon «$\;\zeta _{B}(t)=z_{B}(t)-z_{B,\,{\text{éq}}}\;$» $\Rightarrow$ $\;{\ddot {z}}_{B}(t)={\ddot {\zeta }}_{B}(t)$, la relation «$\;m\;g-T_{1}(t)=m\;{\ddot {z}}_{B}(t)\;$» se réécrit «$\;m\;g-T_{1}(t)=m\;{\ddot {\zeta }}_{B}(t)\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$» ;

     l'application, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, du théorème du moment cinétique scalaire au système fermé coïncidant à l'instant $\;t\;$ avec $\;\left({\mathcal {P}}\right)$, moment évalué relativement à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ passant par le C.D.I. de ce système fermé, axe en translation rectiligne non uniforme dans $\;{\mathcal {R}}\;$ s'écrit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{C}}\!\left[M\;{\vec {g}}\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta _{C}}\!\left[{\vec {F}}\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta _{C}}\!\left[{\vec {T}}_{1}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta _{C}}\!\left[{\vec {T}}_{2}(t)\right]=J\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» avec «$\;J={\dfrac {1}{2}}\;M\;R^{\,2}\;$ le moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {P}}\right)\;$» et «$\;\theta (t)$ $={\widehat {\left({\overrightarrow {CG}}\,,\,{\overrightarrow {CG_{t}}}\right)}}\;$ avec $\;G\;$ le point solidaire de la fraction de câble à l'intérieur de la demi-périphérie $\;{\overset {\frown }{DE}}\;$ de la gorge de la poulie situé au milieu de $\;{\overset {\frown }{DE}}\;$ quand la poulie est en équilibre, $\;G_{t}\;$ étant la position de $\;G\;$ à l'instant $\;t\;$», «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{C}}\!\left[M\;{\vec {g}}\right]\;$ ainsi que $\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{C}}\!\left[{\vec {F}}\right]\;$ étant nuls » $\;{\big \{}$car le bras de levier de ces forces l'est${\big \}}\;$ alors que «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{C}}\!\left[{\vec {T}}_{1}(t)\right]=T_{1}(t)\;R\;$» $\;{\Big \{}{\vec {T}}_{1}(t)\;$ tendant à faire tourner $\;\left({\mathcal {P}}\right)\;$ dans le sens $\;+\;$ avec un bras de levier $\;R{\Big \}}\;$ et «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{C}}\!\left[{\vec {T}}_{2}(t)\right]=-T_{2}(t)\;R\;$» $\;{\Big \{}{\vec {T}}_{2}(t)\;$ tendant à faire tourner $\;\left({\mathcal {P}}\right)\;$ dans le sens $\;-\;$ avec un bras de levier $\;R{\Big \}}\;$ d'où la réécriture du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à $\;\left({\mathcal {P}}\right)\;$ relativement à $\;\Delta _{C}\;$ «$\;T_{1}(t)\;R-T_{2}(t)\;R={\dfrac {1}{2}}\;M\;R^{\,2}\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» ou, après simplification évidente «$\;T_{1}(t)-T_{2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;M\;R\;{\ddot {\theta }}(t)\;\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$» ;

     la condition de non glissement du câble sur la poulie simple se traduit par «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {V}}_{D\,\in \,{\text{câble}}}(t)={\vec {V}}_{D\,\in \,{\text{poulie}}}(t)\\{\vec {V}}_{E\,\in \,{\text{câble}}}(t)={\vec {V}}_{E\,\in \,{\text{poulie}}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» avec
           la condition de non glissement du câble sur la poulie simple $\succ \;$«$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {V}}_{D\,\in \,{\text{poulie}}}(t)={\vec {V}}_{C}(t)+{\vec {V}}_{D\,\in \,{\text{poulie}},\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\\{\vec {V}}_{E\,\in \,{\text{poulie}}}(t)={\vec {V}}_{C}(t)+{\vec {V}}_{E\,\in \,{\text{poulie}},\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» par loi de composition des vitesses traduisant que le mouvement de la poulie est la composition d'une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{C}(t)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et d'une rotation dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ de la poulie de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$ dont on déduit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {V}}_{D\,\in \,{\text{poulie}},\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CD}}(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{y}\wedge R\;{\vec {u}}_{x}=-R\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\\{\vec {V}}_{E\,\in \,{\text{poulie}},\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CE}}(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{y}\wedge \left(-R\;{\vec {u}}_{x}\right)=R\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, avec $\;{\vec {V}}_{C}(t)={\dot {z}}_{C}(t)\;{\vec {u}}_{z}={\dot {u}}(t)\;{\vec {u}}_{z}$ $\;{\big \{}$on rappelle que $\;u(t)\;$ est la cote de $\;C\;$ à l'instant $\;t\;$ repérée par rapport à sa position d'équilibre${\big \}}$, la réécriture de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {V}}_{D\,\in \,{\text{poulie}}}(t)={\vec {V}}_{C}(t)+{\vec {V}}_{D\,\in \,{\text{poulie}},\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\\{\vec {V}}_{E\,\in \,{\text{poulie}}}(t)={\vec {V}}_{C}(t)+{\vec {V}}_{E\,\in \,{\text{poulie}},\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {V}}_{D\,\in \,{\text{poulie}}}(t)=\left[{\dot {u}}(t)-R\;{\dot {\theta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\\{\vec {V}}_{E\,\in \,{\text{poulie}}}(t)=\left[{\dot {u}}(t)+R\;{\dot {\theta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'une part et
           la condition de non glissement du câble sur la poulie simple $\succ \;$«$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {V}}_{D\,\in \,{\text{câble}}}(t)={\vec {V}}_{A}(t)\\{\vec {V}}_{E\,\in \,{\text{câble}}}(t)={\vec {V}}_{B}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» par inextensibilité du câble dans lesquels $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c}{\vec {V}}_{A}(t)\!\!&=&\!\!{\vec {0}}\!\!&&\!\!\\{\vec {V}}_{B}(t)\!\!&=&\!\!{\dot {z}}_{B}(t)\;{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!{\dot {\zeta }}_{B}(t)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace$ $\;{\big \{}$on rappelle que $\;\zeta _{B}(t)\;$ est la cote de $\;B\;$ à l'instant $\;t\;$ repérée par rapport à sa position d'équilibre${\big \}}\;$ c'est-à-dire «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}{\vec {V}}_{D\,\in \,{\text{câble}}}(t)\!\!&=&\!\!{\vec {0}}\\{\vec {V}}_{E\,\in \,{\text{câble}}}(t)\!\!&=&\!\!{\dot {\zeta }}_{B}(t)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'autre part,
           la condition de non glissement du câble sur la poulie simple soit finalement «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {V}}_{D\,\in \,{\text{câble}}}(t)={\vec {V}}_{D\,\in \,{\text{poulie}}}(t)\\{\vec {V}}_{E\,\in \,{\text{câble}}}(t)={\vec {V}}_{E\,\in \,{\text{poulie}}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» se réécrivant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}{\vec {0}}\!\!&=&\!\!\left[{\dot {u}}(t)-R\;{\dot {\theta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\\{\dot {\zeta }}_{B}(t)\;{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!\left[{\dot {u}}(t)+R\;{\dot {\theta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» dont on déduit «$\;{\dot {\theta }}(t)\;$ en fonction de $\;{\dot {u}}(t)\;$» par la 1^re condition et par report dans la 2^ème condition «$\;{\dot {\zeta }}_{B}(t)\;$ en fonction de $\;{\dot {u}}(t)\;$» soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}{\dot {\theta }}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {{\dot {u}}(t)}{R}}\;\;\left({\mathfrak {4}}\right)\\{\dot {\zeta }}_{B}(t)\!\!&=&\!\!2\;{\dot {u}}(t)\;\;\left({\mathfrak {5}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$».

