En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes Signaux physiques (PCSI)/Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On y traite aussi des associations de sources réelles de tension ou et de courant complexes associés au r.s.f[1].,[2].
Impédance complexe équivalente de l'association série de « deux impédances complexes », généralisation
On se place en complexe associé au r.s.f[1]. et on considère l'association série de deux D.P.L[3]. d'impédances complexes et « traversés par un même courant d'intensité instantanée complexe », la tension instantanée complexe aux bornes de chacun des dipôles en convention récepteur étant respectivement et ;
la tension instantanée complexe aux bornes de l'association série étant la somme des tensions instantanées complexes individuelles et selon «» et
la loi d'Ohm[4] en complexe s'appliquant à chacun des dipôles selon respectivement «» et «», nous en déduisons «» c'est-à-dire la proportionnalité de et prouvant l'applicabilité de la loi d'Ohm[4] en complexe à l'association série de deux D.P.L[3]. et précisant l'impédance complexe équivalente de cette association série
«».
Exemples : impédance complexe d'une bobine réelle d'auto-inductance L et de résistance rB, impédance complexe d'un « R C série »
L'impédance complexe d'un série vaut donc dont la forme algébrique s'écrit selon
«» ;
on remarque que
« à B.F. le série se comporte comme un condensateur parfait » car «»[12] et
« à H.F. il se comporte comme une bobine parfaite » car «»[12] ;
enfin « pour la fréquence particulière » c'est-à-dire la fréquence propre du série les impédances complexes de la bobine parfaite et du condensateur parfait se compensant [13], « le série est purement résistif ».
Impédance complexe équivalente de l'association parallèle de « deux impédances complexes »
On se place en complexe associé au r.s.f[1]. et on considère l'association parallèle de deux D.P.L[3]. d'impédances complexes et « aux bornes desquels on a une même tension instantanée complexe », l'intensité instantanée complexe du courant traversant chacun des dipôles en convention récepteur étant respectivement et ;
l'intensité instantanée complexe du courant traversant l'association parallèle étant la somme des intensités instantanées complexes individuelles et selon «» et
la loi d'Ohm[4] en complexe s'appliquant à chacun des dipôles selon respectivement «» et «», nous en déduisons «» c'est-à-dire la proportionnalité de et prouvant l'applicabilité de la loi d'Ohm[4] en complexe à l'association parallèle de deux D.P.L[3]. et précisant l'impédance complexe équivalente de cette association parallèle telle que soit
«».
Exemples : impédance complexe d'un « R L parallèle », impédance complexe d'un « R C parallèle »
D'une part, ayant établi que l'association parallèle de deux D.P.L[3]. d'impédances complexes respectives et est équivalente à un D.P.L[3]. d'impédance complexe [20] et
d'autre part l'admittance complexe d'un D.P.L[3]. étant l'inverse de son impédance complexe, on en déduit que
l'admittance complexe du D.P.L[3]. équivalent à l'association parallèle de deux D.P.L[3]. s'écrit soit finalement la propriété suivante :
« l'association parallèle de deux D.P.L[3]. en r.s.f[1]. de fréquence d'admittances complexes respectives et est un D.P.L[3]. d'admittance complexe équivalente
On généralise sans difficulté la propriété d'équivalence précédente à plus de deux D.P.L[3]. et on retient la proposition suivante :
« l'association parallèle de D.P.L[3]. en r.s.f[1]. de fréquence d'admittances complexes respectives est un D.P.L[3]. d'admittance complexe équivalente
».
Exemple : admittance complexe d'un « R L C parallèle »
L'admittance complexe d'un parallèle vaut donc «»[22] dont la forme algébrique s'écrit selon
«» ;
on remarque que
« à B.F. le parallèle se comporte comme une bobine parfaite » car «»[12] et
« à H.F. il se comporte comme un condensateur parfait » car «»[12] ;
enfin « pour la fréquence particulière » c'est-à-dire la fréquence propre du parallèle les admittances complexes de la bobine parfaite et du condensateur parfait se compensant [13], « le parallèle est purement résistif ».
