Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : lentilles minces

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Optique géométrique : lentilles minces
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Exercices no14
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Optique géométrique : lentilles minces

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Optique géométrique : conditions de Gauss
Exo suiv. :Optique géométrique : l'œil
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : lentilles minces
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Sommaire

Discussion graphique de Bouasse pour visualiser les propriétés comparées d'un objet linéique transverse et de son image par une lentille mince de focale connue[modifier | modifier le wikicode]

Préliminaire, réécriture de la 1ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince[modifier | modifier le wikicode]

Équation cartésienne de la droite passant par les points (x0, 0) et (0, y0) avec x0 et y0 non nuls[modifier | modifier le wikicode]

......Montrer que l'équation cartésienne de la droite passant par les points et avec et peut s'écrire :

.

Préliminaire : Réécriture de la 1ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince[modifier | modifier le wikicode]

......Déduire de la 1ère relation de conjugaison de Descartes que les points objet d'abscisse objet de Descartes et image d'abscisse image de Descartes sont conjugués si leurs abscisses sont liées par :

[2].

Traduction graphique de la 1ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince dans un diagramme « axe des x : abscisses des objets », « axe des y : abscisses des images »[modifier | modifier le wikicode]

......Associant à tout couple de points conjugués caractérisé par le couple de paramètres , la droite du plan cartésien passant par les points et , montrer que la 1ère relation de conjugaison de Descartes écrite pour le couple se traduit par

la droite associée au couple passe par le point fixe de coordonnées .

Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince convergente[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant les différentes positions possibles du point objet sur l'axe optique principal relativement aux points réels d'abscisse objet de Descartes [3], (foyer principal objet) et (centre optique),

  • tracer les droites correspondantes et
  • déduire du signe de la nature réelle ou virtuelle du point image en précisant nettement la nature et la position correspondante du point objet dont est l'image ;

......considérant maintenant un objet linéique transverse de pied , ce dernier prenant les différentes positions possibles considérées précédemment, déterminer à partir des signes et des grandeurs comparées de $ et , la nature « droite » ou « inversée » de l'image ainsi que son caractère « agrandi » ou « rapetissé ».

......Vérifier chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes choisi dans la discussion de Bouasse [4] précédente.

Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince divergente[modifier | modifier le wikicode]

......On se propose de refaire l'étude précédente mais appliquée à une lentille sphérique mince divergente.

......Répondre aux mêmes questions, les points et par rapport auxquels on repère la position du point objet étant maintenant virtuels, le point étant quant à lui toujours réel, et

......vérifier de même chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes choisi dans la discussion de Bouasse[4] précédente.

Objectif photographique, profondeur de champ de netteté due au grain de la pellicule et temps de pose[modifier | modifier le wikicode]

......L’objectif d’un appareil photographique est modélisé par une lentille sphérique mince convergente de distance focale image .

......Le diaphragme d’ouverture de l’objectif a un diamètre réglable , appelé « nombre d'ouverture » [9], peut varier par valeurs discrètes de à [10].

......La pellicule ayant une structure granulaire, la tache image d’un objet ponctuel a le diamètre d’un grain soit .

Détermination de la profondeur de champ de netteté liée à la nature granulaire de la pellicule[modifier | modifier le wikicode]

......L’objectif étant mis au point sur un point objet situé à la distance de l’objectif, des points situés au-delà ou en deçà de c'est-à-dire à une distance ou de l’objectif, donnent une image ponctuelle en deçà ou au-delà du film et par suite une tache sur ce dernier, cette tache semblera ponctuelle si « son diamètre est inférieur à celui du grain du film ».

......On définit la « profondeur de champ de netteté » [11] de l'objectif diaphragmé pour une mise au point sur un objet donné comme l'intervalle de distance séparant l'objectif et les objets ponctuels donnant une image granulaire pouvant être considérée comme ponctuelle sur la pellicule, intervalle noté  ;

......le minimum de la profondeur de champ[11] est donc et le maximum , la largeur étant définie par [12].