     Équation différentielle du mouvement de la masselotte en ${\underline {\;\zeta _{B}(t)}}$ : on élimine $\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ au profit de $\;{\ddot {u}}(t)\;$ en dérivant temporellement la relation $\;\left({\mathfrak {4}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\ddot {\theta }}(t)={\dfrac {{\ddot {u}}(t)}{R}}\;\;\left({\mathfrak {4}}'\right)\;$» que l'on reporte dans la relation $\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;T_{1}(t)-T_{2}(t)$ $={\dfrac {1}{2}}\;M\;{\ddot {u}}(t)\;\;\left({\mathfrak {3}}'\right)\;$», à comparer à la relation $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ réécrite selon «$\;T_{1}(t)+T_{2}(t)=M\;{\ddot {u}}(t)-M\;g+k\,\left[\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}+u(t)\right]\;\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$» dont on déduit, en formant la demi-somme $\;{\dfrac {\left({\mathfrak {1}}'\right)+\left({\mathfrak {3}}'\right)}{2}}$, «$\;T_{1}(t)=$ ${\dfrac {3}{4}}\;M\;{\ddot {u}}(t)-{\dfrac {M}{2}}\;g+{\dfrac {k}{2}}\,\left[\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}+u(t)\right]\;\;\left({\dfrac {{\mathfrak {1}}'+{\mathfrak {3}}'}{2}}\right)\;$» $\;{\bigg \{}$et en formant éventuellement la demi-différence $\;{\dfrac {\left({\mathfrak {1}}'\right)-\left({\mathfrak {3}}'\right)}{2}}$, «$\;T_{2}(t)={\dfrac {1}{4}}\;M\;{\ddot {u}}(t)-{\dfrac {M}{2}}\;g+{\dfrac {k}{2}}\,\left[\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}+u(t)\right]\;\;\left({\dfrac {{\mathfrak {1}}'-{\mathfrak {3}}'}{2}}\right)\;$»${\bigg \}}\;$ que l'on reporte dans la relation $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;m\;g-{\dfrac {3}{4}}\;M\;{\ddot {u}}(t)+{\dfrac {M}{2}}\;g-{\dfrac {k}{2}}\,\left[\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}+u(t)\right]=m\;{\ddot {\zeta }}_{B}(t)\;\;\left({\mathfrak {2}}'\right)\;$» et enfin, en éliminant $\;{\ddot {u}}(t)\;$ au profit de $\;{\ddot {\zeta }}_{B}(t)\;$ en dérivant temporellement la relation $\;\left({\mathfrak {5}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\ddot {\zeta }}_{B}(t)=2\;{\ddot {u}}(t)\;\;\left({\mathfrak {5}}'\right)\;$» ainsi que $\;u(t)\;$ au profit de $\;\zeta _{B}(t)\;$ en intégrant temporellement la relation $\;\left({\mathfrak {5}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;\zeta _{B}(t)=2\;u(t)\;\;\left({\mathfrak {5}}''\right)\;$» «$\;m\;g-{\dfrac {3}{8}}\;M\;{\ddot {\zeta }}_{B}(t)+{\dfrac {M}{2}}\;g-{\dfrac {k}{2}}\,\left[\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}+{\dfrac {\zeta _{B}}{2}}(t)\right]=m\;{\ddot {\zeta }}_{B}(t)\;$» ou, en regroupant et en ordonnant, «$\;\left(m+{\dfrac {3}{8}}\;M\right)\,{\ddot {\zeta }}_{B}(t)+{\dfrac {k}{4}}\;\zeta _{B}(t)$ $=\left(m+{\dfrac {M}{2}}\right)\,g-{\dfrac {k}{2}}\;\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}\;$» soit enfin, le 2^nd membre étant nécessairement nul compte-tenu du choix de l'origine de la cote $\;\zeta _{B}(t)$, la réécriture de l'équation différentielle cherchée «$\;\left(m+{\dfrac {3}{8}}\;M\right)\,{\ddot {\zeta }}_{B}(t)+{\dfrac {k}{4}}\;\zeta _{B}(t)=0\;$» ou
sous forme normalisée «$\;{\ddot {\zeta }}_{B}(t)+{\dfrac {2\;k}{8\;m+3\;M}}\;\zeta _{B}(t)=0\;$».

     Loi horaire de position de la masselotte en ${\underline {\;\zeta _{B}(t)}}$ : l'équation différentielle «$\;{\ddot {\zeta }}_{B}(t)+{\dfrac {2\;k}{8\;m+3\;M}}\;\zeta _{B}(t)=0\;$» étant celle d'un « oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {2\;k}{8\;m+3\;M}}}\;$» nous en déduisons la « forme sinusoïdale du temps de la loi horaire de position de la masselotte $\;\zeta _{B}(t)=A\;\cos(\omega _{0}\;t+\varphi )\;$» avec $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ se déterminant à l'aide des C.I. $\;{\big (}$non précisées${\big )}$,
                  Loi horaire de position de la masselotte en : la période propre d'oscillations de la masselotte étant «$\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {8\;m+3\;M}{2\;k}}}\;$».

 

Système de trois poulies

schéma descriptif d'un système de trois poulies de rayons différents dans un même plan vertical, deux sont entraînées en rotation dans le même sens autour d'axes fixes d'un même plan horizontal, la 3^ème sur laquelle une charge $\;M\;$ est suspendue à son axe mobile à l'aide d'un fil idéal est reliée aux deux autres par une corde idéale passant dans la gorge de chacune des poulies

     Soit un « système de trois poulies de centres, masses et rayons différents $\;\left\lbrace {\mathcal {P}}_{i}\left(O_{i}\,,\,m_{i}\,,\,R_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,3}\;$» dans un même plan vertical $\;{\big (}$le plan de la figure ci-contre${\big )}\;$

• tel que la distance entre les centres $\;O_{1}\;$ et $\;O_{3}$ $\;{\big (}$de positions fixes sur un même axe horizontal${\big )}\;$ soit égale à $\;R_{1}+R_{3}+2\;R_{2}$,
• la 3^ème poulie $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ étant suspendue aux deux autres par l'intermédiaire d'une corde idéale passant dans la gorge de $\;{\mathcal {P}}_{2}$ $\;{\big (}$sur laquelle la corde ne glisse pas${\big )}\;$ et accrochée dans la gorge des deux autres $\;{\big (}$la distance $\;O_{1}O_{3}=R_{1}+R_{3}+2\;R_{2}\;$ $\Rightarrow$ la verticalité des brins de corde libre entre $\;{\mathcal {P}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ ainsi qu'entre $\;{\mathcal {P}}_{3}\;$ et $\;{\mathcal {P}}_{2}{\big )}$,
• l'axe de $\;{\mathcal {P}}_{2}$ $\;{\big (}\!\perp \;$ au plan de la figure et passant par $\;O_{2}{\big )}\;$ sur lequel $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ peut tourner sans frottement, soutenant, par l'intermédiaire d'un fil idéal de longueur $\;{\mathit {l}}$, une charge $\;M$ $\;{\big (}$supposée ponctuelle${\big )}\;$ de masse $\;m$.

