Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux

Circuit linéaire constitué d'« un condensateur en série avec le modèle parallèle d'une bobine réelle » soumis à un échelon de tension, réponse en intensité de courant traversant le circuit

Schéma d'un circuit constitué d'un condensateur en série avec l'association d'une bobine parfaite en parallèle sur un conducteur ohmique, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension, réponse en intensité du courant traversant le circuit

......On se propose de déterminer la réponse en $\;i(t)\;$ intensité du courant traversant le circuit constitué d'un condensateur de capacité $\;C\;$ en série avec l'association d'une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ en parallèle sur un conducteur ohmique de résistance $\;R$, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension $\;e(t)=E_{0}\;Y(t)\;$ établi à partir de $\;t=0\;$ et d'amplitude $\;E_{0}\;$ (voir ci-contre) ;

......avant la fermeture de l'interrupteur $\;K\;$ réalisée à $\;t=0$, toutes les grandeurs électriques (tension et intensité) du circuit passif sont nulles.

Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension

......Établir, pour tout $\;t$, l'équation différentielle en $\;i(t)$, intensité du courant de charge du condensateur, quand le circuit est soumis à l'échelon de tension $\;e(t)=E_{0}\;Y(t)\;$ d'amplitude $\;E_{0}$.

Solution

Schéma d'un circuit constitué d'un condensateur en série avec l'association d'une bobine parfaite en parallèle sur un conducteur ohmique, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension, avec définition des grandeurs utiles à la détermination de la réponse en intensité du courant traversant le circuit

......On dispose d'une loi de nœuds $\;i(t)=i_{R}(t)+i_{L}(t)\quad ({\mathfrak {n}})\;$ et

......On dispose de deux lois de mailles dont

• la 1^ère est $\;E_{0}\,Y(t)-u(t)-u_{C}(t)=0\quad ({\mathfrak {m}})\;$ avec $\;u_{C}(t)\;$ telle que $\;i(t)=C\,{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$ et
• la 2^e $\;u(t)=L\,{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)=R\,i_{R}(t)\;$ ;

......pour trouver l'équation différentielle en $\;i(t)$, il faut expliciter $\;i_{R}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ [par exemple $\;i_{R}(t)\;$ en fonction de $\;u(t)\;$ laquelle, par loi de maille, s'exprime en fonction de $\;u_{C}(t)\;$ donc, en dérivant de $\;i(t){\big ]}\;$ et $\;i_{L}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ ${\bigg [}$en fait ce n'est pas $\;i_{L}(t)\;$ que l'on peut expliciter simplement mais $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ en fonction de $\;u(t)\;$ puis, par loi de maille, en fonction de $\;u_{C}(t)\;$ et, en dérivant, en fonction de $\;i(t){\bigg ]}\;$ soit :

......$\;i_{R}(t)={\dfrac {u(t)}{R}}\;$ et par $\;({\mathfrak {m}})\;$ on trouve $\;i_{R}(t)={\dfrac {E_{0}\,Y(t)-u_{C}(t)}{R}}$ ;

......$\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {u(t)}{L}}\;$ et par $\;({\mathfrak {m}})\;$ on trouve $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}\,Y(t)-u_{C}(t)}{L}}$ ;

......dérivant ces deux relations on obtient $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {di_{R}}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}\,\delta (t)}{R}}-{\dfrac {1}{R}}\,{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)&{\text{ ou }}&{\dfrac {di_{R}}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,i(t)\\{\dfrac {d^{2}i_{L}}{dt^{2}}}(t)={\dfrac {E_{0}\,\delta (t)}{L}}-{\dfrac {1}{L}}\,{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)&{\text{ ou }}&{\dfrac {d^{2}i_{L}}{dt^{2}}}(t)={\dfrac {E_{0}}{L}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{L\,C}}\,i(t)\end{array}}\right\rbrace$ ;

......on peut donc reporter la 1^ère équation dans la loi $\;({\mathfrak {n}})\;$ après avoir dérivé cette dernière une 1^ère fois soit $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {di_{R}}{dt}}(t)+{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ et, par report de la 1^ère équation, $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,i(t)+{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\quad ({\mathfrak {n}}')\;$ puis

......on peut donc reporter la 2^e équation dans la loi $\;({\mathfrak {n}}')\;$ après l'avoir dérivée une 2^e fois soit $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\dot {\delta }}(t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {d^{2}i_{L}}{dt^{2}}}(t)\;$ et, par report de la 2^e équation, $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\dot {\delta }}(t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {E_{0}}{L}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{L\,C}}\,i(t)\;$ soit finalement, en ordonnant $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{R\,C}}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\,C}}\,i(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\dot {\delta }}(t)+{\dfrac {E_{0}}{L}}\,\delta (t)\;\;\forall \,t$.

......La réduction canonique la plus utilisée nous conduit à définir

• la pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$ et
• le cœfficient d'amortissement $\;\sigma >0\;$ tel que $\;2\,\sigma \,\omega _{0}={\dfrac {1}{R\,C}}\;$ soit $\;\sigma ={\dfrac {1}{2\,R\,C\,\omega _{0}}}={\dfrac {L\,\omega _{0}}{2\,R}}\;$ d'où,

......en factorisant par $\;{\dfrac {E_{0}}{R}}\;$ le 2^e membre et en transformant $\;{\dfrac {R}{L}}\;$ à l'aide de $\;\sigma ={\dfrac {L\,\omega _{0}}{2\,R}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {R}{L}}={\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}$, la forme canonique de l'équation différentielle en $\;i(t)\;$ suivante $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+2\,\sigma \,\omega _{0}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,i(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,\left[{\dot {\delta }}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}\,\delta (t)\right]\;\;\forall \,t$.

 

À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités (éventuelles) initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif

......Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en $\;t=0$, celles de $\;i(t)\;$ et de $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ puis,

......déterminer les valeurs initiales $\;i(0^{+})\;$ et $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\;$ par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité (éventuelle).