Notion de dualité « série - parallèle » appliquée en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)
La notion de dualité « série - parallèle » en électricité ayant été introduite dans le paragraphe intitulé « initiation à la dualité série - parallèle en électricité » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », ses principales grandeurs et relations duales généralisables à l'électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence sont précisées ci-dessous[23] :
association série
association parallèle
intensité instantanée complexe commune traversant les dipôles
tension instantanée complexe commune aux bornes des dipôles
intensité efficace complexe commune traversant les dipôles
tension efficace complexe commune aux bornes des dipôles
Il faut donc mettre l'impédance complexe sous sa forme algébrique «» et on en tire :
« la résistance du série » toujours [28] égale à la résistance du conducteur ohmique[29] et
« la réactance du série » pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle[30].
Impédance et avance de phase de tension sur intensité d'un « R L C série » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π), lien avec la résistance et la réactance de ce dernier
L'impédance complexe sous sa forme trigonométrique étant «» et sous sa forme algébrique «» avec «» d'une part et «» d'autre part nous en déduisons :
« l'impédance du série » l'impédance est minimale pour [13] la pulsation propre du série et elle devient infiniment grande à T.B.F. et à T.H.F.[31] et
« l'avance de phase de la tension aux bornes du série sur l'intensité le traversant »[32]la tension aux bornes du série et l'intensité le traversant sont en phase pour [13] la pulsation propre du série et elle devient en quadrature retard à T.B.F.[33],[34] et en quadrature avance à T.H.F.[35],[36].
Admittance complexe d'un « R L C série » en r.s.f. de fréquence fréquence f = ω/(2π)
Il est possible que l'on ait besoin de déterminer l'admittance complexe d'un série dans l'hypothèse où il serait en parallèle sur deux autres D.P.L[3]., on trouverait
Il faut donc mettre l'admittance complexe sous sa forme algébrique «» d'où la nécessité de multiplier haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur soit «»[40] et on en tire :
« la conductance du série » toujours [41],[42] différente de la conductance du conducteur ohmique[43] et
« la susceptance du série »[44] pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle[45].
Admittance complexe d'un « R L C parallèle », admittance, conductance et susceptance
Il faut donc mettre l'admittance complexe sous sa forme algébrique «» et on en tire :
« la conductance du parallèle » toujours [41] égale à la conductance du conducteur ohmique[47] et
« la susceptance du parallèle » pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle[48].
Admittance et avance de phase de tension sur intensité d'un « R L C parallèle » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π), lien avec la conductance et la susceptance de ce dernier
L'admittance complexe sous sa forme trigonométrique étant «» et sous sa forme algébrique «» avec «» d'une part et «» d'autre part nous en déduisons :
« l'admittance du parallèle » l'admittance est minimale pour [13] la pulsation propre du parallèle et elle devient infiniment grande à T.B.F. et à T.H.F.[49] et
« l'avance de phase de la tension aux bornes du parallèle sur l'intensité le traversant »[50]la tension aux bornes du parallèle et l'intensité le traversant sont en phase pour [13] la pulsation propre du série et elle devient en quadrature avance à T.B.F.[51],[52] et en quadrature retard à T.H.F.[53],[54].
Impédance complexe d'un « R L C parallèle » en r.s.f. de fréquence fréquence f = ω/(2π)
Il est possible que l'on ait besoin de déterminer l'impédance complexe d'un parallèle dans l'hypothèse où il serait en série avec d'autres D.P.L[3]., on trouverait
Il faut donc mettre l'impédance complexe sous sa forme algébrique «» d'où la nécessité de multiplier haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur soit «»[56] et on en tire :
« la résistance du parallèle » toujours [28],[57] différente de la résistance du conducteur ohmique[58] et
« la réactance du parallèle » pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle[59].