   L'expérience étant étudiée dans un référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen où le champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ est uniforme d'intensité $\;g$, on y choisit une base cartésienne orthonormée directe $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace$, $\;{\vec {u}}_{z}\;$ étant vertical descendant, $\;{\vec {u}}_{y}\;$ horizontal dans le sens de $\;O_{1}\;$ vers $\;O_{3}\;$ et $\;{\vec {u}}_{x}\;$ horizontal $\;\perp \;$ au plan vertical contenant les trois poulies tel que $\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{x}$ $\;{\big (}$c'est-à-dire s'enfonçant dans le plan de la figure et orientant les angles algébrisés de ce dernier dans le sens horaire${\big )}$.

     Appliquant le « même couple de moment vectoriel $\;{\vec {\Gamma }}=\Gamma \;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;\Gamma >0\;$ aux poulies $\;{\mathcal {P}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {P}}_{3}$ $\;{\big (}$poulies pouvant tourner sans frottement autour de leur axe respectif${\big )}\;$», la corde idéale sur laquelle la poulie $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ roule sans glisser se déroule de la poulie $\;{\mathcal {P}}_{1}\;$ en s'enroulant sur la poulie $\;{\mathcal {P}}_{3}$, de plus on supposera que les brins de corde entre $\;{\mathcal {P}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ ainsi qu'entre $\;{\mathcal {P}}_{3}\;$ et $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ restent verticaux.

     Sachant que le moment d’inertie de chaque poulie $\;{\mathcal {P}}_{i}\;$ par rapport à son axe vaut $\;J_{i}={\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;R_{i}^{\,2}$,

• déterminer l'accélération verticale de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ c'est-à-dire $\;{\ddot {z}}_{M}(t)\;$ en utilisant successivement
       $\;\succ \;$le théorème du moment cinétique scalaire à chaque ensemble « poulie $\;{\mathcal {P}}_{i\,=\,1\,{\text{ou}}\,3}$ - partie de corde au contact »,
       $\;\succ \;$le théorème du moment cinétique scalaire à l'ensemble « poulie $\;{\mathcal {P}}_{2}$ - partie de corde au contact » dans sa version où l'axe par rapport auquel les moments scalaires sont déterminés passe par le C.D.I. de l'ensemble et est en translation non uniforme dans un référentiel galiléen,
       $\;\succ \;$le théorème de la résultante cinétique à l'ensemble « poulie $\;{\mathcal {P}}_{2}$ - partie de corde au contact passant dans sa gorge - axe $\;O_{2}x$ - fil et charge $\;M\;$»,
       $\;\succ \;$les conditions d'accrochage de la corde sur les poulies $\;{\mathcal {P}}_{i\,=\,1\,{\text{ou}}\,3}\;$ ainsi que celle de son absence de glissement sur la poulie $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ et
       $\;\succ \;$les conditions d'inextensibilité de la corde et du fil puis
• en déduire à quelle condition sur $\;\Gamma \;$ le centre $\;O_{2}\;$ de la poulie $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ monte ou descend.

Solution

système de $\;3\;$ poulies de rayons différents dans un $\;{\hat {m}}\;$ plan vertical, $\;2\;$ étant entraînées en rotation dans le $\;{\hat {m}}\;$ sens autour d'axes fixes d'un $\;{\hat {m}}\;$ plan horizontal, la 3^ème sur laquelle une charge $\;M\;$ est suspendue à son axe mobile à l'aide d'un fil idéal étant reliée aux $\;2\;$ autres par une corde idéale passant dans la gorge de chacune des poulies, bilan des actions extérieures s'exerçant sur chaque poulie entraînée ainsi que sur l'ensemble « poulie suspendue - fil idéal et charge $\;M\;$»

     Actions extérieures exercées sur l'ensemble « poulie $\;{\mathcal {P}}_{1}$ - partie de corde au contact » :
     Actions extérieures exercées sur$\;\succ \;$couple de « moment vectoriel $\;{\vec {\Gamma }}\;$»,
     Actions extérieures exercées sur$\;\succ \;$poids de $\;{\mathcal {P}}_{1}\;$ «$\;m_{1}\;{\vec {g}}\;$ appliqué en $\;O_{1}\;$»,
     Actions extérieures exercées sur$\;\succ \;$réaction de l'axe $\;\left(O_{1}x\right)\;$ sur $\;{\mathcal {P}}_{1}$ «$\;{\vec {R}}_{1}\;$ appliquée en $\;O_{1}\;$» et
     Actions extérieures exercées sur$\;\succ \;$force exercée par la partie de corde $\;\left[A_{1}A_{2}\right]\;$ sur celle au contact de $\;{\mathcal {P}}_{1}\;$ notée «$\;-{\vec {T}}_{1}\;$ appliquée en $\;A_{1}\;$» $\;{\big \{}{\vec {T}}_{1}\;$ étant donc la force exercée par l'ensemble « poulie $\;{\mathcal {P}}_{1}$ - partie de corde au contact » sur cette partie de corde $\;\left[A_{1}A_{2}\right]{\big \}}$ ;

     Actions extérieures exercées sur l'ensemble « poulie $\;{\mathcal {P}}_{3}$ - partie de corde au contact » :
     Actions extérieures exercées sur$\;\succ \;$couple de « moment vectoriel $\;{\vec {\Gamma }}\;$»,
     Actions extérieures exercées sur$\;\succ \;$poids de $\;{\mathcal {P}}_{3}\;$ «$\;m_{3}\;{\vec {g}}\;$ appliqué en $\;O_{3}\;$»,
     Actions extérieures exercées sur$\;\succ \;$réaction de l'axe $\;\left(O_{3}x\right)\;$ sur $\;{\mathcal {P}}_{3}$ «$\;{\vec {R}}_{3}\;$ appliquée en $\;O_{3}\;$» et
     Actions extérieures exercées sur$\;\succ \;$force exercée par la partie de corde $\;\left[B_{3}B_{2}\right]\;$ sur celle au contact de $\;{\mathcal {P}}_{3}\;$ notée «$\;-{\vec {T}}_{3}\;$ appliquée en $\;B_{3}\;$» $\;{\big \{}{\vec {T}}_{3}\;$ étant donc la force exercée par l'ensemble « poulie $\;{\mathcal {P}}_{3}$ - partie de corde au contact » sur cette partie de corde $\;\left[B_{3}B_{2}\right]{\big \}}$ ;

