En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance Signaux physiques (PCSI)/Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Rappel de l'impédance complexe d'un « R L C série », impédance et déphasage (avance de phase de la tension entre ses bornes sur l'intensité du courant le traversant)[modifier | modifier le wikicode]
Rappel de l'impédance complexe d'un « R L C série » en complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)[modifier | modifier le wikicode]
Comme cela a été vu au paragraphe « exemple : impédance complexe d'un R L C série (comme exemple d'association série de plus de deux D.P.L. en r.s.f.) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » l'impédance complexe d'un « série » en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence s'évalue selon
De la forme algébrique de l'impédance complexe on en tire
sa « résistance » et
sa « réactance » puis
on en déduit son impédance par soit finalement
«».
Avance de phase de la tension sur l'intensité du « R L C série » en fonction de sa résistance et de sa réactance[modifier | modifier le wikicode]
La résistance du série étant toujours positive au sens large, l'avance de phase de la tension sur l'intensité et La résistance du série étant toujours positive au sens large, l'avance de phase de la tension sur l'intensité s'évalue selon soit finalement
«».
Établissement (théorique) de la réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes (et par diagramme de Fresnel), fréquence de résonance en intensité, nullité du déphasage à la résonance en intensité[modifier | modifier le wikicode]
Il convient bien sûr d'ajouter un schéma du circuit en complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence .
Réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes[modifier | modifier le wikicode]
Soit « la tension instantanée imposée au série » et Soit «[2] l'intensité instantanée du courant le traversant », on leur associe les grandeurs instantanées complexes «» et «»[3] on leur associe les grandeurs instantanées complexes avec leurs valeurs efficaces complexes respectives «» et «»[3],[2] ;
de l'expression de l'impédance complexe du série on déduit la réponse efficace complexe en intensité par loi d'Ohm[4] en complexe soit
«».
Intensité efficace du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]
L'intensité efficace du courant traversant le série se déterminant en prenant le module de l'intensité efficace complexe on en déduit
«».
Phase à l'origine de l'intensité du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]
La phase à l'origine de l'intensité du courant traversant le série se déterminant en prenant l'argument de l'intensité efficace complexe on en déduit
«».
Résonance en intensité du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]
La tension efficace aux bornes du série étant constante et la pulsation imposée par le générateur variable, on constate que l'intensité efficace du courant traversant le série passe par un maximum quand l'impédance de ce dernier est minimale et, comme celle-ci est la racine carrée de la somme de deux termes positifs dont le 1er est constant, elle est minimale quand le 2ème l'est aussi, ce qui est réalisé quand il s'annule c'est-à-dire quand pulsation propre du série.
En conclusion l'intensité efficace du courant traversant le série est maximale on dit alors que l'intensité entre en résonance quand la fréquence imposée par le générateur est égale à la fréquence propre du série ; « la valeur maximale de l'intensité efficace est alors ».
Valeur du déphasage à la résonance en intensité du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]
On vérifie que l'avance de phase de la tension aux bornes du série sur l'intensité du courant le traversant est nulle à la fréquence de résonance en intensité soit
«», c'est-à-dire que l'intensité du courant traversant le série est en phase avec la tension à ses bornes à la résonance en intensité.
Réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par diagramme de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]
Diagramme de Fresnel[5] associé à un série soumis à une tension sinusoïdale de tension efficace et de fréquence fixées, détermination de la réponse en intensité
Avant de traiter ce paragraphe il convient, si besoin, de revoir la notion de « vecteur de Fresnel tournant » puis celle de « vecteur de Fresnel (sous-entendu à l'origine des temps) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », Avant de traiter ce paragraphe la notion de diagramme de Fresnel[5] n'étant qu'une façon concrète de matérialiser celle d'amplitudes complexes ou de valeurs efficaces complexes[6] dans tout schéma construit à partir de vecteurs de Fresnel[5] associés aux grandeurs sinusoïdales de même pulsation [7] quand on les ajoute, dérive temporellement certaines d'entre elles ou effectue toute autre opération linéaire, nous n'indiquerons que les grandes lignes de ce traitement, préférant l'utilisation des amplitudes complexes ou des valeurs efficaces complexes[6]
On trace les vecteurs de Fresnel[5] associés à chaque tension[8], puis la somme pour déterminer le vecteur de Fresnel[5] associé à la tension imposée par le générateur, le vecteur de Fresnel[5] associé à l'intensité du courant circulant dans le série étant colinéaire au vecteur de Fresnel[5] associé à la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance , voir diagramme de Fresnel[5] ci-contre [8]
On en déduit par exemple :
« par théorème de Pythagore »[9] avec «», «» et «» d'où le lien entre et «» et
« dans le triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont et » d'où, avec les valeurs de , et rappelées ci-dessus, l'expression de l'avance de phase de la tension aux bornes du série sur l'intensité du courant le traversant «»[10].
Réduction canonique dans le cadre d'une réponse sinusoïdale forcée d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]
Choix de la réduction canonique d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale »[modifier | modifier le wikicode]
Comme nous l'avons vu dans le paragraphe « réductions canoniques d'un série dans le cadre de la réponse en à un échelon de tension »[11] du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », il y a trois réductions canoniques possibles et, dans le cadre du r.s.f.[1], l'habitude quasi-générale est de choisir la 2ème réduction canonique c'est-à-dire :
la « pulsation propre s'exprimant en » et
le « facteur de qualité sans dimension défini par [12] soit »[13] ;
l'usage dans le cadre du r.s.f[1]. est de « remplacer la notion de pulsation en par celle de pulsation réduite[14], sans dimension[15] ».
La « réponse en intensité » du série à la « tension imposée » par le générateur n'ayant pas la même homogénéité que l'« excitation en tension », la réduction canonique ne peut être « complète » [16], il restera un facteur ayant l'homogénéité d'une impédance et nous choisirons le maintien de .
Forme canonique de l'impédance complexe d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale »[modifier | modifier le wikicode]
Déterminons d'abord la réduction canonique de l'impédance complexe du série «»
par élimination de au profit de selon soit «»
suivi d'une factorisation par [17] donnant «» et finalement
Forme canonique de l'intensité efficace complexe du courant traversant un « R L C série en complexe associée au r.s.f. » en fonction de la tension efficace complexe imposée aux bornes du « R L C série »[modifier | modifier le wikicode]
De l'expression canonique de l'impédance complexe du « série en électricité complexe associée au r.s.f[1]. » on déduit la réponse en intensité efficace complexe du courant traversant ce dernier en fonction de la tension efficace complexe qui lui est imposée
la « réponse en intensité efficace du courant traversant le “ série en r.s.f[1]. ” en fonction de la tension efficace aux bornes de ce dernier », la résistance du conducteur ohmique y figurant, le facteur de qualité et la fréquence réduite soit
«»[19] ou «» avec « impédance du série » sous forme réduite et
la « phase à l'origine de l'intensité instantanée du courant traversant le “ série en r.s.f[1]. ” en fonction de celle de la tension instantanée aux bornes de ce dernier, le facteur de qualité et la fréquence réduite » soit
la résonance en intensité pour la « fréquence réduite unité »[20], la « valeur maximale étant alors » et
la nullité du déphasage entre tension et intensité à la résonance en intensité c'est-à-dire pour la « fréquence réduite unité »[21], soit «».
Courbe de valeur efficace en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence, nature du filtre, fréquences de coupure et bande passante à -3dB, définition de l'acuité de la résonance en intensité[modifier | modifier le wikicode]
Tracé (point par point) de la courbe de valeur efficace en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence[modifier | modifier le wikicode]
Superposition des courbes de réponse en intensité efficace traversant un série soumis à tension efficace fixée en fonction de la fréquence réduite pour les facteurs de qualité donnant une résonance floue , modérée et aiguë
Voir ci-contre la superposition des tracés de la réponse en intensité efficace du courant traversant le « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe sur laquelle on observe une résonance pour correspondant à une valeur différente du facteur de qualité
« Pour », d'où «» et par suite «» dont on tire la dérivée relativement à la fréquence réduite «» précisant que la tangente à la courbe en n'est pas parallèle à l'axe des la pente étant d'autant plus faible que est grand.
Nature du filtre de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante »[modifier | modifier le wikicode]
La réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est
un « passe-bande » [23] pour toute valeur du facteur de qualité
car il y a résonance quel que soit [24] avec des limites nulles à basse et haute fréquence[25].
Fréquences de coupure à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante »[modifier | modifier le wikicode]
Les fréquences de coupure à [26] sont « les valeurs de fréquence pour lesquelles la réponse est égale à la réponse maximale divisée par » soit ici «» ou, en fréquences réduites, «» soit concrètement l'équation suivante «» équivalente à et finalement l'équation ou encore
«»[27], étant appelée « fréquence réduite de coupure haute à [26] »[28] et « fréquence réduite de coupure basse à [26] »[29] ;
il s'agit en fait de deux équations du 2ème degré obtenues en multipliant chaque équation par ou soit «» de même discriminant chacune a donc deux solutions réelles distinctes dont le produit, égal à , assure que les deux racines de chaque équation sont de signe contraire d'où finalement l'existence d'une seule solution réelle positive pour chaque équation soit
d'où les fréquences de coupure à[26] obtenues en multipliant par soit «» et d'où l'intervalle passant en fréquences à[26] «».
Bande passante à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante »[modifier | modifier le wikicode]
« La bande passante à[26]d'une réponse sinusoïdale forcée d'un D.P.L[31]. soumis à une excitation sinusoïdale » est « la largeur de l'intervalle passant en fréquences à[26]de la réponse », elle est usuellement notée «[32] exprimée en » ; dans le cas présent la bande passante à [26] de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est définie par
«» ;
si l'évaluation de la bande passante à [26] suit le calcul des fréquences de coupure à [26] on en déduit
«» montrant que celle-ci est d'autant plus faible que le facteur de qualité est grand[33] ;
usuellement on s'intéresse à la bande passante à [26] et non explicitement aux fréquences de coupure à [26], il est donc nécessaire de savoir l'évaluer sans avoir à expliciter les fréquences de coupure à [26] et on procède comme suit[34] :
on part du système d'équations non linéaires en et «» le système équivalent «» ou, en réduisant les termes entre parenthèses au même dénominateur puis en factorisant, «» ;
comme les fréquences réduites de coupure à [26] sont strictement positives on a nécessairement et par suite la 1ère équation se réduit à «» soit encore
dont on tire la bande passante à [26] en multipliant par la fréquence propre soit
«».
Acuité de la résonance en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante »[modifier | modifier le wikicode]
L'acuité d'une résonance est une grandeur sans dimension définissant le caractère « aigu » de celle-ci c'est-à-dire une grandeur d'autant plus grande que la résonance est plus aiguë ; on choisit donc comme définition de l'acuité d'une résonance le rapport de la fréquence de résonance sur la bande passante à [26] ;
dans le cas présent l'acuité de la résonance en intensité d'un « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est défini selon
Utiliser une échelle linéaire pour représenter la grandeur efficace associée à une réponse sinusoïdale forcée d'un D.P.L[31]. soumis à une excitation sinusoïdale
est bien adapté au domaine de fréquences sur lequel la réponse efficace passe de sa valeur maximale au dixième de cette dernière,
rend la variation peu visible sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du dixième de sa valeur maximale au centième de cette dernière,
ne permet pas d'observer de variation sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du centième de sa valeur maximale au millième de cette dernière
Pour rendre observables tous les domaines de fréquences précédents on utilise une échelle logarithmique décimale pour représenter la grandeur efficace associée à une réponse sinusoïdale forcée d'un D.P.L[31]. soumis à une excitation sinusoïdale et ainsi
sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe de sa valeur maximale au dixième de cette dernière, le logarithme décimal de la réponse efficace[39] passe de sa valeur maximale à celle-ci diminuée de un,
sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du dixième de sa valeur maximale au centième de cette dernière, le logarithme décimal de la réponse efficace[39] passe de sa valeur maximale diminuée de un à celle-ci diminuée de deux,
sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du centième de sa valeur maximale au millième de cette dernière, le logarithme décimal de la réponse efficace[39] passe de sa valeur maximale diminuée de deux à celle-ci diminuée de trois
On voit donc que tous les domaines de fréquences sont devenus observables et de façon similaire.
