Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Discontinuité de première ou deuxième espèces d'une fonction scalaire d'une variable

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Discontinuité de première ou deuxième espèces d'une fonction scalaire d'une variable
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Chapitre no 21
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. : Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie
Chap. suiv. : Portrait de phase d'un système dynamique
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Sommaire

Notion d'échelon d'amplitude A, discontinuité de 1ère espèce[modifier | modifier le wikicode]

Variation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K[modifier | modifier le wikicode]

Tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K, modélisation en échelon de tension d'amplitude E

......Soit la tension aux bornes de l'association série «~interrupteur et source de tension parfaite de f.e.m. ~», étant dans l'état suivant dans lequel est la durée de fermeture de l'interrupteur [1] ;

......pendant la petite durée que dure la fermeture de , varie de façon continue et très rapidement de à [2], voir diagramme horaire ci-contre (en rouge sur le schéma).

Modélisation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en échelon de tension d'amplitude E[modifier | modifier le wikicode]

......On modélise la tension précédente, en faisant tendre vers , en une fonction , discontinue en , appelée «~échelon de tension d'amplitude E~» définie selon

, voir diagramme horaire ci-dessus (en bleu sur le schéma) ;

......cet échelon de tension d'amplitude a donc une discontinuité en correspondant au saut fini .

Discontinuité de 1ère espèce de l'échelon de tension d'amplitude E[modifier | modifier le wikicode]

......L'échelon de tension d'amplitude est discontinu de 1ère espèce en car il est continu à gauche et à droite de avec des limites finies distinctes soit

 ;

......on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de l'échelon de tension en par son saut (fini) à la traversée de défini par

égal à l'amplitude de l'échelon.

Échelon décentré de tension d'amplitude E[modifier | modifier le wikicode]

......L'échelon de tension centré sur l'instant d'amplitude noté est défini, par rapport à l'échelon de tension de même amplitude en faisant un changement d'origine des temps selon

,
il est donc discontinu de 1ère espèce en car il est continu à gauche et à droite de avec des limites finies distinctes soit
 ;

......on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de l'échelon décentrée de tension en par son saut (fini) à la traversée de défini par

égal à l'amplitude de l'échelon.

Discontinuité de 1ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière[modifier | modifier le wikicode]

Exemple de graphe d'une fonction f(x) discontinue de 1ère espèce en x = x0

......Soit une fonction scalaire réelle d'une variable réelle continue sur les intervalles et avec [3], nous disons que la fonction est discontinue de 1ère espèce en

si est continue à gauche et à droite de sans l'être en c.-à-d.
si [4] ;

......on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de la fonction en par son saut (fini) à la traversée de défini par

[5].

Échelon unité (ou fonction d'Heaviside)[modifier | modifier le wikicode]

......L'«~échelon unité [6] ou fonction d'Heaviside [7]~» est défini par

,
il est discontinu de 1ère espèce en t = 0,
le saut fini à cet instant étant .

......Remarques : On peut considérer l'échelon unité comme limite, quand , de la fonction dans laquelle représente la durée de variation continue et très rapide de la fonction de à [8]

......Remarques : On peut bien sûr définir un échelon unité décentré (ou fonction d'Heaviside décentrée) selon

,
il est discontinu de 1ère espèce en t = t0,
le saut fini à cet instant étant .

......Réécriture d'un échelon de tension d'amplitude fixée à l'aide de la fonction d'Heaviside : soit un échelon de tension d'amplitude , nous pouvons le réécrire sous la forme

[9].

Exemples d'échelon dans d'autres domaines que l'électricité[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une grandeur permanente que l'on impose à partir de l'instant , cela revient à créer un échelon de la grandeur d'amplitude défini selon .

......Exemples de mécanique : on cherche à pousser un véhicule tombé en panne à l’aide d'une force horizontale permanente , l'instant de début de la poussée étant choisi comme instant initial, cela revient donc à créer un échelon de force d'amplitude défini selon ou, en projetant sur , un échelon de composante horizontale de force d'amplitude défini selon .

