Matrice/Exercices/Changement de base

Exercice 4-1

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Déterminer les endomorphismes de E qui sont représentés par la même matrice dans toutes les bases de E.

Solution

Ce sont les endomorphismes dont la matrice dans une base quelconque commute avec n'importe quelle matrice inversible, c'est-à-dire les endomorphismes qui commutent avec tout automorphisme. En particulier, un tel endomorphisme $f$ commute avec toute symétrie par rapport à une droite, donc toute droite $D$ est stable par $f$. On montre facilement (par linéarité de $f$) que le scalaire $k_{D}$ par lequel $f$ multiplie les vecteurs de $D$ est en fait indépendant de la droite $D$. Autrement dit : $f$ est une homothétie. Réciproquement, toute homothétie vérifie la condition requise.