Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux

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Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux
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Exercices no28
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie
Exo suiv. :Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux
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Sommaire

Circuit linéaire constitué d'« un condensateur en série avec le modèle parallèle d'une bobine réelle » soumis à un échelon de tension, réponse en intensité de courant traversant le circuit[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un circuit constitué d'un condensateur en série avec l'association d'une bobine parfaite en parallèle sur un conducteur ohmique, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension, réponse en intensité du courant traversant le circuit

......On se propose de déterminer la réponse en intensité du courant traversant le circuit constitué d'un condensateur de capacité en série avec l'association d'une bobine parfaite d'inductance propre en parallèle sur un conducteur ohmique de résistance , l'ensemble étant soumis à un échelon de tension établi à partir de et d'amplitude (voir ci-contre) ;

......avant la fermeture de l'interrupteur réalisée à , toutes les grandeurs électriques (tension et intensité) du circuit passif sont nulles.

Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

......Établir, pour tout , l'équation différentielle en , intensité du courant de charge du condensateur, quand le circuit est soumis à l'échelon de tension d'amplitude .

À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités (éventuelles) initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif[modifier | modifier le wikicode]

......Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en , celles de et de puis,

......déterminer les valeurs initiales et par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité (éventuelle).

Détermination des réponses transitoires en intensité du courant suivant la valeur de la résistance et tracé du graphe de i(t) en fonction de t pour une résistance supérieure à la résistance critique[modifier | modifier le wikicode]

......En déduire, pour , les réponses en , intensité du courant traversant le circuit soumis l'échelon de tension d'amplitude suivant les valeurs de , on mettra en évidence une résistance critique que l'on exprimera en fonction de et .

......Donner l'allure du graphe de en fonction de dans le cas où .

Circuit linéaire constitué d'« une bobine parfaite en série avec un conducteur ohmique de résistance R et une association parallèle d'un condensateur parfait sur un conducteur ohmique de même résistance R » soumis à un échelon de tension, réponse en intensité de courant traversant le circuit[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un circuit constitué d'une bobine parfaite en série avec un conducteur ohmique de résistance R et l'association d'un condensateur en parallèle sur un conducteur ohmique de même résistance R, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension, réponse en intensité du courant traversant le circuit

......On se propose de déterminer la réponse en intensité du courant traversant le circuit constitué d'une bobine parfaite d'inductance propre en série avec un conducteur ohmique de résistance et l'association d'un condensateur de capacité en parallèle sur un conducteur ohmique de même résistance , l'ensemble étant soumis à un échelon de tension établi à partir de et d'amplitude (voir ci-contre) ;

......avant la fermeture de l'interrupteur réalisée à , toutes les grandeurs électriques (tension et intensité) du circuit passif sont nulles.

Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

......Établir, pour tout , l'équation différentielle en , intensité du courant traversant la bobine, quand le circuit est soumis à l'échelon de tension d'amplitude .

À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités (éventuelles) initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif[modifier | modifier le wikicode]

......Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en , celles de et de puis,

......déterminer les valeurs initiales et par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité (éventuelle).

Détermination de la réponse transitoire en intensité du courant dans le cas où les dipôles L R série et R C parallèle ont même constante de temps et tracé du graphe de i(t) en fonction de t[modifier | modifier le wikicode]

......Supposant que l'inductance propre de la bobine et la capacité du condensateur sont telles que les dipôles L R série et R C parallèle ont même constante de temps notée , réécrire l'équation différentielle en pour tout t sous forme canonique [10] ;

......en déduire, pour , la réponse en , intensité du courant traversant le circuit soumis l'échelon de tension d'amplitude , en fonction de , , et l'instant .

......Donner l'allure du graphe de en fonction de .

