Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe

Circuits équivalents d'un condensateur réel en r.s.f.

Schéma de modèles parallèle et série équivalents d'un condensateur réel en r.s.f.

......Un condensateur réel (tenant compte de la conductivité du diélectrique) est équivalent en r.s.f. à un des circuits représentés ci-contre dans lesquels les condensateurs sont parfaits :

• une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance $\;R_{1}\;$ et un condensateur parfait de capacité $\;C_{1}\;$ dans laquelle $\;R_{1}\;$ et $\;C_{1}\;$ sont des constantes par rapport à la fréquence,
• une association série d'un conducteur ohmique de résistance $\;R_{2}\;$ et un condensateur parfait de capacité $\;C_{2}\;$ dans laquelle $\;R_{2}\;$ et $\;C_{2}\;$ restent constantes pour une fréquence donnée mais leurs valeurs étant adaptées à cette dernière.

Conditions d'équivalence des deux associations parallèle et série en r.s.f. de pulsation ω

......Déterminer $\;R_{2}\;$ et $\;C_{2}\;$ en fonction de $\;R_{1}$, $\;C_{1}\;$ et $\;\omega \;$ pour que les deux groupements soient équivalents en régime sinusoïdal forcé de pulsation $\;\omega$.

Solution

......Il faut bien sûr refaire les schémas en électricité complexe associée au r.s.f. de pulsation $\;\omega$, pour cela on introduit, sur les schémas, les tensions et intensités instantanées complexes (usuellement en convention récepteur pour un dipôle passif) et on représente tout dipôle passif linéaire par un rectangle en précisant, à son côté, la valeur de son impédance complexe.

......Impédance complexe du dipôle (1) : $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )}}\;$ avec $\;{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )\;$ l'admittance complexe du dipôle équivalent à l'association parallèle du conducteur ohmique de conductance $\;{\dfrac {1}{R_{1}}}\;$ et du condensateur parfait d'admittance complexe $\;j\,C_{1}\,\omega \;$ soit, en utilisant la loi des nœuds en électricité complexe $\;{\underline {i}}(t)={\underline {i_{R_{1}}}}(t)+{\underline {i_{C_{1}}}}(t)\;$ dans laquelle on substitue la valeur des intensités instantanées complexes par leur expression en fonction de la tension instantanée complexe commune $\;{\underline {u}}(t)$, expression donnée par loi d'Ohm en complexe, $\;{\underline {i}}(t)={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{R_{1}}}+j\,C_{1}\,\omega \;{\underline {u}}(t)\;$ puis, en factorisant par la tension instantanée complexe commune $\;{\underline {i}}(t)=\left[{\dfrac {1}{R_{1}}}+j\,C_{1}\,\omega \right]{\underline {u}}(t)\;$ d'où $\;{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {{\underline {i}}(t)}{{\underline {u}}(t)}}={\dfrac {1}{R_{1}}}+j\,C_{1}\,\omega \;$ et par suite $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\dfrac {1}{R_{1}}}+j\,C_{1}\,\omega }}\;$ soit encore $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\,R_{1}\,C_{1}\,\omega }}\;$. ......Impédance complexe du dipôle (2) : $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ est l'impédance complexe du dipôle équivalent à l'association série du conducteur ohmique de résistance $\;R_{2}\;$ et du condensateur parfait d'impédance complexe $\;{\dfrac {1}{j\,C_{2}\,\omega }}\;$ soit, en utilisant la loi des mailles en électricité complexe $\;{\underline {u}}(t)={\underline {u_{R_{2}}}}(t)+{\underline {u_{C_{2}}}}(t)\;$ dans laquelle on substitue la valeur des tensions instantanées complexes par leur expression en fonction de l'intensité instantanée complexe commune $\;{\underline {i}}(t)$, expression donnée par loi d'Ohm en complexe, $\;{\underline {u}}(t)$ $=R_{2}\;{\underline {i}}(t)+{\dfrac {{\underline {i}}(t)}{j\,C_{2}\,\omega }}\;$ puis, en factorisant par l'intensité instantanée complexe commune $\;{\underline {u}}(t)=\left[R_{2}+{\dfrac {1}{j\,C_{2}\,\omega }}\right]{\underline {i}}(t)\;$ d'où $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{{\underline {i}}(t)}}=R_{2}+{\dfrac {1}{j\,C_{2}\,\omega }}\;$.

