Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : l'œil
Correction de la presbytie
[modifier | modifier le wikicode] Tout individu quelque peu âgé est atteint de presbytie[1] : l'œil perd partiellement ou totalement sa faculté d'accommodation[2] ;
dans ce qui suit nous considérons un presbyte[1] dont les limites de vision distincte sont « et l'infini »[3].
Vergence des verres correcteurs pour retrouver la distance minimale de vision distincte d'un œil emmétrope
[modifier | modifier le wikicode]Le presbyte[1] précédent désirant lire le journal à une distance de «»[4], quelle est la vergence des verres correcteurs qu'il doit porter pour cela ?
Le presbyte précédent désirant lire le journal à une distance de «», Préciser la nature de l'image que donne le verre.
Il convient bien sûr de faire un schéma explicatif
Le punctum proximum PP de l'œil corrigé doit être à «»[4] devant l'œil, alors qu'il est, pour l'œil non corrigé, à «»[4] devant ce dernier ;
Le punctum proximum PP de l'œil corrigé doit être à «» devant l'œil, il faut donc que le verre correcteur, supposé « accolé au cristallin »[5], fasse correspondre l'objet réel situé à «» devant le verre et son image située à «» devant ce même verre ce qui correspond à une image, donnée par le verre correcteur, « virtuelle » ;
Le punctum proximum PP de l'œil corrigé doit être à «» devant l'œil, on trouve la vergence du verre correcteur par application de la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[6] «»[7] soit numériquement «»[8] et finalement «»[9].
Remarque : pour un presbyte[1] non borgne, il est nécessaire qu'il y ait un verre correcteur devant chaque œil, nous supposerons que les deux yeux du presbyte[1] ont le même défaut de presbytie et par conséquent sont corrigés par un verre correcteur de même vergence.
Les verres correcteurs donnent donc, du journal, une image virtuelle et heureusement droite « et » étant de même signe, le grandissement transverse, par chaque verre correcteur est [10],[11].
Distance maximale de vision distincte de l'œil « corrigé » précédent
[modifier | modifier le wikicode]Préciser jusqu'à quelle distance maximale[12], le presbyte[1] regardant à travers ses verres correcteurs et non au-dessus pourra-t-il voir ;
en déduire les limites de vision distincte[3] du presbyte[1] « corrigé ».
Quand l'œil presbyte[1] non corrigé n'accommode pas, il voit net un objet situé au punctum remotum c'est-à-dire l'infini[12], et donc le presbyte ne doit pas mettre de verres correcteurs pour voir les objets situés à l'infini ;
si toutefois il garde ses verres correcteurs, le punctum remotum PR de chaque œil presbyte[1] « corrigé » correspondant à l'absence d'accommodation sera situé dans le plan focal objet du verre correcteur correspondant soit à l'abscisse de Descartes[6] «» c'est-à-dire un PR de chaque œil presbyte[1] « corrigé » situé à «» devant chaque verre.
Conclusion : le presbyte[1] « corrigé » c'est-à-dire avec, en permanence, ses verres correcteurs voit donc net entre «» position du punctum proximum et «» position du punctum remotum.
Objectif photographique et profondeur de champ liée à la résolution de l'œil
[modifier | modifier le wikicode]On schématise un objectif photographique par une lentille mince de focale image «», contre laquelle est placé un diaphragme de diamètre «» réglable.
Pour caractériser la plus ou moins grande ouverture du diaphragme, on définit un nombre sans dimension appelé « nombre d'ouverture » et égal à «»[13].
Condition d'observation directe d'une diapositive pour que l'on voit l'image sous le même angle que celui sous lequel l'on voyait l'objet lors de la prise de photographie
[modifier | modifier le wikicode] Supposant la mise au point rigoureusement effectuée pour un objet à la distance non algébrisée «» en avant de l'objectif,
Supposant la mise au point rigoureusement effectuée pour l'image étant alors à la distance non algébrisée «» derrière ce dernier,
établir que la condition d'observation directe de la diapositive obtenue pour que l'observateur voit « l'image de l'objet photographié » sous le même angle
établir que la condition d'observation directe de la diapositive obtenue pour que celui sous lequel il voyait l'objet réel lors de la prise de photographie,
établir que la condition d'observation directe de la diapositive obtenue est de placer la diapositive à la distance «» de son œil.