......Exemples de mécanique : Il existe aussi des cas où une force non permanente existe à partir d'un instant particulier que nous supposerons choisi comme instant initial, dans ces conditions on pourrait utiliser la fonction d'Heaviside [10] pour exprimer que cette force est nulle avant l'instant bien que ce ne soit pas un échelon de force qui soit créé, cela donnerait comme l'exemple

......Exemples de mécanique : d'un corps chutant et rencontrant le sol à l'instant considéré comme initial qui subit, à partir de cet instant, la réaction du sol , laquelle pourrait être réécrite [10] sous la forme .

......Bien sûr on pourrait trouver des exemples d'échelon dans pratiquement tous les domaines de la physique ainsi que d'autres exemples dans le domaine électrique

« Dérivée première » d'un échelon d'amplitude A, pic de Dirac et discontinuité de 2ème espèce[modifier | modifier le wikicode]

Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K[modifier | modifier le wikicode]

Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K, modélisation en pic de Dirac [11] d'impulsion E

......À partir de la tension aux bornes de l'association série «~interrupteur et source de tension parfaite de f.e.m. lors de la fermeture de ~» dans laquelle représente la durée de la variation continue, très rapide et supposée dérivable de la fonction de à [12], on obtient la dérivée temporelle (voir le diagramme horaire ci-dessus en rouge).

Propriétés de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K[modifier | modifier le wikicode]

......L'aire de la surface comprise entre le «~pic de et l'axe des temps~» [13] se définissant par [14] se réécrit, compte-tenu de la nullité de la fonction sur les intervalles et , selon ce qui s'intègre simplement en soit finalement

l'«~aire sous le pic de ~» valant quelle que soit la durée de variation de .

Modélisation de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en pic de Dirac de tension d'impulsion E[modifier | modifier le wikicode]

......De même que l'on modélise en un échelon de tension d'amplitude en faisant tendre vers , obtenant ainsi une nouvelle fonction continue et dérivable à l'exception de l'instant de fermeture de l'interrupteur, on cherche à
......De même que l'on modéliser en faisant tendre vers , ce qui, ayant pour conséquence une limite infinie à l'instant de fermeture de l'interrupteur [15], conduirait à une fonction nulle partout à l'exception de où cette fonction ne pourrait être définie car ayant une limite infinie ;
......De même que l'on de plus, en modélisant par la fonction nulle partout à l'exception de où elle ne serait pas définie, la propriété de «~l'aire sous le pic de égale à ~» n'aurait plus aucune signification

Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K, modélisation en pic de Dirac [11] d'impulsion E

......Aussi cherchant à maintenir la propriété d'«~aire sous le pic de égale à ~» il convient de maintenir la notion de pic dans la définition de la modélisation de quand , mais le pic tendant vers l'infini, la modélisation ne peut plus être une fonction

......On obtient alors un nouvel être mathématique appelé «~distribution~» [16] dont les propriétés prolongent celles des fonctions (comme la dérivation ou l'intégration [17])

......La modélisation de quand conduit à une distribution dite de Dirac [11] que les physiciens appellent «~pic de Dirac d'impulsion ~» [18] devant correspondre à

[19] (voir ci-contre le diagramme en bleu) avec la propriété d'
«~aire sous le pic infini égale à ~» soit [20] ou [21].

Discontinuité de 2ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E[modifier | modifier le wikicode]

......Une fonction du temps , continue en tout instant à l'exception de , est dite discontinue de 2e espèce [22] si l'une au moins des limites de à gauche ou à droite de , n'existe pas ou est infinie ;

......la modélisation de la fonction quand conduisant à une distribution [16] dite de Dirac [11] que nous appelons «~pic de Dirac d'impulsion ~» [18] devant correspondre à [19] pour laquelle, s'il s'agissait d'une fonction on constaterait un saut infini à gauche de ainsi qu'à droite de [23], nous dirons, par abus, que

le «~pic de Dirac d'impulsion ~» [18] est discontinu de 2e espèce en t = 0 [24].

Un autre exemple de distribution : pic de Dirac décentré de tension d'impulsion E[modifier | modifier le wikicode]

......Le pic de Dirac de tension centré sur l'instant d'impulsion noté [25] est défini, par rapport au pic de Dirac de tension de même impulsion noté [19] en faisant un changement d'origine des temps selon

[19] avec la propriété d'
«~aire sous le pic infini égale à ~» soit [26] ou [27].

Pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou « fonction » d'Heaviside)[modifier | modifier le wikicode]

......Le «~pic de Dirac d'impulsion unité [28]~» doit correspondre à

[29], avec la propriété d'
«~aire sous le pic infini égale à ~» soit [30] ou [31].

......Nous dirons, par abus, que le «~pic de Dirac d'impulsion unité~» [18] est discontinu de 2e espèce en t = 0 [24].

......Propriétés : Ayant considéré l'échelon unité comme limite, quand , de la fonction dans laquelle représente la durée de variation continue et très rapide de la fonction de à , nous procédons de même à partir de la dérivée temporelle de cette dernière et obtenons, quand ,  ;

......Propriétés : le fait que avec l'«~aire sous le pic infini de égale à l'amplitude de ~» conduit à

définir la dérivée temporelle [32] de l'échelon unité par le pic de Dirac d'impulsion unité soit
[32].

......Propriétés : Si on utilise et la généralisation de l'intégration au sens des distributions, on retrouve alors le fait que l'«~aire sous le pic infini~» est bien égale à en effet .

......Remarque : On peut bien sûr définir un pic de Dirac centré à l'instant d'impulsion unité selon

,
il est discontinu de 2e espèce en t = t0 et
s'identifie à la dérivée temporelle de l'échelon unité centré à l'instant [24] soit
.

......Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : soit un pic de Dirac de tension d'impulsion , nous pouvons le réécrire sous la forme

[33],

......Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : en effet l'échelon de tension d'amplitude ayant été réécrit selon [34] et le pic de Dirac de tension d'impulsion pouvant être considéré comme la dérivée temporelle (au sens des distributions) de [35], nous en déduisons [36] soit le résultat énoncé compte-tenu de .

Exemples de pic de Dirac dans d'autres domaines que l'électricité[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une grandeur permanente que l'on impose à partir de l'instant , cela revenant à créer un échelon de la grandeur d'amplitude défini selon , on obtient, en formant la dérivée temporelle de l'échelon précédent, le «~pic de Dirac de la grandeur d'impulsion ~» [37] soit

avec la propriété d'
«~aire sous le pic infini valant ~» soit .

......Exemple de mécanique : un véhicule sans frein heurte un autre véhicule à l'arrêt, le choc étant très intense et durant très peu de temps, la force de collision horizontale que le véhicule exerce sur le véhicule , l'instant de collision étant choisi comme instant initial, peut être matérialisée par un pic de Dirac de force, d'impulsion , défini selon ou, en projetant sur , un pic de Dirac de composante horizontale de force, d'impulsion , défini selon , avec la propriété d'«~aire sous le pic infini valant ~» soit [38].

......Bien sûr on pourrait trouver des exemples de pic de Dirac dans pratiquement tous les domaines de la physique ainsi que d'autres exemples dans le domaine électrique

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation[modifier | modifier le wikicode]

Nature de la discontinuité d'une excitation, somme d'excitations discontinues de numéros d'espèce différents pour le même instant initial[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une excitation dans laquelle et sont des constantes de même dimension que , les cœfficients multiplicateurs et étant respectivement une constante sans dimension et une autre exprimée en [39], nous admettrons que

est discontinue, pour l'instant initial, du numéro d'espèce égal au plus grand numéro d'espèce de discontinuité de ses composants
soit ici discontinue de 2e espèce si et de 1ère espèce si .

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1er ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation[modifier | modifier le wikicode]

......Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1er ordre en suivante pour laquelle l'excitation est

  • discontinue de 2e espèce si et
  • discontinue de 1ère espèce si étant nécessairement sinon l'équation différentielle serait homogène ;

......nous admettrons que la discontinuité de l'excitation se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et que ce dernier diminue de un lorsque l’ordre de la dérivée diminue de un pour simplifier nous dirons qu'une fonction discontinue de 0e espèce est continue soit :

  • si , l'excitation étant discontinue de 2e espèce, la dérivée première est discontinue de 2e espèce et la solution générale de l'équation différentielle est discontinue de 1ère espèce,
  • si , l'excitation étant discontinue de 1ère espèce, la dérivée première est discontinue de 1ère espèce et la solution générale de l'équation différentielle est discontinue de 0e espèce c.-à-d. continue.