     Actions extérieures exercées sur l'ensemble « poulie $\;{\mathcal {P}}_{2}$ - partie de corde au contact » :
     Actions extérieures exercées sur$\;\succ \;$force exercée par la partie de corde $\;\left[A_{1}A_{2}\right]\;$ sur celle au contact de $\;{\mathcal {P}}_{2}$ «$\;{\vec {T}}_{1}\;$ appliquée en $\;A_{2}\;$»,
     Actions extérieures exercées sur$\;\succ \;$force exercée par la partie de corde $\;\left[B_{3}B_{2}\right]\;$ sur celle au contact de $\;{\mathcal {P}}_{2}$ «$\;{\vec {T}}_{3}\;$ appliquée en $\;B_{2}\;$»,
     Actions extérieures exercées sur$\;\succ \;$poids de $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ «$\;m_{2}\;{\vec {g}}\;$ appliqué en $\;O_{2}\;$» et
     Actions extérieures exercées sur$\;\succ \;$réaction de l'axe $\;\left(O_{2}x\right)\;$ sur $\;{\mathcal {P}}_{2}$ «$\;{\vec {R}}_{2}\;$ appliquée en $\;O_{2}\;$» $\;{\big (}$non représentée${\big )}$ ;

     Actions extérieures exercées sur l'ensemble « poulie $\;{\mathcal {P}}_{2}$ - partie de corde au contact passant dans sa gorge - axe $\;O_{2}x$ - fil et charge $\;M\;$» :
     Actions extérieures exercées sur$\;\succ \;$force exercée par la partie de corde $\;\left[A_{1}A_{2}\right]\;$ sur celle au contact de $\;{\mathcal {P}}_{2}$ «$\;{\vec {T}}_{1}\;$ appliquée en $\;A_{2}\;$»,
     Actions extérieures exercées sur$\;\succ \;$force exercée par la partie de corde $\;\left[B_{3}B_{2}\right]\;$ sur celle au contact de $\;{\mathcal {P}}_{2}$ «$\;{\vec {T}}_{3}\;$ appliquée en $\;B_{2}\;$»,
     Actions extérieures exercées sur$\;\succ \;$poids de $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ «$\;m_{2}\;{\vec {g}}\;$ appliqué en $\;O_{2}\;$» et
     Actions extérieures exercées sur$\;\succ \;$poids de la charge $\;M$ «$\;m\;{\vec {g}}\;$ appliqué en $\;M\;$».

     Repérons d'une part les positions angulaires des poulies $\;\left\lbrace {\mathcal {P}}_{i}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,3}\;$ par leur abscisse angulaire respective «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\theta _{1}(t)={\widehat {\left({\overrightarrow {O_{1}y}}\,,\,{\overrightarrow {O_{1}P_{1}}}\right)}}\\\theta _{2}(t)={\widehat {\left({\overrightarrow {O_{2}y'}}\,,\,{\overrightarrow {O_{2}P_{2}}}\right)}}\\\theta _{3}(t)={\widehat {\left({\overrightarrow {O_{3}y'}}\,,\,{\overrightarrow {O_{3}P_{3}}}\right)}}\end{array}}\right\rbrace \;$» dans lesquelles $\;P_{i}\;$ est le point lié à la périphérie de $\;{\mathcal {P}}_{i}\;$ qui coïncidait initialement avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{1}\;{\text{pour}}\;{\mathcal {P}}_{1}\\A_{2}\;{\text{pour}}\;{\mathcal {P}}_{2}\\B_{3}\;{\text{pour}}\;{\mathcal {P}}_{3}\end{array}}\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {O_{2}y'}}\\{\overrightarrow {O_{3}y'}}\end{array}}\right\rbrace \;$ les axes horizontaux orientés par $\;-{\vec {u}}_{y}\;$ issus de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}O_{2}\\O_{3}\end{array}}\right\rbrace \;$ et
     Repérons d'autre part la position verticale de $\;O_{2}\;$ par sa cote «$\;z_{O_{2}}(t)={\overline {O_{2,\,0}O_{2}}}\;$» où $\;O_{2,\,0}\;$ est la position initiale de $\;O_{2}\;$ $\Downarrow$
     Repérons d'autre part la charge $\;M\;$ étant située $\;{\mathit {l}}\;$ plus bas que la position de $\;O_{2}\;$ a pour cote, repérée par rapport à sa position initiale $\;M_{0}$, «$\;z_{M}(t)={\overline {M_{0}M}}={\overline {O_{2,\,0}O_{2}}}=z_{O_{2}}(t)\;$».