Solution

......De l'excitation $\;{\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\dot {\delta }}(t)+{\dfrac {E_{0}}{L}}\,\delta (t)\;$ de l'équation différentielle écrite pour tout $\;t\;$ « “ discontinue de 3^e espèce en t = 0 ” » on induit, le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reportant sur la dérivée de plus haut ordre, que $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)\;$ est « “ discontinue de 3^e espèce ” », $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ discontinue de 2^e espèce et $\;i(t)\;$ discontinue de 1^ère espèce en t = 0 ;

......on trouvera donc $\;i(0^{+})\;$ par circuit à $\;0^{+}\;$ (à représenter réellement) dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert [continuité de $\;i_{L}(t)\;$ à l'instant 0 dans un circuit résistif $\;\Rightarrow i_{L}(0^{+})=i_{L}(0^{-})\;$ cette dernière étant nulle] et le condensateur par un court-circuit [continuité de $\;u_{C}(t)\;$ à l'instant 0 dans un circuit résistif $\;\Rightarrow u_{C}(0^{+})$ $=u_{C}(0^{-})\;$ cette dernière étant nulle], on retrouve alors $\;E_{0}\;$ aux bornes de $\;R$ d'où $\;i(0^{+})={\dfrac {E_{0}}{R}}$ ; ......$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\;$ peut se déterminer en prenant la dernière équation $\;({\mathfrak {n}}')\;$ avant la dérivation finale permettant d'aboutir à l'équation différentielle cherchée et en y faisant $\;t=0^{+}\;$ soit $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,i(t)+{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ dans laquelle on réintroduit la grandeur continue $\;u_{C}(t)\;$ en utilisant $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}\,Y(t)-u_{C}(t)}{L}}\;$ ce qui donne l'équation $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,i(t)+{\dfrac {E_{0}\,Y(t)-u_{C}(t)}{L}}\;$ où on y fait $\;t=0^{+}\;$ soit $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})=-{\dfrac {1}{R\,C}}\,i(0^{+})+{\dfrac {E_{0}}{L}}\;$ ou, en utilisant le résultat de $\;i(0^{+})\;$ précédemment trouvé $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {R}{L}}-{\dfrac {1}{R\,C}}\right)\;$, que l'on peut réécrire en reportant $\;{\dfrac {1}{R\,C\,\omega _{O}}}=2\,\sigma \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{R\,C}}=2\,\sigma \,\omega _{0}\;$ et $\;{\dfrac {R}{L}}={\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}$, $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}-2\,\sigma \,\omega _{0}\right)$.

 

Détermination des réponses transitoires en intensité du courant suivant la valeur de la résistance et tracé du graphe de i(t) en fonction de t pour une résistance supérieure à la résistance critique

......En déduire, pour $\;t>0$, les réponses en $\;i(t)$, intensité du courant traversant le circuit soumis l'échelon de tension d'amplitude $\;E_{0}\;$ suivant les valeurs de $\;R$, on mettra en évidence une résistance critique $\;R_{c}\;$ que l'on exprimera en fonction de $\;L\;$ et $\;C$.

......Donner l'allure du graphe de $\;i(t)\;$ en fonction de $\;t\;$ dans le cas où $\;R>R_{c}$.

Solution

......L'équation différentielle, une fois l'interrupteur $\;K\;$ fermé, s'écrit : $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+2\,\sigma \,\omega _{0}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,i(t)=0\;$ pour $\;t>0$ ; il n'y a donc que la solution libre qui nécessite de résoudre l'équation caractéristique classique $\;s^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,s+\omega _{0}^{2}=0\;$ et on obtient, suivant la valeur de $\;\sigma$ :

• $\;\sigma >1\;$ ou $\;R<{\dfrac {1}{2\,C\,\omega _{0}}}={\dfrac {1}{2}}\,{\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$ ou encore $\;R<R_{c}\;$ en définissant la résistance critique selon $\;R_{c}={\dfrac {1}{2}}\,{\sqrt {\dfrac {L}{C}}}$ : régime apériodique, la solution s'écrivant $\;i(t)=$ $A\,\exp \!\left[s_{(+)}\,t\right]+B\,\exp \!\left[s_{(-)}\,t\right]$, avec $\;s_{(\pm )}=-\sigma \,\omega _{0}\pm \omega _{0}{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}$,
• $\;\sigma =1\;$ ou $\;R=R_{c}$ : régime apériodique critique, la solution s'écrivant $\;i(t)=(A+B\,t)\,\exp(-\omega _{0}\,t)$,
• $\;\sigma <1\;$ ou $\;R>R_{c}$ : régime pseudo-périodique, la solution s'écrivant $\;i(t)=A\,\exp(-\sigma \,\omega _{0}\,t)\,\cos(\omega \,t+\varphi )\;$ avec $\;\omega =\omega _{0}\,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$ la pseudo-pulsation.

......Précisons l'expression de $\;i(t)$, pour $\;t>0$, dans le cas où $\;R>R_{c}\;$ c'est-à-dire le régime pseudo-périodique, on obtient alors $\;i(t)=A\,\exp(-\sigma \,\omega _{0}\,t)\,\cos(\omega \,t+\varphi )$, les constantes $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ étant déterminées par C.I. :

• 1^ère C.I. $\;i(0^{+})={\dfrac {E_{0}}{R}}\;$ donne ici $\;A\,\cos(\varphi )={\dfrac {E_{0}}{R}}\;\;({\mathfrak {1}})$,
• 2^e C.I. $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}-2\,\sigma \,\omega _{0}\right)\;$ soit, en évaluant $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ selon $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=-\sigma \,\omega _{0}\,A\,\exp(-\sigma \,\omega _{0}\,t)\,\cos(\omega \,t+\varphi )-A\,\omega \,\exp(-\sigma \,\omega _{0}\,t)\,\sin(\omega \,t+\varphi )$, on obtient $\;A\,\cos(\varphi )\,\sigma \,\omega _{0}+A\,\sin(\varphi )\,\omega =-{\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}-2\,\sigma \,\omega _{0}\right)\;$ ou, en y reportant $\;A\,\cos(\varphi )={\dfrac {E_{0}}{R}}\;$ de la 1^ère C.I., on obtient $\;A\,\sin(\varphi )\,\omega =$ $-{\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}-2\,\sigma \,\omega _{0}\right)-{\dfrac {E_{0}}{R}}\,\sigma \,\omega _{0}=-{\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}-\sigma \,\omega _{0}\right)$, soit encore, en remplaçant $\;\omega \;$ par $\;\omega _{0}\,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$ et en simplifiant par $\;\omega _{0}$, on trouve $\;A\,\sin(\varphi )=$ $-{\dfrac {E_{0}}{R\,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\left({\dfrac {1}{2\,\sigma }}-\sigma \right)\;$ ou encore $\;A\,\sin(\varphi )=-{\dfrac {E_{0}}{R}}{\dfrac {1-2\,\sigma ^{2}}{2\,\sigma \,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\;\;({\mathfrak {2}})$ ;

Graphe, en fonction de t, de la réponse pseudo-périodique en i(t) du circuit constitué d'un condensateur en série avec l'association d'une bobine parfaite en parallèle sur un conducteur ohmique, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension

......de $\;{\sqrt {({\mathfrak {1}})^{2}+({\mathfrak {2}})^{2}}}$, on déduit $\;A={\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\sqrt {1+{\dfrac {(1-2\,\sigma ^{2})^{2}}{4\,\sigma ^{2}\,(1-\sigma ^{2})}}}}={\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\sqrt {\dfrac {4\,\sigma ^{2}-4\,\sigma ^{4}+1-4\,\sigma ^{2}+4\,\sigma ^{4}}{4\,\sigma ^{2}\,(1-\sigma ^{2})}}}\;$ soit $\;A=$ ${\dfrac {E_{0}}{2\,R\,\sigma \,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}$ ;

......de $\;A\;\cos(\varphi )>0\;$ avec le choix de $\;A>0\;$ on déduit $\;\cos(\varphi )>0\;$ dont on tire $\;\varphi \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\;{\text{ ; }}{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ et peut se mettre sous la forme d'un $\;\arctan()\;$ soit $\;\varphi =$ $-\arctan \!\left({\dfrac {1-2\,\sigma ^{2}}{2\,\sigma \,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\right)$ ;

......avec les valeurs de $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ précédemment déterminées on obtient $\;i(t)={\dfrac {E_{0}}{2\,R\,\sigma \,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\,\exp(-\sigma \,\omega _{0}\,t)\,\cos \!\left[\omega \,t-\arctan \!\left({\dfrac {1-2\,\sigma ^{2}}{2\,\sigma \,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\right)\right]\;$ avec $\;\omega =\omega _{0}\,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}$.