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation[modifier | modifier le wikicode]

......Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2e ordre en suivante pour laquelle l'excitation est

  • discontinue de 2e espèce si et
  • discontinue de 1ère espèce si étant nécessairement sinon l'équation différentielle serait homogène ;

......nous admettrons que la discontinuité de l'excitation se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et que ce dernier diminue de un lorsque l’ordre de la dérivée diminue de un à condition que le numéro zéro ne soit pas atteint pour simplifier nous disons qu'une fonction discontinue de 0e espèce est continue et si le numéro zéro est atteint, il y a stagnation du numéro d'espèce avec la diminution de l'ordre de la dérivée, c.-à-d. que la continuité est conservée avec la diminution de l'ordre de la dérivée soit :

  • si , l'excitation étant discontinue de 2e espèce, la dérivée seconde est discontinue de 2e espèce, la dérivée première est discontinue de 1ère espèce et la solution générale de l'équation différentielle est discontinue de 0ère espèce c.-à-d. continue,
  • si , l'excitation étant discontinue de 1ère espèce, la dérivée seconde est discontinue de 1ère espèce, la dérivée première est discontinue de 0e espèce c.-à-d. continue et la solution générale de l'équation différentielle est encore discontinue de 0e espèce c.-à-d. continue.

« Dérivée seconde » d'un échelon d'amplitude A (ou « dérivée première » d'un pic de Dirac d'impulsion A) et conséquence sur la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène lors de la présence d'un tel terme dans l'excitation[modifier | modifier le wikicode]

Dérivée seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et tentative de modélisation[modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons modélisé la «~tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K [40]~» en considérant cette dernière comme une fonction continûment dérivable à variation rapide sur une durée entourant l'instant et en faisant tendre vers pour définir les notions mathématiques d'échelon et de discontinuité de 1ère espèce, puis

......on forme la dérivée première de cette fonction ce qui est parfaitement justifié mathématiquement si la fonction est de classe [41] et on modélise cette dérivée première en faisant tendre vers , ceci conduisant aux notions mathématiques de pic de Dirac et de discontinuité de 2e espèce, toutes deux définies «~directement~» [42] en mathématiques, ce qui justifie a posteriori la méthode utilisée ;

......on se propose d'appliquer la méthode de modélisation précédente à la dérivée seconde de la «~tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K [40]~» dérivée seconde parfaitement définie si la fonction est de classe [43] en faisant tendre vers mais les notions «~limites~» que l'on pourrait appeler «~~double pic de Dirac inversé~~» et «~~discontinuité de 3e espèce~~» ne sont pas définies mathématiquement [44] ;

......nous les emploierons néanmoins car le «~passage à la limite~» ne sera, pour nous, qu'un moyen pratique de travailler sur la dérivée seconde d'une fonction réelle de classe à variation rapide sur une durée petite entourant l'instant , et non de travailler sur son hypothétique limite [45]

Évaluation de la dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et « modélisation »[modifier | modifier le wikicode]

......À partir de la tension aux bornes de l'association série «~interrupteur et source de tension parfaite de f.e.m. lors de la fermeture de ~» dans laquelle est la durée de la variation continue, très rapide et supposée dérivable de la fonction de à [46], on a obtenu la dérivée temporelle première que l'on suppose dérivable [47] ce qui donne, pour dérivée temporelle seconde (voir le diagramme horaire ci-dessous en rouge)

Dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K

...... [48].

......En faisant tendre vers , la fonction a été modélisée en avec échelon unité ou fonction d'Heaviside [7], discontinue de 1ère espèce en , puis

..........En faisant tendre δ t vers 0, la fonction dérivée 1ère temporelle a été modélisée en dérivée 1ère temporelle [49] de , notée avec pic de Dirac [11] d'impulsion unité [39], discontinue de 2e espèce en et s'identifiant à la dérivée 1ère temporelle [49] de l'échelon unité , discontinue de 1ère espèce en avec propriété d'«~aire sous le pic égale à un~» correspondant à l'intégrale [49], [14] et enfin

..........En faisant tendre δ t vers 0, la fonction dérivée 2nde temporelle se modélise en dérivée 2nde temporelle [49] de , notée avec la dérivée 1ère [49] du pic de Dirac [11] d'impulsion unité , discontinue de 2e espèce en et s'identifiant à la dérivée 2nde temporelle [49] de l'échelon unité , discontinue de 1ère espèce en  ;

..........En faisant tendre δ t vers 0, la dérivée 1ère [49] de peut être explicitée selon [50] que l'on baptisera «~~double pic de Dirac inversé~~» [51] de discontinuité baptisée «~~de 3e espèce~~» [52] avec propriété d'«~aire sous le double pic inversé égale à zéro~» correspondant à l'intégrale [49], [14] [53].