En fait, au lieu de définir le logarithme décimal de la réponse efficace[39], on introduit une grandeur qui est « vingt fois ce logarithme décimal[40] », grandeur que l'on appelle « gain en décibels de la réponse efficace », dont l'intérêt est un effet de loupe sur la variation,
« une diminution d'une unité du logarithme décimal de la réponse efficace[39] correspondant à une diminution de [26] du gain en décibels de la réponse efficace ».
Application au cas de la réponse efficace en intensité d'unsérie soumis à une excitation sinusoïdale : l'intensité efficace sous forme canonique «» ayant la dimension d'une intensité, on définit une intensité de référence constante[41],[39] puis le « gain en décibels de l'intensité efficace sous forme canonique » ou encore
«» ;
Application au cas de la réponse efficace en intensité d'unsérie soumis à une excitation sinusoïdale : la définition de la fréquence réduite de coupure à [26] de la réponse efficace en intensité étant «» l'équivalent en « gain en décibels de l'intensité efficace » en en prenant vingt fois le logarithme décimal «» soit finalement «»[42] d'où la signification de fréquence de coupure à [26]ainsi que celle de bande passante à [26].
Courbe de déphasage en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence, valeurs particulières du déphasage à la résonance en intensité et aux fréquences de coupure à -3dB[modifier | modifier le wikicode]
Tracé (point par point) de la courbe de déphasage en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence[modifier | modifier le wikicode]
Superposition des courbes d'avance de phase de l'intensité du courant traversant un série sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite pour les facteurs de qualité donnant une résonance floue , modérée et aiguë
Voir ci-contre la superposition des tracés de l'avance de phase de l'intensité du courant traversant le « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité
donnant une variation lente et assez régulière du déphasage,
donnant une variation rapide au voisinage de la fréquence réduite de résonance en intensité efficace, la variation étant très lente en dehors et
donnant une variation modérément rapide au voisinage de la fréquence réduite de résonance en intensité efficace avec toutefois une variation restant notable mais plus faible en dehors.
« Pour », «» dont on tire la dérivée relativement à la fréquence réduite «» précisant que la tangente à la courbe en n'est pas parallèle à l'axe des la pente étant négative d'autant plus faible en valeur absolue que est grand.
Valeurs particulières du déphasage à la résonance en intensité et aux fréquences de coupure à -3dB[modifier | modifier le wikicode]
« La résonance en intensité se produisant » pour une fréquence imposée par le générateur égale à la fréquence propre du « série » c'est-à-dire « pour une fréquence réduite égale à », on en déduit égale à et par suite « égal à » ; on retient donc que
« l'intensité du courant circulant dans le “ série ” à la résonance en intensité est en phase avec la tension à ses bornes » ou «» ;
« les fréquences de coupure haute et basse à [26] de l'intensité efficace » du courant circulant dans le « série » se déterminant par les équations «» on en déduit « égal à » soit finalement
«».
Détermination expérimentale de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable », observation de la résonance en intensité quelle que soit le facteur de qualité, détermination des fréquences de coupure à -3dB[modifier | modifier le wikicode]
On visualise simultanément la « tension aux bornes du générateur B.F. » [43] sur la voie et On visualise simultanément la « tension aux bornes du conducteur ohmique » [44] sur la voie , on observe
« en fonctionnement bicourbe », une variabilité de l'amplitude de la courbe sur la voie relativement à la variation de fréquence, l'amplitude de la courbe sur la voie restant constante ainsi qu'une variation du déphasage de la courbe sur la voie par rapport à la courbe de la voie et
« en fonctionnement », une courbe de Lissajous[45] elliptique caractéristique de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence ;
on modifie la valeur du facteur de qualité en changeant la valeur de la résistance du conducteur ohmique si , .
On détermine la résonance en intensité en déterminant la résonance en tension aux bornes du conducteur ohmique ;
on constate, en fonctionnement bicourbe , que la valeur efficace de [46] passe par un maximum pour une certaine valeur de fréquence[47], les deux courbes sur voies et étant alors en phase[48] ;
on vérifie, en passant en fonctionnement quand la résonance en intensité est observée, que la courbe de Lissajous[45] est un segment de droite de pente positive caractéristique de l'absence de déphasage entre les deux courbes[49], ceci étant vérifié pour toute valeur du facteur de qualité.
En mesure automatique avec les choix précédemment précisés, on détermine « la valeur de la tension efficace aux bornes du conducteur ohmique à la résonance en intensité soit » ainsi que « la fréquence de résonance »[50], puis
on calcule « la valeur que doit prendre la tension efficace aux bornes du conducteur ohmique pour les fréquences de coupure à [26]» et
on augmente ou diminue la fréquence pour que la mesure de sur la voie affiche cette valeur, « on mesure alors la valeur de fréquence sur la voie » correspondant à la « fréquence de coupure haute ou basse à [26] », la différence donnant la valeur de la « bande passante à [26] » [51].
Détermination expérimentale de la pulsation propre et du facteur de qualité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » à partir des courbes de valeur efficace et de déphasage[modifier | modifier le wikicode]
On détermine la fréquence de résonance en intensité
soit « sur la courbe tracée point par point de valeur efficace de l'intensité en fonction de la fréquence valeur pour laquelle la valeur efficace est maximale»[52] ou « sur la courbe de tension instantanée aux bornes d'un conducteur ohmique en série avec le série visualisée à l'oscilloscope »[53],
soit « sur la courbe tracée point par point de l'avance de phase de l'intensité sur la tension en fonction de la fréquence valeur annulant le déphasage»[52] ou « sur la courbe de Lissajous[45] entre tension aux bornes d'un conducteur ohmique en série avec le série et tension aux bornes de ce dernier visualisée à l'oscilloscope »[54] et
soit « sur la courbe tracée point par point de valeur efficace de l'intensité en fonction de la fréquence valeurs pour lesquelles la valeur efficace est égale à la valeur maximale divisée par »[52] ou « sur la courbe de tension instantanée aux bornes d'un conducteur ohmique en série avec le série visualisée à l'oscilloscope »[55],
soit « sur la courbe tracée point par point de l'avance de phase de l'intensité sur la tension en fonction de la fréquence valeurs pour lesquelles le déphasage vaut »[52] puis
on détermine la bande passante à [26] en faisant la différence des deux fréquences de coupure à [26], et enfin,
on détermine l'acuité de la résonance définie comme « rapport de la fréquence propre sur la bande passante à [26] » :
cette dernière est le facteur de qualité du « série ».
Analogie électromécanique, résonance en vitesse d'un oscillateur mécanique amorti par frottement fluide linéaire soumis à une force excitatrice sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]
Analogue électromécanique d'un « R L C série » soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable : pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable selon l'axe du ressort[modifier | modifier le wikicode]
Dispositif expérimental d'enregistrement en perspective d'un pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire et excité par action d'une force horizontale sinusoïdale en vue de face
L'analogue électromécanique d'un « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » est un « pendule élastique horizontal amorti P.E.H.A. par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante[56] et de fréquence variable selon l'axe du ressort » voir schéma ci-contre pour avoir l'analogue parfait il faut considérer le pendule « horizontal »[57] ;
Il y a deux difficultés pour obtenir la réponse en vitesse d'un pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire et soumis à une force excitatrice sinusoïdale,
d'une part « comment imposer une force sinusoïdale de fréquence choisie » et
d'autre part « comment enregistrer la réponse en vitesse ? »
Le plus difficile est d'imposer « directement » une force excitatrice sinusoïdale de fréquence choisie :
une 1ère possibilité est de charger l'objet en lui donnant une charge et de l'immerger dans un condensateur à isolant fluide visqueux à armatures planes à l'axe du ressort aux bornes desquelles on impose une tension sinusoïdale de fréquence choisie, on crée ainsi un champ électrique [58] sinusoïdal de même fréquence, de direction « l'axe du ressort » qui impose sur l'objet une force électrique mais, pour que l'objet reste chargé, il faut que le ressort auquel il est relié soit un isolant électrique c'est-à-dire qu'il soit par exemple en plastique ce qui ne correspond pas au ressort usuel ;
en fait imposer directement une force excitatrice sinusoïdale n'est pas la façon la plus simple de réaliser une excitation sinusoïdale d'un pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire, voir remarque en fin de paragraphe.
La 2ème difficulté est d'enregistrer « directement » la réponse en vitesse, car ce qu'on obtient par la méthode d'enregistrement ci-dessus c'est la réponse en élongation :
on peut certes à partir de la réponse en élongation en déduire, point par point, la réponse en vitesse mais c'est un peu laborieux ;
une possibilité pour enregistrer la réponse en vitesse, serait d'utiliser un « capteur de position » [59] et d'envoyer le signal de sortie du capteur de position sur un « montage dérivateur » [60], ce qui permet alors d'obtenir un enregistrement en vitesse.
Dispositif expérimental d'enregistrement en perspective d'un pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire et excité sinusoïdalement par action d'un système « excentrique - bielle » agissant sur l'extrémité non liée au solide en vue de face
Façon la plus simple d'obtenir l'équivalent d'une force excitatrice sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable : cette façon consiste à créer un déplacement rectiligne sinusoïdal le long de l'axe du ressort sur son extrémité précédemment fixe voir schéma ci-contre ;
on peut utiliser, pour créer le mouvement sinusoïdal de pulsation de extrémité gauche du ressort, un système « excentrique - bielle » ayant pour but de transformer le « mouvement circulaire de l'excentrique[61] et donc de l'extrémité gauche de la bielle liée à l'excentrique[61] par une liaison pivot dont l'axe, solidaire de l'excentrique[61], est situé à une distance de l'axe de rotation de ce dernier, la vitesse angulaire de rotation de l'excentrique[61] étant » en « mouvement quasi rectiligne sinusoïdal de l'extrémité droite de la bielle liée à l'extrémité gauche du ressort c'est-à-dire par une liaison pivot, le mouvement de étant quasiment d'amplitude et de pulsation », soit «» ;
il n'y a donc pas de force excitatrice s'exerçant directement sur l'objet , le bilan de forces horizontales que subit se réduisant
on remarque que la « tension du ressort peut être décomposée en deux composantes »,
« l'une résultant du déplacement de par rapport à sa position d'équilibre »[63] et
« l'autre résultant du déplacement imposé de l'extrémité », déplacement conduisant à la composante « agissant sur » ;
nous voyons donc que le fait de créer un mouvement sinusoïdal de l'extrémité «» est équivalent au problème où l'extrémitéserait maintenue fixe et où on imposerait directement surune force excitatrice sinusoïdale «».