Circuit de Wien court-circuité, le condensateur de l'association série étant initialement chargé et celui de l'association parallèle initialement déchargé, réponse en tension aux bornes de l'association parallèle[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un circuit de Wien [13] court-circuité c'est-à-dire formé d'un R' C' série fermé sur un R C parallèle, le condensateur de capacité C' étant initialement chargé et celui de capacité C étant déchargé

......À l'aide des conducteurs ohmiques de résistance et ainsi que des condensateurs parfaits de capacité et , on réalise le montage ci-contre appelé circuit de Wien [13] court-circuité.

......On ferme l'interrupteur à , le condensateur de l'association série de capacité étant initialement chargé et celui de l'association parallèle de capacité déchargé.

......Pour faire les applications numériques nous nous placerons dans le cas où les deux résistances sont égales et les deux capacités aussi, ceci permettant de poser , et on prendra et .

......À l'instant on note la tension instantanée aux bornes du condensateur initialement chargé de capacité et la tension instantanée aux bornes du condensateur initialement déchargé de capacité , le but de cet exercice étant de déterminer l'évolution de la tension en fonction du temps .

Détermination des valeurs à l'instant 0+ et au bout d'un temps infini de v(t) et de sa dérivée temporelle[modifier | modifier le wikicode]

......À partir de considérations physiques préciser les valeurs de la tension et de sa dérivée temporelle lorsque et quand .

Établissement de l'équation différentielle en v(t), tension aux bornes du dipôle R C parallèle[modifier | modifier le wikicode]

......Établir l'équation différentielle en , tension aux bornes du dipôle R C parallèle, pour tout instant .

Résolution de l'équation différentielle en v(t), tension aux bornes du dipôle R C parallèle, puis tracé de son graphe en fonction du temps t et détermination de l'instant pour lequel v(t) est maximale[modifier | modifier le wikicode]

......Exprimer sachant que , puis

......donner le graphe correspondant et

......déterminer le temps au bout duquel passe par un maximum.

Établissement du courant dans un circuit bouchon quand ce dernier est soumis, à travers un conducteur ohmique, à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un circuit constitué d'un conducteur ohmique en série avec un circuit bouchon (association d'une bobine parfaite en parallèle sur un condensateur), l'ensemble étant soumis à un échelon de tension, réponse en intensité du courant traversant le circuit

......On se propose de déterminer la réponse en intensité du courant traversant le circuit constitué d'un conducteur ohmique de résistance en série avec l'association d'un condensateur de capacité en parallèle sur une bobine parfaite d'inductance propre (association parallèle appelée circuit bouchon), l'ensemble étant soumis à un échelon de tension établi à partir de et d'amplitude (voir ci-contre) ;

......on pose [25] et [26], la résistance étant choisie suffisamment grande pour que soit inférieur à c'est-à-dire  ;

......avant la fermeture de l'interrupteur réalisée à , toutes les grandeurs électriques (tension et intensité) du circuit passif sont nulles.

Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

......Établir, pour tout , l'équation différentielle en , intensité du courant traversant le circuit bouchon, quand le circuit complet est soumis à l'échelon de tension d'amplitude .

À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités (éventuelles) initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif[modifier | modifier le wikicode]

......Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en , celles de et de puis,

......déterminer les valeurs initiales et par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité (éventuelle).

Détermination de la réponse transitoire en intensité du courant et tracé du graphe de i(t) en fonction de t[modifier | modifier le wikicode]

......Réécrire l'équation différentielle en pour tout t sous forme canonique [29] ;

......en déduire, pour , la réponse en , intensité du courant traversant le circuit complet soumis l'échelon de tension d'amplitude , en fonction de , , , et l'instant .

......Donner l'allure du graphe de en fonction de .

Détermination expérimentale du cœfficient de viscosité d'un fluide à partir de la période propre et de la pseudo-période d'un P.E.V.A. dont le solide se déplace dans le fluide précité[modifier | modifier le wikicode]

......Une sphère de rayon et de masse est suspendue à un ressort de raideur et de longueur à vide .

......Déplacée dans un liquide de cœfficient de viscosité dynamique , la sphère est soumise, à l'instant , à une force de frottement fluide linéaire donnée par la formule de Stokes