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Montrer que modulo 7, un carré parfait ne peut être congru qu'à 0, 1, 2 ou 4.
En déduire que si trois entiers vérifient , alors ils sont tous les trois divisibles par 7.
En raisonnant par descente infinie, en déduire qu'il n'existe aucun triplet d'entiers naturels tel que .
Solution
Modulo 7, un carré parfait ne peut être congru qu'à , , ou .
Si le seul couple d'entiers tel que est donc si alors et sont divisibles par 7, donc et aussi puisque 7 est premier. Mais est alors divisible par donc est lui aussi divisible par 7 (et donc aussi).
Soit (s'il en existe) tel que et . Alors, , et . Par descente infinie, ceci prouve qu'il n'en existe pas.