Détermination de l'équation différentielle en vitesse du pendule élastique amorti excité sinusoïdalement (P.E.A.E.S.)[modifier | modifier le wikicode]
Nous considérons « l'extrémité fixe et l'application directe sur d'une force excitatrice sinusoïdale », les deux autres forces horizontales étant
la « tension du ressort » étant repéré relativement à sa position d'équilibre c'est-à-dire la position du ressort à vide et
la « force de frottement fluide linéaire » ;
l'application de la r.f.d.n[64]. à dans le référentiel d'étude galiléen que l'on projette sur donne «» soit, en ordonnant et en normalisant
«» ;
pour obtenir l'équation différentielle en vitesse il convient de dériver l'équation précédente relativement à , utilisant soit
On définit les grandeurs canoniques du P.E.A.E.S[66]. correspondant à la 2ème réduction canonique introduite dans le paragraphe « réductions canoniques d'un série dans le cadre de la réponse en à un échelon de tension »[11] du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », soit
Préliminaire : Le régime libre s'amortit comme en électricité mais usuellement « plus lentement » [71] et, une fois cet amortissement terminé on observe le régime sinusoïdal forcé de pulsation cherché sous la forme «».
On résout cette équation différentielle en passant en complexe[72], la vitesse instantanée complexe s'écrivant «»[73] avec l'amplitude complexe de la vitesse «»[73] et la force excitatrice instantanée complexe «»[73] avec l'amplitude complexe de la force «»[73] ;
On résout cette équation différentielle en reportant dans l'équation différentielle et simplifiant par , on obtient «» dont on tire
Les formules précédemment établies sur la « réponse en vitesse du pendule élastique amorti soumis à une force sinusoïdale d'amplitude fixée et de fréquence variable » c'est-à-dire la réponse en vitesse du P.E.A.E.S[66]. étant de même forme que celles correspondant à la « réponse en intensité du courant traversant un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable »[77], on en déduit les mêmes propriétés à savoir :
« résonance en vitesse pour une fréquence de la force excitatrice [78] égale à la fréquence propre de l'oscillateur », la « valeur maximale de l'amplitude en vitesse étant »[79],
« nullité du déphasage à la résonance en vitesse entre la vitesse et la force excitatrice »[80],
« nature passe-bande en vitesse de l'oscillateur quel que soit le facteur de qualité » « nature passe-bande en vitesse de l'oscillateur avec une « amplitude en vitesse quasi nulle à B.F. et H.F. » et « nature passe-bande en vitesse de l'oscillateur une « d'autant plus petite que le facteur de qualité est grand », « caractérisant l'acuité de la résonance »,
« quadrature avance de la vitesse sur la force excitatrice à B.F. » l'avance de phase de la vitesse sur la force excitatrice étant pour la fréquence de coupure basse à [26] et « quadrature retard de la vitesse sur la force excitatrice à H.F. » l'avance de phase de la vitesse sur la force excitatrice étant pour la fréquence de coupure haute à [26].
Établissement (théorique) de la réponse sinusoïdale forcée en charge (ou tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes (et par diagramme de Fresnel), résonance en charge (sous condition de facteur de qualité suffisant) pour une fréquence inférieure à la fréquence propre, nature du filtre suivant le facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]
Il convient bien sûr d'ajouter un schéma du circuit en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence .
Réponse sinusoïdale forcée en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes[modifier | modifier le wikicode]
Soit « la tension instantanée imposée au série » et Soit «[81] la tension instantanée aux bornes du condensateur », on leur associe les grandeurs instantanées complexes «» et «»[82] on leur associe les grandeurs instantanées complexes avec leurs valeurs efficaces complexes respectives «» et «»[82],[81] ;
« étant la tension instantanée complexe de sortie ouverte d'un pont diviseur de tension dont la tension instantanée complexe d'entrée est » on en déduit, en valeurs efficaces complexes, «»[83] et, en multipliant haut et bas par puis en regroupant les termes réels du dénominateur et en ordonnant
«».
Réduction canonique de la réponse sinusoïdale forcée en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]
le « facteur de qualité sans dimension défini par [12] soit »[13] ;
on rappelle que l'usage dans le cadre du r.s.f[1]. est de « remplacer la notion de pulsation en par celle de pulsation réduite[14], sans dimension[15] ».
La « réponse en tension aux bornes du condensateur » du série à la « tension imposée » par le générateur ayant la même homogénéité, la réduction canonique sera « complète » [16], « mis à part la tension efficace complexe imposée par le générateur, la forme canonique de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur ne dépendra que du facteur de qualité et de la fréquence réduite ».
Pour déterminer la forme canonique réduite[84] de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur, on élimine d'abord au profit de en y reportant soit [85] et finalement, en reconnaissant dans l'inverse du facteur de qualité
«»[86],[87], cette forme canonique[88] usuelle étant aussi la forme canonique « pratique »[89].
Remarque : si au lieu de chercher la réponse en intensité du courant traversant le « série soumis à une tension sinusoïdale de tension efficace fixée et de fréquence variable » on souhaite obtenir la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique du même « soumis à une tension sinusoïdale de même tension efficace fixée et de fréquence variable », on peut procéder
Remarque : en déterminant d'abord par loi d'Ohm[4] en complexe[90] puis en déduire en utilisant ou
Remarque : en reconnaissant dans la tension instantanée complexe de sortie ouverte d'un pont diviseur de tension dont la tension instantanée complexe d'entrée est soit, en valeurs efficaces complexes, «»[83] se réécrivant sous forme canonique normalisée pratique en divisant haut et bas par et en mettant le dénominateur obtenue sous sa forme algébrique, soit «» il est aisé d'en déduire la forme canonique normalisée pratique réduite «»[91],[92] qui a été utilisée pour faire l'étude des variations du module et de l'argument ;
Remarque : à partir de «» obtenue par P.D.T[93]. en sortie ouverte, on peut mettre la réponse efficace en tension aux bornes du conducteur ohmique sous sa forme canonique normalisée usuelle en multipliant haut et bas par puis en regroupant les termes réels du dénominateur et enfin en ordonnant «»[94]il est aisé d'obtenir la forme canonique normalisée usuelle réduite «»[95],[92] ;
Remarque : on rappelle que la forme canonique[88] usuelle «»[92] permet de caractériser l'ordre du système mais ne permet pas de faire une étude simplement, le numérateur dépendant de ; une fois l'ordre du système caractérisé par la forme canonique[88] usuelle, il convient de trouver la forme canonique[88] pratique en rendant le numérateur constant et pour cela « on divise haut et bas par » ce qui donne la forme canonique[88] pratique «»[92] permettant de faire une étude de variation aisée.
Tension efficace aux bornes du condensateur du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]
La tension efficace aux bornes du condensateur du série se déterminant en prenant le module de la tension efficace complexe on en déduit
«» ou sous sa forme canonique normalisée réduite «»[86].
Phase à l'origine de la tension aux bornes du condensateur du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]
La phase à l'origine de la tension aux bornes du condensateur du série se déterminant en prenant l'argument de la tension efficace complexe on en déduit [96] soit
«»[97] ou en fonction du facteur de qualité et de la fréquence réduite «»[86],[98].
Recherche d'une éventuelle résonance en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]
La tension efficace imposée par le générateur étant constante et la fréquence réduite variable, on est amené à « étudier la variation de la tension efficace aux bornes du condensateur en fonction de la fréquence réduite » et « se mettant sous la forme avec », il suffit d'« étudier la variation de relativement à » compte-tenu du fait que est une fonction de en calculant la dérivée de par rapport à soit «» ; on obtient alors la discussion suivante :
« si le terme constant est strictement positif » soit «», la dérivée «» « fonction de » « est une fonction de » donc
« si le terme constant est négatif ou nul » soit «», la dérivée « s'annule pour »[100] avec «» d'une part et d'autre part «» « est minimale en » « est maximale en » donc
En conclusion, la tension aux bornes du condensateur d'unsérie entre en résonance à condition que le facteur de qualité vérifie , la fréquence de résonance étant inférieure à la fréquence propre selon «»[101] ;
En conclusion, la valeur de la tension efficace aux bornes du condensateur à la résonance en charge, quand celle-ci est existe, donne soit finalement
Valeur du déphasage à la résonance éventuelle en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]
Contrairement à « la valeur du déphasage entre l'intensité du courant traversant le série et la tension à ses bornes à la résonance en intensité » valeur nulle constituant un résultat remarquable « très utilisée en pratique pour repérer la résonance en intensité », Contrairement à « la valeur du déphasage entre la tension aux bornes du condensateur du série et la tension à ses bornes à la résonance conditionnelle en charge » « n'ayant aucune particularité permettant son utilisation pour repérer l'éventuelle résonance en charge », usuellement on ne la détermine pas bien que cela ne présente aucune difficulté comme on le vérifie ci-dessous :
« si », « l'avance de phase de la tension aux bornes du condensateur du série sur la tension à ses bornes à la résonance en charge », c'est-à-dire à la fréquence réduite , vaut «» après report de l'expression de la fréquence réduite de résonance en charge, soit, après réduction au même dénominateur de l'argument de l'arctangente et simplification évidente
«».
Nature du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » suivant le facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]
« l'absence de résonance en charge si », la réponse efficace en tension aux bornes du condensateur du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante étant d'une valeur notable à B.F. jusqu'à une limite nulle à H.F., nous en déduisons la nature « passe-bas »[23] du filtre et
« l'existence d'une résonance en charge si », la réponse efficace en tension aux bornes du condensateur du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante étant d'une valeur notable à B.F. jusqu'à une limite nulle à H.F. mais en étant d'abord puis , nous en déduisons la nature « passe-bande ou passe-bas »[23] du filtre suivant l'existence ou non d'une fréquence de coupure basse non nulle à [26] ; la condition pour qu'il existe une fréquence de coupure basse non nulle à [26] étant «» avec la valeur de la réponse efficace à la résonance en charge «»[103], se réécrit «» soit encore l'« inéquation bicarrée en suivante » ; le discriminant réduit valant , les zéros du polynôme bicarré sont et, compte-tenu de la condition de résonance , on en déduit que l'inégalité est vérifiée si soit, étant positif, la « condition d'existence d'une fréquence de coupure basse à [26] : ou » ; en conclusion de cette étude « si »[104] la réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante est un « passe-bas »[23] et en conclusion de cette étude « si »[104] c'est un « passe-bande »[23].
Finalement « pour un facteur de qualité restant faible »[104] la réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante est un « passe-bas »[23] alors que Finalement « pour un facteur de qualité plus grand »[104] c'est un « passe-bande »[23],[105].