......L'allure de la courbe est rappelée ci-contre :

 

Circuit linéaire constitué d'« une bobine parfaite en série avec un conducteur ohmique de résistance R et une association parallèle d'un condensateur parfait sur un conducteur ohmique de même résistance R » soumis à un échelon de tension, réponse en intensité de courant traversant le circuit

Schéma d'un circuit constitué d'une bobine parfaite en série avec un conducteur ohmique de résistance R et l'association d'un condensateur en parallèle sur un conducteur ohmique de même résistance R, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension, réponse en intensité du courant traversant le circuit

......On se propose de déterminer la réponse en $\;i(t)\;$ intensité du courant traversant le circuit constitué d'une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ en série avec un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et l'association d'un condensateur de capacité $\;C\;$ en parallèle sur un conducteur ohmique de même résistance $\;R$, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ établi à partir de $\;t=0\;$ et d'amplitude $\;E\;$ (voir ci-contre) ;

......avant la fermeture de l'interrupteur $\;K\;$ réalisée à $\;t=0$, toutes les grandeurs électriques (tension et intensité) du circuit passif sont nulles.

Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension

......Établir, pour tout $\;t$, l'équation différentielle en $\;i(t)$, intensité du courant traversant la bobine, quand le circuit est soumis à l'échelon de tension $\;e(t)=$ $E\;Y(t)\;$ d'amplitude $\;E$.

Solution

Schéma d'un circuit constitué d'une bobine parfaite en série avec un conducteur ohmique de résistance R et l'association d'un condensateur en parallèle sur un conducteur ohmique de même résistance R, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension, avec définition des grandeurs utiles à la détermination de la réponse en intensité du courant traversant le circuit

......On dispose d'une loi de nœuds $\;i(t)=i_{R}(t)+i_{C}(t)\quad ({\mathfrak {n}})$,

......On dispose de deux lois de mailles dont

• la 1^ère est $\;E\,Y(t)-u_{L}(t)-u_{R}(t)-u(t)=0\;$ laquelle, avec $\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ et $\;u_{R}(t)=R\;i(t)$, se réécrit en fonction de $\;i(t)\;$ et $\;u(t)\;$ selon $\;L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+R\;i(t)+u(t)=E\;Y(t)\quad (I)\;$ et
• la 2^e $\;u(t)=R\,i_{R}(t)\;$ dans laquelle $\;u(t)\;$ est aussi la tension aux bornes du condensateur avec $\;i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)$, permet d'exprimer $\;i_{R}(t)\;$ et $\;i_{C}(t)\;$ uniquement en fonction de $\;u(t)\;$ selon $\;i_{R}(t)={\dfrac {u(t)}{R}}\quad (II)\;$ et $\;i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\quad (II')$ ;

......pour trouver l'équation différentielle en $\;i(t)$, il faut expliciter $\;i_{R}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ [par $\;(II)\;$$\;i_{R}(t)\;$ est en fonction de $\;u(t)\;$ laquelle, par loi de maille $\;(I)$, s'exprime en fonction de $\;i(t){\big ]}\;$ et $\;i_{C}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ ${\bigg [}$par $\;(II')\;$$\;i_{C}(t)\;$ est en fonction de $\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ et, par loi de maille $\;(I)$, $\;u(t)\;$ s'exprime en fonction de $\;i(t)$, il suffit de dériver cette loi de maille $\;(I){\bigg ]}\;$ soit :

......$\;i_{R}(t)={\dfrac {u(t)}{R}}\;$ et par $\;(I)\;$ on trouve $\;i_{R}(t)={\dfrac {1}{R}}\,\left[E\;Y(t)-L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)-R\;i(t)\right]$ ;

......$\;i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ et par dérivation de $\;(I)\;$ on trouve $\;i_{C}(t)=C\,\left[E\;\delta (t)-L\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)-R\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\right]$ ;

......le report dans la loi de nœuds $\;({\mathfrak {n}})\;$ conduit à $\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\;Y(t)-{\dfrac {L}{R}}\;{\dfrac {di}{dt}}(t)-i(t)+C\;E\;\delta (t)-L\;C\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)-R\;C\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ soit finalement, en normalisant et en ordonnant $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+\left({\dfrac {R}{L}}+{\dfrac {1}{R\,C}}\right){\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {2}{L\,C}}\,i(t)={\dfrac {E}{R}}\,\left[{\dfrac {1}{L\;C}}\,Y(t)+{\dfrac {R}{L}}\,\delta (t)\right]\;\;\forall \,t$.

 

À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités (éventuelles) initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif

......Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en $\;t=0$, celles de $\;i(t)\;$ et de $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ puis,

......déterminer les valeurs initiales $\;i(0^{+})\;$ et $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\;$ par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité (éventuelle).

Solution

......De l'excitation $\;{\dfrac {E}{R}}\,\left[{\dfrac {1}{L\;C}}\,Y(t)+{\dfrac {R}{L}}\,\delta (t)\right]\;$ de l'équation différentielle écrite pour tout $\;t\;$ discontinue de 2^e espèce en t = 0, on induit, le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reportant sur la dérivée de plus haut ordre, que $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)\;$ est discontinue de 2^e espèce, $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ discontinue de 1^ère espèce et $\;i(t)\;$ continue en t = 0 ;

......on trouvera donc $\;i(0^{+})\;$ par continuité de l'intensité du courant traversant une bobine (parfaite) dans un circuit résisitif soit $\;i(0^{+})=i(0^{-})\;$ et, celle-ci étant initialement nulle on en déduit $\;i(0^{+})=0\;$ et ......on trouvera donc $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\;$ par circuit à $\;0^{+}\;$ (à représenter réellement) dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert [car $\;i(0^{+})=0{\big ]}\;$ et le condensateur par un court-circuit [continuité de $\;u(t)\;$ à l'instant 0 dans un circuit résistif $\;\Rightarrow u(0^{+})=u(0^{-})\;$ cette dernière étant nulle], on retrouve alors $\;E\;$ aux bornes de $\;L\;$ soit $\;u_{L}(0^{+})$ $=E\;$ avec $\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ d'où $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E}{L}}$.