......Exprimer le minimum, le maximum et la largeur de profondeur de champ[11], respectivement , et en fonction du grain de la pellicule, de la distance focale image , du nombre d'ouverture et de la distance de mise au point .

......Faire l'application numérique pour les valeurs extrêmes d'ouverture.

Temps de pose maximal pour que l’image d’un objet se déplaçant latéralement soit nette[modifier | modifier le wikicode]

......L’objectif est mis au point sur un objet situé à une distance de , objet se déplaçant perpendiculairement à l’axe de visée, à la vitesse de .

......Quel temps de pose maximum doit-on choisir pour que le déplacement de l'objet photographié n’altère pas la netteté de la photographie ?

Oculaire de Plössl[modifier | modifier le wikicode]

......L'oculaire de Plössl[18] est le doublet de lentilles minces du type (on rappelle la signification : , et est une longueur servant d'unité).

Détermination des caractéristiques de l'oculaire de Plössl[modifier | modifier le wikicode]

Nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image[modifier | modifier le wikicode]

......Vérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire de Plössl est focal[19] ;

......déterminer algébriquement en fonction de et retrouver le résultat par construction sur un schéma à l'échelle en choisissant  :

  • le foyer principal image de l'oculaire c'est-à-dire l'image, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal,
  • le foyer principal objet de l'oculaire c'est-à-dire l'antécédent, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal ;

......préciser le caractère positif ou négatif de l'oculaire sachant qu'un oculaire est dit positif si est réel, négatif si est virtuel.

Caractère convergent de l'oculaire déterminé par construction[modifier | modifier le wikicode]

......En considérant un rayon incident parallèle à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire, vérifier que ce dernier est convergent un système optique est convergent (resp. divergent) si un rayon incident parallèle à l'axe optique principal en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de en s'en rapprochant ou au-dessous de en s'en éloignant (resp. émerge de la face de sortie du système au-dessus de en s'en éloignant ou au-dessous de en s'en rapprochant)[28],[29].

Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire[modifier | modifier le wikicode]

......Les foyers principaux objet et image de l'oculaire ayant été déterminés, il est possible d'utiliser le repérage de Newton pour positionner les points objet et image de l'axe optique principal selon :

  • l'abscisse objet de Newton du point objet de l'axe optique principal ,
  • l'abscisse image de Newton du point image de l'axe optique principal  ;

......en admettant que la 1ère relation de conjugaison de Newton est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image de ce dernier (la distance focale objet étant toujours opposée à la distance focale image , déterminer :

  • en appliquant la relation de conjugaison de position de Newton à l'oculaire pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis
  • sachant qu'un système convergent (resp. divergent) a une distance focale image positive (resp. négative).

Détermination des points principaux objet Ho et image Hi de l'oculaire[modifier | modifier le wikicode]

......Les points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse de pied positionné au point principal objet , un grandissement transverse valant [32] ;

......en admettant que les deux formes de la 2e relation de conjugaison de Newton sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer :

  • l'abscisse objet de Newton du point principal objet , positionner alors sur l'axe optique principal,
  • l'abscisse image de Newton du point principal image , positionner de même sur l'axe optique principal.

Définition du repérage de Descartes des points objet et image de l'oculaire[modifier | modifier le wikicode]

......Vérifier, d'après les réponses de la question précédente, que les distances focales objet et image de l'oculaire peuvent être définies selon et [41].

......On définit alors le repérage de Descartes pour les points objet et image de l'axe optique principal de l'oculaire selon :

  • l'abscisse objet de Decartes du point objet de l'axe optique principal ,
  • l'abscisse image de Descartes du point image de l'axe optique principal  ;

......établir les relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes à partir de celles de Newton en effectuant un changement d'origines et vérifier que ces relations de conjugaison sont identiques à celle d'une lentille mince.