Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : miroir plan
Angle entre deux miroirs plans
[modifier | modifier le wikicode]Deux miroirs plans font entre eux un angle .
Un rayon incident à l'un des miroirs subit « cinq » réflexions après lesquelles son retour se fait en suivant exactement le même chemin.
Calculer .
Pour que le cinquième rayon réfléchi se superpose au cinquième rayon incident, ce dernier doit être au miroir où se produit la réflexion «» voir schéma ci-contre ;
Nous déterminons, par utilisation de la 2ème loi de Snell - Descartes[1] de la réflexion[2] à chaque réflexion, les angles successifs «, , et » en fonction de «» pour identifier «» à «» et en déduire la valeur de l'angle «».
Lors de la 1ère réflexion, la 2ème loi de Snell - Descartes[1] de réflexion ou, sans algébriser, «» ;
Lors de la 1ère réflexion, de la valeur de on en déduit angle extérieur du triangle , étant l'intersection de l'arête des deux miroirs et de la section droite de la figure soit finalement «» ;
lors de la 2ème réflexion, nous obtenons de même non représenté correspondant à l'angle que fait avec le miroir inférieur angle extérieur du triangle soit finalement «» ;
lors de la 3ème réflexion, nous obtenons de même non représenté correspondant à l'angle que fait avec le miroir supérieur angle extérieur du triangle soit finalement «» ;
lors de la 4ème réflexion, nous obtenons de même non représenté correspondant à l'angle que fait avec le miroir inférieur angle extérieur du triangle soit finalement «» ;
enfin de «», nous déduisons soit finalement «».
Détermination de la taille d'un miroir plan pour s'y voir entièrement
[modifier | modifier le wikicode]Quelle taille minimale doit avoir un miroir plan vertical pour qu'un homme de , en position également verticale, puisse s'y voir entièrement ?
Quelle taille minimale doit avoir un miroir plan vertical On précisera, dans l'hypothèse où le miroir a la taille minimale, à quelle hauteur il faut le placer si on suppose que les yeux de l'homme, ayant les pieds sur le sol, sont à au-dessous du sommet de sa tête ;
avec cette disposition de miroir, que voit un enfant de , ayant également les pieds sur le sol et dont les yeux sont situés à du sommet de sa tête ?
Remarque préliminaire : nous ne considérons que les dimensions verticales de l'homme et du miroir,
Remarque préliminaire : le schéma ci-contre étant fait dans le plan vertical passant par l'œil noté .
L'individu voir schéma ci-contre étant positionné verticalement en reposant sur le sol niveau des pieds, de la tête, de cotes respectives et à la distance du miroir plan et respectivement niveaux bas et haut du miroir de cotes et , on cherche le « minimum de » pour que l'individu voit entièrement son image , son œil étant situé à la cote ;
l'imageétant le symétrique de l'objetrelativement au miroir plan[3],[4] est située à la distance derrière le miroir et
l'imagesera vue de l'individu s'il existe des rayons émergeant deaboutissant à l'œil c'est-à-dire
l'imagesera vue de l'individu si les éventuels points d'incidence et correspondant aux rayons émergents et
l'imagesera vue de l'individu si les éventuels points d'incidence sont effectivement sur le miroir plan ;
il en sera ainsi si «»[5] et
il en sera ainsi si «»[5] ;
on en déduit que : «» ou encore «» soit «».
On remarque que la taille minimale du miroir ne dépend pas de la distanceséparant l'individu de ce dernier, par contre
On remarque cette taille minimale n'est pas une condition suffisante pour que l'individu se voit entièrement dans le miroir,
On remarque cette taille minimale n'est pas une condition suffisante il faut encore que ce dernier soit bien positionné sur le mur ;
On remarque cette taille minimale n'est pas une condition suffisante si l'œil est situé à du sommet de la tête , on trouve «»[6] et
On remarque cette taille minimale n'est pas une condition suffisante si l'œil est situé à du sommet de la tête , on trouve «»[6] ;
en supposant que le miroir soit situé entre « et », un enfant dede haut reposant verticalement sur le sol voir schéma ci-contre
en supposant que le miroir soit situé entre « et », un enfant dont les yeux sont situés à du sommet de la tête
en supposant que le miroir soit situé entre « et », un enfant voit son visage car «» mais
en supposant que le miroir soit situé entre « et », un enfant ne voit pas le bas de son anatomie car «» ;
en supposant que le miroir soit situé entre « et », les parties de son corps que l'enfant peut voir par l'intermédiaire du miroir plan sont
en supposant que le miroir soit situé entre « et », les parties de son corps celles à une cote telle que «» ou
en supposant que le miroir soit situé entre « et », les parties de son corps celles à une cote «» soit
en supposant que le miroir soit situé entre « et », les parties de son corps celles à une cote «», c'est-à-dire à peu près ce qui est
en supposant que le miroir soit situé entre « et », les parties de son corps celles à une cote «», au-dessus du nombril.
Notes et références
[modifier | modifier le wikicode]- ↑ 1,0 et 1,1 Willebrord Snell Van Royen ou Snellius (1580 - 1626) humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes sans que ce soit assuré.
René Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique. - ↑ Voir le paragraphe « 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ 5,0 et 5,1 C'est une conséquence de l'application du théorème des milieux, cas particulier du théorème de Thalès en effet
«, et » sont alignés avec « milieu de » et
«, et » sont alignés avec « milieu de ».
Thalès de Milet (né vers 625-620 av J.-C. - mort vers 548-545 av J.-C.) considéré comme le 1er philosophe de la nature, scientifique et mathématicien grec, à qui on doit surtout des avancées en géométrie, comme les propriétés « tout diamètre de cercle partage ce dernier en deux parties égales » ou « l'égalité des angles de base d'un triangle isocèle » - ↑ 6,0 et 6,1 Nouvelle application du théorème des milieux, cas particulier du théorème de Thalès.
Thalès de Milet (né vers 625-620 av J.-C. - mort vers 548-545 av J.-C.) voir la note « 5 » plus haut dans cet exercice pour plus de détails.