Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues

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Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues
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Chapitre no 3
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Équations différentielles
Chap. suiv. :Différentielle d'une fonction d'une variable
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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues
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     On se propose de résoudre un système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues sans et avec second membre.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Résolution d'un système homogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues[modifier | modifier le wikicode]

     Soit à résoudre sont des constantes réelles non nulles, et étant les variables réelles à déterminer :

Solution triviale[modifier | modifier le wikicode]

     Nous avons une première solution qualifiée de « triviale » ;
          est-elle unique ?

          Si non, à quelle condition sur existe-t-il des solutions non triviales ?

Condition d'existence de solutions non triviales[modifier | modifier le wikicode]

     Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, par exemple avec , on a nécessairement comme solution de la 2ème équation, et par suite :

  • si , comme solution de la première équation et
  • si , toutes valeurs de est solution de la première équation ;

          en première conclusion, si un seul des cœfficients d'une équation est nul par exemple la condition d'existence de solutions non triviales est la nullité du cœfficient correspondant à ce cœfficient nul dans l'autre équation sur l'exemple .

          Si les deux cœfficients d'une équation sont nuls, par exemple avec , cela supprime cette équation et dans la mesure où il ne reste qu'une équation algébrique linéaire à deux inconnues, on conclut à l'existence de solutions non triviales de cette équation.

     Dans le cas où aucun cœfficient n'est nul, il faut que les deux équations soient « liées » c.-à-d. que l'une soit égale à l'autre à un facteur multiplicatif près, ce qui donne la condition ou encore .

Obtention des solutions non triviales[modifier | modifier le wikicode]

     Nous supposons donc  :

  • si et , il reste à résoudre dans laquelle il y a au moins un cœfficient non nul [3] d'où si les solutions non triviales sont ,
  • si et , il reste à résoudre [4] dans laquelle il y a au moins un cœfficient non nul [3] impliquant la solution triviale d'où les solutions non triviales du système ,
  • si aucun des cœfficients n'est nul, les deux équations étant liées il ne reste à résoudre que l'une d'entre elles, par exemple de solutions non triviales .

Résolution d'un système hétérogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues[modifier | modifier le wikicode]

     Soit à résoudre le système hétérogène de deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles et  : , étant des cœfficients réels, étant les seconds membres réels dont l'un au moins est non nul [1] ; il y a au moins trois méthodes de résolution :

  • méthode par substitution [5],
  • méthode par combinaison [6] et
  • méthode par comparaison (graphique) [7].

Résolution par substitution[modifier | modifier le wikicode]

     Cette méthode consiste à isoler l'une des inconnues des deux équations, puis à remplacer son expression dans l'équation qui n'a pas été utilisée par exemple :

  • si , on tire de la 1re équation que l'on reporte dans la 2ème équation , laquelle peut être réécrite selon  ;
          si et [8], il n'y a aucune solution réelle finie ;
          si et [9], il y a une infinité de solutions  ;
          si , il y a une solution unique avec et que l'on peut simplifier selon soit finalement  ;


  • si , la 1re équation se réécrivant et la 2ème restant , on est conduit à la discussion suivante :

          si et [10], il n'y a aucune solution réelle finie ;
          si et [11], il y a une infinité de solutions  ;
          si [12], il y a une solution unique avec et [13] que l'on peut simplifier selon soit finalement .

Résolution par combinaison (linéaire)[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque préliminaire : Si au moins un des cœfficients , , ou est nul, il est alors préférable de faire une résolution par substitution, le cœfficient nul jouant le rôle du cœfficient dans l'exposé de la méthode du paragraphe précédent ;

     Remarque préliminaire : pour la suite nous supposerons donc qu'aucun des cœfficients , , et n'est nul.

     Cette méthode consiste à multiplier les deux membres d'une équation par un même nombre de façon à avoir le même coefficient devant ou devant on obtient ainsi un système équivalent puis à conserver une des équations de et à remplacer l'autre par l'équation obtenue en soustrayant membre à membre les deux équations de dans le but d'éliminer ou devant et avoir, pour cette dernière équation, une équation à une inconnue ou , que l'on sait résoudre ;

     par report de la valeur de ou de dans l'équation non modifiée de , on trouve la valeur de l'autre inconnue ou  ;

     appliquée au système on obtient :

  • en conservant la 1re équation et en remplaçant la 2ème par elle-même multipliée par de façon à avoir le même cœfficient de que la 1re on obtient ou encore,dans le but d'éliminer les fractions,
    en remplaçant la 1re équation par elle-même multipliée par et la 2ème par elle-même multipliée par toujours de façon à avoir le même cœfficient de dans les deux équations soit ,
  • puis en conservant la 1re équation de ou en la remplaçant par la 1re équation initiale [14] et en remplaçant la 2ème équation de par la différence de ses deux équations soit  ;
          si et [8], il n'y a aucune solution réelle finie ;
          si et [9], il y a une infinité de solutions  ;
          si , il y a une solution unique avec [15] et que l'on peut simplifier selon [16] soit finalement .

