Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques

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Définitions

Cosinus hyperbolique

Définition

On définit la fonction cosinus hyperbolique, notée cosh, par

${\begin{array}{ccccc}\cosh &:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\displaystyle {\frac {\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x}}{2}}.\end{array}}$

Remarque

L'axe des ordonnées (ou droite d'équation x = 0) est axe de symétrie de la fonction ou y(x) = y(-x) : la fonction cosinus hyperbolique est paire.

Sinus hyperbolique

Définition

On définit la fonction sinus hyperbolique, notée sinh, par

${\begin{array}{ccccc}\sinh &:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\displaystyle {\frac {\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x}}{2}}.\end{array}}$

Remarque

La courbe contient une symétrie centrale avec le point de coordonnées (0,0) ou y(-x) = -y(x) : la fonction sinus hyperbolique est impaire.

Tangente hyperbolique

Définition

On définit la fonction tangente hyperbolique, notée tanh, par

${\begin{array}{ccccc}\tanh &:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\displaystyle {\frac {\sinh x}{\cosh x}}.\end{array}}$

Remarque

La fonction tangente hyperbolique est impaire.

Propriétés

Somme et exponentielle

Somme et différence du cosinus hyperbolique et du sinus hyperbolique

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \cosh x+\sinh x=\operatorname {e} ^{x}{\text{ et }}\cosh x-\sinh x=\operatorname {e} ^{-x}$.

Démonstration

Vérifions la première identité (le calcul pour la seconde est analogue).

$\cosh x+\sinh x={\frac {\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x}}{2}}+{\frac {\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x}}{2}}={\frac {\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x}+\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x}}{2}}={\frac {2\operatorname {e} ^{x}}{2}}=\operatorname {e} ^{x}$.

 

Relation fondamentale

Début d’un théorème

Théorème

$\cosh ^{2}-\sinh ^{2}=1$.

Fin du théorème

Démonstration

$\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=(\cosh x+\sinh x)(\cosh x-\sinh x)=\operatorname {e} ^{x}\operatorname {e} ^{-x}=1$.

 

Cette relation possède une interprétation géométrique.

Dérivabilité

Propriété

Les fonctions $\cosh$, $\sinh$ et $\tanh$ sont dérivables sur $\mathbb {R}$ et :

• $\cosh '=\sinh$ ;
• $\sinh '=\cosh$ ;
• $\tanh '={\frac {1}{\cosh ^{2}}}=1-\tanh ^{2}$.

Variations

Propriété

• $\sinh$ est strictement croissante (sur $\mathbb {R}$).
• $\cosh$ est strictement décroissante sur $\mathbb {R} ^{-}$ et strictement croissante sur $\mathbb {R} ^{+}$.
• $\tanh$ est strictement croissante (sur $\mathbb {R}$).

Démonstration

Soit $x\in \mathbb {R}$

• Variations de $\sinh$ :
  • $\sinh 'x={\frac {\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x}}{2}}>0$ donc $\sinh$ est strictement croissante.
  • De plus, $\sinh 0=0$ donc $\sinh x$ est du signe de $x$ (au sens strict).
• Variations de $\cosh$ :
  • $\cosh 'x=\sinh x$ est du signe de $x$ au sens strict.
  • Donc $\cosh$ est strictement décroissante sur $\mathbb {R} ^{-}$ et strictement croissante sur $\mathbb {R} ^{+}$.
• Variations de $\tanh$ :
  • $\tanh 'x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}>0$ donc $\tanh$ est strictement croissante.

 

Limites

Limite en $-\infty$	Limite en $+\infty$
$\lim _{-\infty }\cosh =+\infty$	$\lim _{+\infty }\cosh =+\infty$
$\lim _{-\infty }\sinh =-\infty$	$\lim _{+\infty }\sinh =+\infty$
$\lim _{-\infty }\tanh =-1$	$\lim _{+\infty }\tanh =1$

Démonstration

En $+\infty$, $x\mapsto \operatorname {e} ^{-x}$ est dominée par $x\mapsto \operatorname {e} ^{x}$ donc $\sinh$ et $\cosh$ sont équivalentes à $x\mapsto {\frac {\operatorname {e} ^{x}}{2}}$. Donc elles tendent vers $+\infty$ et leur quotient, $\tanh$, tend vers $1$.