     Appliquons le théorème du moment cinétique scalaire à l'ensemble « poulie $\;{\mathcal {P}}_{1}$ - partie de corde au contact » relativement à l'axe $\;\left(O_{1}x\right)\;$ fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, «$\;{\mathcal {M}}_{\left(O_{1}x\right),\,{\text{ext}}}(t)=J_{1}\;{\ddot {\theta }}_{1}(t)\;$» avec «$\;J_{1}={\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;R_{1}^{\,2}\;$» et «$\;{\mathcal {M}}_{\left(O_{1}x\right),\,{\text{ext}}}(t)=\Gamma +{\mathcal {M}}_{\left(O_{1}x\right)}\!\left[m_{1}\;{\vec {g}}\right]+{\mathcal {M}}_{\left(O_{1}x\right)}\!\left[{\vec {R}}_{1}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\left(O_{1}x\right)}\!\left[-{\vec {T}}_{1}(t)\right]=\Gamma +T_{1}(t)\;R_{1}\;$» $\;{\big \{}$le point commun d'application de $\;m_{1}\;{\vec {g}}\;$ et $\;{\vec {R}}_{1}(t)\;$ étant sur l'axe $\;\left(O_{1}x\right)\;$ d'une part et d'autre part $\;-{\vec {T}}_{1}(t)\;$ tendant à faire tourner $\;{\mathcal {P}}_{1}\;$ dans le sens $\;+\;$ avec un bras de levier égal à $\;R_{1}{\big \}}$ soit finalement «$\;\Gamma +T_{1}(t)\;R_{1}={\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;R_{1}^{\,2}\;{\ddot {\theta }}_{1}(t)\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$», puis      Appliquons le théorème du moment cinétique scalaire à l'ensemble « poulie $\;{\mathcal {P}}_{3}$ - partie de corde au contact » relativement à l'axe $\;\left(O_{3}x\right)\;$ fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, «$\;{\mathcal {M}}_{\left(O_{3}x\right),\,{\text{ext}}}(t)=J_{3}\;{\ddot {\theta }}_{3}(t)\;$» avec «$\;J_{3}={\dfrac {1}{2}}\;m_{3}\;R_{3}^{\,2}\;$» et «$\;{\mathcal {M}}_{\left(O_{3}x\right),\,{\text{ext}}}(t)=\Gamma +{\mathcal {M}}_{\left(O_{3}x\right)}\!\left[m_{3}\;{\vec {g}}\right]+{\mathcal {M}}_{\left(O_{3}x\right)}\!\left[{\vec {R}}_{3}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\left(O_{3}x\right)}\!\left[-{\vec {T}}_{3}(t)\right]=\Gamma -T_{3}(t)\;R_{3}\;$» $\;{\big \{}$le point commun d'application de $\;m_{3}\;{\vec {g}}\;$ et $\;{\vec {R}}_{3}(t)\;$ étant sur l'axe $\;\left(O_{3}x\right)\;$ d'une part et d'autre part $\;-{\vec {T}}_{3}(t)\;$ tendant à faire tourner $\;{\mathcal {P}}_{3}\;$ dans le sens $\;-\;$ avec un bras de levier égal à $\;R_{3}{\big \}}$ soit finalement «$\;\Gamma -T_{3}(t)\;R_{3}={\dfrac {1}{2}}\;m_{3}\;R_{3}^{\,2}\;{\ddot {\theta }}_{3}(t)\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$» ensuite      Appliquons le théorème du moment cinétique scalaire à l'ensemble « poulie $\;{\mathcal {P}}_{2}$ - partie de corde au contact » relativement à l'axe $\;\left(O_{2}x\right)\;$ en translation rectiligne non uniforme dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, l'axe $\;\left(O_{2}x\right)\;$ passant par le C.D.I. du système, «$\;{\mathcal {M}}_{\left(O_{2}x\right),\,{\text{ext}}}(t)=J_{2}\;{\ddot {\theta }}_{2}(t)\;$» avec «$\;J_{2}={\dfrac {1}{2}}\;m_{2}\;R_{2}^{\,2}\;$» et «$\;{\mathcal {M}}_{\left(O_{2}x\right),\,{\text{ext}}}(t)={\mathcal {M}}_{\left(O_{2}x\right)}\!\left[{\vec {T}}_{1}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\left(O_{2}x\right)}\!\left[{\vec {T}}_{3}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\left(O_{2}x\right)}\!\left[m_{2}\;{\vec {g}}\right]+{\mathcal {M}}_{\left(O_{2}x\right)}\!\left[{\vec {R}}_{2}(t)\right]=$ $T_{1}(t)\;R_{2}-T_{3}(t)\;R_{2}\;$» $\;{\big \{}$le point commun d'application de $\;m_{2}\;{\vec {g}}\;$ et $\;{\vec {R}}_{2}(t)\;$ étant sur l'axe $\;\left(O_{2}x\right)\;$ d'une part et d'autre part $\;{\vec {T}}_{1}(t)\;$ tendant à faire tourner $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ dans le sens $\;+\;$ alors que $\;{\vec {T}}_{3}(t)\;$ tendant à la faire tourner dans le sens $\;-\;$ avec un bras de levier commun égal à $\;R_{2}{\big \}}$ soit finalement, après simplification par $\;R_{2}$, «$\;T_{1}(t)-T_{3}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{2}\;R_{2}\;{\ddot {\theta }}_{2}(t)\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$» et enfin      Appliquons le théorème de la résultante cinétique à l'ensemble « poulie $\;{\mathcal {P}}_{2}$ - partie de corde au contact passant dans sa gorge - axe $\;O_{2}x$ - fil et charge $\;M\;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)={\dfrac {d{\vec {P}}}{dt}}(t)\;$» avec «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)={\vec {T}}_{1}(t)+{\vec {T}}_{3}(t)+m_{2}\;{\vec {g}}+m\;{\vec {g}}=\left[-T_{1}(t)-T_{3}(t)+m_{2}\;g+m\;g\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$» et «$\;{\vec {P}}(t)=m_{2}\;{\vec {V}}_{O_{2}}(t)+m\;{\vec {V}}_{M}(t)=\left[m_{2}\;{\dot {z}}_{O_{2}}(t)+m\;{\dot {z}}_{M}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$» soit finalement, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{z}$, «$\;T_{1}(t)+T_{3}(t)=\left[m_{2}+m\right]\,g-\left[m_{2}\;{\ddot {z}}_{O_{2}}(t)+m\;{\ddot {z}}_{M}(t)\right]\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {4}}\right)\;$» ou
$\;M\;$ et $\;O_{2}\;$ ayant le même mouvement $\Rightarrow$ «$\;{\ddot {z}}_{O_{2}}(t)={\ddot {z}}_{M}(t)\;$»
«$\;T_{1}(t)+T_{3}(t)=\left[m_{2}+m\right]\,\left[g-{\ddot {z}}_{M}(t)\right]\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {4}}'\right)\;$.

     Écrivons la relation d'accrochage de la corde sur la poulie $\;{\mathcal {P}}_{1}\;$ en $\;A_{1}\;$ «$\;{\vec {V}}_{A_{1}\,\in \,{\text{corde }}\left[A_{1}A_{2}\right]}(t)={\vec {V}}_{A_{1}\,\in \,{\text{corde de }}{\mathcal {P}}_{1}}(t)\;$» avec «$\;{\vec {V}}_{A_{1}\,\in \,{\text{corde de }}{\mathcal {P}}_{1}}(t)={\dot {\theta }}_{1}(t)\;{\vec {u}}_{x}\wedge R_{1}\;{\vec {u}}_{y}=R_{1}\;{\dot {\theta }}_{1}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» d'où la réécriture de la condition d'accrochage de la corde sur la poulie $\;{\mathcal {P}}_{1}\;$ «$\;{\vec {V}}_{A_{1}\,\in \,{\text{corde }}\left[A_{1}A_{2}\right]}(t)=R_{1}\;{\dot {\theta }}_{1}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$», puis

     Écrivons la relation d'accrochage de la corde sur la poulie $\;{\mathcal {P}}_{3}\;$ en $\;B_{3}\;$ «$\;{\vec {V}}_{B_{3}\,\in \,{\text{corde }}\left[B_{2}B_{3}\right]}(t)={\vec {V}}_{B_{3}\,\in \,{\text{corde de }}{\mathcal {P}}_{3}}(t)\;$» avec «$\;{\vec {V}}_{B_{3}\,\in \,{\text{corde de }}{\mathcal {P}}_{3}}(t)={\dot {\theta }}_{3}(t)\;{\vec {u}}_{x}\wedge \left(-R_{3}\;{\vec {u}}_{y}\right)=-R_{3}\;{\dot {\theta }}_{3}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» d'où la réécriture de la condition d'accrochage de la corde sur la poulie $\;{\mathcal {P}}_{3}\;$ «$\;{\vec {V}}_{B_{3}\,\in \,{\text{corde }}\left[B_{2}B_{3}\right]}(t)=-R_{3}\;{\dot {\theta }}_{3}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$», ensuite

     Écrivons la relation de non glissement de la corde sur la poulie $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ en $\;A_{2}\;$ «$\;{\vec {V}}_{A_{2}\,\in \,{\text{corde }}\left[A_{1}A_{2}\right]}(t)={\vec {V}}_{A_{2}\,\in \,{\text{corde de }}{\mathcal {P}}_{2}}(t)\;$» avec «$\;{\vec {V}}_{A_{2}\,\in \,{\text{corde de }}{\mathcal {P}}_{2}}(t)={\vec {V}}_{O_{2}}(t)+{\dot {\theta }}_{2}(t)\;{\vec {u}}_{x}\wedge \left(-R_{2}\;{\vec {u}}_{y}\right)\;$» d'où, avec «$\;{\vec {V}}_{O_{2}}(t)={\dot {z}}_{O_{2}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$», la réécriture de la condition de non glissement de la corde sur la poulie $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ en $\;A_{2}\;$ «$\;{\vec {V}}_{A_{2}\,\in \,{\text{corde }}\left[A_{1}A_{2}\right]}(t)=\left[{\dot {z}}_{O_{2}}(t)-R_{2}\;{\dot {\theta }}_{2}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$», ainsi que