 

Détermination de la réponse transitoire en intensité du courant dans le cas où les dipôles L R série et R C parallèle ont même constante de temps et tracé du graphe de i(t) en fonction de t

......Supposant que l'inductance propre de la bobine et la capacité du condensateur sont telles que les dipôles L R série et R C parallèle ont même constante de temps notée $\;\tau$, réécrire l'équation différentielle en $\;i(t)$ pour tout t sous forme canonique ;

......en déduire, pour $\;t>0$, la réponse en $\;i(t)$, intensité du courant traversant le circuit soumis l'échelon de tension d'amplitude $\;E$, en fonction de $\;E$, $\;R$, $\;\tau \;$ et l'instant $\;t$.

......Donner l'allure du graphe de $\;i(t)\;$ en fonction de $\;t$.

Solution

......Compte-tenu que les dipôles L R série et R C parallèle ont même constante de temps $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}=R\;C\;$ $\Rightarrow$ $\;L\;C={\dfrac {L}{R}}\,\left(R\;C\right)=\tau ^{2}$, l'équation différentielle en i(t) a pour forme canonique : $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {2}{\tau }}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {2}{\tau ^{2}}}\,i(t)={\dfrac {E}{R\;\tau ^{2}}}\;$ pour $\;t>0$ ; il y a donc une solution forcée $\;i_{f}={\dfrac {E}{2\;R}}\;$ à ajouter à la solution libre, laquelle nécessite de résoudre l'équation caractéristique $\;s^{2}+{\dfrac {2}{\tau }}\,s+{\dfrac {2}{\tau ^{2}}}=0$, de discriminant réduit $\;\Delta '=\left({\dfrac {1}{\tau }}\right)^{2}-{\dfrac {2}{\tau ^{2}}}=-{\dfrac {1}{\tau ^{2}}}<0$, n'admettant que des solutions complexes conjuguées $\;{\underline {s_{\pm }}}=-{\dfrac {1}{\tau }}\pm i\;{\dfrac {1}{\tau }}\;$ et par suite, donnant une solution libre pseudo-périodique $\;i_{l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {t}{\tau }}+\varphi \right)\;$ de pseudo-pulsation $\;\omega ={\dfrac {1}{\tau }}\;$ soit finalement la solution transitoire de l'équation différentielle de la forme suivante : $\;i(t)=i_{f}+i_{l}(t)={\dfrac {E}{2\;R}}+A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {t}{\tau }}+\varphi \right)$, les constantes $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ étant à déterminer par C.I. :

Graphe, en fonction de t, de la réponse en i(t) du circuit constitué d'une bobine parfaite en série avec un conducteur ohmique de résistance R et l'association d'un condensateur en parallèle sur un conducteur ohmique de même résistance R, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension et les dipôles R L série et R C parallèle étant de même constante de temps

• 1^ère C.I. $\;i(0^{+})=0\;$ donne ici $\;{\dfrac {E}{2\;R}}+A\,\cos(\varphi )=0\;$ soit $\;A\,\cos(\varphi )=-{\dfrac {E}{2\;R}}\;\;({\mathfrak {1}})$,
• 2^e C.I. $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E}{L}}\;$ soit, avec $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=-{\dfrac {1}{\tau }}\;A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {t}{\tau }}+\varphi \right)-{\dfrac {1}{\tau }}\;A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\sin \!\left({\dfrac {t}{\tau }}+\varphi \right)$, on obtient $\;A\,\cos(\varphi )+A\,\sin(\varphi )=$ $-{\dfrac {E\;\tau }{L}}=-{\dfrac {E}{R}}\;$ ou, en y reportant $\;A\,\cos(\varphi )=-{\dfrac {E}{2\;R}}\;$ de la 1^ère C.I., on obtient $\;A\,\sin(\varphi )=-{\dfrac {E}{2\;R}}\;\;({\mathfrak {2}})$ ;

......de $\;{\sqrt {({\mathfrak {1}})^{2}+({\mathfrak {2}})^{2}}}$, on déduit $\;A={\dfrac {E}{2\;R}}\;{\sqrt {2}}={\dfrac {E}{{\sqrt {2}}\;R}}$ ;

......de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A\;\cos(\varphi )<0\\A\;\sin(\varphi )<0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec le choix de $\;A>0\;$ on déduit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi )<0\\\sin(\varphi )<0\end{array}}\right\rbrace \;$ dont on tire $\;\varphi \in \left]-\pi \;{\text{ ;}}-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$, établissant que seul $\;\varphi +\pi \;$ peut se mettre sous la forme d'un $\;\arctan()\;$ soit $\;\varphi =\arctan(1)-\pi =-{\dfrac {3\;\pi }{4}}$ ;

......avec les valeurs de $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ précédemment déterminées on obtient $\;i(t)={\dfrac {E}{2\,R}}\,\left[1+{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {t}{\tau }}-{\dfrac {3\;\pi }{4}}\right)\right]={\dfrac {E}{2\,R}}\,\left[1-{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {t}{\tau }}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right]$.

......L'allure de la courbe est rappelée ci-dessus à droite en traits pleins avec précision des enveloppes en tiretés :

 

Circuit de Wien court-circuité, le condensateur de l'association série étant initialement chargé et celui de l'association parallèle initialement déchargé, réponse en tension aux bornes de l'association parallèle

Schéma d'un circuit de Wien court-circuité c'est-à-dire formé d'un R' C' série fermé sur un R C parallèle, le condensateur de capacité C' étant initialement chargé et celui de capacité C étant déchargé

......À l'aide des conducteurs ohmiques de résistance $\;R\;$ et $\;R'\;$ ainsi que des condensateurs parfaits de capacité $\;C\;$ et $\;C'$, on réalise le montage ci-contre appelé circuit de Wien court-circuité.

......On ferme l'interrupteur $\;K\;$ à $\;t=0$, le condensateur de l'association série de capacité $\;C'\;$ étant initialement chargé et celui de l'association parallèle de capacité $\;C\;$ déchargé.

......Pour faire les applications numériques nous nous placerons dans le cas où les deux résistances sont égales et les deux capacités aussi, ceci permettant de poser $\;R\,C=R'\,C'=R\,C'=R'\,C=\tau$, et on prendra $\;R=R'=10\,k\Omega \;$ et $\;C=C'=0,1\,\mu F$.

......À l'instant $\;t\;$ on note $\;u(t)\;$ la tension instantanée aux bornes du condensateur initialement chargé de capacité $\;C'\;$ et $\;v(t)\;$ la tension instantanée aux bornes du condensateur initialement déchargé de capacité $\;C$, le but de cet exercice étant de déterminer l'évolution de la tension $\;v(t)\;$ en fonction du temps $\;t$.

