Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg

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Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg
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Exercices no18
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste
Exo suiv. :Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg
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Dimension de l'atome d'hydrogène[modifier | modifier le wikicode]

......On considère un atome d'hydrogène « sphérique » de taille caractéristique  ;

......on admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome

...... est la charge élémentaire, la masse d'un électron, la constante universelle électrostatique dans le vide et la constante réduite de Planck.

Interprétation de chaque terme de l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome[modifier | modifier le wikicode]

......Que représente le premier terme dans l'expression de l'énergie ? Comment s'interprète-t-il ?

......Que représente le deuxième terme ?

Détermination de la valeur amin de a minimisant l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer la valeur de qui minimise l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome.

......Faire l'A.N. ; ce calcul donnant l'ordre de grandeur de la taille de l'atome d'hydrogène, est-il conforme à celui de vos connaissances ?

Détermination de la valeur minimale de l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer la valeur minimale de l'expression approchée de .

......Faire l'A.N. ; ce calcul donnant l'ordre de grandeur de l'énergie de l'atome d'hydrogène dans l'état fondamental, est-il conforme à celui de vos connaissances ?

Expression de l'énergie mécanique de l'électron considéré comme particule en mouvement circulaire dans l'atome[modifier | modifier le wikicode]

......En mécanique classique, pour un électron en orbite circulaire de rayon autour du noyau, déterminer l'expression de l'énergie mécanique de l'électron en fonction, entre autres, de , en prenant la référence de l'énergie potentielle électrostatique à l'infini.

Inégalité de Heisenberg comme base de la stabilité des atomes[modifier | modifier le wikicode]

......Admettant qu'un électron en mouvement dans le cadre de la mécanique classique, perd de l'énergie par rayonnement électromagnétique, on en déduit que le modèle classique de l'atome ne peut être un état de stabilité ; expliquer alors la phrase suivante :

« C'est l'inégalité de Heisenberg qui est à la base de la stabilité des atomes ».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. L'électron a en fait trois degrés de liberté et l'inégalité de Heisenberg écrite selon correspond à la mécanique ondulatoire d'un point à un degré de liberté ;
    ...en mécanique classique le mouvement de l'électron est déterminé dès lors que l'on connaît le mouvement de chacune de ses coordonnées cartésiennes, aussi nous supposons qu'il y a confinement de chacune de ses coordonnées , , autour de , mais cette modélisation ne permettra de déterminer qu'un ordre de grandeur du minimum de la valeur moyenne de l'énergie cinétique et non la valeur exacte.
  2. Car on a la même probabilité d'avoir que .
  3. 3,0 et 3,1 Voir le paragraphe « énergie potentielle électrostatique » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » pour la démonstration.
  4. Diagramme d'énergies quantiques mécanique, cinétique et potentielle de l'électron dans l'atome d'hydrogène
    Il est aisé de vérifier qu'il s'agit effectivement d'une valeur rendant minimale l'énergie en effet
    ...le 1er terme étant positif et décroissant prédomine aux faibles valeurs de en tendant vers quand , l'énergie commence donc par décroître à partir de l'infini pour mais
    ...le 2e terme étant négatif et croissant prédomine aux grandes valeurs de en tendant vers 0 quand , l'énergie finit par croître jusqu'à 0 quand avoisine l'infini ;
    ...on peut aussi le voir sur le diagramme d'énergie mécanique tracé ci-contre, les diagrammes d'énergies potentielle et cinétique y figurant également.
  5. On rappelle que .
  6. On rappelle que .
  7. N'oublions pas que l'on a modélisé l'électron à trois degrés de liberté un d'écartement relativement au proton et deux angulaires par un point à trois degrés de liberté d'écartement linéaire indépendants les uns des autres, ce qui constitue une approximation suffisante pour que l'on trouve une erreur de par excès sur la valeur absolue de l'énergie de l'électron dans l'état fondamental.
  8. C'est-à-dire lié au centre d'inertie (C.D.I.) du proton et en translation rectiligne par rapport au référentiel d'étude galiléen.
  9. Dans la mesure où aucune force extérieure ne s'applique à l'atome, ce dernier est isolé et son C.D.I. a un mouvement rectiligne uniforme (M.R.U.) dans le référentiel d'étude galiléen ;
    ...la masse du proton étant approximativement fois plus grande que celle de l'électron, le C.D.I. du proton se confond en 1ère approximation avec celui de l'atome et donc le C.D.I. du proton a aussi un M.R.U. dans le référentiel d'étude galiléen, ce qui entraîne que le référentiel protonique peut être considéré comme galiléen selon la propriété « mouvement relatif de deux référentiels galiléens » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
    ...usuellement l'origine du repère associé au référentiel protonique est choisi au C.D.I. du proton, lequel se confond avec le proton dans la mesure où ce dernier est supposé ponctuel.
  10. Voir le repérage polaire comme cas particulier du « repérage cylindro-polaire » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  11. 11,0 et 11,1 Voir les composantes polaires du vecteur-accélération d'un point en mouvement circulaire de centre comme cas particulier des « composantes cylindro-polaires du vecteur-accélération d'un point M » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  12. En ayant choisi le sens dans le sens du mouvement.
  13. Puisque l'énergie mécanique est inversement proportionnelle à la distance électron - proton, si l'énergie diminue, la distance électron - proton doit varier.
  14. En effet l'énergie étant négative, quand celle-ci diminue sa valeur absolue augmente et comme elle est inversement proportionnelle à la distance électron - proton, celle-ci diminue.
  15. Mais ceci serait aussi vrai pour tous les atomes.
  16. On rappelle que cette valeur d'énergie cinétique a été estimée en utilisant le confinement de l'électron dans un espace à trois dimensions d'étendue sur chaque dimension et utilisation de l'inégalité spatiale de Heisenberg.
  17. Il faut également dire que l'électron n'étant plus considéré comme une particule suivant une trajectoire précise, la perte d'énergie par rayonnement électromagnétique n'est plus applicable (ceci ne l'étant que dans le cadre de la mécanique non ondulatoire) et si on considère un atome d'hydrogène dans un état excité la perte d'énergie est quantifiée (émission de photon) faisant passer l'électron du niveau d'énergie excité à un niveau d'énergie inférieur ou au niveau fondamental (alors que la perte d'énergie par rayonnement électromagnétique dans le cadre de la mécanique classique pouvait se faire de façon continue pour n'importe quelle valeur d'énergie).