             Écrivons celle de non glissement de la corde sur la poulie $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ en $\;B_{2}\;$ «$\;{\vec {V}}_{B_{2}\,\in \,{\text{corde }}\left[B_{2}B_{3}\right]}(t)={\vec {V}}_{B_{2}\,\in \,{\text{corde de }}{\mathcal {P}}_{2}}(t)\;$» avec «$\;{\vec {V}}_{B_{2}\,\in \,{\text{corde de }}{\mathcal {P}}_{2}}(t)={\vec {V}}_{O_{2}}(t)+{\dot {\theta }}_{2}(t)\;{\vec {u}}_{x}\wedge \left(R_{2}\;{\vec {u}}_{y}\right)\;$» d'où, avec «$\;{\vec {V}}_{O_{2}}(t)={\dot {z}}_{O_{2}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$», la réécriture de la condition de non glissement de la corde sur la poulie $\;{\mathcal {P}}_{2}\;$ en $\;B_{2}\;$ «$\;{\vec {V}}_{B_{2}\,\in \,{\text{corde }}\left[B_{2}B_{3}\right]}(t)=\left[{\dot {z}}_{O_{2}}(t)+R_{2}\;{\dot {\theta }}_{2}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$», enfin

     Écrivons la condition d'inextensibilité de la corde entre «$\;A_{1}\;$ et $\;A_{2}$ $\;\in \;$ à la portion de corde $\;\left[A_{1}A_{2}\right]\;$» soit «$\;{\vec {V}}_{A_{1}\,\in \,{\text{corde }}\left[A_{1}A_{2}\right]}(t)={\vec {V}}_{A_{2}\,\in \,{\text{corde }}\left[A_{1}A_{2}\right]}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;R_{1}\;{\dot {\theta }}_{1}(t)={\dot {z}}_{O_{2}}(t)-R_{2}\;{\dot {\theta }}_{2}(t)\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {5}}\right)\;$» et

     Écrivons la condition d'inextensibilité de la corde entre «$\;B_{3}\;$ et $\;B_{2}$ $\;\in \;$ à la portion de corde $\;\left[B_{2}B_{3}\right]\;$» soit «$\;{\vec {V}}_{B_{3}\,\in \,{\text{corde }}\left[B_{2}B_{3}\right]}(t)={\vec {V}}_{B_{2}\,\in \,{\text{corde }}\left[B_{2}B_{3}\right]}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;-R_{3}\;{\dot {\theta }}_{3}(t)={\dot {z}}_{O_{2}}(t)+R_{2}\;{\dot {\theta }}_{2}(t)\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {6}}\right)\;$», puis

     Écrivons la condition d'inextensibilité du fil reliant l'axe $\;\left(O_{2}x\right)\;$ à la charge $\;M\;$ soit «$\;{\vec {V}}_{O_{2}}(t)={\vec {V}}_{M}(t)\;$» ou «$\;{\dot {z}}_{O_{2}}(t)={\dot {z}}_{M}(t)\;$» $\Rightarrow$ la réécriture des relations $\;\left({\mathfrak {5}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {6}}\right)\;$ selon «$\;R_{1}\;{\dot {\theta }}_{1}(t)+R_{2}\;{\dot {\theta }}_{2}(t)={\dot {z}}_{M}(t)\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {5}}'\right)\;$» et
«$\;R_{3}\;{\dot {\theta }}_{3}(t)+R_{2}\;{\dot {\theta }}_{2}(t)=-{\dot {z}}_{M}(t)\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {6}}'\right)\;$».

     En dérivant temporellement les relations $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\mathfrak {5}}'\right)\;{\text{:}}\;R_{1}\;{\dot {\theta }}_{1}(t)+R_{2}\;{\dot {\theta }}_{2}(t)={\dot {z}}_{M}(t)\\\left({\mathfrak {6}}'\right)\;{\text{:}}\;R_{3}\;{\dot {\theta }}_{3}(t)+R_{2}\;{\dot {\theta }}_{2}(t)=-{\dot {z}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ en «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}R_{1}\;{\ddot {\theta }}_{1}(t)+R_{2}\;{\ddot {\theta }}_{2}(t)={\ddot {z}}_{M}(t)\\R_{3}\;{\ddot {\theta }}_{3}(t)+R_{2}\;{\ddot {\theta }}_{2}(t)=-{\ddot {z}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» nous pouvons éliminer $\;{\ddot {\theta }}_{1}(t)\;$ et $\;{\ddot {\theta }}_{3}(t)\;$ au profit de $\;{\ddot {\theta }}_{2}(t)\;$ et $\;{\ddot {z}}_{M}(t)\;$ selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\mathfrak {5}}''\right)\;{\text{:}}\;{\ddot {\theta }}_{1}(t)={\dfrac {{\ddot {z}}_{M}(t)-R_{2}\;{\ddot {\theta }}_{2}(t)}{R_{1}}}\\\left({\mathfrak {6}}''\right)\;{\text{:}}\;{\ddot {\theta }}_{3}(t)=-{\dfrac {{\ddot {z}}_{M}(t)+R_{2}\;{\ddot {\theta }}_{2}(t)}{R_{3}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit la réécriture des relations $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\mathfrak {1}}\right)\;{\text{:}}\;\Gamma +T_{1}(t)\;R_{1}={\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;R_{1}^{\,2}\;{\ddot {\theta }}_{1}(t)\\\left({\mathfrak {2}}\right)\;{\text{:}}\;\Gamma -T_{3}(t)\;R_{3}={\dfrac {1}{2}}\;m_{3}\;R_{3}^{\,2}\;{\ddot {\theta }}_{3}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ en «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\mathfrak {1}}'\right)\;{\text{:}}\;\Gamma +T_{1}(t)\;R_{1}={\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;R_{1}\,\left[{\ddot {z}}_{M}(t)-R_{2}\;{\ddot {\theta }}_{2}(t)\right]\\\left({\mathfrak {2}}'\right)\;{\text{:}}\;\Gamma -T_{3}(t)\;R_{3}=-{\dfrac {1}{2}}\;m_{3}\;R_{3}\,\left[{\ddot {z}}_{M}(t)+R_{2}\;{\ddot {\theta }}_{2}(t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» puis