Détermination des valeurs à l'instant 0⁺ et au bout d'un temps infini de v(t) et de sa dérivée temporelle

......À partir de considérations physiques préciser les valeurs de la tension $\;v(t)\;$ et de sa dérivée temporelle $\;{\dfrac {dv}{dt}}(t)\;$ lorsque $\;t=0^{+}\;$ et quand $\;t\rightarrow \infty$.

Solution

......Valeurs initiales de la tension v(t) et de sa dérivée temporelle :

......Utilisant la continuité de la tension aux bornes du condensateur de capacité $\;C$, le circuit étant résistif, on peut écrire $\;v(0^{+})=v(0^{-})\;$ et cette dernière étant nulle car le condensateur de capacité $\;C\;$ est initialement déchargé on en déduit $\;v(0^{+})=0\;$ c'est-à-dire que le condensateur de capacité $\;C\;$ est équivalent à un court-circuit dans le circuit à $\;0^{+}$ ; ......ayant aussi la continuité de la tension aux bornes du condensateur de capacité $\;C'\;$ à l'instant 0 c'est-à-dire $\;u(0^{+})=u(0^{-})\;$ et cette dernière étant égale à $\;U>0\;$ car le condensateur de capacité $\;C'\;$ est initialement chargé sous tension $\;U$, on en déduit $\;u(0^{+})=U\;$ c'est-à-dire que le condensateur de capacité $\;C'\;$ est équivalent à une source de tension parfaite de f.e.m. $\;U>0\;$ dans le circuit à $\;0^{+}$ ;

......pour déterminer $\;{\dot {v}}(0^{+})\;$ il convient de rechercher $\;i(0^{+})=C\,{\dfrac {dv}{dt}}(0^{+})\;$ et pour cela de tracer le circuit à $\;0^{+}\;$ en utilisant les équivalences déterminées ci-dessus ;

......on en déduit que la f.e.m. $\;U>0\;$ de la source de tension équivalente à $\;C'\;$ à l'instant $\;0^{+}\;$ se retrouve aux bornes de $\;R'\;$ $\Rightarrow$ $\;i'(0^{+})={\dfrac {U}{R'}}\;$ et la tension aux bornes de $\;R\;$ étant nulle à l'instant $\;0^{+}\;$ ${\big [}R\;$ étant en $\;\parallel \;$ sur le court-circuit équivalent à $\;C\;$ de à l'instant $\;0^{+}{\big ]}$, $\;i_{R}(0^{+})=0\;$ et par suite la loi des nœuds $\;i(0^{+})+i_{R}(0^{+})=$ $i'(0^{+})\;$ donne finalement $\;i(0^{+})=i'(0^{+})={\dfrac {U}{R'}}$ ; de l'utilisation de $\;i(t)=C\,{\dfrac {dv}{dt}}(t)$, on en déduit $\;{\dot {v}}(0^{+})={\dfrac {i(0^{+})}{C}}={\dfrac {U}{R'\,C}}$.

......Valeurs de la tension v(t) et de sa dérivée temporelle au bout d'un temps infini :

......Les charges des condensateurs étant terminées (régime permanent), on a donc $\;i'(\infty )=0\;$ ainsi que $\;i(\infty )=0\;$ et par loi des nœuds $\;i_{R}(\infty )=0\;$ dont on déduit, par utilisation de $\;v(t)=R\;i_{R}(t)$, $\;v(\infty )=0$, le condensateur de capacité $\;C\;$ étant finalement déchargé ; ......par utilisation de $\;i(t)=C\,{\dfrac {dv}{dt}}(t)$ et $\;i(\infty )=0$, on déduit aussi $\;{\dot {v}}(\infty )=0\;$ traduisant l'état d'équilibre du condensateur de capacité $\;C$ ; ......bien que cela ne soit pas demandé, l'utilisation de la loi de maille $\;u(t)=v(t)+R'\;i'(t)\;$ avec $\;v(\infty )=0\;$ et $\;i'(\infty )=0\;$ nous conduit à $\;u(\infty )=0$, le condensateur de capacité $\;C'\;$ étant finalement, lui aussi, déchargé.

 

Établissement de l'équation différentielle en v(t), tension aux bornes du dipôle R C parallèle

......Établir l'équation différentielle en $\;v(t)$, tension aux bornes du dipôle R C parallèle, pour tout instant $\;t>0$.

Solution

Schéma d'un circuit de Wien court-circuité c'est-à-dire formé d'un R C série fermé sur un R' C' parallèle, le condensateur de capacité C étant initialement chargé et celui de capacité C' déchargé, avec définition des grandeurs utiles à la détermination de la réponse en tension aux bornes du R' C' parallèle

......Sur le schéma ci-contre, nous avons introduit 9 inconnues $\;{\big (}4\;$ tensions, 3 intensités et 2 charges), il nous faudra donc 9 relations pour les éliminer progressivement en ne conservant que $\;v(t)$ ;

• loi des nœuds $\;i'(t)=i_{R}(t)+i(t)\quad ({\mathfrak {1}})$,
• lien entre tension aux bornes d'un condensateur et sa charge $\;u(t)={\dfrac {q'(t)}{C'}}\;\;({\mathfrak {a}})\;$ et $\;v(t)={\dfrac {q(t)}{C}}\;\;({\mathfrak {b}})\;$ d'où, en éliminant les charges au profit des tensions aux bornes des condensateurs, la diminution du nombre d'inconnues à 7 et par suite la nécessité de 7 relations (il en faut donc encore $\;6{\big )}$,
• loi d'Ohm appliqué au conducteur ohmique de résistance R' soit $\;u_{R'}(t)=R'\,i'(t)\;\;({\mathfrak {c}})\;$ d'où, en éliminant la tension aux bornes de $\;R'\;$ au profit l'intensité la traversant, la diminution du nombre d'inconnues à 6 c'est-à-dire les trois intensités $\;i'(t)$, $\;i_{R}(t)$, $\;i(t)\;$ et les trois tensions $\;u(t)$, $\;v(t)$, $\;u_{K}(t)\;$ et par suite la nécessité de 6 relations (il en faut donc encore $\;5{\big )}$,
• définition du courant de décharge du condensateur de capacité C' soit $\;i'(t)=-{\dot {q'}}(t)\;\;({\mathfrak {d}})\;$ ou, en remplaçant $\;q'(t)\;$ par $\;C'\,u(t)$, la 2^e relation utile $\;i'(t)=-C'\,{\dot {u}}(t)\quad ({\mathfrak {2}})\;$ et
• définition du courant de charge du condensateur de capacité C soit $\;i(t)={\dot {q}}(t)\;\;({\mathfrak {e}})\;$ ou, en remplaçant $\;q(t)\;$ par $\;C\,v(t)$, la 3^e relation utile $\;i(t)=C\,{\dot {v}}(t)\quad ({\mathfrak {3}})\;$,
• 1^ère loi de maille R fermé sur C [maille orientée dans le sens de v(t)] $\;v(t)-R\,i_{R}(t)=0\;$ ou $\;v(t)=R\,i_{R}(t)\quad ({\mathfrak {4}})$ et
• 2^e loi de maille C' R' K fermé sur C soit $\;v(t)+u_{K}(t)+R'\,i'(t)-u(t)=0\;$ ou $\;u(t)=R'\,i'(t)+u_{K}(t)+v(t)\quad ({\mathfrak {5}})$;
• enfin la caractérisation de l'interrupteur K $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\text{pour }}t>0,&u_{K}(t)=0&&\forall \,i'(t)\\{\text{pour }}t<0,&u_{K}(t)=U&{\text{et }}&i'(t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$ que l'on peut réécrire $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{K}(t)&=&U\;Y(-t)\quad ({\mathfrak {6}})\\i'(t)&=&0\quad {\text{pour }}\,t<0\end{array}}\right\rbrace$ ;

