Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : conditions de Gauss

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Optique géométrique : conditions de Gauss
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Exercices no13
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Optique géométrique : conditions de Gauss

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Optique géométrique : miroir plan
Exo suiv. :Optique géométrique : lentilles minces
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : conditions de Gauss
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Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss[modifier | modifier le wikicode]

     Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de :

  • sa nature « concave » ou « convexe »,
  • son centre centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante [1],
  • son rayon de courbure non algébrisé rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante,
  • l'axe optique principal dont la partie incidente ou son prolongement passe par et le point objet point objet dont on étudiera l'image éventuelle et
  • son sommet intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante.

     Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal [2] et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon [2] avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé :

  • si [2], étant à droite de est virtuel, correspondant à un miroir « convexe »,
  • si [2], étant à gauche de est réel, correspondant à un miroir « concave ».

     Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave [3] et
     Dans la suite nous admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique [4] pour tous les points objet autres que et tous les points du miroir [5].

Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir [6] pour tout point objet autre que et

     Considérant un point objet réel et l'axe optique principal correspondant de support [7], nous envisageons des rayons incidents issus de , peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison tel que et dont le point d'incidence reste proche du sommet c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au miroir en dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal est tel que [8].

     Le rayon incident donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes [9] de la réflexion [10], [11], le rayon réfléchi à l'axe optique principal, appelons l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que est indépendant du rayon incident considéré c.-à-d. indépendant de et de dans la mesure où les conditions de Gauss [12] de stigmatisme approché [13] et sont réalisées.

Établissement de la relation liant θo, θi et ω[modifier | modifier le wikicode]

  1. En travaillant dans le triangle établir une 1ère relation entre , angle d'incidence du rayon incident en et ,
  2. en travaillant dans le triangle établir une 2ème relation entre , angle de réflexion du rayon réfléchi en et ,
  3. en utilisant la 2ème loi de Snell - Descartes [9] de la réflexion [11] et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre , et  :
    «» [14].

Évaluation des angles θo, θi et ω en fonction des abscisses de Ao, Ai et C repérées relativement à H[modifier | modifier le wikicode]

     De la relation et des conditions de Gauss [12] de stigmatisme approché [13], montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c.-à-d. .

  1. En travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de [2] puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle ,
  2. en travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de [2] puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle ,
  3. en travaillant dans le triangle [18] évaluer en fonction, entre autres, de [2] puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle ,
  4. déduire des trois évaluations précédentes et de la relation , un lien entre «, et » [2] relation .

Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω[modifier | modifier le wikicode]

     Établir que [18] peut être confondu avec le sommet du miroir à l'ordre un en [20] et

     réécrire que la relation en tenant compte de cette confusion.

Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet Ao et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)[modifier | modifier le wikicode]

     Vérifier que la relation définit, pour un point objet quelconque, un point image unique et en déduire
     Vérifier le stigmatisme approché du miroir sphérique [6] pour le point objet  ;

     Vérifier que la relation pouvant être écrite selon «» [2], [25] est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries de symbole [26],
     Vérifier que la relation pouvant être écrite selon «» exprimer en fonction de [2].

     Par la suite notant l'abscisse de Descartes [27] avec origine au sommet[28] du point objet [2] et
       Par la suite notant l'abscisse de Descartes avec origine au sommet celle du point image [2],
     la relation de conjugaison approchée de position ou 1ère relation de conjugaison approchée de Descartes [27] d'un miroir sphérique se réécrit

«» [29].

Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles[modifier | modifier le wikicode]

     Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre et le sommet [5] du miroir sont des points
     Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et
     Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que dont l'image est confondue avec l'objet c.-à-d. des points doubles.

     Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison approchée de position de Descartes [27] avec origine au sommet est applicable à , centre du miroir,
           Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet est applicable à , bien que la conjugaison soit rigoureuse ;

     vérifier, en utilisant cette relation, que est effectivement un point double.

     Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes [27] avec origine au sommet reste applicable à , sommet du miroir [31], pour lequel il y a conjugaison rigoureuse,
           Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , évaluer en fonction de et de puis
           Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, sur cette dernière forme, que
           Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, « est effectivement un point double » et
           Admettant que la relation de conjugaison approchée de position de Descartes avec origine au sommet reste applicable à , vérifier, « il n'y a pas d'autres points doubles que et ».

Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image[modifier | modifier le wikicode]

     Vérifier, sur la 1ère relation de conjugaison de Descartes [27] d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » [34] puis

     déterminer la position du foyer principal objet c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal ou et
     déterminer la position du foyer principal image c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent [35] le point à l'infini de cet axe optique principal ou  ;

     quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ?

     Définissant la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes [27] du foyer principal objet avec origine au sommet soit «» [2] et
     Définissant la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes [27] du foyer principal image avec origine au sommet soit «» [2],

     déterminer le lien entre vergence , distance focale objet et distance focale image .

Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique[modifier | modifier le wikicode]

Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis

     Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » respectivement « négative » est dit « convergent » respectivement « divergent » et

     Déterminer la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux.

Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal[modifier | modifier le wikicode]

     En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss » plus haut dans cet exercice [41] mais
     En reprenant la démonstration avec situé à l'infini ce qui correspond à et
     En reprenant la démonstration en conservant les notations introduites dans « cette question » à l'exception de qui sera noté [42] et de qui sera noté [42],

     déterminer la position de point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident à l'axe optique principal, de point d'incidence [42] et

     vérifier que dépendant effectivement de et par suite
     vérifier qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique concave[25] pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal.

Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss[modifier | modifier le wikicode]

     On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss » plus haut dans cet exercice et
     On considère un objet linéique transverse [49] de pied [50] tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir [6] pour tous les points de [51]

               On considère un objet linéique transverse de pied tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse [49] admet une image « nette » [52] mais a priori [53]
                    On considère un objet linéique transverse de pied tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse admet une image ni « linéique » [54] ni « transverse ».

     On suppose que l'objet linéique transverse [49] est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet du miroir sous un angle non algébrisé petit c.-à-d. si et
          On suppose que l'objet linéique transverse est, quand l'objet est proche du miroir, vu du centre du miroir sous un angle non algébrisé petit c.-à-d. si ,
          On suppose que l'objet linéique transverse est, ces deux exigences constituant les conditions de Gauss [12] d'aplanétisme approché [55] pour un objet linéique transverse [49] quelconque [56].

     Remarque : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss [12] d'aplanétisme approché [55] d'un objet linéique transverse [49] quelconque [57] :
     Remarque : si un objet est tel que son pied n'est pas proche du centre du miroir, il doit être vu du centre sous un angle non algébrisé petit c.-à-d. si et
     Remarque : si un objet est tel que son pied est proche de , il doit être vu du sommet du miroir sous un angle non algébrisé petit c.-à-d. si .

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle[modifier | modifier le wikicode]

     L'objet linéique transverse [49] étant d'abord supposé de pied non proche du centre du miroir c.-à-d. ,
     nous considérons l'angle , sous lequel il est vu du centre , petit c.-à-d. ,
     nous considérons l'angle sous lequel il est vu du sommet , n'étant pas nécessairement petit,
     la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes [27] avec origine au centre établie dans la solution de la question plus bas dans cet exercice » [58] à savoir «» [2] est la vergence précédemment introduite ;

     la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes :

  • montrer qu'à l'ordre un en , l'objet linéique transverse [49] peut être confondu avec un arc de cercle de centre , d'angle au centre associé ,
  • en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes [27] avec origine au centre[59], montrer alors que l'image est un arc de cercle de centre et
               en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes avec origine au centre, vérifier que l'angle au centre associé est encore ,
  • conclure qu'à l'ordre un en , l'image peut être confondue avec un segment à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse [60].

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle[modifier | modifier le wikicode]

     L'objet linéique transverse [49] de pied étant maintenant supposé proche du centre du miroir c.-à-d. ,
          L'objet linéique transverse de pied nous considérons l'angle , sous lequel il est vu du sommet , petit c.-à-d.  ;
     la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de , point objet quelconque de [65] et
     la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image , défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis,
     la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image , a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image , pour cela :

  • déterminer l'abscisse image de Descartes [27] avec origine au sommet de en fonction de la distance focale image et
         déterminer l'abscisse image de Descartes avec origine au sommet de en fonction de l'abscisse objet de Descartes [27] avec origine au sommet de ,
  • déterminer la longueur algébrique en fonction de et de l'abscisse objet de Descartes [27] avec origine au sommet de ,
  • travaillant dans le repère orthonormé [66] déterminer l'équation des rayons incidents et [67],
  • travaillant dans le repère orthonormé [68] déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection  ;
  • vérifier que l'abscisse image de Descartes [27] avec origine au sommet du projeté de sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes [27] avec origine au sommet de ,
  • conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse [49] de pied proche du centre du miroir.

Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)[modifier | modifier le wikicode]

Représentation symbolique sans les foyers d'un miroir sphérique concave à gauche et d'un miroir sphérique convexe à droite

     Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss [12] de stigmatisme et d'aplanétisme approchés [13], [55], l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent

  • l'axe optique principal,
  • le centre ,
  • les foyers principaux objet et image non représentés ci-contre [73],
  • le sommet et
  • la partie de miroir en à l'axe optique principal [74], partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal.
Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes [27] avec origine en pour un miroir sphérique concave

     Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse d'un objet linéique transverse [49] de pied et en considérant deux rayons incidents issus de ,
     l'un passant que le centre du miroir et qui se réfléchit sur lui-même [75],
     l'autre passant par le sommet du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2ème loi de Snell - Descartes [9] de la réflexion [11], [76],
     le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de sous conditions de Gauss [12], [77],
     il suffit de projeter orthogonalement sur l'axe optique principal pour obtenir le point image du point objet [78].

     En comparant les triangles rectangles