......Conditions d'équivalence des dipôles : ces dipôles sont équivalents s'ils ont même impédance complexe, c'est-à-dire si leurs parties réelles sont égales et si leurs parties imaginaires le sont aussi ;

......Conditions d'équivalence des dipôles : comme on souhaite mettre $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ sous la forme algébrique $\;{\mathcal {R}}e\!\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\right]+j\,{\mathcal {I}}m\!\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\right]$, on multiplie haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur $\Rightarrow$ $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}\,(1-j\,R_{1}\,C_{1}\,\omega )}{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}={\dfrac {R_{1}}{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}-j\,{\dfrac {R_{1}^{2}\,C_{1}\,\omega }{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}$,

......Conditions d'équivalence des dipôles : la mise de $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ sous la forme algébrique $\;{\mathcal {R}}e\!\left[{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]+j\,{\mathcal {I}}m\!\left[{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]\;$ étant quasiment réalisée selon $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=$ $R_{2}-j\,{\dfrac {1}{C_{2}\,\omega }}\;$ ;

• en égalant les parties réelles on trouve $\;R_{2}={\dfrac {R_{1}}{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}<R_{1}$.
• et, en égalant les parties imaginaires, on obtient $\;{\dfrac {1}{C_{2}\,\omega }}={\dfrac {R_{1}^{2}\,C_{1}\,\omega }{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}\;$ soit encore $\;C_{2}=C_{1}\,{\dfrac {1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}{R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}>C_{1}$.

 

Conditions de fréquence pour que les deux associations parallèle et série en r.s.f. aient même constante de temps

......Pour quelle valeur $\;\omega _{0}\;$ de $\;\omega \;$ a-t-on même constante de temps pour les deux circuits en r.s.f. (on précisera les valeurs de $\;R_{2}\;$ et $\;C_{2}\;$ en fonction de $\;R_{1}\;$ et $\;C_{1}\;$ pour cette valeur de pulsation) ?

Solution

......Les deux dipôles auront même constante de temps si $\;R_{1}\,C_{1}=R_{2}\,C_{2}\;$ soit, en remplaçant $\;R_{2}\;$ et $\;C_{2}\;$ par leur expression en fonction de $\;R_{1}$, $\;C_{1}\;$ et $\;\omega \;$, l'équation suivante $\;R_{1}\,C_{1}={\dfrac {R_{1}}{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}\;C_{1}\,{\dfrac {1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}{R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega }}\;$ ou $\;1={\dfrac {1}{R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}\;$ ou encore $\;1={\dfrac {1}{R_{1}\,C_{1}\,\omega }}\;$ réalisé pour la pulsation $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{R_{1}\,C_{1}}}={\dfrac {1}{R_{2}\,C_{2}}}$ ;

......pour cette pulsation on trouve $\;R_{2}(\omega _{0})={\dfrac {R_{1}}{2}}\;$ et $\;C_{2}(\omega _{0})=2\,C_{1}$.

 

Intensités dans chaque branche montée en parallèle et soumise à une tension sinusoïdale de valeur efficace et de fréquence fixées

Schéma d'un circuit constitué de deux branches, R L série et R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et de fréquence fixées

......On considère le circuit ci-contre constitué de deux branches soumises à une même tension sinusoïdale $\;u(t)=U\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t)$ :

• la branche $\;({\mathfrak {1}})\;$ associant en série un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et une bobine parfaite d'inductance propre $\;L$,
• la branche $\;({\mathfrak {2}})\;$ associant en série un même conducteur ohmique de résistance $\;R$, une même bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ et un condensateur parfait de capacité $\;C$.