Résolution par comparaison (graphique)[modifier | modifier le wikicode]

     Cette méthode consiste à extraire la même inconnue des deux équations en fonction de l'autre inconnue par exemple elle se fait en exprimant « en fonction de [17] » ou « en fonction de [18] », puis en traçant sur un même graphique les deux représentations de « en fonction de » ou de « en fonction de » ; suivant que les deux droites sont :

  • parallèles, il n'y a aucune solution,
  • confondues, il y a infinité de solutions correspondant aux coordonnées du point générique de la droite commune et
  • sécantes, il y a une solution unique correspondant aux coordonnées du point d'intersection des deux droites.

     Pour la suite nous supposerons et ce qui permettra d'extraire des deux équations « en fonction de ».

     Pour extraire « en fonction de » des deux équations on multiplie les deux membres de la 1re équation par et les deux membres de la 2ème équation par soit [19], puis on trace, dans un même repère , la droite d'équation et la droite d'équation  :

  • si et si , les deux droites sont parallèles et le système n'a aucune solution,
  • si et si , les deux droites sont confondues et le système a une infinité de solutions s'écrivant selon [20] et
  • si , les deux droites sont sécantes, l'abscisse du point d'intersection obéissant à soit encore ou d'où et l'ordonnée du point d'intersection s'écrit soit la solution unique .

Interprétation matricielle[modifier | modifier le wikicode]

     Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles «» dans lequel peut être réécrit de façon plus compacte sous la forme matricielle [21] suivante dans laquelle

  • [22] c.-à-d. une matrice carrée de dimension ou taille appelée « matrice des cœfficients du système » [23],
  • [24] c.-à-d. une matrice colonne de dimension ou taille appelée « matrice colonne des inconnues »,
  • [24] c.-à-d. une matrice colonne de dimension ou taille appelée « matrice colonne des 2nds membres » et enfin
  • l'opération « multiplication matricielle » [25] ;

     la résolution de l'équation matricielle nécessite de discuter suivant la valeur du déterminant de la « matrice des cœfficients du système » [23], [26] [27].

Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est non nul[modifier | modifier le wikicode]

     Si est , la « matrice des cœfficients du système » [23] est inversible c.-à-d. qu'il existe une matrice carrée notée de même dimension ou taille telle que son produit matriciel à droite ou à gauche avec la matrice donnée [25] est la matrice identité de même dimension ou taille [22] soit [28].

     Détermination de la matrice inverse des cœfficients du système  : soit à déterminer telle que d'où .

     Résolution de l'équation matricielle  : on multiplie de part et d'autre à gauche l'équation matricielle par et on obtient

la solution matricielle ,

     Résolution de l'équation matricielle en effet [29] soit finalement le résultat compte-tenu de .
     Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues  : pour cela on développe le produit matriciel du membre de droite soit soit finalement

la solution unique et  ;
ces résultats suivent la « règle de Cramer » [30], [31].

Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est nul[modifier | modifier le wikicode]

     Si , la « matrice des cœfficients du système » [23] n'est pas inversible de même dimension ou taille que telle que ou , ceci mettant en défaut l'unicité de la solution en cas d'existence et même l'existence de cette dernière ;

     en réécrivant, en terme de déterminant, la discussion exposée dans le paragraphe « résolution par comparaison (graphique) [dans le cas α δ = γ β] » plus haut dans ce chapitre, on peut affirmer :

  • si et si [32], il n'y a aucune solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues et
  • si et si [33], il y a une infinité de solutions du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues s'écrivant, si , selon [34].

Généralisation à un système de n équations algébriques linéaires à n inconnues (avec n entier naturel supérieur ou égal à trois)[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Généralisation des méthodes de résolution des systèmes de 2 équations algébriques linéaires à 2 inconnues aux systèmes de n équations algébriques linéaires à n inconnues avec « n > 2 »[modifier | modifier le wikicode]

     La généralisation des méthodes de résolution « par substitution » ou « par combinaison linéaire » exposées pour un système de équations algébriques linéaires à inconnues est possible, sachant néanmoins que l'application est rendue d'autant plus difficile que est grand.