Commenter pour un objectif usuel de distance focale image «» ou
Commenter pour un téléobjectif de distance focale image «» ;
comment suggérez-vous de résoudre le problème soulevé ?
Si l'objet était à l'abscisse de Descartes[6] «»[14] de l'objectif lors de la prise de photographie et
Si l'image correspondante à l'abscisse de Descartes[6] «»,
l'angle non algébrisé sous lequel était vu l'objet est «» ;
pour un objectif usuel de distance focale image «» ou
pour un téléobjectif de distance focale image «»,
l'abscisse de Descartes[6] de la pellicule lors de la prise de vue est usuellement « proche de la distance focale image »[15] ;
pour un objectif usuel ainsi, pour voir la diapositive sous le même angle que l'on voyait l'objet,
pour un objectif usuel ainsi, il faudrait placer cette dernière à une distance égale à la distance focale image de l'objectif c'est-à-dire
pour un objectif usuel ainsi, il faudrait placer cette dernière à une distance égale à «» pour un objectif usuel ou
pour un objectif usuel ainsi, il faudrait placer cette dernière à une distance égale à «» pour le téléobjectif considéré,
pour un objectif usuel ainsi, il faudrait placer cette dernière à une distance égale à ce qui est, dans chaque cas,
pour un objectif usuel ainsi, il faudrait placer cette dernière à une distance à la distance minimale de vision distincte de «»[4] ;
une façon de remédier à ce problème est que l'observateur utilise un projecteur, formant une image réelle agrandie «» de l'image de la diapositive «» par exemple de grandissement transverse tel que «» suffisamment grand ;
une façon de remédier à ce problème en plaçant la diapositive à la distance de l'objectif du projecteur, l'écran étant à la distance de ce dernier,
une façon de remédier à ce problème le grandissement transverse créé par le projecteur serait tel que «» et
une façon de remédier à ce problème l'observateur verra l'image sous le même angle s'il se place à la distance non algébrisée «»[16] de l'écran telle que «» c'est-à-dire
une façon de remédier à ce problème l'observateur verra l'image sous le même angle s'il se place à la distance non algébrisée «»[17] de l'écran du projecteur, la diapositive étant à la distance non algébrisée de ce dernier.
Détermination de la profondeur de champ liée à la résolution limitée de l'œil
[modifier | modifier le wikicode]En raison des propriétés de la rétine de l'œil, toute tache vue sous un angle « à » sera vue, lors de l'observation de l'image par ce dernier, comme un point lumineux.
Supposant la mise au point rigoureusement effectuée pour une distance non algébrisée «» en avant de l'objectif, « des points lumineux situés sur l'axe optique principal à une distance », donnent des « faisceaux »[18] convergeant vers une image ponctuelle hors du film, laissant sur ce dernier une tache et non un point ;
cette tache sera vue ultérieurement comme un point si son diamètre est « à », ceci nécessitant que «» soit compris entre les distances extrêmes non algébrisées « et », l'intervalle «» définissant la « profondeur de champ ».
Exprimer le minimum et le maximum de profondeur de champ, respectivement « et », en fonction de la distance focale image «»,
Exprimer le minimum et le maximum de profondeur de champ, respectivement « et », en fonction du nombre d'ouverture «» et
Exprimer le minimum et le maximum de profondeur de champ, respectivement « et », en fonction de la distance de mise au point «».
La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance non algébrisée «», c'est-à-dire pour le point objet réel «» de l'axe optique principal, d'abscisse de Descartes «»,
La mise au point étant rigoureusement faite des points «» situés sur l'axe optique principal entre « et » donneront des images «» situées derrière la pellicule et par conséquent
La mise au point étant rigoureusement faite le faisceau issu de «» et limité par le diaphragme, émergera selon un faisceau convergeant en «», laissant une tache et non un point sur la diapositive voir figure ci-contre ;
la mise au point étant toujours rigoureusement faite pour la distance non algébrisée «», c'est-à-dire pour le point objet réel «» de l'axe optique principal, d'abscisse de Descartes «»,
La mise au point étant toujours rigoureusement faite des points «» situés sur l'axe optique principal « en deçà de » donneront des images «» situées devant la pellicule et par conséquent
La mise au point étant toujours rigoureusement faite le faisceau issu de «» et limité par le diaphragme, émergera selon un faisceau convergeant en «», laissant encore une tache et non un point sur la diapositive voir figure ci-contre à gauche ;
lors de l'observation de la pellicule par l'œil de l'observateur ces taches seront perçues comme des points lumineux
la mise au point étant rigoureusement faite le point «» de la 1ère figure ci-dessus à droite étant « le point objet le plus proche de permettant de considérer la tache vue par l'œil comme un point » et
la mise au point étant rigoureusement faite le point «» de la 2ème figure ci-dessus à gauche étant « le point objet le plus éloigné de permettant de considérer la tache vue par l'œil comme un point ».