Retour sur la nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre sachant que l'excitation est « “ discontinue de 3ème espèce ” » en t = 0[modifier | modifier le wikicode]

......Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2e ordre en suivante pour laquelle l'excitation [54] est

  • «~~discontinue de 3e espèce~~» si ,
  • discontinue de 2e espèce si avec et
  • discontinue de 1ère espèce si et étant nécessairement sinon l'équation différentielle serait homogène ;

......nous admettrons que la discontinuité de l'excitation se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et que ce dernier diminue de un lorsque l’ordre de la dérivée diminue de un à condition que le numéro zéro ne soit pas atteint pour simplifier nous disons qu'une fonction discontinue de 0e espèce est continue et si le numéro zéro est atteint, il y a stagnation du numéro d'espèce avec la diminution de l'ordre de la dérivée, c.-à-d. que la continuité est conservée avec la diminution de l'ordre de la dérivée soit :

  • si , l'excitation étant «~~discontinue de 3e espèce~~», la dérivée seconde est «~~discontinue de 3e espèce~~», la dérivée première est discontinue de 2e espèce et la solution générale de l'équation différentielle est discontinue de 1ère espèce,
  • si avec , l'excitation étant discontinue de 2e espèce, la dérivée seconde est discontinue de 2e espèce, la dérivée première est discontinue de 1ère espèce et la solution générale de l'équation différentielle est discontinue de 0ère espèce c.-à-d. continue,
  • si et , l'excitation étant discontinue de 1ère espèce, la dérivée seconde est discontinue de 1ère espèce, la dérivée première est discontinue de 0e espèce c.-à-d. continue et la solution générale de l'équation différentielle est encore discontinue de 0e espèce c.-à-d. continue.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. En pratique cette durée est toujours petite.
  2. Nous supposerons de plus que la fonction ainsi définie est de classe suffisamment élevée pour n'avoir aucun souci de dérivabilité et ceci à n'importe quel ordre toutefois, pour ce chapitre, la classe suffira.
  3. Les bornes et pouvant être simultanément ou non et .
  4. C.-à-d. que d'une part, les limites à gauche et à droite sont finies et d'autre part, elles doivent être différentes pour que la fonction ne soit pas continue en .
  5. Raison pour laquelle «~la discontinuité de 1ère espèce~» est encore appelée «~discontinuité de saut fini~».
  6. Forme raccourcie pour dire «~échelon d'amplitude unité~».
  7. 7,0 et 7,1 Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom (encore appelée échelon ou marche) utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
  8. Même démarche que pour passer à dans le paragraphe «~modélisation en échelon de tension d'amplitude E~» plus haut dans le chapitre.
  9. L'intérêt de cette réécriture est que «~la grandeur tension et donc son unité~» se retrouve dans le cœfficient multiplicateur , la fonction d'Heaviside étant sans unité.
  10. 10,0 et 10,1 Mais en pratique on ne le fait pas car cela engendrerait une complication au lieu d'une simplification ; on préfère considérer les deux cas et .
  11. 11,0, 11,1, 11,2, 11,3, 11,4 et 11,5 Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions.
  12. On suppose la fonction de classe pour définir, par la suite, la dérivation jusqu'à l'ordre deux mais dans ce paragraphe il suffirait qu'elle soit de classe .
  13. Par abus on appellera cette aire l'«~aire sous le pic de ~».
  14. 14,0, 14,1 et 14,2 Voir la notion d'«~intégrale généralisée dont une des bornes au moins est infinie~» du chap. de la leçon «~Outils mathématiques pour la physique (PCSI)~».
  15. En effet si on remplace le «~pic de ~» et son voisinage non nul par un rectangle de même aire que l'«~aire sous le pic~», le rectangle étant de largeur doit être de hauteur et quand on fait tendre vers , c.-à-d. quand la largeur du rectangle tend vers , la hauteur doit tendre vers l'infini pour que l'aire soit conservée ;