Complément : détermination des fréquences de coupure à -3dB du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » suivant qu'il y a, ou non, résonance en charge[modifier | modifier le wikicode]
Détermination de la fréquence de coupure à -3dB du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » en absence de résonance en charge[modifier | modifier le wikicode]
Considérant donc «», le filtre est un « passe-bas »[23] dont la « valeur maximale de tension efficace aux bornes du condensateur est » ; il n'existe donc qu'« une seule fréquence de coupure à [26] dont la valeur réduite est définie par » soit encore l'équation « ou » soit, en développant et ordonnant l'« équation bicarrée par monômes de degré décroissant, » de discriminant réduit deux racines en réelles distinctes mais de signe contraire[106], la racine en positive s'écrivant «» soit enfin la fréquence réduite de coupure à [26]
«»
d'où la fréquence de coupure à [26] du « passe-bas »[23] « réponse en charge du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable en absence de résonance en charge »
Détermination de la (ou les) fréquence(s) de coupure à -3dB du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » en présence de résonance en charge[modifier | modifier le wikicode]
Considérant donc «», le filtre étant un « passe-bas ou passe-bande »[23] suivant que est ou non, dont la « valeur maximale de tension efficace aux bornes du condensateur est » ; il existe donc, suivant la valeur du facteur de qualité, « une ou deux fréquences de coupure à [26] dont la ou les valeur(s) réduite(s) sont définies par » soit encore l'équation « ou »[109] soit, en développant et ordonnant l'« équation bicarrée, » de discriminant réduit se simplifiant en [109] deux racines en réelles distinctes s'écrivant ces dernières étant toutes les deux positives ou de signe contraire[110] ; ainsi, Considérant donc «», dans le cas où les deux racines en sont , il y a deux fréquences réduites de coupure à [26] «» et Considérant donc «», dans le cas où une seule racine en est , il y a une fréquence réduite de coupure à [26] «» d'où
la fréquence de coupure à [26] du « passe-bas à »[23] « réponse en charge du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable en présence de résonance en charge » est
les fréquences de coupure haute et basse à [26] du « passe-bande à »[23] « réponse en charge du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable en présence de résonance en charge » sont
Réponse sinusoïdale forcée en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par diagramme de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]
Revoir, si besoin est, la notion de « vecteur de Fresnel tournant » puis celle de « vecteur de Fresnel (sous-entendu à l'origine des temps) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », sachant que la notion de diagramme de Fresnel[5] n'est qu'une façon concrète de matérialiser celle d'amplitudes complexes ou de valeurs efficaces complexes[6] dans tout schéma construit à partir de vecteurs de Fresnel[5] associés aux grandeurs sinusoïdales de même pulsation [7] quand on les ajoute, dérive temporellement certaines d'entre elles ou effectue toute autre opération linéaire
Diagramme de Fresnel[5] associé à un série soumis à une tension sinusoïdale de tension efficace et de fréquence fixées, détermination de la réponse en tension aux bornes du condensateur
On trace les vecteurs de Fresnel[5] associés à chaque tension[8], puis la somme pour déterminer le vecteur de Fresnel[5] associé à la tension imposée par le générateur, voir diagramme de Fresnel[5] ci-contre [8] ; parmi ces vecteurs de Fresnel[5] on distingue entre autres
le vecteur de Fresnel[5] associé à la tension aux bornes du condensateur du série indirectement à celui associé à l'intensité du courant y circulant[113], leurs normes étant liées par «», et
le vecteur de Fresnel[5] associé à l'intensité du courant colinéaire à celui associé à la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance , leurs normes étant liées par «»
La façon la plus simple de procéder consiste à « déterminer en fonction de »[114] pour ensuite « l’insérer dans » soit :
« par théorème de Pythagore »[9] dans lequel on reporte «», «» et «» d'où «» et finalement, par report dans «» l'expression de la tension efficace aux bornes du condensateur en fonction de celle imposée au série «»
« dans le triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont et » permettant de déduire, par report des expressions de , et et simplification évidente, «» puis, sachant que «» ou , on en déduit puis l'expression de l'avance de phase de la tension aux bornes du série sur celle aux bornes du condensateur «».
Utilisation d'un outil de résolution numérique pour étudier l'influence du facteur de qualité sur l'éventuelle résonance en charge d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]
Tracé simultané des courbes de réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un série soumis à tension sinusoïdale de valeur efficace fixée en fonction de la fréquence réduite suivant le facteur de qualité pour la recherche d'une éventuelle résonance en charge, les tracés étant obtenus par Scilab
Préliminaire : A priori ce paragraphe n'a pas de raison d'être car il est relativement aisé de trouver « à la main » la condition à imposer à pour qu'il y ait résonance en charge et de constater que la résonance est d'autant plus aiguë que est grand[115] mais Préliminaire : c'est une demande explicite du programme de physique de P.C.S.I.
Pour faire cette étude on peut tracer les courbes de valeurs efficaces en fonction de pour différentes valeurs de voir ci-contre en utilisant n'importe quel logiciel de résolution numérique celui utilisé ici est un de ceux proposés par le programme à savoir « Scilab »[116], le programme utilisé[117] est donné ci-dessous, les graphes tracés ci-contre résultant de l'utilisation de ce programme[118] ;
a.title.text="Les réponses en u_C suivants les valeurs du facteur de qualité" ;
e=gce();e.children(2).thickness=2 ;
drawnow()
Étude de la réponse sinusoïdale forcée en charge d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » à grand facteur de qualité, résonance forte (ou aiguë), fréquence de résonance en charge égale à celle en intensité, fréquences de coupure et bande passante à -3dB, acuité de la résonance en charge[modifier | modifier le wikicode]
Étude de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » à grand facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]
Envisageant un « grand facteur de qualité c'est-à-dire », on en déduit qu'il y a « résonance en charge pour la fréquence réduite »[119] ou, en conservant uniquement le terme prépondérant[120], « pour » ;
en conclusion « si », «» c'est-à-dire que « la fréquence de résonance en charge à grand facteur de qualité est quasiment la fréquence propre » ;
« la valeur maximale correspondante » se réécrit, en considérant comme un infiniment petit d'ordre un et en prenant le D.L. à l'ordre un du dernier facteur[121], «» ou, en conservant uniquement le terme prépondérant de ce dernier facteur[120],
«»[122] impliquant une « très grande tension efficace aux bornes du condensateur »[123], ce qui correspond à une « résonance aiguë »[124].
Détermination des fréquences de coupure à -3dB du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » à grand facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]
Avec «», le filtre « réponse en tension aux bornes du condensateur du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » étant un « passe-bande », on définit « deux fréquences de coupure à [26] de valeurs réduites » par «» dans laquelle « la tension efficace aux bornes du condensateur pour la fréquence réduite s'écrit » et « celle pour la résonance en charge » dans la mesure où on ne tient pas compte de soit finalement l'équation de définition des fréquences de coupure à [26]
d'une part de « remplacer par son terme prépondérant soit » et
d'autre part, « le caractère aigu de la résonance impliquant que les fréquences réduites de coupure à [26] sont proches de la fréquence réduite de résonance en charge laquelle est assimilable à la fréquence réduite propre », on peut « remplacer par son terme prépondérant soit »[126], « l'autre terme proche de étant laissé tel quel »,
d'où la réécriture de l'équation de définition des fréquences de coupure à [26] pour un grand facteur de qualité
«» conduisant à «» ou «» ;
on en déduit aisément les fréquences réduites de coupure à [26] du passe-bande « réponse en tension aux bornes du condensateur du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante à grand facteur de qualité » «» ou, en utilisant le D.L. à l'ordre un de avec [127],
«» donnant les fréquences de coupure à [26] «»[128].
Bande passante à -3dB et acuité de la résonance en charge du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » à grand facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]
Dans l'hypothèse «» on détermine la bande passante réduite à [26] selon «» et par suite Dans l'hypothèse «» on détermine la bande passante à [26] pour la résonance en charge à grand facteur de qualité s'écrit
«» c'est-à-dire le même résultat que celle de la résonance en intensité mais avec «» ;
on définit de même l'acuité de la résonance en charge à grand facteur de qualité par
«» c'est-à-dire encore le même résultat que celle de la résonance en intensité mais avec «».
Courbe de valeur efficace en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence, nature du filtre suivant la valeur du facteur de qualité, cas particulier d'un grand facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]
Tracé, point par point, de la courbe de valeur efficace en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite[modifier | modifier le wikicode]
Superposition des courbes de réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un série soumis à tension efficace fixée en fonction de la fréquence réduite pour les facteurs de qualité donnant une absence de résonance , une “ résonance limite en ” , floue et aiguë
Voir ci-contre la superposition des tracés de la réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité
donnant une absence de résonance,
donnant une résonance qualifiée d'« aiguë » en «»,
donnant une résonance limite en «» et
donnant une résonance qualifiée de « floue » en «».
Voir tableau de variation explicité ci-dessous dans le cas où il y a résonance c'est-à-dire si :
Le tableau de variation dans le cas où il n'y a pas résonance c'est-à-dire si correspond à une de à .
« Pour », «»[129] dont on tire la dérivée relativement à la fréquence réduite «» précisant que la tangente à la courbe en est parallèle à l'axe des .
Rappel : nature du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » suivant le facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]
« si est faible » plus précisément « si » « la réponse en tension aux bornes du condensateur du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est un « passe-bas »[23] sans résonance ou avec résonance très floue et
« si est suffisamment grand » plus précisément « si » c'est un « passe-bande »[23] à résonance d'autant plus aiguë que la valeur du facteur de qualité est grande, la fréquence de résonance en charge[130] étant d'autant plus proche de la fréquence propre que est grand.
c'est un « passe-bande »[23] de fréquence de résonance quasiment égale à la fréquence propre et dont l'acuité de résonance en charge est approximativement égale au facteur de qualité.
Courbe de déphasage en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence, cas particulier d'un grand facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]
Tracé (point par point) de la courbe de déphasage en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite[modifier | modifier le wikicode]
Superposition des courbes d'avance de phase de la tension aux bornes du condensateur d'un série sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite pour les facteurs de qualité donnant une absence de résonance , une “ résonance limite en ” , floue et aiguë
Voir ci-contre la superposition des tracés de l'avance de phase de la tension aux bornes du condensateur du « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité
donnant une variation lente et assez régulière du déphasage,
donnant une variation rapide au voisinage de la fréquence réduite propre et très lente en dehors,
donnant une variation légèrement plus rapide qu'aux faibles valeurs du facteur de qualité, variation du déphasage restant assez régulière et
donnant une variation modérément rapide au voisinage de la fréquence réduite propre avec toutefois une variation restant notable mais plus faible en dehors.
« Pour », «» dont on tire la dérivée relativement à la fréquence réduite «» précisant que la tangente à la courbe en n'est pas parallèle à l'axe des la pente étant négative d'autant plus faible en valeur absolue que est grand.
Remarques : on retiendra deux points sur ces courbes d'avance de phase de la tension aux bornes du condensateur d'un série excité sinusoïdalement sur la tension à ses bornes :
elles ont toutes un point commun en la fréquence réduite propre , le déphasage étant égal à et
elles sont indépendantes du caractère « passe-bas ou passe-bande »[23] du filtre.
« Mis à part le voisinage immédiat de »[132], « un grand facteur de qualité c'est-à-dire » implique «»[133] que l'on peut réécrire « quand » d'où « quand » et par suite l'avance de phase de la tension aux bornes du condensateur du série excité sinusoïdalement sur la tension à ses bornes a pour limite quand
Complémentarités des informations présentes sur les courbes de valeur efficace et de déphasage dans la réponse sinusoïdale forcée en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour un facteur de qualité modéré[modifier | modifier le wikicode]
La façon la plus simple de déterminer la fréquence propre du série quand on étudie sa réponse en tension aux bornes de son condensateur, est de le faire à partir de la connaissance de la courbe de déphasage en effet La façon la plus simple pour la fréquence propre on a « c'est-à-dire la moyenne arithmétique de l'avance de phase à B.F. qui est nulle et de celle à H.F. qui vaut [134] » la moyenne arithmétique de l'avance de phase à B.F. et de celle à H.F. s'obtenant plus aisément à partir de la courbe de déphasage si celle-ci a été tracée auparavant ;
La façon la plus simple pour déterminer l'existence d'une éventuelle résonance en charge, le facteur de qualité et la fréquence de résonance, on utilise la courbe de valeur efficace en effet,
ayant déterminé la valeur de la fréquence propre, il suffit de lire sur la courbe de valeur efficace, la valeur de pour la fréquence propre et on en déduit «»,
« si ce dernier est » il y a résonance en charge que l'on détermine aisément en prenant la valeur maximale de , ce qui permet d'obtenir la fréquence de résonance ,
on vérifie alors l'accord avec les valeurs de et obtenues précédemment selon «» ;
il y a donc bien « complémentarités des courbes de valeur efficace et de déphasage » pour déterminer les grandeurs canoniques du série
Détermination expérimentale de la réponse sinusoïdale forcée en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable », observation de la résonance en charge pour un facteur de qualité suffisant, détermination de la fréquence de résonance en charge[modifier | modifier le wikicode]
On visualise simultanément la « tension aux bornes du générateur B.F. » [43] sur la voie et On visualise simultanément la « tension aux bornes du condensateur » [135] sur la voie , on observe
« en fonctionnement bicourbe », une variabilité de l'amplitude de la courbe sur la voie relativement à la variation de fréquence, l'amplitude de la courbe sur la voie restant constante ainsi qu'une variation du déphasage de la courbe sur la voie par rapport à la courbe de la voie et
« en fonctionnement », une courbe de Lissajous[45] elliptique caractéristique de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence ;
on modifie la valeur du facteur de qualité en changeant la valeur de la résistance du conducteur ohmique si , .
On détermine la résonance en charge en déterminant la résonance en tension aux bornes du condensateur ;
on constate, en fonctionnement bicourbe , que la valeur efficace de [46] a deux comportements possibles suivant la valeur de « si est » la tension efficace quand on fait croître la fréquence et « si est » elle passe par un maximum pour une certaine valeur de fréquence[47].
En mesure automatique avec les choix précédemment précisés, on détermine « la valeur de la tension efficace aux bornes du condensateur à la résonance en charge[136] soit » ainsi que « la fréquence de résonance », puis
on calcule « la valeur que doit prendre la tension efficace aux bornes du condensateur pour la ou les fréquence(s) de coupure à [26]» et
on augmente ou diminue la fréquence pour que la mesure de sur la voie affiche cette valeur, « on mesure alors la valeur de fréquence sur la voie » correspondant à la « fréquence de coupure haute ou basse à [26] »[137] et, dans le cas où les deux fréquences de coupure à [26] existent, leur différence donne la valeur de la « bande passante à [26] »[138].
Analogie électromécanique, résonance en élongation d'un oscillateur mécanique amorti par frottement fluide linéaire soumis à une force excitatrice sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]
Rappel : P.E.A.E.S. analogue électromécanique d'un « R L C série » soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable[modifier | modifier le wikicode]
Dispositif expérimental d'enregistrement en perspective d'un pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire et excité par action d'une force horizontale sinusoïdale en vue de face
L'analogue électromécanique d'un « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » étant un « pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante[56] et de fréquence variable selon l'axe du ressort »[139]pour avoir l'analogue parfait il faut considérer le pendule « horizontal »[140] voir schéma ci-contre ;
Il ne reste plus qu'une difficulté pour obtenir la réponse en élongation d'un pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire et soumis à une force excitatrice sinusoïdale contrairement à l'obtention de la réponse en vitesse d'un P.E.A.E.S[66]. où il y avait deux difficultés, l'enregistrement de la réponse en vitesse disparaissant quand on s'intéresse à la réponse en élongation, celle de choisir la façon d'imposer une force sinusoïdale de fréquence choisie :
La réduction canonique a déjà été introduite dans le paragraphe « réduction canonique du P.E.A.E.S. » plus haut dans ce chapitre, on rappelle les grandeurs canoniques ci-dessous :
Amortissement du régime libre : Le régime libre s'amortit comme en électricité mais usuellement « plus lentement » [71] et, une fois cet amortissement terminé on observe le régime sinusoïdal forcé de pulsation cherché sous la forme .
On résout cette équation différentielle en passant en complexe[72], l'élongation instantanée complexe s'écrivant «»[73] avec l'amplitude complexe de l'élongation «»[73] et la force excitatrice instantanée complexe «»[73] avec l'amplitude complexe de la force «»[73] ;
On résout cette équation différentielle en reportant dans l'équation différentielle et simplifiant par , on obtient «» dont on tire
on déduit de cette forme canonique de l'amplitude complexe de l'élongation les grandeurs suivantes :
« en en prenant le module, l'amplitude de l'élongation » et
« en en prenant l'argument, la phase à l'origine de l'élongation » soit, en mettant en facteur dans le complexe dont on cherche l'argument[144], «» d'où l'« avance de phase de l'élongation sur la force ».
Comme en électricité il est pratique d'introduire la pulsation réduite identique à la fréquence réduite notée [145] et définie selon «» et, avec cet emploi on peut réécrire
l'« amplitude complexe en élongation »[146],[147],
Les formules précédemment établies dans le paragraphe « détermination de la réponse forcée sinusoïdale en élongation du P.A.A.E.S. » plus haut dans ce chapitre concernant la « réponse en élongation du P.E.A.E.S[66]. » étant les mêmes que celles correspondant à la « réponse en charge d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable »[148], on en déduit les mêmes propriétés à savoir :
« résonance conditionnelle en élongation pour un facteur de qualité » et une « fréquence de la force excitatrice » [149] inférieure à la fréquence propre de l'oscillateur, plus précisément pour une fréquence égale à «»,
« déphasage entre l'élongation et la force excitatrice à la résonance en vitesse[150] égal à »,
nature « passe-bande ou passe-bas »[23] en élongation de l'oscillateur suivant que le facteur de qualité est plus ou moins grand « passe-bande »[23] pour avec une amplitude en élongation égale à celle de l'excitateur à B.F. et quasi nulle H.F. et une d'autant plus petite que le facteur de qualité est grand[151],
« déphasage de l'élongation sur la force excitatrice » « nul à B.F. soit » et « égale à à H.F. » soit «» et enfin
« déphasage de l'élongation sur la force excitatrice à grand facteur de qualité »[152] et comme les fréquences réduites de coupure haute et basse à [26] et à grand facteur de qualité ont été déterminées[153] par «», nous avons établi, en utilisant les deux résultats précédemment rappelés, «»[152].
Démarche expérimentale autour des régimes transitoires du 2nd ordre : animation « flash »[modifier | modifier le wikicode]
Copie d'écran d'une animation flash d'un système du 2ème ordre
Lancez l'animation après avoir sélectionné « diagramme élongation - temps » ainsi que les paramètres souhaités à choisir intelligemment, suivant votre choix vous verrez ou ne verrez pas le régime transitoire au début puis le régime forcé.
↑ 2,0 et 2,1 La tension efficace imposée aux bornes du série étant constante mais l'impédance de ce dernier dépendant de la fréquence, il en est de même de l'intensité efficace du courant traversant le série.
↑ 3,0 et 3,1 La tension efficace complexe imposée aux bornes du série étant constante mais l'impédance complexe de ce dernier dépendant de la fréquence, il en est de même de l'intensité efficace complexe du courant traversant le série.
↑ 4,0 et 4,1Georg Simon Ohm (1789 - 1854) physicien allemand essentiellement connu pour sa découverte de la loi qui porte maintenant son nom.
↑ 8,08,18,2 et 8,3 Les vecteurs de Fresnel tracés ici ont pour norme la valeur efficace de tensions ou d'intensités au lieu de leur amplitude, ils sont donc plus courts.
↑ 9,0 et 9,1Pythagore (vers 580 av.J.C. - vers 495 av.J.C.) philosophe et mathématicien grec n'ayant peut-être laissé aucun écrit, les quelques écrits qui lui sont parfois attribués auraient été commis par ses disciples.
↑ 11,0 et 11,1 Mais les réductions canoniques sont les mêmes dans la réponse en ou en et, comme nous le voyons ici, quelle que soit la forme de la tension qui lui est appliquée.
↑ 12,0 et 12,1 C.-à-d. correspondant au cœfficient de la dérivée temporelle 1ère de la réponse dans l'équation différentielle normalisée en la réponse.
↑ 13,0 et 13,1 La 2ème expression se déduisant de la 1ère en utilisant ; une 3ème expression peut être obtenue en éliminant en fonction de et on obtient «».
↑ 14,0 et 14,1 Celle-ci étant aussi la « fréquence réduite» avec la fréquence propre, car avec et , conduit, en simplifiant haut et bas par , à l'expression .
↑ 15,0 et 15,1 Ainsi mesure la pulsation ou la fréquence en unité ou en unité .
↑ 16,0 et 16,1 Une réduction canonique est « complète » lorsqu'il ne reste plus que des grandeurs sans dimension éliminant toute référence au problème d'origine en les remplaçant par des références adaptables à toute une série de problèmes identiques dans des domaines très divers.
↑ Permettant de conserver ce paramètre d'une part et de faire apparaître le facteur de qualité d'autre part.
↑ Bien que l'on ne considère plus la variation de l'impédance complexe selon la même variable ayant été remplacée par et par suite qu'il ne peut s'agir de la même fonction, la valeur reste la même et l'usage veut qu'en physique nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction d'où la conservation de la notation .
↑ 19,019,1 et 19,2 Bien que l'on ne considère plus la variation de l'intensité efficace complexe du courant traversant le série selon la même variable ayant été remplacée par et par suite qu'il ne peut s'agir de la même fonction, la valeur reste la même et l'usage veut qu'en physique nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction d'où la conservation de la notation .
↑ En accord avec le fait qu'il y a résonance en intensité quand la fréquence imposée par le générateur est égale à la fréquence propre du série.
↑ En accord avec le fait que le déphasage est nul à la résonance en intensité c'est-à-dire quand la fréquence imposée par le générateur est égale à la fréquence propre du série.
↑ 22,022,1 et 22,2 La grandeur étant une fonction croissante de , en effet sa dérivée relativement à vaut , est une grandeur intermédiaire très pratique (mais malheureusement pas toujours utilisable).
↑ 23,0023,0123,0223,0323,0423,0523,0623,0723,0823,0923,1023,1123,1223,1323,1423,1523,16 et 23,17 La notion de filtrage sera vue de façon plus approfondie dans le chap. intitulé « fliltrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode » de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » mais dès à présent on précise les notions intuitives de « passe-bande » et de « passe-bas » ; on parle de « passe-bande » quand la réponse est d'amplitude « notable » à préciser sur un intervalle de fréquences de largeur finie à borne inférieure non nulle et qu'elle peut être « négligée » à préciser en dehors ; on parle de « passe-bas » quand la réponse est d'amplitude « notable » à préciser sur un intervalle de fréquences de largeur finie à borne inférieure nulle et qu'elle peut être « négligée » à préciser en dehors.
↑ Donc des valeurs notables dans l'intervalle dit passant.
↑ Donc des valeurs négligeables au voisinage de la fréquence nulle entraînant que la borne inférieure de l'intervalle dit passant n'est pas nulle et Donc des valeurs négligeables au voisinage de la fréquence infinie entraînant que la largeur de l'intervalle dit passant est finie.
↑ En effet et étant toutes deux positives, il doit en être de même de toutes valeurs de fréquence réduite donc de celles de fréquence réduite de coupure à ; de plus étant supérieure à car est alors que de plus étant inférieure à car est .