Expression du minimum de profondeur de champvoir figure ci-dessus à droite :
Expression du minimum de profondeur de champ on écrit tout d'abord la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[6] pour le couple «»[7] «» d'où « » ou encore «» puis, en raisonnant dans le cas limite,
Expression du minimum de profondeur de champ on écrit tout d'abord la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[6] pour le couple «»[7] «» d'où « » ou encore «», enfin,
Expression du minimum de profondeur de champ les triangles et étant semblables[21], on en déduit «» «» dont on tire « » qui vaut, dans le cas limite où la tache cesse d'être ponctuelle, «»[20] soit finalement, la relation «»[20] ou «»[20] ;
Expression du minimum de profondeur de champ en reportant les formules et dans la relation , on obtient «»[20] ou encore « »[20] « »[20] «»[20] «»[22],[20] soit
Expression du minimum de profondeur de champ en reportant les formules et dans la relation «»[20] et finalement «»[20] ou encore,
Expression du minimum de profondeur de champ en reportant les formules et dans la relation «»[20],[23] sachant que «».
Expression du maximum de profondeur de champvoir figure ci-dessus à gauche :
Expression du maximum de profondeur de champ la position de «» ayant été établie dans le sous paragraphe « expression du minimum de profondeur de champ » plus haut dans la solution présente
Expression du maximum de profondeur de champ la position de «» soit «»,
Expression du maximum de profondeur de champ on écrit la relation de conjugaison approchée de position de Descartes[6] pour le couple «»[7] «» d'où « » ou encore «», enfin,
Expression du maximum de profondeur de champ les triangles et étant semblables[24], on en déduit «» «» dont on tire « » qui vaut, dans le cas limite où la tache cesse d'être ponctuelle, «»[20] soit finalement, la relation «»[20] ou «»[20] ;
Expression du maximum de profondeur de champ en reportant les formules et dans la relation , on obtient «»[20] ou encore « »[20] « »[20] «»[20] «»[22],[20] soit
Expression du maximum de profondeur de champ en reportant les formules et dans la relation «»[20] et finalement «»[20] ou encore,
Expression du maximum de profondeur de champ en reportant les formules et dans la relation «»[20],[23] sachant que «».
Application numérique
[modifier | modifier le wikicode]Avec «» et «», déterminer les minimum et maximum de profondeur de champ, respectivement « et », pour « variant de à ».
Les formules et nous donnent, avec «», «» et «»,
Les formules et nous donnent, «[25] avec en , soit en » et
Les formules et nous donnent, «[25] avec en , soit en ».
On obtient le tableau ci-dessous pour les valeurs de distance de mise au point «», les distances du tableau étant en «» :
Commentaires : dans le tableau ci-dessus, on remarque que «» n'est pas le centre de l'intervalle de netteté «» encore appelé « profondeur de champ » et
Commentaires : dans le tableau ci-dessus, on remarque que la largeur est d'autant plus grande que l'est ; pour «», la largeur est «» et
Commentaires : dans le tableau ci-dessus, on remarque que la largeur est d'autant plus grande que l'est ; pour «», la largeur vaut «».