Détermination des intensités efficaces et des phases à l'origine des courants circulant dans chaque branche

......Déterminer les intensités efficaces $\;I_{1}\;$ et $\;I_{2}\;$ ainsi que les phases à l'origine $\;\varphi _{i_{1}}\;$ et $\;\varphi _{i_{2}}\;$ des courants d'intensités instantanées $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)$.

Solution

Schéma d'un circuit constitué de deux branches, R L série et R L C série soumis à une tension instantanée complexe de valeur efficace complexe et de fréquence fixées

......Il convient d'abord de refaire le schéma en notation complexe associée au r.s.f. de pulsation $\;\omega \;$ (voir ci-contre), la tension instantanée complexe imposée aux deux branches étant $\;{\underline {u}}(t)={\underline {U}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ avec $\;{\underline {U}}=U\;$ la tension efficace complexe ;

......la branche $\;({\mathfrak {1}})\;$ est traversée par un courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i_{1}}}(t)={\underline {I_{1}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ avec $\;{\underline {I_{1}}}=$ $I_{1}\,\exp \!\left(j\,\varphi _{i_{1}}\right)$ l'intensité efficace complexe du courant circulant dans la branche $\;({\mathfrak {1}})\;$ et

......la branche $\;({\mathfrak {2}})\;$ est traversée par un courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i_{2}}}(t)={\underline {I_{2}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ avec $\;{\underline {I_{2}}}=$ $I_{2}\,\exp \!\left(j\,\varphi _{i_{2}}\right)$ l'intensité efficace complexe du courant circulant dans la branche $\;({\mathfrak {2}})$.

......Étude du courant traversant la branche (1) : l'impédance complexe de la branche association série d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et d'une bobine parfaite d'impédance complexe $\;j\,L\,\omega \;$ s'évalue selon $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )=R+j\,L\,\omega \;$, on en déduit l'intensité efficace complexe du courant la traversant par application de la loi d'Ohm en complexe soit $\;{\underline {I_{1}}}={\dfrac {U}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {U}{R+j\,L\,\omega }}$ ; ......Étude du courant traversant la branche (1) : l'intensité efficace du courant traversant la branche étant le module de l'intensité efficace complexe on en déduit $\;I_{1}=\vert {\underline {I_{1}}}\vert ={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}}}\;$ ; ......Étude du courant traversant la branche (1) : la phase à l'origine de l'intensité du courant traversant la branche étant l'argument de l'intensité efficace complexe on en déduit $\;\varphi _{i_{1}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I_{1}}}\right]=0-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega }{R}}\right)=-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega }{R}}\right)\;$ ; ......Étude du courant traversant la branche (2) : l'impédance complexe de la branche association série d'un conducteur ohmique de résistance $\;R$, d'une bobine parfaite d'impédance complexe $\;j\,L\,\omega \;$ et d'un condensateur parfait d'impédance complexe $\;{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\;$ s'évalue selon $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=R+j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}=R+j\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)\;$, on en déduit l'intensité efficace complexe du courant la traversant par application de la loi d'Ohm en complexe soit $\;{\underline {I_{2}}}={\dfrac {U}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {U}{R+j\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)}}$ ; ......Étude du courant traversant la branche (2) : l'intensité efficace du courant traversant la branche étant le module de l'intensité efficace complexe on en déduit $\;I_{2}=\vert {\underline {I_{2}}}\vert ={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)^{\!\!2}}}}\;$ ; ......Étude du courant traversant la branche (2) : la phase à l'origine de l'intensité du courant traversant la branche étant l'argument de l'intensité efficace complexe on en déduit $\;\varphi _{i_{2}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I_{2}}}\right]=0-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}}{R}}\right)=-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}}{R}}\right)\;$.

