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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Trigonométrie hyperbolique : Fonctions hyperboliques
Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Remarque
L'axe des ordonnées (ou droite d'équation x = 0) est axe de symétrie de la fonction ou y(x) = y(-x) : la fonction cosinus hyperbolique est paire.
Remarque
La courbe contient une symétrie centrale avec le point de coordonnées (0,0) ou y(-x) = -y(x) : la fonction sinus hyperbolique est impaire.
Remarque
La fonction tangente hyperbolique est impaire.
Somme et différence du cosinus hyperbolique et du sinus hyperbolique
:

.
'Démonstration'
Vérifions la première identité (le calcul pour la seconde est analogue).
.
Début d’un théorème
Théorème
:

.
Fin du théorème
'Démonstration'
.
Cette relation possède une interprétation géométrique.
Propriété
Les fonctions

,

et

sont dérivables sur

et :
;
;
.
Propriété

est
paire ;
et

sont
impaires.
(Démonstration immédiate.)
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On remarque une grande symétrie des définitions entre les fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques :
Trigonométrie circulaire |
Trigonométrie hyperbolique
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On se demande alors s'il n'y aurait pas un moyen pratique facile de passer d'une trigonométrie à l'autre.
Début d’un principe
« Recette de cuisine »
On connaît une formule de trigonométrie circulaire et on aimerait trouver un équivalent en trigonométrie hyperbolique.
- On écrit la formule en trigonométrie circulaire.
- On remplace :
- sin par i sinh, où i2 = –1
- cos par cosh
- tan par i tanh
- Les i doivent se simplifier et l'on obtient la formule en trigonométrie hyperbolique.
- On fait la preuve de la formule en utilisant les exponentielles, maintenant qu'on sait dans quelle direction faire le calcul.
Fin du principe
Début de l'exemple
Exemple
Soit

. On voudrait exprimer

en fonction de

et

:

- On effectue les remplacements : i sinh(2x) = 2i sinhx coshx donc sinh(2x) = 2 sinhx coshx
- On fait la preuve :

Fin de l'exemple
Les fonctions
,
,
et
sont définies (voir supra) à partir de la fonction exponentielle donc sont en fait, comme elle, définies non seulement sur
mais sur
, et sont alors (par définition même) reliées par les formules suivantes :
Relations entre fonctions circulaires et fonctions hyperboliques
Pour tout nombre complexe

,

ou encore :

Ces relations expliquent et justifient la « recette de cuisine » de la section précédente et dispensent de sa troisième étape (« on fait la preuve »).