Lois d'Ohm généralisées en électricité complexe associée au r.s.f. pour des D.A.L. (en convention générateur), impédance complexe interne, modèles générateur de tension et de courant
Un G.B.F.[60] a une f.e.m. T-périodique et un D.P.L[3]. interne, linéaire au sens de l'A.R.Q.S. ;
quand la f.e.m. est sinusoïdale de pulsation on peut associer au G.B.F[60]. un modèle générateur de tension en complexe « association d'une source de tension parfaite de f.e.m. instantanée complexe où est la f.e.m. efficace complexe, en série avec un D.P.L[3]. d'impédance complexe interne dont le module est l'impédance interne de valeur usuelle » ;
en convention générateur on peut appliquer, aux grandeurs instantanées complexes, la loi d'Ohm[4] généralisée
«» où « est la tension instantanée complexe aux bornes du G.B.F. »[60] avec « la tension efficace complexe » et « l'intensité instantanée complexe du courant délivré par le G.B.F. »[60] avec « l'intensité efficace complexe » ;
si on divise par , on obtient la loi d'Ohm[4] généralisée en valeurs efficaces complexes
«».
Modèle générateur de courant du G.B.F. en électricité complexe associée au r.s.f.
On peut aussi modéliser un G.B.F[60]. en générateur de courant même si c'est nettement moins utilisé qu'en régime permanent ;
en régime sinusoïdal forcé de pulsation on peut associer au G.B.F[60]. un modèle générateur de courant en complexe « association d'une source de courant parfaite de c.e.m. instantané complexe où est le c.e.m. efficace complexe, en parallèle avec un D.P.L[3]. d'impédance complexe interne dont le module est l'impédance interne de valeur usuelle » ;
en convention générateur on peut appliquer, aux grandeurs instantanées complexes, la loi d'Ohm[4] généralisée
«» où « est l'intensité instantanée complexe du courant délivré par le G.B.F. »[60] avec « l'intensité efficace complexe » et « la tension instantanée complexe aux bornes du G.B.F. »[60] avec « la tension efficace complexe » ;
si on divise par , on obtient la loi d'Ohm[4] généralisée en valeurs efficaces complexes
«».
Lien entre les modèles générateurs de tension et de courant du G.B.F. en électricité complexe associée au r.s.f.
Pont diviseur de tension (P.D.T.) en électricité complexe associée au r.s.f., représentation de Thévenin équivalente vue de la sortie du pont diviseur de tension complexe alimenté en entrée
Schéma de situation d'un pont diviseur de tension en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence alimenté en entrée par une tension , donnant en sortie une tension
Un pont diviseur de tension P.D.T. en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence est un quadripôle linéaire passif, alimenté en entrée par une tension instantanée complexe entre les bornes et de laquelle deux D.P.L[3]. d'impédances complexes et sont montés en série quand la sortie définie parallèlement au D.P.L[3]. d'impédance complexe entre les bornes et est ouverte le pont diviseur de tension étant dit « en sortie ouverte » mais si cette sortie entre les bornes et est fermée sur une « charge »[62],[63], le D.P.L[3]. d'impédance complexe est en série avec l'association parallèle « D.P.L[3]. d'impédance complexe et charge de sortie », la tension instantanée complexe aux bornes de cette association étant .
Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.T[64]. et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente :
« tension instantanée complexe d'entrée » de « tension efficace complexe d'entrée » et
les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.T[64]. et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.T[64]. est branché :
« tension instantanée complexe de sortie » de « tension efficace complexe de sortie » et
« intensité instantanée complexe du courant de sortie » d'« intensité efficace complexe de sortie »[65].
Générateur de Thévenin en électricité complexe associée au r.s.f. équivalent au réseau dipolaire « P.D.T. alimenté en entrée par ue(t) et vu des bornes de sortie »
Générateur de Thévenin en complexe équivalent au R.D. « P.D.T. en complexe alimenté en entrée par ue(t) et vu des bornes de sortie »
Vu des bornes de sortie le réseau dipolaire « P.D.T[64]. alimenté en entrée par » est équivalent, dans la mesure où [66], à un générateur de Thévenin[67] dont
la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin[67] est «»[68],[69] et l'impédance complexe de Thévenin[67] «».