Les limites en $-\infty$ s'en déduisent, par parité de $\cosh$ et imparité de $\sinh$ et $\tanh$.

 

Comparaison avec la trigonométrie circulaire

On remarque une grande symétrie des définitions entre les fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques :

Trigonométrie circulaire	Trigonométrie hyperbolique
$\cos x={\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} x}+\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}$	$\cosh x={\frac {\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x}}{2}}$
$\sin x={\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} x}-\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2\mathrm {i} }}$	$\sinh x={\frac {\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x}}{2}}$
$\tan ={\frac {\sin }{\cos }}$	$\tanh ={\frac {\sinh }{\cosh }}$
$\cos ^{2}+\sin ^{2}=1$	$\cosh ^{2}-\sinh ^{2}=1$
$\cos '=-\sin$	$\cosh '=\sinh$
$\sin '=\cos$	$\sinh '=\cosh$
$\tan '={\frac {1}{\cos ^{2}}}=1+\tan ^{2}$	$\tanh '={\frac {1}{\cosh ^{2}}}=1-\tanh ^{2}$

On se demande alors s'il n'y aurait pas un moyen pratique facile de passer d'une trigonométrie à l'autre.

Début d’un principe

« Recette de cuisine »

On connaît une formule de trigonométrie circulaire et on aimerait trouver un équivalent en trigonométrie hyperbolique.

1. On écrit la formule en trigonométrie circulaire.
2. On remplace :
   • sin par i sinh, où i² = –1
   • cos par cosh
   • tan par i tanh

   Les i doivent se simplifier et l'on obtient la formule en trigonométrie hyperbolique.

3. On fait la preuve de la formule en utilisant les exponentielles, maintenant qu'on sait dans quelle direction faire le calcul.

Fin du principe

Début de l'exemple

Exemple

Soit $x\in \mathbb {R}$. On voudrait exprimer $\sinh(2x)$ en fonction de $\sinh x$ et $\cosh x$ :

1. $\sin(2x)=2\sin x\cos x$
2. On effectue les remplacements : i sinh(2x) = 2i sinhx coshx donc sinh(2x) = 2 sinhx coshx
3. On fait la preuve :

   ${\begin{aligned}2\sinh x\cosh x&=2{\frac {(\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x})}{2}}{\frac {(\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}(\operatorname {e} ^{2x}-\operatorname {e} ^{-2x})\\&=\sinh(2x).\end{aligned}}$

Fin de l'exemple

Lien avec la trigonométrie complexe

Les fonctions $\cos$, $\sin$, $\cosh$ et $\sinh$ sont définies (voir supra) à partir de la fonction exponentielle donc sont en fait, comme elle, définies non seulement sur $\mathbb {R}$ mais sur $\mathbb {C}$, et sont alors (par définition même) reliées par les formules suivantes :

Relations entre fonctions circulaires et fonctions hyperboliques

Pour tout nombre complexe $z$,

$\cos z=\cosh(\mathrm {i} z)\quad {\text{et}}\quad \mathrm {i} \sin z=\sinh(\mathrm {i} z)$

ou encore :

$\cosh z=\cos(\mathrm {i} z)\quad {\text{et}}\quad \sinh z=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} z).$

Démonstration

Les deux premières identités résultent directement des expressions de $\cos$, $\sin$, $\cosh$ et $\sinh$ en terme d'exponentielles. Les deux autres s'en déduisent par changement de variable : si $Z=\mathrm {i} z$ alors $z={\frac {1}{\mathrm {i} }}Z=-\mathrm {i} Z$ et les deux premières formules deviennent :

$\cosh Z=\cos(-\mathrm {i} Z)$ et $\sinh Z=\mathrm {i} \sin(-\mathrm {i} Z)$

donc par parité de $\cos$ et imparité de $\sin$ (sur $\mathbb {C}$ comme sur $\mathbb {R}$)

$\cosh Z=\cos(\mathrm {i} Z)$ et $\sinh Z=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} Z)$.

 

Ces relations expliquent et justifient la « recette de cuisine » de la section précédente et dispensent de sa troisième étape (« on fait la preuve »).