↑ étant solution de équation du 2ème degré en qui admet nous le démontrerons deux racines réelles distinctes, nous conserverons la racine physique c'est-à-dire la racine positive, ce qui assurera l'unicité de la solution.
↑ étant solution de équation du 2ème degré en qui admet nous le démontrerons deux racines réelles distinctes, nous conserverons la racine physique c'est-à-dire la racine positive, ce qui assurera l'unicité de la solution.
↑ L'intervalle passant en fréquences à est d'autant plus étroit que le facteur de qualité est grand, ce qui correspond donc à une résonance d'autant plus aiguë que est grand.
↑ Si on ne demande pas d'expliciter les fréquences de coupure à mais uniquement d'évaluer la bande passante à ce qui est nettement le cas le plus fréquent c'est ce qui est exposé ci-après qu'il faut faire
↑ La fréquence réduite de coupure basse à est donc l'inverse de la fréquence réduite de coupure haute à .
↑ On vérifie aisément ceci sur les courbes de réponse en intensité efficace traversant un série soumis à tension efficace fixée en fonction de la fréquence réduite pour les facteurs de qualité donnant une résonance floue , modérée et aiguë présentée au paragraphe « tracé (point par point) de la courbe de valeur efficace en intensité d'un “ R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante ” en fonction de la fréquence » plus haut de ce chapitre ; pour où la résonance est floue, on lit et donnant et correspondant à la valeur de ; pour où la résonance est aiguë, on lit et donnant et correspondant à la valeur de ; pour où la résonance est intermédiaire, on lit et donnant et correspondant à la valeur de .
↑ 39,039,139,239,339,4 et 39,5 L'argument d'un logarithme décimal ne devant pas avoir de dimension, si la réponse efficace en a une, on ne peut pas en prendre le logarithme décimal ; si tel est le cas, on divise la réponse efficace par une grandeur constante de même dimension, grandeur dite de référence, on obtient alors une grandeur sans dimension proportionnelle à la réponse efficace dimensionnée et c'est le logarithme décimal de cette grandeur sans dimension qui définit, par abus, le logarithme décimal de la réponse efficace dimensionnée.
↑ En effet ordre de grandeur qu'il faut connaître en électronique.
↑ 43,0 et 43,1 Plus exactement à la sortie du montage suiveur interposé entre le générateur et le dipôle série de façon à ce que l'intensité du courant traversant ce dipôle ne modifie pas la valeur efficace de la tension aux bornes du générateur due à l'existence de sa résistance de sortie de on rappelle que et que c'est la valeur efficace de que l'on fixe sur le générateur, il est donc nécessaire, pour que la valeur efficace de soit aussi fixée, que fournie par le générateur soit nulle, ce qui est le cas à l'entrée d'un montage suiveur, le courant de sortie de ce montage et qui traversera le série étant fournie par l'alimentation stabilisée du montagevoir le paragraphe « utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F. » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la raison de l'introduction du montage suiveur dans le cas présent restant la même.
↑ Attention à la masse, le conducteur ohmique doit avoir une de ses bornes reliée à la masse du montage suiveur, ce point étant choisi comme masse de l'oscilloscope.
↑ 45,045,145,2 et 45,3Jules Antoine Lissajous (1822 - 1880) physicien français essentiellement connu pour ses travaux sur les ondes ; la courbe obtenue en fonctionnement sur un oscilloscope porte son nom pour lui rendre hommage.
↑ 46,0 et 46,1 Mesurée en automatique sur la voie en sélectionnant et en vérifiant en automatique sur la voie avec la même sélection que la tension efficace imposée par le générateur reste constante.
↑ 47,0 et 47,1 Mesurée en automatique sur la voie voie , en sélectionnant .
↑ On vérifiera qu'aucune des deux voies n'a été inversée par l'opérateur car, si tel était le cas sur l'une des voies seulement, on trouverait, à tort, que les courbes sont en opposition de phase.
↑ C'est d'ailleurs la meilleure façon de repérer la fréquence pour laquelle il y a résonance en intensité.
↑ 56,0 et 56,1 La notion de valeur efficace est peu utilisée en mécanique contrairement à l'électricité on remplace donc « valeur efficace constante » par « amplitude constante » sachant qu'en régime sinusoïdal, la valeur efficace est égale à l'amplitude divisée par .
↑ Le poids étant l'analogue d'une tension constante imposée par le générateur, l'analogue du « pendule élastique vertical soumis à une force excitatrice sinusoïdale le long de l'axe du ressort » est un « série soumis à une tension sinusoïdale à composante permanente non nulle », composante permanente qui modifie la tension aux bornes du condensateur mais nullement l'intensité du courant traversant le « série » ; en conséquence, dans la mesure où on s'intéresse à la réponse en vitesse du pendule élastique excité sinusoïdalement, on pourrait aussi considérer un pendule élastique vertical car la réponse en vitesse du pendule est l'analogue de la réponse en intensité du courant traversant le « série », réponse qui est indépendante de l'éventuelle présence d'une composante permanente ajoutée à la tension sinusoïdale, donc dans le cas du pendule de la présence du poids agissant sur le solide.
↑ Le champ électrique à l'intérieur du condensateur plan est uniforme c'est-à-dire indépendant de , son évolution avec le temps étant la même en tout point intérieur au condensateur.
↑ Lequel transforme l'élongation en signal électrique ; l'élongation étant repérée par rapport à une position de référence, le capteur doit donner une réponse à la distance séparant ces deux positions, ce peut être une réponse potentiométrique dont le principe est celui d'un P.D.T. en sortie ouverte : une tension constante étant imposée à l'entrée du capteur de résistance totale , sa tension de sortie ouverte est alors à la résistance située entre les deux positions précédemment introduites donc à la distance entre ces deux positions selon ; on peut éventuellement éliminer la composante continue pour que le signal soit purement sinusoïdal, il suffit que la position de référence du capteur soit la position du solide quand le ressort est au repos.
↑ 61,061,161,2 et 61,3 Parmi toutes les façons de créer un excentrique nous avons choisi celle d'un disque homogène en rotation autour de l'axe géométrique du disque c'est-à-dire l'axe passant par le centre d'inertie du disque et au plan de ce dernier, mais en nous intéressant au mouvement d'un point solidaire du disque et tel que décrit un cercle de rayon à la vitesse angulaire de rotation du disque.
↑ En effet, la position de étant repérée par rapport à sa position d'équilibre en absence de déplacement de l'extrémité du ressort position d'équilibre coïncidant avec la position à vide du ressort, l'allongement par rapport à la longueur à vide du ressort augmente de axe orienté de gauche à droite quand est déplacé de relativement à la position d'équilibre et diminue de quand est déplacé de .
↑ Ce serait la seule composante si l'extrémité était maintenue fixe.
↑ 64,0 et 64,1 Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
↑ Analogue électromécanique de car les grandeurs analogues électromécaniques sont , , , , et .
↑ 66,066,166,2 et 66,3 Pendule Élastique Amorti Excité Sinusoïdalement.
↑ 67,0 et 67,1 Analogue électromécanique de car les grandeurs analogues électromécaniques sont et .
↑ 68,0 et 68,1 Cette 2ème relation découlant de ; il existe une 3ème forme pour le facteur de qualité par élimination de soit .
↑ 69,0 et 69,1 Analogue électromécanique de car les grandeurs analogues électromécaniques sont , , , la grandeur canonique étant invariante par analogie électromécanique ; la 3ème forme du facteur de qualité mécanique obtenue par élimination de c'est-à-dire est l'analogue électromécanique de .
↑ Analogue électromécanique de car les grandeurs analogues électromécaniques sont , , , les grandeurs canoniques et étant invariantes par analogie électromécanique.
↑ 71,0 et 71,1 Cela peut demander quelques secondes, ce qui fait qu'il ne devient pas impossible de visualiser le régime transitoire lequel disparaît au bout de ces quelques secondes pour laisser uniquement le régime sinusoïdal forcé.
↑ 73,073,173,273,373,473,573,6 et 73,7 Dès que l'on quitte le domaine de l'électricité, l'unité imaginaire est de nouveau notée .
↑ Cette dernière expression étant obtenue en éliminant au profit de par «» donnant «» soit, par report dans l'expression de l'amplitude complexe de la vitesse «» donnant l'expression finale en divisant haut et bas le 1er quotient par . Cette dernière expression est l'analogue électromécanique de «».
↑ Analogue électromécanique de l'amplitude de l'intensité du courant traversant un série soumis à une tension sinusoïdale d'amplitude et de pulsation soit «».
↑ Analogue électromécanique de l'« avance de phase de l'intensité du courant traversant un série soumis à une tension sinusoïdale de pulsation sur cette tension » soit «».
↑ Ou une fréquence d'excitation de l'extrémité initialement fixe du ressort.
↑ De la relation on en déduit que la force excitatrice et la force de frottement fluide à la résonance en vitesse ont même norme : comme l'élongation et l'accélération sont nécessairement de signe contraire en régime sinusoïdal car , la tension du ressort et la résultante dynamique sont de même signe et par suite, la r.f.d.n. avec et de même signe d'une part et d'autre part, permet de déduire que la force excitatrice et la force de frottement fluide à la résonance en vitesse sont opposées, cette dernière étant de norme maximale.
↑ En accord avec le résultat trouvé dans la note « 78 » plus haut dans ce chapitre « la force excitatrice et la force de frottement fluide à la résonance en vitesse sont opposées ».
↑ 81,0 et 81,1 La tension efficace imposée aux bornes du série étant constante mais les impédances du P.D.T., dont l'entrée est et la sortie ouverte aux bornes du condensateur, dépendant de la fréquence, il en est de même de la tension efficace aux bornes du condensateur du série.
↑ 82,0 et 82,1 La tension efficace complexe imposée aux bornes du série étant constante mais les impédances complexes du P.D.T., dont l'entrée est et la sortie ouverte aux bornes du condensateur, dépendant de la fréquence, il en est de même de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur du série.
↑ On parle de forme canonique réduite quand la réduction complète est possible et qu'on utilise la fréquence ou la pulsation réduite au lieu de la fréquence ou la pulsation.
↑ 86,086,1 et 86,2 Bien que l'on ne considère plus la variation de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur selon la même variable ayant été remplacée par et par suite qu'il ne peut s'agir de la même fonction, la valeur reste la même et l'usage veut qu'en physique nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction d'où la conservation de la notation .
↑ Quand la réponse efficace complexe est mise sous une forme canonique non réduite « quotient irréductible de polynômes en », le degré du polynôme du dénominateur caractérise l'ordre du système étudié ici il s'agit d'un 2ème ordre, la forme canonique étant dite « normalisée » si « le terme de degré du dénominateur est » ; on qualifiera cette forme canonique normalisée d'« usuelle » car c'est elle qui permet de définir l'ordre du système mais aussi les grandeurs canoniques « pulsation propre et facteur de qualité » en identifiant le « polynôme du dénominateur » avec «» ce qui permet d'en déduire la pulsation propre et le facteur de qualité du système ; il est souhaitable de retenir la forme canonique normalisée réduite du dénominateur d'un 2ème ordre «» se réécrivant en forme canonique normalisée non réduite «».
↑ Une forme canonique est dite « pratique » quand elle est mise sous forme d'un quotient non nécessairement de polynômes en avec un numérateur indépendant de .
↑ Pour cela « on remplace par » d'où le résultat en utilisant .