Résolution par substitution[modifier | modifier le wikicode]

     Cette méthode consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des équations, puis à remplacer son expression dans les équations qui n'ont pas été utilisées, on aboutit ainsi à un système de équations algébriques linéaires à inconnues puis

     on itère la méthode jusqu'à obtenir un système de équations algébriques linéaires à inconnues

Résolution par combinaison linéaire[modifier | modifier le wikicode]

     Cette méthode consiste à conserver une équation dans laquelle l'apparition d'une des inconnues par exemple est effective cette équation conservée étant, par exemple, et de remplacer chaque équation par une combinaison linéaire de et dans laquelle est éliminée, on obtient ainsi équations dans lesquelles n'apparaît pas et une dernière équation où figure, c.-à-d., à l'exception de la dernière équation, un système de équations algébriques linéaires à équations puis

     on itère la méthode jusqu'à obtenir un système de équations algébriques linéaires à inconnues

Commentaires[modifier | modifier le wikicode]

     Si les méthodes « par substitution » ou « par combinaison linéaire » ne posent aucune difficulté théorique, elles peuvent être néanmoins très laborieuses dans la pratique et il convient de ne pas faire les substitutions ou combinaisons linéaires au hasard

Interprétation matricielle[modifier | modifier le wikicode]

     Le système des équations algébriques linéaires aux inconnues réelles , «» dans lequel et peut être réécrit de façon plus compacte sous la forme matricielle [21] suivante

dans laquelle
  • [22] c.-à-d. une matrice carrée de dimension ou taille appelée « matrice des cœfficients du système » [23],
  • [24] c.-à-d. une matrice colonne de dimension ou taille appelée « matrice colonne des inconnues »,
  • [24] c.-à-d. une matrice colonne de dimension ou taille appelée « matrice colonne des 2nds membres » et
  • l'opération « multiplication matricielle » [25] ;

     la résolution de l'équation matricielle nécessite de discuter suivant la valeur du déterminant de la « matrice des cœfficients du système » [23], [26] [27].

Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est non nul[modifier | modifier le wikicode]

     Si est , la « matrice des cœfficients du système » [23] est inversible c.-à-d. qu'il existe une matrice carrée notée de même dimension ou taille telle que son produit matriciel à droite ou à gauche avec la matrice donnée [25] est la matrice identité de même dimension ou taille [22] soit [35].

     Résolution de l'équation matricielle  : supposant la matrice inverse de la « matrice des cœfficients du système » [23] déterminée c.-à-d. connue, on multiplie de part et d'autre à gauche l'équation matricielle par et on obtient

la solution matricielle ,

       Résolution de l'équation matricielle en effet [29] soit finalement le résultat compte-tenu de .

Détermination de la matrice inverse de la matrice des cœfficients du système[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : cette méthode est exposée dans le paragraphe « formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les connaissances utiles étant rappelées ci-dessous :

Rappel sur la notion de comatrice d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

     Soit la matrice carrée de dimension ou taille , nous avons défini la comatrice de , notée , comme la matrice de ses cofacteurs [36], le cofacteur d'indice de la matrice étant le scalaire [36] dans laquelle
      est la matrice carrée de dimension ou taille déduite de en remplaçant la jème colonne par une colonne constituée uniquement de à l'exception du cœfficient de la ième ligne remplacé par soit et
      est la sous-matrice carrée de dimension ou taille déduite de en supprimant la ième ligne et la jème colonne soit , définissant un mineur de .

Explicitation de la formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

     Appelant « matrice complémentaire de » la matrice transposée [37] de la comatrice c.-à-d. , la formule de Laplace [38] de détermination de l'inverse de la matrice carrée formule admise s'écrit selon

.
Explicitation de la solution du système des n équations algébriques linéaires aux n inconnues à l'aide de la règle de Cramer[modifier | modifier le wikicode]

     Explicitation de la solution du système des n équations algébriques linéaires aux n inconnues  : pour cela on développe le produit matriciel du membre de droite soit, en explicitant la matrice complémentaire de , soit dans laquelle le numérateur somme dont il est aisé de vérifier qu'elle peut s'écrire selon le déterminant c.-à-d. le déterminant de la matrice dans laquelle la ième colonne est remplacée par la colonne des 2nds membres, matrice que nous noterons soit finalement

la solution unique  ;
ces résultats suivent la « règle de Cramer » [30], [31].
Exemple d'un système hétérogène de 3 équations algébriques linéaires aux 3 inconnues (x, y, z) dont le déterminant de la matrice des cœfficients du système est non nul (système dit de Cramer)[modifier | modifier le wikicode]

     Soit le système des équations algébriques linéaires aux inconnues réelles , , ce système s'écrit sous forme matricielle dans laquelle