Commentaires : D'autre part, on constate sur les formules et que « et » sont d'autant plus proches de «» que «» est faible,
Commentaires : D'autre part, on constate sur les formules et ainsi, en prenant « au lieu de », on aurait eu les résultats numériques suivants
Commentaires : D'autre part, on constate sur les formules et ainsi, en prenant « «[25] avec en , soit en » et
Commentaires : D'autre part, on constate sur les formules et ainsi, en prenant « «[25] avec en , soit en »
Commentaires : D'autre part, on constate sur les formules et ainsi, en prenant « conduisant aux valeurs du tableau ci-dessous :
Commentaires : D'autre part, on constate sur les formules et ;
Commentaires : D'autre part, on constate sur les formules et ainsi, en prenant « pour «», la largeur est «»[26] et
Commentaires : D'autre part, on constate sur les formules et ainsi, en prenant « pour «», la largeur vaut «»[27].
Notes et références
[modifier | modifier le wikicode]- ↑ 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 et 1,10 Voir le paragraphe « la presbytie » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « propriété de la pseudo-lentille de vergence variable modélisant les dioptres sphériques successifs et le cristallin » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ 3,0 et 3,1 Voir les paragraphes « œil emmétrope accommodant au maximum et punctum proximum ou PP de cet œil » et « œil emmétrope n'accommodant pas et punctum remotum ou PR de cet œil » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ 4,0 4,1 4,2 et 4,3 Voir le paragraphe « œil emmétrope accommodant au maximum et punctum proximum ou PP de cet œil » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ C.-à-d. ayant même centre optique.
- ↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 et 6,7 René Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.
- ↑ 7,0 7,1 7,2 et 7,3 Voir le paragraphe « 1ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ En effet l'objet étant réel est soit «» et l'image virtuelle est soit «».
- ↑ La dioptrie de symbole est l'unité de mesure de la vergence «».
- ↑ Voir le paragraphe « 2ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ Plus exactement «» ;
le fait que le grandissement transverse des verres correcteurs appliqué au journal soit à ne crée aucune gêne car, ce qui compte, c'est le grandissement transverse des yeux presbytes corrigés qui est le même que celui d'yeux emmétropes c'est-à-dire normaux. - ↑ 12,0 et 12,1 Voir le paragraphe « œil emmétrope n'accommodant pas et punctum remotum ou PR de cet œil » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ Dont on déduit «», ainsi plus le nombre d'ouverture est grand, plus le diaphragme est fermé c'est-à-dire petit.
- ↑ «» étant non algébrisée et «» étant un point objet réel, l'abscisse de Descartes de ce dernier est .
- ↑ En effet les objets étant usuellement situés à une distance supérieure à et cette dernière étant grande devant la distance focale image, on peut en 1ère approximation considérer l'objet situé à l'infini et par suite l'image c'est-à-dire la pellicule dans le plan focal image de l'objectif.
- ↑ La seule contrainte étant que «» ce qui, en pratique, est excessivement peu contraignant.
- ↑ Ainsi, si la diapositive a été prise avec un objectif de , le grandissement transverse créé par le projecteur doit être «» et
Ainsi si elle a été prise avec un téléobjectif de , le grandissement transverse créé par le projecteur doit être «». - ↑ L'ouverture des faisceaux étant déterminée par le diaphragme de diamètre réglable «».
- ↑ L'intervention du projecteur ne modifiant pas l'angle sous lequel la diapositive est vue à condition que l'observateur se place à la bonne distance de l'écran, il est inutile de l'introduire dans cette partie de raisonnement, son seul but étant de compenser la trop faible distance minimale de vision distincte de l'œiil et non d'améliorer sa résolution.
- ↑ 20,00 20,01 20,02 20,03 20,04 20,05 20,06 20,07 20,08 20,09 20,10 20,11 20,12 20,13 20,14 20,15 20,16 20,17 20,18 20,19 20,20 20,21 et 20,22 Avec «».
- ↑ Voir la définition de , , et sur la figure ci-dessus à droite.
- ↑ 22,0 et 22,1 Obtenu en multipliant de part et d'autre par «».
- ↑ 23,0 et 23,1 Bien que « soit », usuellement « est » et on ne peut conclure sur la grandeur du produit «» car c'est le produit d'un facteur « petit » et d'un facteur « grand ».
- ↑ Voir la définition de , , et sur la figure ci-dessus à gauche.
- ↑ 25,0 25,1 25,2 et 25,3 Voir la solution de la question « détermination de la profondeur de champ liée à la résolution limitée de l'œil » plus haut dans cet exercice.
- ↑ Au lieu de «» pour «».
- ↑ Au lieu de «» pour «».