↑ 92,092,192,2 et 92,3 Bien que l'on ne considère plus la variation de la tension efficace complexe aux bornes du conducteur ohmique selon la même variable ayant été remplacée par et par suite qu'il ne peut s'agir de la même fonction, la valeur reste la même et l'usage veut qu'en physique nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction d'où la conservation de la notation .
↑ Cette forme permet d'affirmer que le système étudié est un 2ème ordre mais c'est la forme canonique normalisée pratique qui doit être utilisée pour étudier le système.
↑ Pour cela « on remplace par » d'où le résultat en utilisant et .
↑ En effet le complexe dont on prend l'argument dans le 2ème terme ayant une partie réelle de signe conditionnel, son argument , il ne peut donc s'écrire directement à l'aide d'un d'où la mise en facteur de la partie imaginaire pour que l'autre facteur soit de partie réelle égale à donc positive et ait un argument pouvant de mettre sous la forme .
↑ Le facteur de qualité est encore appelé « facteur de surtension à la résonance en intensité » car c'est le rapport , la fréquence réduite propre étant aussi la fréquence réduite à la résonance en intensité ; le facteur pourrait être appelé « facteur de surtension à la résonance en charge » du fait que c'est le rapport mais ce n'est pas fait pratiquement car son expression est trop complexe et trop peu utilisée pour être retenue.
↑ 104,0104,1104,2 et 104,3 La valeur étant la valeur approchée de dont il faut retenir qu'elle existe en étant un peu plus grande que .
↑ Mais nettement moins intéressant que le passe-bande constitué de la réponse en intensité du courant traversant le série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante car la fréquence de résonance dépend du facteur de qualité, ce qui est un handicap à son utilisation.
↑ 107,0107,1 et 107,2 Ce n'est ou ce ne sont évidemment pas un ou des résultat(s) à retenir.
↑ 108,0 et 108,1 Évidemment compte-tenu de l'expression de la ou les fréquence(s) de coupure à , le déphasage entre la tension aux bornes du condensateur du série excité sinusoïdalement et la tension à ses bornes n'a aucune particularité.
↑ 109,0 et 109,1 En effet le 1er membre étant positif, le 2ème doit l'être aussi et implique d'où .
↑ En effet le « 1er terme du 2nd membre est » car implique d'où et le « 2ème du 2nd membre » d'où « chaque racine en est » si le 1er terme «» est au 2ème «» et seule la racine en «» est si le 1er terme «» est au 2ème «» «» étant .
↑ On vérifierait que est négatif et que n'existe pas.
↑ Et même, dans le cas présent, est nettement moins pratique car ne permettant pas l'utilisation de la notion très pratique de sortie ouverte de P.D.T. en complexe et pour cause les diagrammes de Fresnel n'utilisant pas l'électricité complexe associée au r.s.f..
↑ Indirectement signifiant que sa direction est perpendiculaire mais l'angle qu'il fait avec celui associé à l'intensité du courant fait .
↑ Ainsi on comprend la raison pour laquelle on n'introduit pas la notion de « facteur de surtension à la résonance en charge » car ce facteur s'identifie au « facteur de surtension à la résonance en intensité » dans la mesure où le facteur de qualité est grand et c'est essentiellement quand ce facteur est grand que l'aspect « passe-bande » du filtre « réponse en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est utilisé.
↑ Pratiquement il faut être très attentif à ce résultat car cela peut conduire à un claquage du condensateur si on n'y prend pas garde, par exemple, supposons que la tension de claquage d'un condensateur soit et que le générateur fournisse une tension efficace , on n'est pas certain que le condensateur ne claquera pas, en effet si le facteur de qualité vaut et que l'on règle la fréquence délivrée par le générateur au voisinage de la fréquence propre du série, la tension efficace aux bornes du condensateur prendra alors sa valeur maximale égale à nettement supérieure à sa tension de claquage ce qui conduira certainement à sa destruction.
↑ En effet si nous écrivons « avec le terme infiniment petit correctif du D.L. de », sachant que est un infiniment petit dont l'ordre peut être différent de celui de , multiplier les deux conduit à «» avec le 2ème terme d'ordre supérieur à celui du 1er puisque égal à la somme de l'ordre du 1er et de celui de d'où « terme prépondérant de ».
↑ On rappelle que la fréquence de résonance en charge est toujours inférieure à la fréquence propre.
↑ On rappelle que c'est-à-dire que la tension aux bornes du condensateur est en quadrature retard sur l'intensité de son courant de charge, cette relation résultant de .
↑ C.-à-d. mis à part le cas où la fréquence imposée par le générateur est dans le voisinage immédiat de la fréquence propre du série.
↑ En effet si n'est pas dans le voisinage immédiat de , la quantité et par suite la multiplication par conduit à une quantité .
↑ On détermine les déphasages en fonctionnement bicourbe à B.F. puis à H.F., on en fait la moyenne arithmétique et on lit la fréquence propre correspondante ; si on se place en fonctionnement pour la fréquence propre la courbe de Lissajous doit être une ellipse à axes horizontal et vertical ou un cercle si on adapte les sensibilités des deux voies.
↑ Attention à la masse, le condensateur doit avoir une de ses bornes reliée à la masse du montage suiveur, ce point étant choisi comme masse de l'oscilloscope.
↑ Si on ne trouve pas de fréquence de coupure basse à c'est que le filtre est un « passe-bas », le facteur de qualité étant alors .
↑ Dans le cas où il n'existe que la fréquence de coupure haute à , il s'agit d'un « passe-bas » dont la « bande passante à » définie comme la largeur de l'intervalle passant s'identifie à la fréquence de coupure haute à .
↑ Le poids étant l'analogue d'une tension constante imposée par le générateur, l'analogue du « pendule élastique vertical soumis à une force excitatrice sinusoïdale le long de l'axe du ressort » est un « série soumis à une tension sinusoïdale à composante permanente non nulle », composante permanente qui modifie la tension aux bornes du condensateur ; en conséquence, souhaitant l'analogue électromécanique de la réponse en tension aux bornes du condensateur du « série » excité sinusoïdalement sans composante continue, lequel est la réponse en élongation du pendule élastique excité sinusoïdalement sans déplacement permanent dû au poids, il est impératif de choisir un pendule horizontal.
↑ Une 1ère fois par la force simulée sur l'extrémité du ressort liée au solide et une 2ème fois par la tension du ressort dans laquelle le mouvement de intervient .
↑ Analogue électromécanique de car les grandeurs analogues électromécaniques sont , , , les grandeurs canoniques et étant invariantes par analogie électromécanique ; si on divise les deux membres de l'équation différentielle normalisée en par on retombe sur l'équation différentielle normalisée en soit ou .
↑ Analogue électromécanique de la réponse en charge et non de la réponse en tension aux bornes du condensateur, la réponse en charge s'obtenant « en multipliant la réponse en tension aux bornes du condensateur par » soit une valeur efficace complexe en charge se réécrivant «» ou, en « remplaçant par », «» dont l'analogue électromécanique est effectivement «» car les grandeurs analogues électromécaniques sont , , , , les grandeurs canoniques et étant invariantes par analogie électromécanique.
↑ De façon que le 2ème facteur ait une partie réelle égale à donc positive permettant de mettre son argument sous forme d'un .
↑ En électricité la pulsation réduite est notée car est réservée aux tensions et en mécanique elle est notée car est réservée à l'élongation.
↑ Bien que l'on ne considère plus la variation de l'amplitude complexe de l'élongation selon la même variable ayant été remplacée par et par suite qu'il ne peut s'agir de la même fonction, la valeur reste la même et l'usage veut qu'en physique nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction d'où la conservation de la notation .
↑ Celle-ci étant la même que la « réponse en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable » au facteur multiplicatif près.
↑ Ou une fréquence d'excitation de l'extrémité initialement fixe du ressort.
↑ On rappelle que la résonance en vitesse se produit quand la fréquence de la force excitatrice est égale à la fréquence propre.
↑ On rappelle qu'à grand facteur de qualité, caractérise l'acuité de la résonance
↑ Une démarche expérimentale autour des régimes transitoires du 1er ou du 2ème ordre utilisant une animation « flash » ou un sismomètre est une exigence du programme de physique de PCSI, le choix porte sur une animation « flash » autour d'un 2ème ordre.