......pour déterminer l'équation différentielle en $\;v(t)\;$ cherchée, il faut éliminer entre les 6 relations $\;i(t)$, $\;i'(t)$, $\;i_{R}(t)$, $\;u_{K}(t)\;$ et $\;u(t)\;$ au profit de $\;v(t)\;$ et de ses dérivées temporelles soit :

......$\;\succ \;$ par $\;({\mathfrak {4}})$, $\;i_{R}(t)={\dfrac {v(t)}{R}}\quad ({\mathfrak {4}}')$,

......$\;\succ \;$ on reporte alors $\;({\mathfrak {4}}')\;$ ainsi que $\;({\mathfrak {3}})\;$ dans $\;({\mathfrak {1}})\;$ et on obtient $\;i'(t)\;$ en fonction de $\;v(t)\;$ et $\;{\dot {v}}(t)\;$ soit $\;i'(t)={\dfrac {v(t)}{R}}+C\,{\dot {v}}(t)\quad ({\mathfrak {1}}')$ ;

......$\;\succ \;$ on reporte alors $\;({\mathfrak {1}}')\;$ ainsi que $\;({\mathfrak {6}})\;$ dans $\;({\mathfrak {5}})\;$ $\Rightarrow$ $\;u(t)\;$ en fonction de $\;v(t)\;$ et $\;{\dot {v}}(t)\;$ soit encore : $\;u(t)=R'\!\left[{\dfrac {v(t)}{R}}+C\,{\dot {v}}(t)\right]+U\;Y(-t)+v(t)\;$ ou $\;u(t)=\left(1+{\dfrac {R'}{R}}\right)v(t)+R'\,C\,{\dot {v}}(t)+U\;Y(-t)\quad ({\mathfrak {5}}')$ ;

......$\;\succ \;$ il reste alors à éliminer $\;u(t)\;$ à l'aide de $\;({\mathfrak {2}})\;$ utilisée simultanément à $\;({\mathfrak {1}}')\;$ soit : $\;{\dot {u}}(t)=-{\dfrac {i'(t)}{C'}}=-{\dfrac {1}{C'}}\left[{\dfrac {v(t)}{R}}+C\,{\dot {v}}(t)\right]\;$ que l'on réécrit selon $\;{\dot {u}}(t)=$ $-{\dfrac {v(t)}{R\,C'}}-{\dfrac {C}{C'}}{\dot {v}}(t)\quad ({\mathfrak {2}}')$ ;

......$\;\succ \;$ il suffit de dériver $\;({\mathfrak {5}}')\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {u}}(t)=\left(1+{\dfrac {R'}{R}}\right){\dot {v}}(t)+R'\,C\,{\ddot {v}}(t)-U\;\delta (-t)\quad ({\mathfrak {5}}'')\;$ et d'identifier à $\;({\mathfrak {2}}')\;$ pour éliminer $\;{\dot {u}}(t)\;$ et obtenir l'équation différentielle cherchée soit : $\;\left(1+{\dfrac {R'}{R}}\right){\dot {v}}(t)+R'\,C\,{\ddot {v}}(t)-U\;\delta (-t)=-{\dfrac {v(t)}{R\,C'}}-{\dfrac {C}{C'}}{\dot {v}}(t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;R'\,C\,{\ddot {v}}(t)+\left(1+{\dfrac {R'}{R}}+{\dfrac {C}{C'}}\right){\dot {v}}(t)+{\dfrac {v(t)}{R\,C'}}=U\;\delta (-t)\;$ ou encore sous forme normalisée : $\;{\ddot {v}}(t)+\left({\dfrac {1}{R'\,C}}+{\dfrac {1}{R\,C}}+{\dfrac {1}{R'\,C'}}\right){\dot {v}}(t)+{\dfrac {v(t)}{R\,R'\,C\,C'}}={\dfrac {U}{R'\,C}}\;\delta (-t)\;$ ou,
avec $\;R'\,C'=R'\,C=R\,C'=R\,C=\tau$, $\;{\ddot {v}}(t)+{\dfrac {3}{\tau }}\;{\dot {v}}(t)+{\dfrac {v(t)}{\tau ^{2}}}={\dfrac {U}{\tau }}\;\delta (-t)$.

......Remarque : L'équation différentielle en v(t( écrite pour tout t permet de retrouver les C.I. en effet l'excitation $\;{\dfrac {U}{\tau }}\;\delta (-t)\;$ étant discontinue de 2^e espèce pour t = 0, on en déduit que $\;{\dot {v}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce et $\;v(t)\;$ continue en t = 0 ;

......Remarque : la valeur de $\;{\dot {v}}(0^{+})\;$ peut être retrouvée en intégrant l'équation différentielle en v(t) écrite pour tout t entre $\;0^{-}\;$ et $\;0^{+}\;$ ce qui donne, compte-tenu de la nullité des valeurs de $\;v(t)\;$ et $\;{\dot {v}}(t)\;$ pour $\;0^{-}$, $\;{\dot {v}}(0^{+}+{\dfrac {3}{\tau }}\,v(0^{+})+{\cancel {{\dfrac {1}{\tau ^{2}}}\,\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}v(t)\,dt}}={\dfrac {U}{\tau }}\;$ ;

......Remarque : la valeur de $\;v(0^{+})\;$ peut être retrouvée en utilisant la continuité de v(t) en t = 0 ce qui donne, compte-tenu de la nullité de la valeur de $\;v(t)\;$ pour $\;0^{-}$, la nullité de $\;v(t)\;$ pour $\;0^{+}$ ou $\;v(0^{+})=0\;$ ......Remarque : et par report dans la C.I. précédente $\;{\dot {v}}(0^{+})+{\cancel {{\dfrac {3}{\tau }}\,v(0^{+})}}={\dfrac {U}{\tau }}\;$ soit $\;{\dot {v}}(0^{+})={\dfrac {U}{\tau }}$.

 

Résolution de l'équation différentielle en v(t), tension aux bornes du dipôle R C parallèle, puis tracé de son graphe en fonction du temps t et détermination de l'instant pour lequel v(t) est maximale

......Exprimer $\;v(t)\;$ sachant que $\;u(0^{-})=3\,V$, puis

......donner le graphe correspondant et

......déterminer le temps au bout duquel $\;v(t)\;$ passe par un maximum.