    ...or le remplacement du «~pic de ~» et de son voisinage non nul par un rectangle de même aire correspond nécessairement à une hauteur de «~pic de ~» supérieure à la hauteur du rectangle car la présence de parties du voisinage moins proche du pic inférieures à la hauteur du rectangle nécessite celle de parties du voisinage proche du pic et du pic lui-même supérieures à la hauteur du rectangle donc d'un pic tendant vers l'infini quand .
  16. 16,0 et 16,1 Encore appelée «~fonction généralisée~» par les anglicistes mais cette théorie ayant été finalisée par Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français du XXe siècle qui reçut, pour cela, la médaille Fields en , on utilise, en France, préférentiellement le terme «~distribution~» ;
    ... la théorie des distributions étant au moins de niveau nous ne l'aborderons pas ici.
  17. Liste non exhaustive.
  18. 18,0, 18,1, 18,2 et 18,3 En fait la distribution de Dirac pour les mathématiciens est notée et correspond au «~pic de Dirac d'impulsion ~» des physiciens, le «~pic de Dirac d'impulsion ~» de ces derniers est donc fois la distribution de Dirac des mathématiciens soit .
  19. 19,0, 19,1, 19,2 et 19,3 Pour l'instant, n'est qu'une notation pour le pic de Dirac de tension d'impulsion , mais ultérieurement cette notation prendra la signification de dérivée temporelle de l'échelon de tension d'amplitude c.-à-d. considérée comme distribution on rappelle qu'une fonction échelon n'est pas dérivable en d'où la nécessité de la considérer comme distribution.
  20. Attention étant une distribution, nécessite de définir l'intégrale (généralisée) d'une distribution
    ...Toutefois le fait de ne pouvoir introduire la notion de distributions ainsi que celle de leurs dérivations ou intégrations au niveau de ce cours ne doit pas être considéré comme une difficulté car les dérivations ou intégrations sont réalisées sur les fonctions réelles de classe comme l'est et ce n'est que sur leurs résultats que nous faisons tendre vers , les résultats obtenus étant ceux que nous aurions trouvés en travaillant directement sur les distributions
  21. étant nulle sur les intervalles et .
  22. Encore appelée «~discontinuité essentielle~» voir l'article de wikipédia sur les «~discontinuités de 1ère ou 2e espèces~».
  23. Respectivement défini par «~valant ~» et par «~valant ~».
  24. 24,0, 24,1 et 24,2 La signification nécessitant qu'une «~fonction~» puisse avoir une valeur infinie dans son domaine de valeurs ce qui n'est pas car quand une fonction admet une limite infinie lorsque la variable tend vers une certaine valeur, cette dernière est placée hors du domaine de définition de la fonction et par conséquent la valeur infinie est hors de son domaine de valeurs et, en admettant ceci, d'observer un saut infini à gauche et à droite on comprend mieux ainsi l'autre nom de «~fonction généralisée~» donnée à une «~distribution~» résultant, entre autres, d'autoriser des valeurs infinies pour les fonctions généralisées.
  25. Pour l'instant, n'est qu'une notation pour le pic de Dirac décentré de tension d'impulsion , mais ultérieurement cette notation prendra la signification de dérivée temporelle de l'échelon décentré de tension d'amplitude c.-à-d. considérée comme distribution on rappelle qu'une fonction échelon décentrée n'est pas dérivable en d'où la nécessité de la considérer comme distribution.
  26. Attention étant une distribution, nécessite de définir l'intégrale (généralisée) d'une distribution
    ...Toutefois le fait de ne pouvoir introduire la notion de distributions ainsi que celle de leurs dérivations ou intégrations au niveau de ce cours ne doit pas être considéré comme une difficulté car les dérivations ou intégrations sont réalisées sur les fonctions réelles de classe comme l'est et ce n'est que sur leurs résultats que nous faisons tendre vers , les résultats obtenus étant ceux que nous aurions trouvés en travaillant directement sur les distributions
  27. étant nulle sur les intervalles et .