![{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{R\,L\,C\;{\text{série}}}({\cancel {\omega }})=\Re \left[{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )\right]=R\;\in \mathbb {R} ^{+}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7079b24951a0e3894373a61719273ce2c363fc)
![{\displaystyle \;X_{R\,L\,C\;{\text{série}}}(\omega )=\Im \left[{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )\right]=L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\;\in \mathbb {R} \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfca4ba0cd7036f8e361801864705b6c1d92232)
![{\displaystyle \;\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\;,\;+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce886b8a3ea433e4f81d863285c464e3ee3cfc8)
![{\displaystyle \;\varphi _{u}-\varphi _{i}=\arctan \!\left[{\dfrac {X_{R\,L\,C\;{\text{série}}}(\omega )}{{\mathcal {R}}_{R\,L\,C\;{\text{série}}}({\cancel {\omega }})}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85964e078a90d7a0bda1938a048d3bc591f34105)
![{\displaystyle \;{\underline {I}}(j\,\omega )=I(\omega )\,\exp \!\left[j\,\varphi _{i}(\omega )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43621081b395e614b9076a5246b6ae5736edfadd)
![{\displaystyle \;\varphi _{i}(\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I}}(j\,\omega )\right]=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {U_{g}}}\right]-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{\text{R L C série}}}}\right]=\varphi _{u_{g}}-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}}{R}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e56bc3ed95db27502c2d0194a709f8617a5ee50)
![{\displaystyle \;{\underline {Z_{\text{R L C série}}}}(j\,x\,\omega _{0})=R\left[1+j\left({\dfrac {L\,\omega _{0}}{R}}\,x-{\dfrac {1}{R\,C\,\omega _{0}}}\,{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b933e974c49f82318b9da8ea17bb06c605164de4)
![{\displaystyle \;{\underline {Z_{\text{R L C série}}}}(j\,x)=R\left[1+j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcd2f0d1be3f4a1cc40afcfe3b037ef53026430)
![{\displaystyle \;{\underline {I}}(j\,x)={\dfrac {{\underline {U}}_{g}}{{\underline {Z_{\text{R L C série}}}}(j\,x)}}={\dfrac {{\underline {U}}_{g}}{R\left[1+j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ab74d9857db88dd79e1c5db5eb123f9481089a)
![{\displaystyle \;\varphi _{i}(x)=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I}}(j\,x)\right]=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {U_{g}}}\right]-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{\text{R L C série}}}}(j\,x)\right]=\varphi _{u_{g}}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f4f258c361e0856a81272e75a8426dbc4502e9)
![{\displaystyle \;\left[f_{0}\left(-{\dfrac {1}{2\;Q}}+{\sqrt {1+{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}}}\right)\;;\;f_{0}\left({\dfrac {1}{2\;Q}}+{\sqrt {1+{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518af6be3b60331c31cc2eeb0f181fab137937d5)
![{\displaystyle \;I_{dB}(x)=20\;\log \!\left[{\dfrac {I(x)}{I_{\text{réf}}}}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e10de874b472fe45e5c205e1f65c9adc04be30)
![{\displaystyle 20\;\log \!\left[{\dfrac {\dfrac {U_{g}}{R}}{I_{\text{réf}}}}\right]-20\;\log \!\left[{\sqrt {1+Q^{2}\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)^{\!\!2}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6c32474a3a6e3b424965c0af6f7f852f4bc0a1)
![{\displaystyle \;I_{dB}(x)=20\;\log \!\left[{\dfrac {I(x)}{I_{\text{réf}}}}\right]=I_{dB\,{\text{max}}}-10\;\log \!\left[1+Q^{2}\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)^{\!\!2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a297b4966d73220a71875c88529715114565280)
![{\displaystyle \;I_{dB}(x_{c})=I_{dB\,{\text{max}}}-20\;\log \!\left[{\sqrt {2}}\right]=I_{dB\,{\text{max}}}-10\;\log(2)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71aacf5ecad12b91120cd81cfbcbe8487376833)
![{\displaystyle \;\left(\varphi _{i}-\varphi _{u_{g}}\right)(x)=-\arctan \!\left[Q\;X(x)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1719ea9ad7b232e474bf6bde784838425284d070)
![{\displaystyle \;\Delta \varphi (x)=\left(\varphi _{i}-\varphi _{u_{g}}\right)(x)\sim \arctan \!\left[{\dfrac {Q}{x}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18805dbae3fd9f366407ebfafaebf26e1a58a9b1)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\Delta \varphi }{dx}}(x)\sim {\dfrac {1}{1+\left({\dfrac {Q}{x}}\right)^{\!2}}}\left[-{\dfrac {Q}{x^{2}}}\right]={\dfrac {-Q}{x^{2}+Q^{2}}}\rightarrow -{\dfrac {1}{Q}}\neq 0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a805a1a48c9a0bfb93022cfc75ef4f849c3b6b93)
![{\displaystyle \;\Delta \varphi (x_{r})=\left(\varphi _{i}-\varphi _{u_{g}}\right)(x_{r})=-\arctan \!\left[Q\;X(x_{r})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae71b1b5f47412d7a01234b5e062a9cc88bc8892)
![{\displaystyle \;\Delta \varphi (x)=\left(\varphi _{i}-\varphi _{u_{g}}\right)(x)=-\arctan \!\left[Q\;X(x)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eff9c596b6d19ff4ece3b0100875216dfc219ec)
![{\displaystyle \;{\vec {T}}(t)=-k\left[x(t)-x_{A}(t)\right]{\vec {u}}_{x}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c966fcc59648f9c3b16d3fd26346bf77b5cec57)
![{\displaystyle \;{\vec {T}}_{M}(t)=-k\left[x(t)\right]{\vec {u}}_{x}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425a7ae29899164fe51e1b088b0736562a439252)
![{\displaystyle \;{\vec {T}}_{A}(t)=k\left[x_{A}(t)\right]{\vec {u}}_{x}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66286b850d4c4d00ed73be1b7bfa31843548ee6c)
![{\displaystyle k\left[x_{A}(t)\right]{\vec {u}}_{x}=k\;a\;\cos \!\left(\omega \;t+\varphi _{A}\right){\vec {u}}_{x}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1861a6550ef02a4615fa3d78855374c7856080)
![{\displaystyle \;{\vec {T}}(t)=-k\left[x(t)\right]{\vec {u}}_{x}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/660764ba8f60ff2d32538e21a2b5261a00dce792)
![{\displaystyle V_{m}(\omega )\;\exp \!\left[i\;\varphi _{v}(\omega )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4fffa30455c4985c5d867d64168b1b1c4ac4c10)
![{\displaystyle \;\varphi _{v}(\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {V_{m}}}(i\,\omega )\right]=\varphi _{F}-\mathrm {arg} \!\left[1+i\;Q\left({\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega _{0}}{\omega }}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3323b3681dd08872943374f6b64fde663e05df9)
![{\displaystyle =-\arctan \!\left[Q\left({\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega _{0}}{\omega }}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b121da97052ae8d6d17289cc1c743be53a51b6ad)
![{\displaystyle \;{\underline {U_{C}}}(j\,\omega )=U_{C}(\omega )\,\exp \!\left[j\,\varphi _{C}(\omega )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e975bd3cac5ffc86efe68e98c4e1006b974427)
![{\displaystyle \;\varphi _{C}(\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {U_{C}}}(j\,\omega )\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256680808e3bf84ec91bf25ee00eb7a67752f898)
![{\displaystyle \mathrm {arg} \!\left[{\underline {U_{g}}}\right]-\mathrm {arg} \!\left[\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)+j\,R\,C\,\omega \right]=\varphi _{u_{g}}-\mathrm {arg} \!\left\lbrace j\,R\,C\,\omega \left[1+j\left({\dfrac {L\,\omega }{R}}-{\dfrac {1}{R\,C\,\omega }}\right)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a4a969a216cb4650c41ee81b8de0193032713f)
![{\displaystyle \;\varphi _{C}(\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {U_{C}}}(j\,\omega )\right]=\varphi _{u_{g}}-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega }{R}}-{\dfrac {1}{R\,C\,\omega }}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea06f89a32fd131630dd154f27225f847b0d863)
![{\displaystyle \;\varphi _{C}(x)=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {U_{C}}}(j\,x)\right]=\varphi _{u_{g}}-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d91a21a0069c1c4ab4b5380f9ac3a6f43feb521)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{x\rightarrow +\infty }\left[{\dfrac {dg}{dx^{2}}}(x^{2})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d311aecd8cdb469a8cae79fbe427834a93ac36)
![{\displaystyle {\dfrac {U_{g}}{\sqrt {\left[1-\left(1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}\right)\right]^{\!2}+{\dfrac {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}{Q^{2}}}}}}={\dfrac {U_{g}}{\sqrt {{\dfrac {1}{4\;Q^{4}}}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}-{\dfrac {1}{2\;Q^{4}}}}}}={\dfrac {U_{g}}{\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-{\dfrac {1}{4\;Q^{4}}}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3122092b48697b3ae5dcba12d4312455bf8ea5e6)
![{\displaystyle \;\varphi _{C}(x_{r})=\varphi _{u_{g}}-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left(x_{r}-{\dfrac {1}{x_{r}}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba8d6bb442f522cb72c754526604eed8bb24e1d)
![{\displaystyle \;\varphi _{C}(x_{r})=\varphi _{u_{g}}-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}-{\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0210a07031a1a592f00ff521ebfe48d44942fd6)
![{\displaystyle \;\varphi _{C}(x_{r})=\varphi _{u_{g}}-{\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[{\dfrac {1}{2\;Q\;{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}}\right]=\varphi _{u_{g}}-{\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[{\dfrac {1}{{\sqrt {2}}\;{\sqrt {2\;Q^{2}-1}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775b45fe2bf2b95c0aee4974456fd87aac9dfd71)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;U_{C}(x)={\dfrac {U_{g}}{\sqrt {1+x^{2}\left({\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\right)+{\cancel {x^{4}}}}}}\simeq U_{g}\left[1-{\dfrac {x^{2}}{2}}\left({\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9e47b81a6fd5f8a2a299425aed1eb2acfe2223)
![{\displaystyle \;{\dfrac {dU_{C}}{dx}}(x)\simeq U_{g}\left[-x\left({\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\right)\right]\rightarrow 0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52b2e06c6657649e655c18c121611d0840d5d95)
![{\displaystyle \;\left(\varphi _{C}-\varphi _{u_{g}}\right)(x)=-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\;X(x)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699904a5aa2b031baeacc34273e6f7d48a5b903f)
![{\displaystyle \;\Delta \varphi (x)=\left(\varphi _{C}-\varphi _{u_{g}}\right)(x)\sim -{\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[{\dfrac {Q}{x}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc057c65b9a93eed8f3ab8fe1fbd995f0d3d6ced)
![{\displaystyle \;-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\rightarrow \left\lbrace {\begin{array}{c}-{\dfrac {\pi }{2}}\;\;{\text{si }}x>1\\+{\dfrac {\pi }{2}}\;\;{\text{si }}x<1\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b625890e64e8889e8686866dbf453d3c50e0e10d)
![{\displaystyle \;\left(\varphi _{C}-\varphi _{u_{g}}\right)(x)=-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\rightarrow \left\lbrace {\begin{array}{c}-\pi \;\;{\text{si }}x>1\\0\;\;{\text{si }}x<1\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d1e7206e67302c4a98045986c0598805bdf1f2)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}(t)={\vec {T}}_{A}(t)=k\left[x_{A}(t)\right]{\vec {u}}_{x}=k\;a\;\cos \!\left(\omega \;t+\varphi _{A}\right){\vec {u}}_{x}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f59c33fcbc2a41c0dc94a7b9d6bd17d87c1a73)
![{\displaystyle \;{\underline {X_{m}}}(i\,\omega )=X_{m}(\omega )\;\exp \!\left[i\;\varphi _{x}(\omega )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac4b7ec663c05c599ac8cca77924e919ce19468)
![{\displaystyle \;\varphi _{x}(\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {X_{m}}}(i\,\omega )\right]=\varphi _{F}-\mathrm {arg} \!\left[\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)+i\;\omega \;{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03417e044b91e8359e3b075734bf90a15902437c)
![{\displaystyle \;\varphi _{x}(\omega )=\varphi _{F}-\mathrm {arg} \!\left\lbrace i\;\omega \;{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\left[1+i\;Q\left({\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega _{0}}{\omega }}\right)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1db496ee3d125ad4e237f374c098c390ab2a6b3)
![{\displaystyle \varphi _{F}-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left({\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega _{0}}{\omega }}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cc542a637f46086b2823335f7315f2215e898b)
![{\displaystyle =-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left({\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega _{0}}{\omega }}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667532a36dc19848323f08360b636d11d5668342)
![{\displaystyle \;\varphi _{x}(u)=\varphi _{F}-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left(u-{\dfrac {1}{u}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e212cc0a1eb958df0bc69fd28bedb2920453a0)
![{\displaystyle =-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left(u-{\dfrac {1}{u}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05609b9b296ed62b1b590292a6a0804500e68f6e)
![{\displaystyle \;\left(\varphi _{x}-\varphi _{F}\right)_{Q\,\gg \,1}\!(x)\simeq -{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc39dc287bc8770e5789755192c293ab7be500db)
![{\displaystyle \;\in \,\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d42a6bd966b347b793a2793c5871bd582ae7a25f)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle -\arctan \!\left[Q\left({\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega _{0}}{\omega }}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b24bec502be126fa447166ea7cc8895f722e88eb)
![{\displaystyle \;{\ddot {x}}(t)=-\omega ^{2}\;x(t){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366d0b920d8466000a43fb5ca4e011fec7727ce3)
![{\displaystyle \;\notin \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\;,\;+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;\forall \omega \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55176417ff66e12705915bdfcd029957f8f787e)
![{\displaystyle \;\varphi _{i}(x)=\varphi _{u_{g}}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd5a79c799486e586cd00bd4991672e4a9af5740)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{\sqrt {1+x^{2}\left({\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\right)}}}=\left[1+x^{2}\left({\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}\simeq 1-{\dfrac {1}{2}}\;x^{2}\left({\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f1469c89e491f2e0c16bd9cff4876711246f9b7)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}(t)={\vec {T}}_{A}(t)=k\left[x_{A}(t)\right]{\vec {u}}_{x}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f54a86953521a78a5d49f5f08198acf1258f14c7)
![{\displaystyle \;{\vec {T}}(t)=-k\left[x_{M}(t)-x_{A}(t)\right]{\vec {u}}_{x}=-k\left[x_{M}(t)\right]{\vec {u}}_{x}+k\left[x_{A}(t)\right]{\vec {u}}_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82663fa14382e94996f332671585a664e3bc97e)