Le but recherché est la détermination de l'expression de en fonction de , et les composants passifs du P.D.T[64]. et pour cela on utilise :
la loi de maille[70] soit «» dans laquelle on élimine par
la loi de nœud «»[71] ou, en explicitant l'intensité instantanée complexe du courant traversant en fonction de par loi d'Ohm[4] en complexe «», la nouvelle expression de loi de nœud «» soit
en reportant dans l'équation de maille «» ou, en regroupant les termes en tension instantanée complexe de sortie, ou encore «» soit finalement, dans la mesure où « est non nulle »[66], «» dans laquelle on reconnaît le générateur de Thévenin[67] en complexe équivalent au R.D.L[72]. en convention générateur à savoir
de f.e.m. instantanée complexe de Thévenin[67] «»[73] et
si «»[66], l'équation de maille transformée se réécrivant «» permet d'en déduire ou «» établissant une équivalence avec une source de courant parfaite en complexe.
Commentaires : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Thévenin[67] en complexe équivalent au R.D.L[72]. « P.D.T[64]. complexe alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées et dans la mesure où le générateur de Thévenin[67] en complexe existe c'est-à-dire si [66], en effet :
d'une part la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin[67] étant la tension instantanée complexe de sortie ouverte, c'est la fraction de la tension instantanée complexe d'entrée,
d'autre part l'impédance complexe de Thévenin[67] étant l'impédance complexe du R.D.L[72]. vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif[75] c'est-à-dire quand on a remplacé la tension instantanée complexe d'entrée par un court-circuit, le R.D.P[76]. « P.D.T[64]. complexe court-circuité en entrée et vu des bornes de sortie » est alors l'association parallèle des D.P.L[3]. d'impédances complexes et [77] soit .
Le résultat le plus utilisé : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par ue(t)
Il suffit de faire dans le résultat du générateur de Thévenin[67] en complexe précédemment démontré en se souvenant que son existence suppose , toutefois nous allons refaire la démonstration dans le cas particulier d'une sortie ouverte.
Démonstration : La sortie étant ouverte «»,
Démonstration : les D.P.L[3]. d'impédances complexes et étant montés en série sont traversés par le même courant d'intensité instantanée complexe supposée finie,
Démonstration : la loi d'Ohm[4] en complexe appliquée au D.P.L[3]. d'impédance complexe conduit à «» et
Démonstration : celle appliquée à l'association série des D.P.L[3]. d'impédances complexes et à «» mais étant de valeur finie, ne sera de valeur finie que si , nous voyons donc la « nécessité pour que reste de valeur finie que soit non nulle »,
Démonstration : d'où en éliminant par « de valeur finie si », l'expression de la tension instantanée complexe de sortie ouverte «»[79].
Commentaires : C'est de cette expression [80] que l'on tire le nom « pont diviseur de tension en complexe » et en sortie ouverte car est la tension instantanée complexe aux bornes de et montées en série et la tension instantanée complexe aux bornes de [81], tension ne représentant que la fraction de ;
Commentaires : si on s'intéressait à la tension instantanée complexe aux bornes de au lieu de celle aux bornes de , on reconnaîtrait de même un pont diviseur de tension en complexe alimenté en entrée par et en sortie ouverte aux bornes de d'où, en permutant les indices et , le résultat suivant [80],[69].
Simplification de circuits par reconnaissance de pont(s) diviseur(s) de tension en électricité complexe associée au r.s.f.
Dans tout ce paragraphe le « P.D.T[64]. alimenté en entrée par et fermé sur une charge » est équivalent à un générateur de Thévenin[67] en complexe c'est-à-dire que nous supposons [82].