  • [22] est la « matrice des cœfficients du système » [23], matrice carrée de dimension ou taille ,
  • [24] la « matrice colonne des inconnues », matrice de dimension ou taille ,
  • [24] la « matrice colonne des 2nds membres », matrice de dimension ou taille et
  • l'opération « multiplication matricielle » [25] ;

     on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer [30] c.-à-d. tel que est , en effet le calcul de donne  ;

     la matrice étant donc inversible, la solution de l'équation matricielle est unique et peut s'obtenir par

apparente simplicité mais il reste à calculer dans laquelle

      est la matrice inverse de la « matrice des cœfficients du système » [23] par utilisation de formule de Laplace [38] nous obtenons [39] d'où la solution en développant le produit matriciel mais cette méthode restant un peu laborieuse à cause du calcul de la matrice inverse il semble préférable d'utiliser la règle de Cramer [30]

     le système étant de Cramer [30], la solution de l'équation matricielle est unique et peut être obtenue par règle de Cramer [30] soit :

  • ,
  • et
  • .

Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est nul[modifier | modifier le wikicode]

     Si , la « matrice des cœfficients du système » [23] n'est pas inversible de même dimension ou taille que telle que ou , ceci mettant en défaut l'unicité de la solution en cas d'existence et même l'existence de cette dernière.

Généralités (admises) sur l'existence de solutions dans le cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est nul[modifier | modifier le wikicode]
  • Si le déterminant d'une des matrices c.-à-d. la matrice dans laquelle la jème colonne est remplacée par celle des 2nds membres est non nul, il n'y a pas de solution au système des équations algébriques linéaires aux inconnues ;
  • si les déterminants de toutes les matrices c.-à-d. la matrice dans laquelle la jème colonne est remplacée par celle des 2nds membres sont nuls, il existe le plus souvent une infinité de solutions mais dans certains il n'en existe aucune suivant le théorème de Rouché-Fontené [40], [41] :
         la « matrice des cœfficients du système » [23] étant de rang [42], [43], si la matrice augmentée [44] est de rang [42] égal à celui de la matrice [45], il y a une infinité de solutions formant un sous-espace affine de de dimension et
         la « matrice des cœfficients du système » [23] étant de rang [42], [43], si la matrice augmentée [44] est de rang [42] supérieur à celui de la matrice [45], il n'y a aucune solution [46].
Exemple d'un système hétérogène de 3 équations algébriques linéaires aux 3 inconnues (x, y, z) dont le déterminant de la matrice des cœfficients du système est nul[modifier | modifier le wikicode]

     1er exemple : soit le système des équations algébriques linéaires aux inconnues réelles , , ce système s'écrit sous forme matricielle dans laquelle

  • [22] est la « matrice des cœfficients du système » [23], matrice carrée de dimension ou taille ,
  • [24] la « matrice colonne des inconnues », matrice de dimension ou taille ,
  • [24] la « matrice colonne des 2nds membres », matrice de dimension ou taille et
  • l'opération « multiplication matricielle » [25] ;

     1er exemple : on vérifie tout d'abord que le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » [23] est , en effet le calcul de donne  ;

     1er exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice c.-à-d. la matrice dans laquelle la jème colonne est remplacée par celle des 2nds membres est nul, en effet , et  ;

     1er exemple : la matrice n'étant pas inversible, on détermine son rang [42] soit en remarquant que les colonnes et sont indépendantes l'une de l'autre de façon évidente et que la colonne  ;

     1er exemple : la matrice augmentée [44] s'écrivant , on détermine son rang [42] en recherchant si la colonne est une combinaison linéaire ou non des colonnes et [47], or la colonne étant , on en déduit que le rang [42] de la matrice augmentée [44] vaut égal au rang de la matrice et par suite

     1er exemple : il existe une infinité de solutions formant un sous-espace affine de l'espace affine de de dimension le sous-espace affine contient le point de coordonnées et a pour direction [48] le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur de matrice coordonnées correspondant à la colonne de la matrice , soit et .

     2ème exemple : soit le système des équations algébriques linéaires aux inconnues réelles , , ce système s'écrit sous forme matricielle dans laquelle seule la « matrice colonne des 2nds membres », matrice de dimension ou taille est modifiée par rapport à l'exemple précédent avec [24] ;

     2ème exemple : le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » [23] est donc  ;

     2ème exemple : on vérifie qu'il y a au moins un déterminant des matrices c.-à-d. des matrices dans lesquelles la jème colonne est remplacée par celle des 2nds membres qui est non nul, en effet , cette propriété est d'ailleurs vraie pour toutes les matrices car et