  28. Ou simplement «~pic de Dirac~» ou encore «~distribution de Dirac~» ou enfin, par abus, «~fonction (sous-entendu généralisée) de Dirac~».
  29. S'il s'agissait d'une fonction on constaterait donc un saut infini à gauche de ainsi qu'à droite de , respectivement défini par «~valant ~» et par «~valant ~».
  30. Attention étant une distribution, nécessite de définir l'intégrale (généralisée) d'une distribution
    ...Toutefois le fait de ne pouvoir introduire la notion de distributions ainsi que celle de leurs dérivations ou intégrations au niveau de ce cours ne doit pas être considéré comme une difficulté car les dérivations ou intégrations sont réalisées sur les fonctions réelles de classe comme l'est et ce n'est que sur leurs résultats que nous faisons tendre vers , les résultats obtenus étant ceux que nous aurions trouvés en travaillant directement sur les distributions
  31. étant nulle sur les intervalles et .
  32. 32,0 et 32,1 Dérivée temporelle au sens des distributions, qui s'identifie à la dérivée temporelle au sens des fonctions pour les valeurs de variable où la fonction est dérivable mais ajoute une définition pour celles où la fonction n'est pas dérivable, voir non définie.
  33. L'intérêt de cette réécriture est que «~la grandeur tension et donc son unité~» se retrouve dans le cœfficient multiplicateur , le pic de Dirac d'impulsion unité étant en .
  34. Voir le paragraphe «~échelon unité (ou fonction d'Heaviside)~» plus haut dans le chapitre.
  35. Selon la même démarche que celle exposée dans ce paragraphe pour lier le pic de Dirac d'impulsion unité et l'échelon unité.
  36. étant une constante.
  37. Le pic de Dirac de grandeur est bien homogène à un taux horaire de grandeur car le pic de Dirac d'impulsion unité s'exprime en .
  38. Nous verrons dans le cours de mécanique que définit l'impulsion de la force sur l'intervalle .
  39. 39,0 et 39,1 On rappelle que le pic de Dirac d'impulsion unité s'exprime en .
  40. 40,0 et 40,1 Choisi comme instant .
  41. C.-à-d. fonction continûment dérivable jusqu'à l'ordre un.
  42. C.-à-d., pour la notion de pic de Dirac, sans passage à la limite de la dérivée temporelle première d'une fonction à variation rapide mais en tant que distribution et, pour la discontinuité de 2e espèce, discontinuité avec un saut non défini ou infini.
  43. C.-à-d. fonction continûment dérivable jusqu'à l'ordre deux.
  44. À ma connaissance d'où l'ajout des doubles guillemets « “~” ».
  45. Aussi peu importe que la «~~limite~~» ne soit pas définie mathématiquement dans la mesure où, ce qui interviendra en physique, est la grandeur associée avec petit et que tous les résultats obtenus avec utilisation de cette «~~limite~~» resteront physiquement vérifiables pour petit.
  46. On suppose la fonction de classe pour définir, par la suite, la dérivation jusqu'à l'ordre deux mais pour la dérivée première il suffit qu'elle soit de classe .
  47. D'où la nécessité que la fonction soit de classe .
  48. Nous avons supposé les intervalles de croissance et décroissance de même durée pour simplifier l'exposé mais ceci n'est pas indispensable.
  49. 49,0, 49,1, 49,2, 49,3, 49,4, 49,5, 49,6 et 49,7 Au sens des distributions.
  50. S'exprimant en , l'unité du pic de Dirac étant la .
  51. Appellation personnelle, ne correspondant à aucune nomenclature mathématique, les mathématiciens appellent simplement cette distribution «~dérivée du pic de Dirac~».
  52. Appellation personnelle dont le seul but est de réaliser une échelle des discontinuités, ce type de discontinuité en t = 0 correspondant à une valeur finie pour t = 0 et des valeurs infinies opposées quand la variable s'approche de 0 par la gauche ou par la droite n'est pas définie en mathématiques
  53. En effet correspondant à l'aire positive sous le 1er pic compensée par l'aire négative sous le 2e pic inversé ;
    ...plus généralement voir l'article «~dérivée du pic de Dirac~» de wikipédia pour plus de détails
  54. est sans unité, en et en .