Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : conditions de Gauss

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Optique géométrique : conditions de Gauss
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Exercices no13
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Optique géométrique : conditions de Gauss

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Optique géométrique : miroir plan
Exo suiv. :Optique géométrique : lentilles minces
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : conditions de Gauss
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Sommaire

Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss[modifier | modifier le wikicode]

......Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de :

  • sa nature « concave » ou « convexe »,
  • son centre (centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante [1]),
  • son rayon de courbure (non algébrisé) (rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante),
  • l'axe optique principal dont la partie incidente (ou son prolongement) passe par et le point objet (point objet dont on étudiera l'image éventuelle) et
  • son sommet (intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante).

......Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal [2] et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon [2] avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé :

  • si , étant à droite de est virtuel, correspondant à un miroir « convexe »,
  • si , étant à gauche de est réel, correspondant à un miroir « concave ».
Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave[3] et
admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour tous les points objets
autres que et tous les points du miroir [4].

Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir pour tout point objet autre que C et S

......Considérant un point objet réel et l'axe optique principal correspondant de support [5], nous envisageons des rayons incidents issus de , peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison tel que et dont le point d'incidence reste proche du sommet c'est-à-dire tel que l'angle que fait la normale au miroir en dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal est tel que [6].

......Le rayon incident donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes de la réflexion, le rayon réfléchi à l'axe optique principal), appelons l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que est indépendant du rayon incident considéré (c'est-à-dire indépendant de et de dans la mesure où les conditions de Gauss de stigmatisme approché et sont réalisées.

Établissement de la relation liant θo, θi et ω[modifier | modifier le wikicode]

  1. En travaillant dans le triangle établir une première relation entre , angle d'incidence du rayon incident en et ,
  2. en travaillant dans le triangle établir une deuxième relation entre , angle de réflexion du rayon réfléchi en et ,
  3. en utilisant la 2e loi de Snell - Descartes de la réflexion et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre , et  :
    [7].

Évaluation des angles θo, θi et ω en fonction des abscisses de Ao, Ai et C repérées relativement à H[modifier | modifier le wikicode]

......De la relation et des conditions de Gauss de stigmatisme approché, montrer que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c'est-à-dire .

  1. En travaillant dans le triangle [11] évaluer en fonction, entre autres, de puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, ,
  2. en travaillant dans le triangle [11] évaluer en fonction, entre autres, de puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, ,
  3. en travaillant dans le triangle [11] évaluer en fonction, entre autres, de puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, ,
  4. déduire des trois évaluations précédentes et de la relation , un lien entre , et [relation .

Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω[modifier | modifier le wikicode]

......Établir que [11] peut être confondu avec le sommet du miroir à l'ordre un en [12] et

......réécrire que la relation en tenant compte de cette confusion.

Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet Ao et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)[modifier | modifier le wikicode]

......Vérifier que la relation définit, pour un point objet quelconque, un point image unique et en déduire le stigmatisme approché du miroir sphérique pour le point objet  ;

......la relation pouvant être écrite selon [15] est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries (de symbole dans la mesure où les abscisses le sont en la dioptrie étant liée au mètre par , exprimer en fonction de .

......Par la suite notant l'abscisse de Descartes (avec origine au sommet)[16] du point objet et
......Par la suite notant l'abscisse de Descartes (avec origine au somm celle du point image ,
......la relation de conjugaison (approchée) de position [ou 1ère relation de conjugaison (approchée)] de Descartes d'un miroir sphérique se réécrit

[17].

Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles[modifier | modifier le wikicode]

......Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre et le sommet [4] du miroir sont des points

  • pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et
  • dont l'image est confondue avec l'objet (c'est-à-dire que ce sont des points doubles).

......Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) est applicable à , centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse ;

......vérifier, en utilisant cette relation, que est effectivement un point double.

......Admettant que la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) reste applicable à , sommet du miroir, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse [mais évidemment pas sous cette forme qui est indéterminée quand on l'applique à , son abscisse objet y étant nulle], évaluer en fonction de et de et vérifier, sur cette dernière forme,

  • que est effectivement un point double et
  • qu'il n'y a pas d'autres points doubles que et .

Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image[modifier | modifier le wikicode]

......Vérifier, sur la 1ère relation de conjugaison de Descartes d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » [19] puis déterminer

  • la position du foyer principal objet c'est-à-dire le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal [ou et
  • la position du foyer principal image c'est-à-dire le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent[20] le point à l'infini de cet axe optique principal [ou  ;

......quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ?


......Définissant

  • la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes du foyer principal objet (avec origine au sommet) soit et
  • la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes du foyer principal image (avec origine au sommet) soit ,

......déterminer le lien entre vergence , distance focale objet et distance focale image .

Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique[modifier | modifier le wikicode]

Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis

......son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » (respectivement « négative ») est dit « convergent » (respectivement « divergent ») et enfin

......la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux.

Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal[modifier | modifier le wikicode]

......En reprenant la démonstration faite à la 1ère question mais avec situé à l'infini (ce qui correspond à et en conservant les notations introduites dans la 1ère question [à l'exception de qui sera noté [25] et de qui sera noté [25]],

......déterminer la position de défini comme le point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident à l'axe optique principal, de point d'incidence [25] et

......vérifier que dépendant effectivement de , il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique (concave)[15] pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal.

Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss[modifier | modifier le wikicode]

......On considère le miroir sphérique concave introduit à la 1ère question et un objet linéique transverse de pied [30] tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir pour tous les points de [31] ;
......cette dernière condition entraîne que l'objet linéique transverse admet une image « nette » [32] mais a priori cette image n'est hors conditions de Gauss d'aplanétisme approché ni « linéique » [33] ni « transverse » ;

......Supposant que l'objet linéique transverse est,

  • quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet du miroir sous un angle non algébrisé petit (c'est-à-dire si et
  • quand l'objet est proche du miroir, vu du centre du miroir sous un angle non algébrisé petit (c'est-à-dire si ,

......ces deux conditions sont une première façon de définir les conditions de Gauss d'aplanétisme approché pour un objet linéique transverse quelconque [34].

......Il existe une deuxième façon équivalente de définir les conditions de Gauss d'aplanétisme approché pour un objet linéique transverse quelconque [35] :

  • quand l'objet est tel que son pied n'est pas proche du centre du miroir, l'objet doit être vu du centre sous un angle non algébrisé petit (c'est-à-dire si et
  • quand l'objet est tel que son pied est proche de , l'objet doit être vu du sommet du miroir sous un angle non algébrisé petit (c'est-à-dire si .

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle[modifier | modifier le wikicode]

......L'objet linéique transverse étant d'abord supposé de pied non proche du centre du miroir (c'est-à-dire , nous considérons l'angle , sous lequel il est vu du centre , petit (c'est-à-dire , l'angle sous lequel il est vu du sommet , n'étant pas nécessairement petit, la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on a établi auparavant la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)[36]

est la vergence précédemment introduite :

......la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes :

  • montrer qu'à l'ordre un en , l'objet linéique transverse peut être confondu avec un arc de cercle de centre , d'angle au centre associé ,
  • en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre), montrer alors que l'image est un arc de cercle de centre et vérifier que l'angle au centre associé est encore ,
  • conclure qu'à l'ordre un en , l'image peut être confondue avec un segment perpendiculaire à l'axe optique principal c'est-à-dire qu'elle est linéique transverse[37].

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle[modifier | modifier le wikicode]

......L'objet de pied étant maintenant supposé proche du centre du miroir (c'est-à-dire , nous considérons l'angle , sous lequel il est vu du sommet , petit (c'est-à-dire  ; la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de , point objet quelconque de [42] et de montrer que le point image , défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image  :

  • déterminer l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de notée en fonction de la distance focale image et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de notée ,
  • déterminer la longueur algébrique en fonction de et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de notée ,
  • travaillant dans le repère orthonormé [43] déterminer l'équation des rayons incidents et [44],
  • travaillant dans le repère orthonormé [45] déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection  ;
  • vérifier que l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de , puis conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir.

Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)[modifier | modifier le wikicode]

Représentation symbolique (sans les foyers) d'un miroir sphérique concave et d'un miroir sphérique convexe

......Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss de stigmatisme et d'aplanétisme approchés, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre , les foyers principaux objet et image , le sommet et la partie de miroir perpendiculaire en à l'axe optique principal [49], partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal

voir ci-contre à gauche pour un miroir concave et à droite pour un miroir convexe[50].
Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en S pour un miroir sphérique concave

......Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse d'un objet linéique transverse de pied et en considérant deux rayons incidents issus de , l'un passant que le centre du miroir et qui se réfléchit sur lui-même [51], l'autre passant par le sommet du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2e loi de Snell - Descartes [52], le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de sous conditions de Gauss [53] et s'obtenant en projetant orthogonalement sur l'axe optique principal [54].

......En comparant les triangles rectangles et , déterminer le grandissement transverse par le miroir de l'objet linéique transverse défini par en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet)  ;

cette relation définit la relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse [ou 2e relation de conjugaison (approchée)] de Descartes (avec origine en pour tout objet linéique transverse de pied [55],[17], elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse de pied [56].

......Considérant un objet linéique transverse de pied [60] et la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé sous lequel l'objet est vu du sommet , petit ,

  • vérifier, par construction de l'image , qu'elle est symétrique de par rapport à l'axe optique principal et
  • comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2e relation de conjugaison) de Descartes (avec origine en pour un objet linéique transverse de pied .


......Considérant maintenant un objet linéique transverse de pied [61] et la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé sous lequel l'objet est vu du centre , petit [62],

  • vérifier que l'image se superpose à , le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et
  • en déduire la valeur du grandissement transverse pour un objet linéique transverse de pied .

Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse[modifier | modifier le wikicode]

......Définitions préliminaires : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet et

......Définitions préliminaires : On appelle plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image  ;

......Définitions préliminaires : on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ;

......Définitions préliminaires : on appelle foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire de support l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et

......Définitions préliminaires : On appelle foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire de support l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image.

......Propriétés : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support  :

  1. le foyer secondaire objet associé à l'axe optique secondaire de support admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire [soit ,
  2. le foyer secondaire image associé à l'axe optique secondaire de support admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire [soit .

......Considérant un objet linéique transverse réel, de pied séparé du sommet d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image par le miroir de deux façons différentes :

  1. en considérant deux rayons incidents issus de [choisis parmi les trois suivants : passant par , passant par ou à l'axe optique principal],
  2. en considérant un rayon incident issu de [68] [choisi parmi les deux suivants : passant par ou à l'axe optique secondaire .

......Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe.

Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss[modifier | modifier le wikicode]

Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)[modifier | modifier le wikicode]

......On repère maintenant les points objet et image relativement au centre du miroir sphérique en définissant

  • l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) de par et
  • l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) de par  ;

......à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) s'écrit

[69] ou avec vergence du miroir.
Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en C pour un miroir sphérique concave

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2e relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)[modifier | modifier le wikicode]

......À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2e relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2e relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)[69].

......En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation.