Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques

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Fonctions hyperboliques

Chapitre no1
Leçon : Trigonométrie hyperbolique
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Définitions

Cosinus hyperbolique

Définition

On définit la fonction cosinus hyperbolique, notée ch par

${\begin{array}{ccccc}\mathrm {ch} &:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\displaystyle {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\end{array}}$${\begin{array}{ccccc}\mathrm {ch} &:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\displaystyle {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\end{array}}$

Remarque

L'axe des ordonnées (ou droite d'équation x=0) est axe de symétrie de la fonction ou y(x) = y(-x) : la fonction cosinus hyperbolique est paire

Sinus hyperbolique

Définition

On définit la fonction sinus hyperbolique, notée sh par

${\begin{array}{ccccc}\mathrm {sh} &:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\displaystyle {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\end{array}}$${\begin{array}{ccccc}\mathrm {sh} &:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\displaystyle {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\end{array}}$

Remarque

La courbe contient une symétrie centrale avec le point de coordonnées (0;0) ou y(-x) = -y(x) : la fonction sinus hyperbolique est impaire.

Tangente hyperbolique

Définition

On définit la fonction tangente hyperbolique, notée th par

${\begin{array}{ccccc}\mathrm {th} &:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\displaystyle {\frac {\mathrm {sh} (x)}{\mathrm {ch} (x)}}\end{array}}$${\begin{array}{ccccc}\mathrm {th} &:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\displaystyle {\frac {\mathrm {sh} (x)}{\mathrm {ch} (x)}}\end{array}}$

Remarque

La fonction tangente hyperbolique est impaire.

Propriétés

Relation fondamentale

Début d’un théorème

Théorème

$\mathrm {ch} ^{2}-\mathrm {sh} ^{2}=~1$$\mathrm {ch} ^{2}-\mathrm {sh} ^{2}=~1$

Cette relation permet une interprétation géométrique.

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Soit $x\in \mathbb {R}$$x\in \mathbb{R}$.

${\begin{aligned}\mathrm {ch} ^{2}(x)-\mathrm {sh} ^{2}(x)&=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {1}{4}}(e^{2x}+2+e^{-2x})-{\frac {1}{4}}(e^{2x}-2+e^{-2x})\\&=1\end{aligned}}$${\begin{aligned}\mathrm {ch} ^{2}(x)-\mathrm {sh} ^{2}(x)&=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {1}{4}}(e^{2x}+2+e^{-2x})-{\frac {1}{4}}(e^{2x}-2+e^{-2x})\\&=1\end{aligned}}$

Fin de la démonstration

Somme et exponentielle

On a : $\forall x\in \mathbb {R} ,\,\mathrm {ch} (x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}},\,\mathrm {sh} (x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$$\forall x\in \mathbb {R} ,\,\mathrm {ch} (x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}},\,\mathrm {sh} (x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$.

D'où : $\mathrm {ch} (x)+\mathrm {sh} (x)={\frac {e^{x}+e^{-x}+e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {1}{2}}2e^{x}=e^{x}$$\mathrm {ch} (x)+\mathrm {sh} (x)={\frac {e^{x}+e^{-x}+e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {1}{2}}2e^{x}=e^{x}$.

Somme du cosinus hyperbolique et du sinus hyperbolique

$\forall x\in \mathbb {R} ,~e^{x}=\mathrm {ch} (x)+\mathrm {sh} (x)$$\forall x\in \mathbb {R} ,~e^{x}=\mathrm {ch} (x)+\mathrm {sh} (x)$.

Dérivabilité

Propriété

Les fonctions ch, sh et th sont dérivables sur $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ et :

• $\mathrm {ch} '=\mathrm {sh}$$\mathrm {ch} '=\mathrm {sh}$
• $\mathrm {sh} '=\mathrm {ch}$$\mathrm {sh} '=\mathrm {ch}$
• $\mathrm {th} '={\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}}}=1-\mathrm {th} ^{2}$$\mathrm {th} '={\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}}}=1-\mathrm {th} ^{2}$

Variations

Propriété

• sh est strictement croissante sur $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$.
• ch est strictement croissante sur $\mathbb {R} ^{+}$$\R^+$ et strictement décroissante sur $\mathbb {R} ^{-}$$\mathbb {R} ^{-}$.
• th est strictement croissante sur $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$.

Début d'une démonstration

Démonstration

Soit $x\in \mathbb {R}$$x\in \mathbb{R}$

• Variations de sh :
  • $\mathrm {sh} '(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}>0$$\mathrm {sh} '(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}>0$ donc sh est strictement croissante sur $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$
• Variations de ch :
  • $\mathrm {ch} '(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$$\mathrm {ch} '(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$
  • ${\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\geq 0\Leftrightarrow e^{x}\geq e^{-x}\Leftrightarrow x\geq -x\Leftrightarrow x\geq 0$${\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\geq 0\Leftrightarrow e^{x}\geq e^{-x}\Leftrightarrow x\geq -x\Leftrightarrow x\geq 0$
  • De plus, ${\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=0\Leftrightarrow x=0$${\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=0\Leftrightarrow x=0$
  • Donc ch est strictement décroissante sur $\mathbb {R} ^{-}$$\mathbb {R} ^{-}$ et strictement croissante sur $\mathbb {R} ^{+}$$\R^+$
• Variations de th :
  • $\mathrm {th} '(x)={\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}(x)}}$$\mathrm {th} '(x)={\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}(x)}}$ et ch>0 donc th est strictement croissante sur $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$

Fin de la démonstration

Limites

Limite en $-\infty$$-\infty$	Limite en $+\infty$$+\infty$
$\lim _{x\rightarrow -\infty }\mathrm {ch} (x)=+\infty$$\lim _{x\rightarrow -\infty }\mathrm {ch} (x)=+\infty$	$\lim _{x\rightarrow +\infty }\mathrm {ch} (x)=+\infty$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\mathrm {ch} (x)=+\infty$
$\lim _{x\rightarrow -\infty }\mathrm {sh} (x)=-\infty$$\lim _{x\rightarrow -\infty }\mathrm {sh} (x)=-\infty$	$\lim _{x\rightarrow +\infty }\mathrm {sh} (x)=+\infty$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\mathrm {sh} (x)=+\infty$
$\lim _{x\rightarrow -\infty }\mathrm {th} (x)=-1$$\lim _{x\rightarrow -\infty }\mathrm {th} (x)=-1$	$\lim _{x\rightarrow +\infty }\mathrm {th} (x)=1$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\mathrm {th} (x)=1$

Début d'une démonstration

Démonstration

Soit $x\in \mathbb {R}$$x\in \mathbb{R}$

${\begin{aligned}\mathrm {th} (x)&={\frac {\mathrm {sh} (x)}{\mathrm {ch} (x)}}\\&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}&={\frac {e^{x}(1-e^{-2x})}{e^{x}(1+e^{-2x})}}&={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}\end{aligned}}$${\begin{aligned}\mathrm {th} (x)&={\frac {\mathrm {sh} (x)}{\mathrm {ch} (x)}}\\&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}&={\frac {e^{x}(1-e^{-2x})}{e^{x}(1+e^{-2x})}}&={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}\end{aligned}}$

On en déduit alors facilement $\lim _{x\rightarrow +\infty }\mathrm {th} (x)=1$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\mathrm {th} (x)=1$.

Par imparité de la fonction th, on a $\lim _{x\rightarrow -\infty }\mathrm {th} (x)=-1$$\lim _{x\rightarrow -\infty }\mathrm {th} (x)=-1$.

Fin de la démonstration

Comparaison avec la trigonométrie circulaire

On remarque une grande symétrie des définitions entre les fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques :

Trigonométrie circulaire	Trigonométrie hyperbolique
$\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$$\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$	$\mathrm {ch} (x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$$\mathrm {ch} (x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$
$\sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$$\sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$	$\mathrm {sh} (x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$$\mathrm {sh} (x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$
$\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$$\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$	$\mathrm {th} (x)={\frac {\mathrm {sh} (x)}{\mathrm {ch} (x)}}$$\mathrm {th} (x)={\frac {\mathrm {sh} (x)}{\mathrm {ch} (x)}}$
$\cos ^{2}+\sin ^{2}=~1$$\cos ^{2}+\sin ^{2}=~1$	$\mathrm {ch} ^{2}-\mathrm {sh} ^{2}=~1$$\mathrm {ch} ^{2}-\mathrm {sh} ^{2}=~1$
$\cos '=-\sin$$\cos '=-\sin$	$\mathrm {ch} '=\mathrm {sh}$$\mathrm {ch} '=\mathrm {sh}$
$\sin '=\cos$$\sin '=\cos$	$\mathrm {sh} '=\mathrm {ch}$$\mathrm {sh} '=\mathrm {ch}$
$\tan '={\frac {1}{\cos ^{2}}}=1+\tan ^{2}$$\tan '={\frac {1}{\cos ^{2}}}=1+\tan ^{2}$	$\mathrm {th} '={\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}}}=1-\mathrm {th} ^{2}$$\mathrm {th} '={\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}}}=1-\mathrm {th} ^{2}$

On se demande alors s'il n'y aurait pas un moyen pratique facile de passer d'une trigonométrie à l'autre.

Début d’un principe

« Recette de cuisine »

On connaît une formule de trigonométrie circulaire et on aimerait trouver un équivalent en trigonométrie hyperbolique.

• On écrit la formule en trigonométrie circulaire.
• On remplace :
  • sin par i sh, où i²=-1
  • cos par ch
  • tan par i th
• Les i doivent se simplifier et on obtient la formule en trigonométrie hyperbolique.
• On fait la preuve de la formule en utilisant les exponentielles maintenant qu'on sait dans quelle direction faire le calcul.

Fin du principe

Début de l'exemple

Exemple

Soit $x\in \mathbb {R}$$x\in \mathbb{R}$. On voudrait exprimer sh(2x) en fonction de sh(x) et ch(x):

• sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
• On effectue les remplacements : i sh(2x) = 2i sh(x) ch(x) donc sh(2x) = 2 sh(x) ch(x)
• On fait la preuve :

${\begin{aligned}2\mathrm {sh} (x)\mathrm {ch} (x)&=2{\frac {(e^{x}-e^{-x})}{2}}{\frac {(e^{x}+e^{-x})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}(e^{2x}-e^{-2x})\\&=\mathrm {sh} (2x)\end{aligned}}$${\begin{aligned}2\mathrm {sh} (x)\mathrm {ch} (x)&=2{\frac {(e^{x}-e^{-x})}{2}}{\frac {(e^{x}+e^{-x})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}(e^{2x}-e^{-2x})\\&=\mathrm {sh} (2x)\end{aligned}}$

Fin de l'exemple

Lien avec la trigonométrie complexe

On sait d’après la formule d'Euler que $\forall x\in \mathbb {R} ,~e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$$\forall x\in \mathbb {R} ,~e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$.
En substituant $x$$x$ par $-ix$$-ix$, on obtient : $e^{-i^{2}x}=\cos(-ix)+i\sin(-ix)\Leftrightarrow e^{x}=\cos(ix)-i\sin(ix)$$e^{-i^{2}x}=\cos(-ix)+i\sin(-ix)\Leftrightarrow e^{x}=\cos(ix)-i\sin(ix)$, cos et sin étant respectivement paire et impaire.

Avec la formule de la somme du cosinus hyperbolique et du sinus hyperbolique qui est égale à l'exponentielle, on retrouve facilement les formules suivantes :

Fonctions trigonométriques hyperboliques et complexes

Pour tout x réel, on a :

• $\mathrm {ch} (x)=\cos(ix)$$\mathrm {ch} (x)=\cos(ix)$
• et $\mathrm {sh} (x)=-i\sin(ix)$$\mathrm {sh} (x)=-i\sin(ix)$.

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