     en utilisant la relation $\;{\mathfrak {3}}\;{\text{:}}\;T_{1}(t)-T_{3}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{2}\;R_{2}\;{\ddot {\theta }}_{2}(t)\;$ exprimer «$\;{\ddot {\theta }}_{2}(t)=2\;{\dfrac {T_{1}(t)-T_{3}(t)}{m_{2}\;R_{2}}}\;$» pour la reporter dans les relations «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\mathfrak {1}}'\right)\;{\text{:}}\;\Gamma +T_{1}(t)\;R_{1}={\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;R_{1}\,\left[{\ddot {z}}_{M}(t)-R_{2}\;{\ddot {\theta }}_{2}(t)\right]\\\left({\mathfrak {2}}'\right)\;{\text{:}}\;\Gamma -T_{3}(t)\;R_{3}=-{\dfrac {1}{2}}\;m_{3}\;R_{3}\,\left[{\ddot {z}}_{M}(t)+R_{2}\;{\ddot {\theta }}_{2}(t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\Gamma +T_{1}(t)\;R_{1}={\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;R_{1}\,\left[{\ddot {z}}_{M}(t)-2\;{\dfrac {T_{1}(t)-T_{3}(t)}{m_{2}}}\right]\\\Gamma -T_{3}(t)\;R_{3}=-{\dfrac {1}{2}}\;m_{3}\;R_{3}\,\left[{\ddot {z}}_{M}(t)+2\;{\dfrac {T_{1}(t)-T_{3}(t)}{m_{2}}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» ou $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\Gamma +T_{1}(t)\;R_{1}={\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;R_{1}\;{\ddot {z}}_{M}(t)-{\dfrac {m_{1}}{m_{2}}}\;R_{1}\,\left[T_{1}(t)-T_{3}(t)\right]\\\Gamma -T_{3}(t)\;R_{3}=-{\dfrac {1}{2}}\;m_{3}\;R_{3}\;{\ddot {z}}_{M}(t)-{\dfrac {m_{3}}{m_{2}}}\;R_{3}\,\left[T_{1}(t)-T_{3}(t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» soit, en regroupant les termes dépendant des tensions $\;T_{1}(t)\;$ et $\;T_{3}(t)\;$ dans les membres de gauche et les autres dans les membres de droite, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l r c r c c}\left({\mathfrak {1}}''\right)\;{\text{:}}&\!\!\left(1+{\dfrac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\,R_{1}\;T_{1}(t)\!\!&-&\!\!{\dfrac {m_{1}}{m_{2}}}\quad R_{1}\;T_{3}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;R_{1}\;{\ddot {z}}_{M}(t)-\Gamma \\\left({\mathfrak {2}}''\right)\;{\text{:}}&\!\!{\dfrac {m_{3}}{m_{2}}}\quad R_{3}\;T_{1}(t)\!\!&-&\!\!\left(1+{\dfrac {m_{3}}{m_{2}}}\right)\,R_{3}\;T_{3}(t)\!\!&=&\!\!-\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{3}\;R_{3}\;{\ddot {z}}_{M}(t)+\Gamma \right]\end{array}}\right\rbrace \;$» qui peut être considéré comme un système de deux équations linéaires aux deux inconnues $\;\left\lbrace T_{1}(t)\,,\,T_{3}(t)\right\rbrace \;$ et résolu en fonction de $\;{\ddot {z}}_{M}(t)\;$ entre autres par C.L. soit
     $\;\succ \;$en formant «$\;\left(1+{\dfrac {m_{3}}{m_{2}}}\right)\,R_{3}\,\left({\mathfrak {1}}''\right)-{\dfrac {m_{1}}{m_{2}}}\;R_{1}\,\left({\mathfrak {2}}''\right)\;$» $\Rightarrow$ $\;\left[\left(1+{\dfrac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\,\left(1+{\dfrac {m_{3}}{m_{2}}}\right)\,R_{1}\;R_{3}-{\dfrac {m_{3}}{m_{2}}}\;{\dfrac {m_{1}}{m_{2}}}\;R_{1}\;R_{3}\right]\,T_{1}(t)=\left(1+{\dfrac {m_{3}}{m_{2}}}\right)\,R_{3}\,\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;R_{1}\;{\ddot {z}}_{M}(t)-\Gamma \right]+{\dfrac {m_{1}}{m_{2}}}\;R_{1}\,\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{3}\;R_{3}\;{\ddot {z}}_{M}(t)+\Gamma \right]\;$ ou $\;\left(1+{\dfrac {m_{1}+m_{3}}{m_{2}}}\right)\,R_{1}\;R_{3}\;T_{1}(t)=\left({\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {m_{3}}{m_{2}}}\right)\,m_{1}\;R_{1}\;R_{3}\;{\ddot {z}}_{M}(t)+\left[{\dfrac {m_{1}}{m_{2}}}\;R_{1}-\left(1+{\dfrac {m_{3}}{m_{2}}}\right)\,R_{3}\right]\,\Gamma \;$ soit «$\;T_{1}(t)={\dfrac {\left({\dfrac {m_{2}}{2}}+m_{3}\right)\,m_{1}\;R_{1}\;R_{3}\;{\ddot {z}}_{M}(t)+\left[m_{1}\;R_{1}-\left(m_{2}+m_{3}\right)\,R_{3}\right]\,\Gamma }{\left(m_{2}+m_{1}+m_{3}\right)\,R_{1}\;R_{3}}}\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» et
     $\;\succ \;$en formant «$\;{\dfrac {m_{3}}{m_{2}}}\;R_{3}\,\left({\mathfrak {1}}''\right)-\left(1+{\dfrac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\,R_{1}\,\left({\mathfrak {2}}''\right)\;$» $\Rightarrow$ $\;\left[\left(1+{\dfrac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\,\left(1+{\dfrac {m_{3}}{m_{2}}}\right)\,R_{1}\;R_{3}-{\dfrac {m_{3}}{m_{2}}}\;{\dfrac {m_{1}}{m_{2}}}\;R_{1}\;R_{3}\right]\,T_{3}(t)={\dfrac {m_{3}}{m_{2}}}\;R_{3}\,\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;R_{1}\;{\ddot {z}}_{M}(t)-\Gamma \right]+\left(1+{\dfrac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\,R_{1}\,\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{3}\;R_{3}\;{\ddot {z}}_{M}(t)+\Gamma \right]\;$ ou $\;\left(1+{\dfrac {m_{1}+m_{3}}{m_{2}}}\right)\,R_{1}\;R_{3}\;T_{3}(t)=\left({\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\,m_{3}\;R_{1}\;R_{3}\;{\ddot {z}}_{M}(t)+\left[\left(1+{\dfrac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\,R_{1}-{\dfrac {m_{3}}{m_{2}}}\;R_{3}\right]\,\Gamma \;$ soit «$\;T_{3}(t)={\dfrac {\left({\dfrac {m_{2}}{2}}+m_{1}\right)\,m_{3}\;R_{1}\;R_{3}\;{\ddot {z}}_{M}(t)+\left[\left(m_{1}+m_{2}\right)\,R_{1}-m_{3}\;R_{3}\right]\,\Gamma }{\left(m_{2}+m_{1}+m_{3}\right)\,R_{1}\;R_{3}}}\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$».

     Pour terminer on reporte les expressions $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ dans la relation «$\;\left({\mathfrak {4}}'\right)\;{\text{:}}\;T_{1}(t)+T_{3}(t)=\left[m_{2}+m\right]\,\left[g-{\ddot {z}}_{M}(t)\right]\;$» pour en déduire l'accélération verticale $\;{\ddot {z}}_{M}(t)\;$ de $\;M\;$ en fonction, entre autres, de $\;\Gamma \;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {\left({\dfrac {m_{2}}{2}}+m_{3}\right)\,m_{1}\;R_{1}\;R_{3}\;{\ddot {z}}_{M}(t)+\left[m_{1}\;R_{1}-\left(m_{2}+m_{3}\right)\,R_{3}\right]\,\Gamma }{\left(m_{2}+m_{1}+m_{3}\right)\,R_{1}\;R_{3}}}+{\dfrac {\left({\dfrac {m_{2}}{2}}+m_{1}\right)\,m_{3}\;R_{1}\;R_{3}\;{\ddot {z}}_{M}(t)+\left[\left(m_{1}+m_{2}\right)\,R_{1}-m_{3}\;R_{3}\right]\,\Gamma }{\left(m_{2}+m_{1}+m_{3}\right)\,R_{1}\;R_{3}}}$ $=\left[m_{2}+m\right]\,\left[g-{\ddot {z}}_{M}(t)\right]\;$» soit, en multipliant chaque membre par $\;\left(m_{2}+m_{1}+m_{3}\right)\,R_{1}\;R_{3}\;$ et en regroupant les termes dépendant de $\;{\ddot {z}}_{M}(t)\;$ dans un même membre «$\;\left[\left({\dfrac {m_{2}}{2}}+m_{3}\right)\,m_{1}\;R_{1}\;R_{3}+\left({\dfrac {m_{2}}{2}}+m_{1}\right)\,m_{3}\;R_{1}\;R_{3}+\left(m_{2}+m\right)\,\left(m_{2}+m_{1}+m_{3}\right)\,R_{1}\;R_{3}\right]\,{\ddot {z}}_{M}(t)=$ $\;\left(m_{2}+m\right)\,\left(m_{2}+m_{1}+m_{3}\right)\,R_{1}\;R_{3}\;g-\left[m_{1}\;R_{1}-\left(m_{2}+m_{3}\right)\,R_{3}+\left(m_{1}+m_{2}\right)\,R_{1}-m_{3}\;R_{3}\right]\,\Gamma \;$» soit finalement, après simplification «$\;{\ddot {z}}_{M}(t)={\dfrac {\left(m_{2}+m\right)\,\left(m_{2}+m_{1}+m_{3}\right)\,g}{m_{2}^{\,2}+{\dfrac {3}{2}}\;m_{2}\,\left(m_{1}+m_{3}\right)+2\;m_{1}\;m_{3}+m\,\left(m_{2}+m_{1}+m_{3}\right)}}-{\dfrac {\left[2\,\left(m_{1}\;R_{1}-m_{3}\;R_{3}\right)+m_{2}\,\left(R_{1}-R_{3}\right)\right]\,\Gamma }{\left[m_{2}^{\,2}+{\dfrac {3}{2}}\;m_{2}\,\left(m_{1}+m_{3}\right)+2\;m_{1}\;m_{3}+m\,\left(m_{2}+m_{1}+m_{3}\right)\right]\,R_{1}\;R_{3}}}\;$».

     Remarque : nous constatons que le couple de moment scalaire $\;\Gamma \;$ ne joue aucun rôle sur le mouvement de la charge $\;M\;$ dans le cas où les « poulies $\;\left\lbrace {\mathcal {P}}_{i}\left(O_{i}\,,\,m_{i}\,,\,R_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,3}\;$» sont de masse et de rayon obéissant à «$\;2\,\left(m_{1}\;R_{1}-m_{3}\;R_{3}\right)+m_{2}\,\left(R_{1}-R_{3}\right)=0\;$», par exemple dans le cas où les poulies $\;{\mathcal {P}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {P}}_{3}\;$ sont « de même rayon $\;R_{3}=R_{1}\;$» et « de même masse $\;m_{3}=m_{1}\;$» ;
     Remarque : dans ce cas la charge $\;M\;$ a un mouvement rectiligne uniformément accéléré vers le bas d'accélération «$\;{\ddot {z}}_{M}={\dfrac {\left(m_{2}+m\right)\,\left(m_{2}+2\;m_{1}\right)\,g}{m_{2}^{\,2}+3\;m_{2}\,m_{1}+2\;m_{1}^{\,2}+m\,\left(m_{2}+2\;m_{1}\right)}}\;$».

     Dans le cas où «$\;2\,\left(m_{1}\;R_{1}-m_{3}\;R_{3}\right)+m_{2}\,\left(R_{1}-R_{3}\right)\neq 0\;$», la charge $\;M\;$ restera au repos en absence de vitesse initiale si $\;{\ddot {z}}_{M}(t)=0\;\;\forall \;t\;$ ce qui sera réalisé pour un même couple exercé sur les poulies $\;{\mathcal {P}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {P}}_{3}\;$ de moment scalaire «$\;\Gamma _{0}={\dfrac {\left(m_{2}+m\right)\,\left(m_{2}+m_{1}+m_{3}\right)\,g\;R_{1}\;R_{3}}{2\,\left(m_{1}\;R_{1}-m_{3}\;R_{3}\right)+m_{2}\,\left(R_{1}-R_{3}\right)}}\;$», cet équilibre avec un couple exercé dans le sens $\;+\;$ n'étant réalisable que pour «$\;2\,\left(m_{1}\;R_{1}-m_{3}\;R_{3}\right)+m_{2}\,\left(R_{1}-R_{3}\right)>0\;$»,

                                                                                          Dans le cas où la charge $\;M\;$ aura un mouvement rectiligne uniformément accéléré vers le bas si $\;{\ddot {z}}_{M}(t)\;$ est $\;>0\;\;\forall \;t\;$ ce qui sera réalisé pour un même couple exercé sur les poulies $\;{\mathcal {P}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {P}}_{3}\;$ de moment scalaire $\;\Gamma _{\downarrow }<\Gamma _{0}$, ce mouvement n'étant possible avec un couple exercé dans le sens $\;+\;$ que pour «$\;2\,\left(m_{1}\;R_{1}-m_{3}\;R_{3}\right)+m_{2}\,\left(R_{1}-R_{3}\right)>0\;$» $\Rightarrow$ $\;\Gamma _{0}>0$, le mouvement nécessitant alors un couple de moment scalaire modéré et

                                                                                          Dans le cas où la charge $\;M\;$ aura un mouvement rectiligne uniformément accéléré vers le haut si $\;{\ddot {z}}_{M}(t)\;$ est $\;<0\;\;\forall \;t\;$ ce qui sera réalisé pour un même couple exercé sur les poulies $\;{\mathcal {P}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {P}}_{3}\;$ de moment scalaire $\;\Gamma _{\uparrow }>\Gamma _{0}$, ce mouvement étant possible avec un couple exercé dans le sens $\;+\;$
          pour «$\;2\,\left(m_{1}\;R_{1}-m_{3}\;R_{3}\right)+m_{2}\,\left(R_{1}-R_{3}\right)>0\;$» $\Rightarrow$ $\;\Gamma _{0}>0$, le mouvement nécessitant alors un couple de moment scalaire élevé ou
          pour «$\;2\,\left(m_{1}\;R_{1}-m_{3}\;R_{3}\right)+m_{2}\,\left(R_{1}-R_{3}\right)<0\;$» $\Rightarrow$ $\;\Gamma _{0}<0$, le mouvement correspondant se produisant pour n'importe quel couple de moment scalaire $\;>0$.