Pont diviseur de tension alimenté en entrée par ue(t) et fermé sur une charge d'impédance complexe connue
On souhaite déterminer la tension instantanée complexe de sortie d'un « P.D.T[64]. en complexe alimenté en entrée par et fermé sur une charge d'impédance complexe » en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée , des impédances complexes du pont et de l'impédance complexe d'utilisation ; il y a deux façons de procéder :
Remarquer que « est en sur », « remplacer cette association parallèle par son impédance complexe équivalente » et « reconnaître un R.D.L[72]. en sortie ouverte “ P.D.T[64]. en complexe alimenté en entrée par et en sortie ouverte aux bornes de ” »
« Remplacer le R.D.L[72]. “ P.D.T[64]. en complexe alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie ” par son générateur de Thévenin[67] équivalent en complexe » et « reconnaître dans le nouveau circuit un R.D.L[72]. en sortie ouverte “ P.D.T[64]. en complexe alimenté en entrée par , d'impédance complexe d'attaque [83] et en sortie ouverte aux bornes de ” »
1ère résolution : remplacer l'impédance complexe du P.D.T. en parallèle sur l'impédance complexe de la charge de sortie par son impédance complexe équivalente
Schéma d'un P.D.T[64]. en complexe alimenté en entrée par et fermé sur une impédance complexe , traitement en considérant en sortie ouverte d'un P.D.T[64]. en complexe alimenté en entrée par
Voir schéma de situation ci-contre :
On utilise que l'impédance complexe de la charge est montée en
![{\displaystyle =\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]{\underline {i}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d75d2174f17c6873fd8a0fdc0e56fd8e37b6ac)
![{\displaystyle \left[{\dfrac {1}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\right]{\underline {u}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7081bc00063ca78d18d3df50caac1212232842)
![{\displaystyle \;{\underline {Z}}(j\,\omega )=Z(\omega )\;\exp \!\left[j\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b729c6889288c537297b2e535697b46a62f9dd6a)
![{\displaystyle \;{\underline {Y}}(j\,\omega )=Y(\omega )\;\exp \!\left[j\left(\varphi _{i}-\varphi _{u}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ebc426ed64cc2e4cba60adf2127aa9b8f63f07)
![{\displaystyle \;{\mathcal {R}}(\omega )=\Re \left[{\underline {Z}}(j\,\omega )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5477a586dd1878827890b2ac20a553c37bc9b6)
![{\displaystyle \;X(\omega )=\Im \left[{\underline {Z}}(j\,\omega )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6967cfb58190161954ca478377e027c9617b321)
![{\displaystyle \;{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )=Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}(\omega )\;\exp \!\left[j\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476a2e2778e39410999dae59e444dd0e8c54bc70)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\varphi _{u}-\varphi _{i}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )\right]=\arctan \!\left[{\dfrac {X(\omega )}{{\mathcal {R}}(\omega )}}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd906fbdb4bb20faba866432d186790afa6f170)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}(\omega )=\Re \left[{\underline {Y}}(j\,\omega )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/860841abad9387f6922ec8a26e8cd98c22ad5069)
![{\displaystyle \;{\mathcal {B}}(\omega )=\Im \left[{\underline {Y}}(j\,\omega )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1923c62306b9ad8df9b5f02e81a6fbd8329cc78)
![{\displaystyle \;{\underline {Y_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )=Y_{R\,L\,C\;\parallel }(\omega )\;\exp \!\left[-j\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df50e5ba5d5b1893efb4897c6087bffde1f3e9b)
![{\displaystyle \;\varphi _{u}-\varphi _{i}=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Y_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )\right]=-\arctan \!\left[{\dfrac {{\mathcal {B}}(\omega )}{{\mathcal {G}}(\omega )}}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/996915194140b0dff75b9048c6297b9dae37653b)
![{\displaystyle \;{\underline {u_{s}}}(t)+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\left[{\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\underline {i_{s}}}(t)\right]-{\underline {u_{e}}}(t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6deaa7c045a270e214727bb1f51180059204b20)
![{\displaystyle \;{\underline {u_{s}}}(t)\left[1+{\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c00665c2ac0481411058b9d1db7623399b9d0d)
![{\displaystyle \;{\underline {u_{e}}}(t)=\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]{\underline {i_{e}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ec233be76fe1840bcf89d099d74733eb8c7ed9)