 

Condition pour que les courants circulant dans chaque branche soit en quadrature de phase

......Pour quelle valeur de $\;C$, $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$ sont-elles en quadrature de phase ?

Solution

......On remarque que $\;\vert \varphi _{i_{2}}\vert =\arctan \!\left({\dfrac {{\bigg \vert }L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}{\bigg \vert }}{R}}\right)<\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega }{R}}\right)=\vert \varphi _{i_{1}}\vert \;$ avec $\;\varphi _{i_{1}}<0\;$ $\Rightarrow$ $\;\varphi _{i_{2}}>\varphi _{i_{1}}$, d'où l'éventuelle quadrature de phase entre $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$ ne peut correspondre qu'à une quadrature avance de $\;i_{2}(t)\;$ sur $\;i_{1}(t)\;$ c'est-à-dire à $\;\varphi _{i_{2}}-\varphi _{i_{1}}={\dfrac {\pi }{2}}\;$ ou encore à $\;\tan(\varphi _{i_{2}}-\varphi _{i_{1}})=+\infty \;$ ; ......or $\;\tan(\varphi _{i_{2}}-\varphi _{i_{1}})={\dfrac {\tan(\varphi _{i_{2}})-\tan(\varphi _{i_{1}})}{1+\tan(\varphi _{i_{2}})\,\tan(\varphi _{i_{1}})}}\;$ atteint $\;+\infty \;$ si $\;\tan(\varphi _{i_{2}})\,\tan(\varphi _{i_{1}})=-1\;$ soit $\;\left({\dfrac {L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}}{R}}\right)\!{\dfrac {L\,\omega }{R}}=-1\;$ condition équivalente à $\;L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}=-{\dfrac {R^{2}}{L\,\omega }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {1}{C\,\omega }}=L\,\omega +{\dfrac {R^{2}}{L\,\omega }}\;$ ou encore $\;{\dfrac {1}{C\,\omega }}={\dfrac {R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}{L\,\omega }}\;$ soit finalement la condition pour que $\;i_{2}(t)\;$ soit en quadrature avance sur $\;i_{1}(t)\;$ $\;C={\dfrac {L}{R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}}$.

 

Condition supplémentaire pour que les courants circulant dans chaque branche aient même intensité efficace

......On veut de plus que $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$ aient même valeur efficace ;

......déterminer alors $\;R\;$ et $\;C\;$ en fonction de $\;L\;$ et $\;\omega$.

Solution

......Avec la condition de quadrature de phase des intensités des courants traversant chaque branche on peut réécrire l'expression de l'intensité efficace $\;I_{2}\;$ sous la forme $\;I_{2}=$ ${\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)^{\!2}}}}={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+\left(L\,\omega -{\dfrac {R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}{L\,\omega }}\right)^{\!2}}}}={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+{\dfrac {R^{4}}{L^{2}\,\omega ^{2}}}}}}\;$ soit $\;I_{2}={\dfrac {U\,L\,\omega }{R\,{\sqrt {L^{2}\,\omega ^{2}+R^{2}}}}}\;$ et ......$\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$ auront même valeur efficace si $\;I_{2}={\dfrac {U\,L\,\omega }{R\,{\sqrt {L^{2}\,\omega ^{2}+R^{2}}}}}\;$ est égale à $\;I_{1}={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}}}\;$ d'où $\;R=L\,\omega$ ; ......par report dans la condition de quadrature de phase entre les intensités de courant traversant les deux branches on en déduit $\;C={\dfrac {L}{R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}}={\dfrac {L}{2\,L^{2}\,\omega ^{2}}}\;$ soit finalement $\;C={\dfrac {1}{2\,L\,\omega ^{2}}}\;$ ou $\;{\dfrac {1}{C\,\omega }}=2\,L\,\omega$.