Solution

......Pour t > 0 l'équation différentielle en v(t) étant linéaire à cœfficients réels constants homogène du 2^e ordre $\;{\ddot {v}}(t)+{\dfrac {3}{\tau }}\;{\dot {v}}(t)+{\dfrac {v(t)}{\tau ^{2}}}=0$, sa solution transitoire s'identifie à la solution libre qui se résout en cherchant les solutions de l'équation caractéristique $\;s^{2}+{\dfrac {3}{\tau }}s+{\dfrac {1}{\tau ^{2}}}=0$ ; celle-ci étant de discriminant $\;\Delta ={\dfrac {9}{\tau ^{2}}}-4\,{\dfrac {1}{\tau ^{2}}}={\dfrac {5}{\tau ^{2}}}>0\;$ admet deux solutions réelles distinctes $\;s_{\pm }=-{\dfrac {3}{2\tau }}\pm {\dfrac {\sqrt {5}}{2\tau }}\;$ et par suite la loi horaire d'évolution de v(t) s'écrit $\;v(t)=A_{(+)}\exp \!\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)+A_{(-)}\exp \!\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)$ ;

......on détermine $\;A_{(+)}\;$ et $\;A_{(-)}\;$ à l'aide des C.I. déterminées précédemment soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}v(0^{+})=0\\{\dot {v}}(0^{+})={\dfrac {U}{\tau }}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où :

• 1^ère C.I. $\;A_{(+)}+A_{(-)}=0\;$ et
• 2^e C.I. nécessitant d'exprimer $\;{\dot {v}}(t)=\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)A_{(+)}\exp \!\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)+\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)A_{(-)}\exp \!\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$ soit, en faisant t = 0⁺, $\;\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)A_{(+)}+\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)A_{(-)}={\dfrac {U}{\tau }}\;$ ou $\;\left(3-{\sqrt {5}}\right)A_{(+)}+\left(3+{\sqrt {5}}\right)A_{(-)}=-2\;U$,

Graphe, en fonction de t, de la réponse apériodique en v(t) tension aux bornes du R C parallèle du circuit de Wien court-circuité, le condensateur du R' C' série étant initialement chargé sous 3 V

Début de graphe, en fonction de t, de la réponse apériodique en v(t) tension aux bornes du R C parallèle du circuit de Wien court-circuité, le condensateur du R' C' série étant initialement chargé sous 3 V

......2^e C.I. dans laquelle on reporte $\;A_{-}=-A_{+}\;$ tiré de la 1^ère C.I. soit $\;\left[\left(3-{\sqrt {5}}\right)-\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]A_{(+)}=-2\;U\;$ d'où $\;A_{+}=$ ${\dfrac {U}{\sqrt {5}}}\;$ et par suite $\;A_{-}=-{\dfrac {U}{\sqrt {5}}}$ ;

......finalement la loi horaire de variation de v(t) s'écrit selon $\;v(t)={\dfrac {U}{\sqrt {5}}}\left[\exp \!\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)-\exp \!\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;$ ou
numériquement, avec $\;U=3\;V\;$ et $\;\tau =R\;C=10^{4}\times 10^{-7}=10^{-3}\;s=1\;ms\;$
$\;v_{{\text{en }}\,V}(t_{{\text{en }}\,ms})\simeq 1,34\;\left[\exp \!\left(-0,382\,t_{{\text{en }}\,ms}\right)-\exp \!\left(-2,618\,t_{{\text{en }}\,ms}\right)\right]$,
le tracé du diagramme horaire de v(t) étant représenté ci-contre ainsi que
celui du début de courbe à la suite du précédent.

......Détermination du temps au bout duquel v(t) passe par un maximum : graphiquement on trouve $\;t_{m}\simeq 0,85\;ms$ ;

......Détermination du temps au bout duquel v(t) passe par un maximum : analytiquement on cherche $\;t_{m}\;$ tel que $\;{\dot {v}}(t_{m})=0\;$, ce qui donne, avec $\;{\dot {v}}(t)={\dfrac {U}{\sqrt {5}}}\left[\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)-\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]$, l'équation suivante $\;\left(3-{\sqrt {5}}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t_{m}}{\tau }}\right)=\left(3+{\sqrt {5}}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t_{m}}{\tau }}\right)\;$ ou $\;\exp \!\left({\sqrt {5}}\;{\dfrac {t_{m}}{\tau }}\right)={\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{3-{\sqrt {5}}}}\;$ soit, en inversant, $\;{\sqrt {5}}\;{\dfrac {t_{m}}{\tau }}=\ln \!\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{3-{\sqrt {5}}}}\right)\;$ ou, en multipliant haut et bas l'argument du logarithme par l'expression conjuguée de son dénominateur, $\;{\sqrt {5}}\;{\dfrac {t_{m}}{\tau }}=\ln \!\left[{\dfrac {(3+{\sqrt {5}})^{2}}{4}}\right]\;$ soit finalement $\;t_{m}={\dfrac {2\;\tau }{\sqrt {5}}}\;\ln \!\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\simeq 0,86\;\tau =0,86\;ms\;$.

......Commentaires : on a donc montré que

• sur l'intervalle $\;\left[0\;;\,t_{m}\simeq 0,86\;\tau \right[\;$ le condensateur de capacité C se chargeait jusqu'à atteindre une charge maximale associée à une tension $\;v_{\text{max}}=v(t_{m})={\dfrac {U}{\sqrt {5}}}\left\lbrace \exp \!\left[-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{\sqrt {5}}}\;\ln \!\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\right]-\exp \!\left[-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{\sqrt {5}}}\;\ln \!\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\right]\right\rbrace \;$ ou $\;v_{\text{max}}$ $={\dfrac {U}{\sqrt {5}}}\left[\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{\sqrt {5}}}}-\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{-{\frac {3+{\sqrt {5}}}{\sqrt {5}}}}\right]\simeq 0,275\;U=0,825\;V\;$ et
• sur l'intervalle $\;\left]t_{m}\simeq 0,86\;\tau \;;\,+\infty \right[\;$ il se déchargeait à travers le conducteur ohmique monté en parallèle sur lui jusqu'à être totalement déchargé.

 

Établissement du courant dans un circuit bouchon quand ce dernier est soumis, à travers un conducteur ohmique, à un échelon de tension

Schéma d'un circuit constitué d'un conducteur ohmique en série avec un circuit bouchon (association d'une bobine parfaite en parallèle sur un condensateur), l'ensemble étant soumis à un échelon de tension, réponse en intensité du courant traversant le circuit

......On se propose de déterminer la réponse en $\;i(t)\;$ intensité du courant traversant le circuit constitué d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ en série avec l'association d'un condensateur de capacité $\;C\;$ en parallèle sur une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ (association parallèle appelée circuit bouchon), l'ensemble étant soumis à un échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ établi à partir de $\;t=0\;$ et d'amplitude $\;E\;$ (voir ci-contre) ;

......on pose $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$ et $\;2\;\lambda ={\dfrac {1}{R\;C}}\;$, la résistance étant choisie suffisamment grande pour que $\;\lambda \;$ soit inférieur à $\;\omega _{0}\;$ c'est-à-dire $\;\lambda <\omega _{0}$ ;

......avant la fermeture de l'interrupteur $\;K\;$ réalisée à $\;t=0$, toutes les grandeurs électriques (tension et intensité) du circuit passif sont nulles.

Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension

......Établir, pour tout $\;t$, l'équation différentielle en $\;i(t)$, intensité du courant traversant le circuit bouchon, quand le circuit complet est soumis à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ d'amplitude $\;E$.

Solution

Schéma d'un circuit constitué d'un conducteur ohmique en série avec un circuit bouchon (association d'une bobine parfaite en parallèle sur un condensateur), l'ensemble étant soumis à un échelon de tension, avec définition des grandeurs utiles à la détermination de la réponse en intensité du courant traversant le circuit

......On dispose d'une loi de nœuds $\;i(t)=i_{C}(t)+i_{L}(t)\quad ({\mathfrak {n}})$,

......On dispose de deux lois de mailles dont

• la 1^ère est $\;E\,Y(t)-R\;i(t)-{\dfrac {q_{C}(t)}{C}}=0\quad (I)\;$ dans laquelle $\;q_{C}(t)\;$ est liée à $\;i_{C}(t)\;$ par $\;i_{C}(t)={\dfrac {dq_{C}}{dt}}(t)\;$ (convention de charge du condensateur), ce qui permet d'éliminer $\;q_{C}(t)\;$ au profit de $\;i_{C}(t)\;$ par dérivation temporelle de cette 1^ère équation de maille soit $\;{\dfrac {i_{C}(t)}{C}}+R\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=E\;\delta (t)$, cette dernière équation permettant d'expliciter $\;i_{C}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ selon $\;i_{C}(t)=$ $C\;E\;\delta (t)-R\;C\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\quad (I')\;$ et
• la 2^e $\;{\dfrac {q_{C}(t)}{C}}-L\,{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)=0\quad (II)\;$ dans laquelle on peut éliminer $\;q_{C}(t)\;$ au profit de $\;i(t)\;$ à l'aide de la 1^ère loi de maille reportée dans $\;(II)$, ceci donnant $\;E\,Y(t)-R\;i(t)=L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ qui permet d'expliciter $\;i_{L}(t)\;$ ${\bigg [}$plus exactement $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t){\bigg ]}\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ selon $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {E}{L}}\;Y(t)-{\dfrac {R}{L}}\;i(t)\quad (II')$ ;

......pour trouver l'équation différentielle en $\;i(t)$, il faut dériver l'équation de nœud $\;({\mathfrak {n}})\;$ pour faire apparaître $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ soit $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ dans laquelle on peut reporter l'expression de $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ selon la relation $\;(II')\;$ ce qui donne $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {E}{L}}\;Y(t)-{\dfrac {R}{L}}\;i(t)\quad (II'')\;$ puis dériver la relation $\;(I')\;$ pour expliciter $\;{\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ selon $\;{\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)=C\;E\;{\dot {\delta }}(t)-R\;C\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)\;$ et reporter cette expression dans $\;(II'')\;$ ce qui donne finalement $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)$ $=C\;E\;{\dot {\delta }}(t)-R\;C\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {E}{L}}\;Y(t)-{\dfrac {R}{L}}\;i(t)\;$ ou, en ordonnant et normalisant $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\,\left[{\dot {\delta }}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\;Y(t)\right]$.

 

À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités (éventuelles) initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif

......Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en $\;t=0$, celles de $\;i(t)\;$ et de $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ puis,

......déterminer les valeurs initiales $\;i(0^{+})\;$ et $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\;$ par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité (éventuelle).

Solution

......De l'excitation $\;{\dfrac {E}{R}}\,\left[{\dot {\delta }}(t)+\omega _{0}^{2}\,Y(t)\right]\;$ de l'équation différentielle écrite pour tout $\;t\;$ « “ discontinue de 3^e espèce en t = 0 ” » on induit, le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reportant sur la dérivée de plus haut ordre, que $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)\;$ est « “ discontinue de 3^e espèce ” », $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ discontinue de 2^e espèce et $\;i(t)\;$ discontinue de 1^ère espèce en t = 0 ;

......on trouvera donc $\;i(0^{+})\;$ par circuit à $\;0^{+}\;$ (à représenter réellement) dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert [continuité de $\;i_{L}(t)\;$ à l'instant 0 dans un circuit résistif $\;\Rightarrow i_{L}(0^{+})=i_{L}(0^{-})\;$ cette dernière étant nulle] et le condensateur par un court-circuit $\;{\bigg [}$continuité de $\;u_{C}(t)={\dfrac {q(t)}{C}}\;$ à l'instant 0 dans un circuit résistif $\;\Rightarrow u_{C}(0^{+})$ $=u_{C}(0^{-})\;$ cette dernière étant nulle${\bigg ]}$, on retrouve alors $\;E\;$ aux bornes de $\;R\;$ d'où $\;i(0^{+})={\dfrac {E}{R}}$ ; ......l'intensité $\;i(0^{+})={\dfrac {E}{R}}\;$ se retrouve traversant le court-circuit modélisant le condensateur à l'instant $\;0^{+}$, compte-tenu du fait que la bobine est modélisée, à ce même instant, par un interrupteur ouvert d'où $\;i_{C}(0^{+})={\dfrac {E}{R}}\;$ que l'on reporte dans la relation $\;(I')\;$ prise à l'instant $\;0^{+}\;$ soit $\;i_{C}(0^{+})={\cancel {C\;E\;\delta (0^{+})}}-R\;C\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\quad (I')_{0^{+}}\;$ d'où $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})=-{\dfrac {i_{C}(0^{+})}{R\;C}}\;$ et finalement $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})=-{\dfrac {E}{R^{2}\;C}}\;$.

 

Détermination de la réponse transitoire en intensité du courant et tracé du graphe de i(t) en fonction de t

......Réécrire l'équation différentielle en $\;i(t)$ pour tout t sous forme canonique ;

......en déduire, pour $\;t>0$, la réponse en $\;i(t)$, intensité du courant traversant le circuit complet soumis l'échelon de tension d'amplitude $\;E$, en fonction de $\;E$, $\;R$, $\;\lambda$, $\;\omega _{0}\;$ et l'instant $\;t$.

......Donner l'allure du graphe de $\;i(t)\;$ en fonction de $\;t$.

Solution

......La réduction canonique imposée nous conduit à définir

• la pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$ et
• un cœfficient d'amortissement $\;\lambda >0\;$ tel que $\;2\,\lambda ={\dfrac {1}{R\,C}}\;$